Пространственное трассирование линейно-протяженных объектов на примере САПР АД Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 625.72

П.А. Елугачев, М.А. Катасонов

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ТРАССИРОВАНИЕ ЛИНЕИНО-ПРОТЯЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ПРИМЕРЕ САПР АД

Автомобильные дороги (АД) отличаются от других сложных в инженерном отношении продуктов человеческой деятельности своей чрезвычайной протяженностью и уникальностью привязки к конкретному ландшафту. Так как типовой проект АД содержит чертежи трех ее проекций (план, продольный и поперечные профили), их раздельный анализ не позволяет дать оценку дороге как пространственному сооружению с точки зрения потребительских свойств трассы (оптическая ясность, плавность и гармоничность проектируемой дороги) [7]. Перспективным считается определение оптически плавной трассы через понятие кручения [1-5].

Кручение представляет собой дифференциальную характеристику трассы как пространственной кривой и, следовательно, трасса должна иметь математической описание в виде трехмерной функции. Удобнее всего трассу в пространстве задавать в виде системы параметрических уравнений:

{х = х(1), У = у(1), 2 = 2(1)}, где I - текущий параметр (например, время движения по трассе).

Если форма плоской кривой определяется функцией ее кривизны, то форма пространственной кривой однозначно определяется совокупностью двух функций - кривизны и кручения [6]. Кривизна (р) пространственной трассы имеет тот же механический смысл ускорения поступательного движения автомобиля, что и для плоской трассы:

Кручение - новое геометрическое понятие для трассы автомобильной дороги как кривой в пространстве, но именно кручением кривой можно объяснить многие из явлений зрительного восприятия, которые до сих пор оцениваются и объясняются на основе лишь эмпирических правил. Кручение (Т) пространственной кривой определяется формулой:

х у 2' х" у " 2" х'" у "' 2 ""

р =

х >2 ,2 ,2Л, ,,2 ,,2 „2Л , , ,, , ,, , „л2

(х + у + 2 )(х + у + 2 ) + (х х + у у + 2 2 )

, ,2 ,2 ,2,3

(х + у + 2 )

где х, х" - первая, вторая производные х по I и т. д.

/ '2 , /2 , г2\Ъ 7

(х + у + 2 ) где К=1/р - радиус кривизны.

Целью исследования является установление вида и величины кручения при сочетании разных видов аналитически заданных кривых в плане и продольном профиле и их взаимном расположении.

В исследовании рассматриваются такие сочетания кривых, которые в пространстве образуют линии, выходящие из плоскости.

Оценивать кручение пространственной кривой будем исходя из двух правил получения проектных данных:

• задание массива пространственных точек (если неизвестны элементы трассы, начала и концы кривых, их математическое описание, например, при паспортизации и диагностике автомобильных дорог, при проезде по оси дороги с вР8-приемником);

• аналитическое задание кривой (если элементы трассы известны, средствами традиционной методики трассирования при новом строительстве, ремонте и реконструкции дорог);

В первом случае плоскую кривую в плане х, у} и профиле 2,} (выраженную дискретной

112

П.А. Елугачев, М. А. Катасонов

моделью пространственных точек с фиксированным шагом) преобразуем в пространственный вид {х, у, 2,}, ,'=0,1,...N.

Для определения кручения в конкретной точке пространства необходимо наличие минимального количества четырех последовательных пространственных точек кривой

р,(^, у,, 2i), , = 1,2,3,4.

Тогда можно сформировать три пространственных вектора, задающие два последовательных изменения направления трассы от входящего пространственного тангенса (по аналогии с традиционными тангенсами):

(и,, V, Щ^

с координатами:

1=1,2

Полученные векторы позволяют вычислить векторы бинормалей с координатами:

\х, = V +1 - щ *у+{;

иі = Хі+1 - Х1

V = Уі+1 - у;

ж = 7і+1 - 7.

Т = ж *и,+1 - и, *жм; 2,- = и і *ум - V *иі +1,

і=1,2

Поворот вектора бинормали в пределе при сближении точек, в соответствии с определением [6], задает угол кручения по формуле:

ь * ь

Т = агооо8(—1——),

где длина вектора

Ь,* Ь

\=4ґ[+¥[+ІЇ , і=1,2

скалярное произведение

*

Ьу* Ь2

ь2- Х1* Х2 + Г1* Г2 + 1*

Во втором случае кривая описана аналитически, и для нее необходимо предложить точный метод вычисления кручения. Для этого создадим заготовки для аналитического вычисления всех входящих в выражение (3) производных и определим пространственную кривизну по формуле:

и 2 и 2 и 2

т т т

К(і) =

Л 2 Л 2 Л 2

(— Х(())2 + (— у(())2 + (— 2(())2

Лі2 Лі2 л2

, ,,2 . ,,2 . ,,2 (-Х(І))2 + (-у(І))2 + (—2(1 ))2

аі аі аі

3

л л2 с с2 с с2

(- Х(/)) * — Х(і) + (- у(і)) * — у(і) + (- 7(1)) * — 2(і)

Лі

л2

а

Л 2

а

Л2

(Лх(і))2 + (Лу(і))2 + (Л2(і))2

а а а

Кручение определяем по формуле:

(с с с \

Ліх(і) Ліу(і) лґ(і)

с2 с2 . с2

----^х(Ґ) ------ у(і) ------ 2(І)

Лі2 Лі2 Лі 2

с3 ,, с3 с3

—- х(і) —3 у(і) —3 2( і)

Лі Лі Лі

Т (і) = -

КХ0:

(Лх(і))2 + (Лу(і))2 + (Л2( і))2

а а а

На основе данного аппарата кручения при аналитическом выражении трассы АД, возможно, проводить анализ различных параметрических кривых, в том числе при сочетании элементов формирующих пространственную кривую постоянного уклона (винтовая кривая) (рис. 1). Например: аналитическое выражение кривой, 0 < / < п: х( 0 = а ео8(0,

у( 0 = а вт( О,

2(0 = Ь(^ - п)к, к = 1.

Аналитический график кручения винтовой кривой имеет линейный вид (рис. 2).

При движении по такой пространственной кривой оптическая ясность будет обеспечиваться при соблюдении минимального расстояния видимости в плане в соответствии с категорией дороги (её кривизной).

С использованием пространственного моделирования трассы АД и изучения ее дифференциальных свойств в будущем возможно объяснить и описать ряд эмпирических правил трассирования автомобильных дорог, и тем самым формализовать эти законы для внедрения в САПР АД.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги. Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 56

с.

2. Бойков В.Н., Елугачёв М.А., Елугачёв П.А. Применение кривых Безье при трассировании автомобильных дорог. - НиТ в Дорожной отрасли, №3 - 2005, стр. 17-20

3. БабковВ.Ф. Ландшафтное проектирование автомобильных дорог. - М.: Транспорт, 1980. - 189 с.

4. ДзенисП.Я., Рейнфельд В.Р. Пространственное проектирование автомобильных дорог. - М.: Транспорт. - 120 с.

5. Елугачев П.А. Опытное трассирование автомобильной дороги с использованием пространственных

3

кривых Безье. Электронный журнал «Исследовано в России», 96, 915-922, 2006. http://

zhumal.ape.relam.ru/articles /2006/096.pdf

6. Бойков В.Н., Шумилов Б.М., Елугачев П.А., Эшаров Э.А. Пространственное трассирование автомобильных дорог: Аспекты математической реализации// Экологические проблемы в транспортнодорожном комплексе: Сб. науч. Тр. / МАДИ (ГТУ); УФ МАДИ (ГТУ): М., 2005, С. 63-75.

7. Бойков В.Н., Елугачев П.А., Крысин П.С. «Актуальность метода пространственного трассирования автомобильных дорог» Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета -№1, 2006 г., С. 145-149.

□ Авторы статьи:

Елугачёв Павел Александрович

- канд.техн.наук, доц. Томского государственный архитектурностроительного университета E-mail: [email protected]

Катасонов Максим Александрович

- ассистент каф. автомобильных дорог КузГТУ E-mail: [email protected]