CC BY
29
Сравнение расчётных расходов, полученных существующими и предлагаемыми методами, по сумме наименьших квадратов показало, что предложенный в статье метод является наиболее обоснованным.
Библиографический список
1. Свод правил по проектированию и строительству. Определение основных расчётных гидрологических характеристик: СП 33-101-2003. - М. : ФГУП ЦПП, 2004. - 73 с.
2. Гидрология и гидротехнические сооружения / Г.Н. Смирнов, Е.В. Курлович, И.А. Вит-решко [и др.]. - М. : Высшая школа, 1988. - 472 с.
3. Столяров, В.В. Проектирование автомобильных дорог с учётом теории риска. В 2 ч. /
В.В. Столяров. - Саратов : СГТУ, 1994. - Ч. 1. - 184 с.; Ч. 2 - 232 с.
E.Yu. SHMAGINA
THEORY OF RISK AT DETERMINATION OF VOLUME OF WATER FLOWING THROUGH BRIDGE PASSAGES
The necessity of working out the new method of water volume determination helping to eliminate the disadvantages of the existing method is discussed in the paper. The suggested method is based on the theory of risk taking into account the real laws of water discharge distribution in rivers. For water volume determination the water discharge during the period of flood up and down is used, as the local general washing away in a river is taking place namely in this period.
Formulas and table parameters for p coefficient are shown for determining the calculated water volume discharge at distribution of real water discharge in a river due to Gauss’ law.
УДК 625.72:528.486
В.Н. БОЙКОВ, докт. техн. наук, профессор,
П.А. ЕЛУГАЧЁВ, аспирант,
Б.М. ШУМИЛОВ, докт. физ.-мат. наук, профессор,
ТГАСУ, Томск
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ ЯСНОСТИ И ПЛАВНОСТИ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ТРАССИРОВАНИИ
В данной статье анализируется возможность получения оптически ясных и плавных трасс автомобильных дорог с использованием пространственной кривой Безье 5 степени. Проведено исследование кручения базиса трассы. Получены сочетания плановых и профильных радиусов, при которых трасса получается оптически ясной. Выполнено сравнение традиционного метода трассирования и метода Безье. Показана эффективность использования пространственных кривых Безье с позиции оптической ясности трасс автомобильных дорог.
Вопрос рационального сочетания кривых был впервые установлен Ф. Геллером (1938). Им замечено, что плавность дороги нарушается при несогласованных величинах элементов трассы в плане и продольном профиле.
© В.Н. Бойков, П.А. Елугачев, Б.М. Шумилов, 2007
Если для ландшафтного проектирования это может быть достаточным, то в случае пространственного проектирования мало знать, что трасса является не плавной и имеет какие-то искажения, нужно понимать, как эти искажения исправить посредством изменения тех или иных параметров, которые позволили бы нам в следующий момент не сделать аналогичных ошибок в проектах. Это осуществимо только с использованием принципов и методов пространственного трассирования.
Пространственный подход к трассированию дорог впервые рассмотрел в своей работе П.Я. Дзенис [4], когда интерпретировал отрезок клотоиды в плане и профиле в пространственный вид. Однако он опирался не на дифференциальные характеристики получившейся пространственной кривой, а лишь осуществлял перебор и описание возможных комбинаций сочетаний элементов трассы в плане и продольном профиле.
На самом деле сложно представить себе пространственное сочетание кривых, построенных по двум разным функциям, а тем более имеющим разные переменные. И конечно, при интерпретации таких кривых в пространственный вид не может идти речь об их плавности.
Даже если представить полигональный ход трассы, имеющей несколько углов поворота в плане и в профиле, то такая комбинация представляет собой ряд плоскостей, лежащих под определенным углом друг к другу (рис. 1). И полигон, располагающийся в плане, никак не связан с полигоном в профиле [8, 9].
ВУ-1
Рис. 1. Трасса, представленная в виде разложения на полигоны в плане и профиле
Развитие идей в работе П.Я. Дзениса привело к эмпирическому правилу, при выполнении которого трасса автомобильной дороги получается оптически ясной. Оптически ясной трассой считается та, которая образует на участке кривой плоское сечение цилиндра (рис. 2) или, другими словами, при условии, когда касательные к началу и концу кривой пересекаются. Иначе кривая называется пространственной. Однако эмпирические правила есть результат визуальных наблюдений, и, как следствие, они могут применяться лишь на этапе, когда оценивается подготовленный проект или уже построенная автомобильная дорога. Перспективным направлением считается описание потребительских свойств трассы (ясность, плавность), через математическое описание дифференциальных характеристик кривых и, следовательно, трасса должна иметь аналитическое описание в виде трехмерной функции.
1 Продольный профиль
X
►
і їлан
Рис. 2. Трасса автомобильной дороги, построенная по условию оптической ясности
Наиболее простое получение оптически ясной трассы - это моделирование плоской кривой. При традиционном трассировании в плане подразумевается случай плоской кривой. И только на этапе проектирования профиля за счет вписывания кривых суммарная кривая преобразуется в пространственную кривую. Именно плоская кривая имеет нулевое кручение. Сочетание кривых, как уже говорилось, должно осуществляться в зависимости от существующих норм и правил ландшафтного проектирования.
Основной недостаток принципа «полигонального трассирования» состоит в том, что магистральный ход, укладываемый сообразно рельефу и ситуации, во многом определяет положение самой трассы автомобильной дороги в плане. Это обстоятельство почти всегда определяет негибкую пространственную линию автомобильной дороги, которая, в частности, характеризуется наличием
длинных прямых и коротких круговых кривых минимального радиуса, наличием закруглений за переломами продольного профиля, повышенными объемами земляных работ, повышенной аварийностью и т.д.
Принцип «гибкой линейки» существенно отличен от идеи «полигонального трассирования» и является основой автоматизированного проектирования. С точки зрения удобства алгоритмизации диалога инженер - компьютер и универсальности этот принцип достаточно обоснован.
Суть принципа «гибкой линейки» состоит в том, что на плане или на крупномасштабной карте, сообразуясь с рельефом и ситуацией, вписывают плавную линию от руки либо с помощью специальной гибкой линейки -сплайна [3]. Однако и этот метод не является идеальным, так как трассирование проходит лишь в плоскости «плана» и в основном решается вопрос планового проложения, вопрос высотного проложения отодвигается на второй план. Следовательно, ни одна из существующих методик «плоского» трассирования в полной мере не может моделировать трассу автомобильной дороги без существенных упрощений [4-8]. Кроме того, если для полигонального трассирования вопрос сочетания плановых кривых и профильных решен через качество их сочетания, то для метода «гибкой линейки» такого сочетания не существует, так как отсутствует в принципе тангенциальный ход. Но сплай-новое трассирование широко используется в САПР (системах автоматизированного проектирования), а значит, должно в соответствии с [1] рассматриваться с пространственной точки зрения для получения оптически ясных очертаний трасс. В связи с этим исследуем возможность использования пространственных кривых Безье для получения оптически ясных закруглений на автомобильных дорогах.
Основными недостатками при получении оптически ясных трасс с использованием традиционной методики являются:
- несоответствие пикетов в плане и профиле;
- вершины полигонального хода, начала и концы кривых в плане и профиле не совпадают (несовершенные сочетания);
- необходимость при плановом смещении кривой изменять положение профильной кривой, и наоборот;
- при локальном изменении для одного из полигонов хода плана и профиля сложно получить плавный переход на последующие полигоны без разрыва кривизны и возрастания центробежного ускорения.
По аналогии с рис. 1 для пространственной кривой Безье ниже представлен общий вид геометрической модели (рис. 3).
На рис. 3 представлена трасса автомобильной дороги на примере рампы транспортной развязки (винтовая кривая). Винтовая кривая в общем случае является пространственной и образована одним углом поворота в точке пересечения касательных 1-2 и 5-6 [6, 7].
Опираясь на эмпирическое наблюдение П.Я. Дзениса, мы создали модель цилиндра, где имеется возможность получения контура сечения, угол которого задан (рис. 4).
Пр □ екци^^ *— — — * 3 4 Проекция
Проекция XI *з 1 ЗО-вид 6 2! І а\ 1 уГ ! ^Гі '-г*' 1 ^ 1 / " у ЧИНИг
Рис. 3. Геометрическая интерпретация пространственной трассы автомобильной дороги
В ходе экспериментов было отмечено, что при сечении цилиндра радиуса Я сечение под углом а будет иметь отличное значение радиуса кривой Я1 в проекции профиля. Таким образом, зная соотношение радиусов кривых в плане и профиле (Я и Я^, можно предположить, что пространственная кривая всегда будет получаться оптически плавной. Согласно [1, табл. 10], для кривой в плане 300 м нормируется 60 о/оо. Следовательно, можно установить радиус профильной кривой при условии изменения угла наклона сечения с шагом 1° до 6°.
5* 0' 0"-г|т I
Раді-ус цилишра: [ЗО"
Высота цилиндра: |ЁЁ Малый радиус = 30.00 Большой радиус = 30.228756
Рис. 4. Модель цилиндра
При угле наклона 0° кривая является плоской кривой, образованная круговой кривой в плане и прямой с уклоном 0 о/оо в профиле.
При угле наклона плоскости 1° и радиусе в плане Я = 300 м кривая в профиле имеет значение 4000 м. Величина радиуса в профиле установлена с помощью пространственной аппроксимации базиса сечения в системе автоматизированного проектирования МогСАБ/Яоа^ Проанализировав табл. 1, полученную при изменении наклона плоскости до 6, можно сделать вывод, что кручение тем больше у пространственной кривой, чем меньшим сочетанием радиусов она образована. Наиболее эффективна область плоских кривых от 0 до 3° [1, табл. 10]. Использование плоского сечения 0-1° менее эффективно, так как создает профильные проекции профильной кривой с радиусами более 10-Ядлана, которые и формируют неконтролируемые пространственные провалы видимости и плавности.
Таблица 1
Параметры пространственной кривой, образованной сечением цилиндра при радиусе Я = 300 м
Угол сечения, ° Яшлана, м Яшрофиля, м
0 300 бесконечность
1 300 4000
2 300 2000
3 300 1200
4 300 800
5 300 600
6 300 500
Аналогично проведем исследование для вогнутых кривых с радиусом в плане (Яшина), м: 600, 800, 1000, 1200, 1600, 2000, 2200. Результатом исследования является график зависимости отношения радиусов кривых и угла наклона сечения (рис. 5).
При угле наклона сечения более 3° график иллюстрирует относительное постоянство зависимости Япшана и Я^фш^. При менее 3° отношение плана и профиля значительно изменяется, и, например, при Я^^ = 800 м и угле наклона 1°, Ящзофщм = 15000 м. При этих сочетаниях базиса пространственной кривой (существующей трассы) будет обеспечиваться условие плоской кривой в пространстве. Во всех остальных случаях кривая будет иметь вид винтовой кривой, и её плавность будет зависеть от величины кручения.
Моделирование плоской кривой в пространстве с помощью модели Безье осуществляется на основе численной характеристики графика кручения (когда кручение равно 0°00'00" или изменяется незначительно, до 30", такая трасса считается плоской в пространстве) и визуального ограничения, когда трасса лежит в плоскости ХУ и имеет проекцию в форме прямой.
Угол сечения, °
—Р=600 м -я— Р=300 м Р=800 м -Щ- Р=1000 Р=1200 Р=1600 —)— Р=2000 -Р=2200
Рис. 5. График отношения радиусов плана и профиля для получения оптически ясного закругления
Итак, достижение удачных соотношений между несколькими элементами трассы, лежащими в разных плоскостях (при традиционной методике), и пространственным кручением (при пространственном трассировании кривыми Безье) является единственным условием, обеспечивающим плавность участка в пределах обозрения (оптическая ясность). Наибольшая кривизна в перспективе, которая принимается водителем как допускающая проезд впереди лежащей кривой с расчетной скоростью, та, которая плавно, постепенно изменяет свою кривизну и не имеет экстремумов кручения на входе и выходе с кривой.
Использование данной методики пространственного трассирования может быть достаточно эффективным на этапе проектирования реконструкции и ремонта дорог.
Эти два принципиальных подхода основываются:
- на приведении (исправление базиса существующей дороги) к сечению, лежащему в плоскости, либо регулировании (плавное изменение) графика кручения;
- визуальном представлении всей трассы в виде плоского сечения, а затем вариантном искажении с целью экономии инвестиций.
В качестве примера нами построен пространственный базис трассы М-53, Юрга - Томск, Кемеровской области. Выделены наиболее интересные сочетания плановых и профильных кривых, которые наиболее часто встречаются в похожих рельефных условиях.
Рассмотрим модель базиса. На ПК 7+79 начало кривой в плане, на ПК 17+34 - конец кривой в плане. Кривая образована круговой кривой Я = 800 м, и переходными кривыми Ь = 120 м. Сочетание элементов в плане и профиле сложное. Пространственный базис формируется 3 кривыми в плане (клотои-да-дуга-клотоида) и 3 круговыми кривыми в профиле, объеденными прямыми.
Клотоиды в плане имеют несовершенное сочетание с круговыми кривыми в профиле Я = 10000 м. Круговая кривая в плане перекрывает круговую кривую в профиле, однако их вершины совпадают.
Анализируя графики кручения пространственного базиса и кривизны в плане и профиле (рис. 6), можно сделать вывод: сочетание имеет несовершенную форму несимметричной пространственной кривой, и при движении по ней, особенно при входе на кривую, появляются оптически неясные участки.
Рис. 6. Получение оптически ясной трассы на основе графика кручения
Приведем данную трассу к оптически ясной, для этого аппроксимируем базис пространственной кривой Безье в программной модели Bezier.
При аппроксимации плановая проекция пространственной кривой остается неподвижной (это положительно характеризует данный метод и может использоваться, например, при условии фиксированного планового закрепления в сложных условиях), а профильную проекцию в соответствии с графиком кручения приводим к виду «плоского сечения». Оценим степень смещения пространственной трассы Безье по отношению к существующему базису. Для этого определим дельту смещения по каждой из ординат пространственной модели по формуле
Ат = X - X 1 У*- МОДЕЛИ ^ БАЗИСА |?
Ay = If - y 1 I1 МОДЕЛИ 1 БАЗИСА \> (1)
Az = 7 - 7 1 \ МОДЕЛИ БАЗИСА [
Максимальное смещение пространственной кривой относительно базиса
Ах = 1,1 м,
<Ау = 1,7 м,
Аг = 0,4 м.
Пространственная кривая Безье не смещается относительно начала базиса, конца и вершины, тем самым обеспечивая форму пространственного полигонального хода. Эти контрольные точки являются образующими плоскость. В свою очередь, положение вершины определяет форму кривой и ограничивает ее смещение по Z отметке (рис. 6).
Таким образом, при незначительном смещении трассы возможно получать оптически плавные и ясные пространственные кривые.
Полученная оптически ясная трасса после аппроксимации пространственной кривой Безье при традиционном трассировании может возникнуть только при больших радиусах Я > 5000 и малых углах поворота, когда профиль описан горизонтальной или наклонной прямой. В других случаях получение таких пространственных очертаний трасс, скорее, случайный процесс, чем осмысленный (рис. 7, 8).
г I
Рис. 7. Оптически ясный участок трассы Юрга - Томск на ПК 62+40
С этой позиции на дороге Юрга - Томск был проведен анализ таких кривых. Рельеф местности спокойный равнинный. Протяженность трассы составляет 102,134 км. Трасса образована 43 углами поворота, 30 (70 %) из которых имеют оптические провалы и искажения, следовательно, являются наиболее опасными (рис. 7, 8). Результатом исследования стал вывод: в ходе реконструкции при относительно незначительном смещении оси трассы в пространстве имеется возможность значительно улучшить транспортно-эксплуатационные характеристики данной автомобильной дороги при относительно малом изменении конфигурации трассы.
Рис. 8. Участок трассы Юрга - Томск на ПК 66+15 с необеспеченной оптической ясностью
Далее рассмотрим трассу с позиции моделирования плоской кривой при новом строительстве.
Пусть трасса расположена на цифровой модели местности (ЦММ), где сплошной линией показана трасса, запроектированная традиционным методом в виде плана (плоской проекции). Пунктирной линией, приподнятой над поверхностью, показана пространственная кривая Безье. Вершины углов пространственной трассы располагаются в одной плоскости (рис. 9). Но так как поверхность земли не идеальная (не гладкая), следовательно, вершины углов полигонального хода будут располагаться в разных уровнях (рис. 10).
Так как через узлы структурного многоугольника (малый, средний тангенсы) кривая не проходит, следовательно, их расположение может быть изменено по величине Z отметки, за счет этого плановое положение вершин полигонального хода не изменится (рис. 11).
Если взглянуть на это свойство с обратной стороны, то при условии, когда вершины углов не лежат в одной плоскости (как и бывает на практике), возможно выстроить тангенциальный ход таким образом, что кривая по всей своей длине будет лежать на одной плоскости и для каждого из полигонов (для пространственной кривой полигон будут формировать начальный узел, узлы малого и среднего тангенсов, конечный узел) будет обеспечиваться достаточность точек (их 6 для каждого из полигона) для формирования плоскости. Можно утверждать, что, когда поверхность земли не является плоскостью, возможно получение оптически плавных трасс, моделирующих контур сечения идеального цилиндра плоскостью (рис. 2).
Рис. 9. Пространственный вид трассы Цифровая модель местности Н
Пространственны»
полигональный ход
План трассы
автомооильной дороги
Рис. 10. Полигональный ход пространственной трассы
Цифровая модель местности
Рис. 11. Плоский полигональный ход при пространственном положении структурных узлов
Следовательно, уже на этапе трассирования возможно моделирование проектного профиля автомобильной дороги и получение тем самым заведомо оптически плавной трассы, и предварительной оценки ее экономической целесообразности.
Определение оптически плавной трассы тесно связано с понятием кручения. Так как, собственно, наличие величины кручения и характеризует: либо это пространственная винтовая кривая, либо (если кручение в каждой точке кривой равно нулю) пространственная кривая, лежащая в плоскости.
Итак, в результате моделирования плоских кривых Безье в пространстве можно добиться качественно высоких показателей оптической плавности и ясности за счет регулирования графика кручения. Кручение оси трассы на участке кривой менее 30” позволяет получать заведомо оптически ясную и плавную трассу. При использовании традиционной методики трассирования добиться идеального закругления, лежащего в плоскости, можно, следуя установленному отношению радиусов в плане и профиле (рис. 5).
Однако должно выполняться строгое ограничение, когда начало и конец кривой, а также вершина должны совпадать в проекции плана и профиля, иначе такое сочетание будет несовершенным. Это условие крайне редко выполняется при трассировании, следовательно, большинство трасс имеют несовершенную форму сочетания. Это несовершенство можно снизить посредством регулирования зон видимости дороги с позиции водителя, управляющего автомобилем, что является отдельным вопросом обсуждения.
Нами получены сочетания радиусов кривых в плане и профиле на основе «калькулятора кручения». Эти сочетания для минимально допустимых радиусов по категориям формируют ограничения. На основе этих ограничений при использовании пространственной кривой Безье возможно получать плавные и ясные трассы автомобильных дорог.
Библиографический список
1. СНиП 2.05.05-85. Автомобильные дороги / Госстрой СССР. - М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 56 с.
2. Бойков, В.Н. Применение кривых Безье при трассировании автомобильных дорог /
B.Н. Бойков, М. А. Елугачёв, П. А. Елугачёв // НиТ в дорожной отрасли. - № 3. - 2005. -
C. 17-20.
3. Бабков, В.Ф. Ландшафтное проектирование автомобильных дорог / В.Ф. Бабков. - М. : Транспорт, 1980. - 189 с.
4. Дзенис, П.Я. Пространственное проектирование автомобильных дорог. / П.Я. Дзенис, В.Р. Рейнфельд. - М. : Транспорт. - 120 с.
5. Елугачев, П.А. Опытное трассирование автомобильной дороги с использованием пространственных кривых Безье / П.А. Елугачев // Электронный журнал «Исследовано в России». - 96. - 915-922. - 2006. http//zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/096.pdf
6. Эшаров, Э.А. Пространственное трассирование автомобильных дорог: Аспекты математической реализации / В.Н. Бойков, Б.М. Шумилов, П.А. Елугачев [и др.] // Экологические проблемы в транспортно-дорожном комплексе: сб. науч. тр. / МАДИ (ГТУ); УФ МАДИ (ГТУ). - М., 2005. - С. 63-75.
7. Бойков, В.Н. Актуальность метода пространственного трассирования автомобильных дорог / В.Н. Бойков, П.А. Елугачев, П.С. Крысин // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - № 1. - 2006. - С. 145-149.
8. Проблемы описания протяженных объектов криволинейного очертания на примере трасс автомобильных дорог в ГИС и САПР / П.А. Елугачев, Э.А. Эшаров, В.Н. Бойков [и др.] // Сборник научных материалов 3 Всероссийской конференции молодых ученых: фундаментальные проблемы новых технологий в 3-м тысячелетии. - Томск : Изд-во Инта оптики атмосферы СО РАН, 2006. - С. 609-612.
9. AASHTO. A policy on geometric design of highways and streets. - American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 1990. - 1044 p.
V.N. BOIKOV, P.A. ELUGACHEV, B.M. SHUMILOV
SPATIAL TRACING OF HIGHWAYS FROM A POSITION OF MAINTENANCE OF VISUAL CLEARNESS AND SMOOTHNESS
The possibility of obtaining the visually clear and smooth lines of highways, with the use of spatial Bezier curve of 5 degree is analyzed. The research of torsion of line was carried out. Combinations of scheduled and profile radiuses at which the line turns out visually clear are received. Comparison of a traditional method of tracing and Bezier method is performed. Efficiency of use of Bezier curves from a position of reception of visually clear lines is shown.
