Пространственно-трехмерная модель и разностная схема расщепления для задачи движения многокомпонентной воздушной среды в приземном слое с учетом насаждений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531 ББК 22.2

И. В. Яковенко

ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ И РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ С УЧЕТОМ НАСАЖДЕНИЙ

Аннотация. В статье представлена пространственно-трехмерная математическая модель процесса движения многокомпонентной воздушной среды в приземной слое для прибрежной зоны, учитывающая наличие зеленых насаждений. Данная модель необходима для последующего моделирования распространения загрязняющих примесей в воздушной среде прибрежной зоны. Кратко рассмотрена схема расщепления по физическим процессам (метод поправки к давлению) и расщепления на двумерную-одномерную модели (локально-двумерная схема) для уравнений движения воздушной среды, в отсутствие градиента давления. Данный подход позволяет уменьшить вычислительные затраты для численного решения сеточных уравнений диффузии-конвекции (движения), обладающих различными спектральными свойствами операторов задачи для горизонтальных и вертикального направлений, а также сократить время выполнения операций обмена информацией межпроцессорных обменов при моделировании на многопроцессорных системах.

Ключевые слова: приземная аэродинамика, пространственно-трехмерные модели, многокомпонентная среда, схемы расщепления.

I.V. Yakovenko

SPATIAL-THREE-DIMENSIONAL MODEL AND FINITE-DIFFERENCE SCHEME OF SPLITTING FOR THE PROBLEM OF MOTION OF MULTICOMPONENT AIR POLLUTION IN THE ATMOSPHERIC SURFACE LAYER SUBJECT TO THE PLANTINGS

Abstract. 3 D mathematical model has been presented in given article for multicomponent air medium diffusion-advection process in near the earth surface layer, which takes into account presence of green plants (trees etc.). Difference scheme has been constructed on the basis of pressure correction method, splitting method for diffusion-advection problem on Cartesian coordinates in 2D and 1D tasks, which is perspective for parallel realization on multiprocessor systems.

Key words: near the earth air-dynamics, splitting finite-difference scheme, multi-component environment.

Математические модели процессов движения многокомпонентной воздушной среды являются базовыми для прогноза распространения загрязняющих примесей в прибрежных зонах[1,2]. Эти районы вблизи крупных водных объектов, с одной стороны, являются рекреационными зонами, а с другой стороны - районами интенсивной хозяйственной деятельности, в которой, как правило, имются развитая транспортная инфраструктура и промышленное производство, являющиеся источниками загрязнения воздушной среды. Ранее рассматривались пространственно-двумерные модели движения многокомпонентной воздушной среды, учитывающие наличие зеленых насаждений [3-5]. Дальнейшее уточнение данных моделей требуется, когда необходимо учитывать пространственно-трехмерный характер зеленых насаждений и сложную геометрию граничных поверхностей, например, берега водоема. При численном моделировании пространственных процессов движения воздушной среды уже достаточно давно применяется методология расщепления по физическим процессам (метод поправки к давлению) [1,5]. Наряду с этим подходом весьма плодотворным является расщепление по геометрическим направлениям. Предполагая, что 3D модели в дальнейшем будут реализовываться для решения прогностических задач в ускоренном масштабе времени с использованием многопроцессорных вычислительных систем, в работе применяется расщепление задач диффузии - конвекции на цепочку двумерной и одномерной задач, приводящих к классу двумерных схем расщепления с пониженными затратами на выполнение операций обмена информацией между процессорами [6].

Рассмотрим трехмерную модель распространения примеси в воздушном слое. Основными уравнениями динамики воздушной среды, как известно [1,5,7], являются: 1) система уравнений Навье-Стокса:

Ь / ,ч' ( / л' 2вт

ги[ + иги'х + уги'у + wsw^ =-- (sp )'x + (| н ги'х )'x + (| н ги y ) y + (| v sw^)' ——x

(l)

1 г г ' г 2ВТ

ву; + ^ + гс^ + ^ = — (гР) ' у +(дн <) ' х +(дн в^) у + V ^) ' у

\ /у V н х> х V н у/ у V V г/ г 1 р у 1 (2)

2гт,

^+игмх+уг <+<=-1(гр) 'г н гмх) ' хнг м у) Vг <) ' г —I2

р у 1 (3)

2) уравнение неразрывности:

гр;+(гРи)' х+(гру) ' у+(грм) ' г =(г^р х) ' х+(г^р у) у+(г^р г) ' гVг <)' г+г ^ (4)

3) уравнение состояния:

т р-

Р = (5)

г М

где г - параметр, характеризующий относительную величину свободного от зеленых насаждений объема,

ц=ц(г, пт) - коэффициент турбулентного обмена, зависящий от проницаемости видового насаждения, задаваемого параметром пт , {тх, ту, т2} - составляющие вектора тангенциального напряжения на поверхности насаждений, I - среднее расстояние между отдельными насаждениями, р{ -плотность г-той компоненты воздушной среды (г = 1,2,.. .к),

Мг - молярная масса г-той компоненты воздушной среды (г = 1,2, .к),

Я - универсальная газовая постоянная, Т - температура среды.

Предполагая, что воздушная среда изначально находится в состоянии покоя, начальные условия будут следующими:

и = 0; V = 0; м = 0; Р = Ра, (6)

где и = (иу,м>) - компоненты вектора скорости воздушной среды,

Ра - атмосферное давление.

Система уравнений (1) - (4) рассматривается при следующих граничных условиях. На непроницаемой границе условия имеют вид:

Рdr^uП = тХ,Ь; РdЛvn = ту,ь; РwлЧ = т^ ; (7)

на боковых проницаемых границах:

дР Л ди Л

— = 0; — = 0, (8) дп йп

на источнике выбросов граничные условия описываются следующим образом:

и = и8; V = ; м = , (9)

где и = (иу,м>) - компоненты вектора скорости воздушной среды, Рd -плотность взвеси, р -плотность воды,

г w

тХ ь, ту ь, т2 ь - составляющие касательного тангенциального напряжения, Р-давление,

п - вектор нормали на проницаемой границе (граничной поверхности),

(и^, У8, ^ ) - компоненты вектора скорости на источнике.

Тангенциальное напряжение на поверхности растительного покрова рассчитывается в соответствии с формулами:

Тх = РаСр (|)

^uw

W

(10)

Ту = РаСр (|^|) = РаСр (|)

V.,

W

(11) (12)

где W = (и№ ,Vw ,Ww ) - вектор скорости ветра (воздушного потока вне объема, занятого насаж-

дениями),

ра - плотность атмосферы,

Ср ( W ) - безразмерный коэффициент, определяемый следующим образом:

ср (I

[0,0088, <6,6м/сек 0,026, Ы > 6,6 м/сек

Будем использовать расщепление по физическим процессам (на первом этапе в форме метода поправки к давлению) и расщепление сформулированных на первом этапе трехмерных задач диффузии-конвекции на цепочку двухмерных-одномерных задач [1,5,6]. Предполагается, что построена временная сетка:

WТ = и-т,п = 0,1,2,...^; N. • т = т},

где Т - моделируемая длительность процесса распространения загрязняющих веществ.

Наряду с основной сеткой МТ будем использовать сетку , которую можно формально

рассматривать как множество МТ, дополненное узлами 1 ^ = (п+—)т, и = 0,1,2..., Nт _ 1.

п+— 2

2

Физические величины (компоненты вектора скорости, давления, плотность) относящиеся к

вспомогательным узлам 1 ^ будем обозначать символом «~» над ними; те физические величины,

п+— 2

которые рассматриваются на верхнем временном слое, будем обозначать символом «л» над ними;

и, наконец, для физических величин, рассматриваемых на нижнем временном слое 1п, никаких

дополнительных обозначений использовать не будем.

Таким образом, имеем систему уравнений, описывающую задачу I:

~(1) и -и

( V (

+ ив(и(1)) + vs (и(1)) = цн в(и(1)) + цн в(и(1))

,, V

V х V

2вт

(13)

V(1) -V

+ и 8

, V (

( V(1))' + Ц V(1))' = (Цн 8( V(1) )' I + (цн 8( V(1))

' V 28!.

V х V

(14)

(1)

+ и8(#(1)) + V8 () = Цн 8(#(1)) + Цн 8(#(1))

, Л' г

^ V

V х V

28!,

(15)

и(2) -и(1) Г ......V

ц.

(и<2))

/ 2

(16)

V(2) -V(1) ( ......V

!

ц.

V

.(V»)

/ 2

~(2) ~(1) ( . V

8-

!

ц.

V

(^)

/ 2

(17)

(18)

I

!

У

У

I

I

У

У

I

!

У

У

8

!

8

Задача II в соответствии с методом поправки к давлению запишется в виде:

S PP+{ZPÜ x ^^ У +(SP# )'z = RMTht ^ )'x +(SPz' )'y +(SPz' )z ) (19)

Системы разностных уравнений диффузии-конвекции (13-15), а также (19), являющихся наиболее вычислительно трудоемкими для рассматриваемой дискретной модели, предлагается численно решать попеременно-треугольным методом (ПТМ) [8], базирующимся на усовершенствовании адаптивного ПТМ [9], предложенном в работах [10,11] и подтвердившем свою эффективность при параллельном численном решении различных физических задач [12,13].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Марчук, Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. -М.: Наука, 1982. - 320 с.

2. Алоян, А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. Курс лекций. - М.: ИВМ РАН, 2002. - 201 с.

3. Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды // Известия ЮФУ. Техн. науки. - 2013. - № 4. - С. 15-20.

4. Чистяков, А.Е., Хачунц, Д.С. Задача движения многокомпонентной воздушной среды с учетом парообразования и конденсации // Известия ЮФУ. Техн. науки. - 2013. - № 4.- С.87-98.

5. Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С., Чистяков, А.Е. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны и ее программная реализация // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55. - № 7. - С. 1238-1254.

6. Сухинов, А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. Монография. М.: МАКС пресс, 2005. - С. 407.

7. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Шишеня, А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. - № 11. - С. 53-64.

8. Самарский, А.А., Николаев, Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

9. Коновалов, А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловли-вателем // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 953.

10. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24.- № 1.- С. 3-20.

11. Сухинов, А.И., Шишеня, А.В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 11.- С. 20-32.

12. Антонов, А.С., Артемьева, И.Л., Бухановский, А.В., Воеводин, В.В., Гергель, В.П., Демкин, В.П., Коньков, К.А., Крукиер, Л.А., Попова, Н.Н., Соколинский, Л.Б., Сухинов, А.И. Проект «Суперкомпьютерное образование»: 2012 год // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. - 2013. - № 11. - С. 12-16.

13. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Тимофеева, Е.Ф., Шишеня, А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.

УДК 519.6: 681.3

Д. Е. Перелома

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ СРАВНЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАЗНОСТНЫМИ МЕТОДАМИ

Аннотация. Выполнено сравнение точности компьютерной реализации известных разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и итерационного уточнения компьютерного метода варьируемого кусочно-полиномиального приближения решения той же задачи. Последний метод реализован с различными алгоритмами формирования невязки для определения степени интерполяционного полинома и количества подынтервалов на текущем отрезке приближения, выполняется динамическая коррекция начальных значений, при этом метод дает непрерывное и непрерывно дифференцируемое приближение решения. По сравнению с явными методами Рунге-Кутты высшего порядка достигается преимущество в точности приближения на 2-3 десятичных порядка и выше.

Ключевые слова: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, компьютерная реализация разностных методов, варьируемое кусочно-полиномиальное приближение, сравнение точности приближений.