CC BY
20
Nx-1
Вычислим X ( qo ) Ld ,5 (с )
i=1
N -1 N -1 ( с - с ) ( с - с )
X ( qo )л, ( с)=X ( )i M - м-)1^+( q21 ( M'- M
i=i i=i
Nx -1 ^ \ Nx-2
= X(q,)i(M - аГ)Ц^ + X2(?2)i (a"- a-,)-(с- с"}
i=1 i=0
Nx -1
12 t0w2/'г -1/ 12
= X(q,)i (M - =X(q2)i MM)f - X(q, ) (M - M)f=
i=1 i=2 v i=1
Nx
( qo ) мш*" 2'
i=2
= -X( qo )i MïxJ1Ч /6
N -1 5 N,-1
Из выражения Х( Чо ( С ) = ХХ( Ч0 ] ( С ) = 0 следует, что оператор ¿=1 ' ]=1 ¿=1 ' диффузионного переноса, полученный на основе схем повышенного порядка точности, не изменяет суммарное количество вещества, и, следовательно, является консервативным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский, А. А., Николаев, Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 532 с.
2. Самарский, А. А., Гулин, А. В., Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.
3. Никитина, А.В., Семенякина, А.А., Чистяков, А.Е. Параллельная реализация задачи диффузии-конвекции на основе схем повышенного порядка точности // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2016. № 7 (145). - С. 3-8.
4. Семенякина, А.А. Схемы повышенного порядка точности для задачи диффузии-конвекции // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование. 2013. № 4 (15). - С. 18-29.
5. Семенякина, А. А., Хачунц, Д. С., Кузнецова И.Ю., Проценко С. В., Никитина А. В. Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности / Семенякина А. А., Хачунц Д. С., Кузнецова И.Ю., Проценко С. В., Никитина А. В. // Инженерный вестник Дона. 2015. №4. - 51с.
6. Проценко, С.В., Кузнецова, И.Ю., Семенякина, А.А. Точность разностных схем второго и четвертого порядков погрешности аппроксимации для решения задачи диффузии-конвекции. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: «Новейшие достижения в науке и образовании: отечественный и зарубежный опыт»: в 2-х частях. 2015. - С. 49-52.
7. Сухинов, А.И., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. 2015. Т 16. № 3. - С. 328-338.
8. Sukhinov. A.I., Chistyakov. A.E., Protsenk, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs/ Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Т. 6. № 4. - С. 351-363.
И.В. Яковенко
ПЕРЕХОД К ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ ДВИЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ С УЧЕТОМ НАСАЖДЕНИЙ
Аннотация. В статье представлена математическая модель процесса движения многокомпонентной воздушной среды в приземной слое для прибрежной зоны, учитывающая наличие зеленых насаждений. Кратко рассмотрен переход к двумерной модели для уравнений движения воздушной среды, в отсутствие градиента давления. Данный подход позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты для численного решения сеточных уравнений диффузии-конвекции (движения) и сократить время выполнения операций обмена информацией межпроцессорных обменов при моделировании на многопроцессорных системах.
Ключевые слова: приземная аэродинамика, пространственно-трехмерные и двумерные модели, многокомпонентная среда.
I.V. Yakovenko
THE TRANSITION TO A SPATIALLY TWO-DIMENSIONAL MODEL IN THE PROBLEM OF
MOTION OF MULTICOMPONENT AIR POLLUTION IN THE SURFACE LAYER TAKING
INTO ACCOUNT SPACES
Abstract. The article presents a mathematical model of the process of movement of multicompo-nent air pollution in the surface layer for the coastal zone, taking into account the availability of green spaces. Briefly discussed the transition to the two-dimensional model for the equations of motion of the air environment, in the absence of a pressure gradient. This approach significantly reduces the computational cost for the numerical solution of the difference equations of diffusion-convection (movement) and reduce the execution time information exchange interprocessor exchanges in the simulation on multiprocessor systems.
Key words: surface aerodynamics, spatially three-dimensional and two-dimensional models, mul-ticomponent environment.
Воздушная среда представляет собой сложную систему. Состояние воздушной среды является нетривиальным в силу сложности описания свойств и формы городского рельефа и таких факторов как температура, влажность и плотность воздуха, подвижный турбулентный характер атмосферы и т.д. Все эти факторы необходимо учитывать при проведении наблюдений, а в дальнейшем и для оценки и прогноза изменений состояния атмосферы. Универсальная математическая модель с соответствующей программной реализацией для описания и решения подобных задач еще не построена. В данной статье представлены основные моменты построения пространственно-трехмерной модели и сведение ее к двухмерной.
Опираясь на закон сохранения массы к жидкости, протекающей через фиксированный бесконечно малый контрольный объем, можно записать уравнение неразрывности:
dp d(pu) d(pv) d( pw) d
— + ——- +——- + —-- = —
dt dx dy dz dx
dp V— V dx У
+
d dy
dp V— V dy У
+
d dz
dp V— V dz У
+1
p
(1)
где р - плотность воздушной среды. Из второго закона Ньютона запишем уравнение для количества движения:
dv д
p
dt
= pg +
П
dX;
I}'
(2)
где g - ускорение свободного падения, П } - тензор напряжений.
и
Для газов и жидкостей, подходящих под определение сплошной средой, справедливо: напряжение в некоторой точке линейно зависит от скорости деформации жидкости. Известно, что общий закон деформации, связывающий тензор напряжений с давлением и компонентами скорости, представляется в виде:
Пу =-р8у + 2 }^ , ',■ = 1,2,3,
3 3 I,} 3 дх1
где 8} - символ Кронекера, д - коэффициент турбулентного обмена.
и
Преобразуя уравнения (2) и (3), получаем уравнение движения (Навье-Стокса):
dvJ
1 dp d
---+ —
dt p dx dx
d
V — v
Л
dx J У
d
dy
d
V— v
Л
dy J у
d dz
d
V — v
dz
Л
J
Si
(3)
(4)
где V} - проекции компонентов скорости на оси Ох},}=1,2,3.
Система (4) обязательно рассматривается при заданных начальных и граничных условиях. В начальный момент времени скорость равна нулю
V (V, х, у, z ) = 0. (5)
Граничные условия: - на нижней поверхности
pVVn(t, x ^ z )
(x, y,z )еГ
= -г, Vn (t,x,у,z)
(x, y,z )еГ
p'n(t,x, У,z )|
= 0,
(x, у, z )еГ
= 0;
(6)
+
+
- на верхних и боковых границах
,х,у,-)|(x,у,г)еГ = ^ (,x,у,-)1(X,у.-)еГ = ^(,хУ,-)■
Р'«(,Х, у ,-1 х, у, - )еГ = (7)
1( х, у, г )еГ
где Vn - нормальная составляющая вектора скорости, V° - значение вектора скорости на верхней
и боковых границах расчетной области, п - внешняя нормаль к граничной поверхности.
В процессе соприкосновения поверхности жидкости с ее паром при конкретной температуре устанавливается равновесное давление пара, определенное для каждой жидкости и называемое давлением насыщенного пара. Даже бесконечно малое изменение давления пара над поверхностью жидкости будет приводить к конденсации пара на этой поверхности (в случае увеличения давления) или вызывать испарение жидкости с ее поверхности (в случае уменьшения давления). Зависимость давления пара от температуры описывается формулой Менделеева-Клапейрона в виде:
Р = 2 -рLRT , (8)
где рI = тI / VI - плотность, V, = т, / М,, т - масса, М - молярная масса, Я - универсальная
газовая постоянная, Т - температура.
Дифференцируя уравнение состояния (1.8), получаем уравнение состояния в виде:
др р дР р дТ
— =-----. (9)
дг Р дг Т дг
Известно, что атмосферные движения в пространственных масштабах меняются от мелких вихрей до движения крупных воздушных масс. Масштабы некоторых процессов приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Пространственные масштабы атмосферных движений
Явления Масштаб (км)
Загрязнения городского воздуха Региональное загрязнение воздуха Кислотные осадки Загрязнения воздуха токсичными веществами Разрушение стратосферного озона Увеличение парниковых газов Взаимодействие аэрозоль - климат Процессы переноса и окисления в тропосфере Стратосферно - тропосферный обмен Процессы переноса и окисления с стратосфере 1 - 10° 1° - 1°°° 10° - 2°°° °.1 - 1°° 1°°° - 4°°°° 1°°°° - 4°°°° 1°° - 4°°°° 1 - 4°°°° °.1 - 1°° 1 - 4°°°°
Наибольшее разнообразие масштабов характерно для пространственных движений газовых примесей и аэрозолей. Поэтому при решении конкретных физических задач в зависимости от пространственно временных масштабов исследуемых процессов необходимо выбирать не только соответствующие гидродинамические модели, но и модели трансформации газовых примесей и аэрозолей.
Любые движущиеся вихри, смешиваясь с окружающей средой, осуществляют перенос вещества. Уравнение транспорта примесей можно представить в виде:
дф дф
+ и -
дг
дх
+ (м - )
дф д дг дх
д
н—ф
V дх У
д
ду
д
н — ф V дУ У
д
дг
или
д
н—ф
V дг У
+1
(1°)
+
+
Сф дф д
- w,
dt
0
дг дх
д
н—ф V дх У
д
дУ
д
н—ф V дУ У
д
дг
д
н — ф V дг У
+1
(11)
где wQ - скорость осаждения, I - функция, описывающая распределение и мощность источников примесей.
Учитывая переход воды из жидкого состояния в газообразное и обратно, а также осаждение взвешенных частиц в процессе транспорта примесей, уравнения транспорта загрязняющих веществ в многокомпонентной воздушной среде можно записать в виде:
Г Л * Г \ -Г - Л
д
dфQ д
dt дх
dфl д
ск дх
д
н—ф0
V дх У
д
н—ф
V дх У
+
дУ д
+ -
дУ
Сф2 д
dt дх
д
н—ф0
V дУ У
д
Н — ф\
V дУ У
г
д
+
дг
+ -
дг
д
н—ф0
V дг У Л
д
Н—ф\ V дг У
+ -
Рг,
д
Н — ф2 V дх У
д
дУ
д
Н — ф2
V дУ У
д
дг
д
Н — ф2 V дг У
(12)
сф4 dt
дф4
- Wp
Сфз дфз д
--^-= —
dt дг дх
Г
д
+
д
н—фъ V дх У
д
ду
д
дг дх
д
Н — ф4
V дх У
д
дУ
д
Н — ф4
V дУ У
д
Н — фъ V дУ У /
д
дг
д
Н — фъ V дг У
Рз
д
дг
д
Н — ф4 V дг У
где = / (рг - Р1) - массовая скорость испарения, рг - плотность насыщенных паров.
Граничное условие для системы (12) имеет вид:
(ф )и (/,х, у,г)
(х, у,г )еГ
= 0 .
(13)
Скорость загрязняющих веществ определяем с учетом действующих на них сил трения и гравитации:
- g (ф3Р3+ф4 Р4 )=0
или
П) =
(ф3Р3 + ф4Р4) = ws■ I1 +
Р3ф3 Р4ф4
(14)
где ws - скорость осаждения сажи.
Так как примеси обладают температурой, систему (12) необходимо дополнить уравнением теплопроводности, описывающим процессы транспорта тепла и теплообмен:
dQ дQ д
"0
дг дх
дQ н—
V дх У
д
дУ
дQ н— V дУ У
д
дг
дQ н —
V дг У
дх
Г дГЛ 2 —
V дх У
дУ
2 — V дУ У
дг
Г дГЛ 2 —
V дг У
+1,
(15)
где WQ - скорость осаждения взвешенных частиц, 2 - коэффициент теплопроводности, I -функция, описывающая распределение и мощность источников тепла, Q - тепловая энергия.
+
+
д
у
8
+
+
+
+
+
+
+
+
д
д
д
+
+
+
Учитывая многокомпонентность рассматриваемых сред, для коэффициента теплопроводности и для тепловой энергии справедлива следующая формула:
Q = 2 ^ф< =2 р1с1ф,Т. / /
(16)
Уравнение транспорта тепла, в зависимости от рассматриваемой ситуации, может быть представлено в различных формах. Для задачи транспорта тепла в многокомпонентной воздушной среде следует рассматривать два случая: - транспорт тепла для газа:
(,1р срф) ^=дх [( 1°(р ср|Н+*ф ^'+
л
д
ду
р срф) ^=дх VII(р ср'н+* Ь)
(, 2° ( р ср<н + * )ф )дУТ 1 + ^ (р ср<н + * )ф )
д
—Т дг у
+^
1 (Т - Т ),
(17)
где V^ - массовая скорость испарения, р, ср - плотность и теплоемкость газовой фазы, ^ -
удельная теплота парообразования, Т, Т: - температура газовой и конденсированной фаз, ау -коэффициент теплопередачи;
- транспорт тепла для конденсата:
Г
, 23 р
dT„
dt
дТ
дг
ду
(, ?3 Рсргфн)
д
Л
сп1ф1Н\ — ^
ду У
дг
(, ?3 Рсргфн) (, 23 Рср<фн)
д
Л
сп1ф1Н\ — ^
дх У
Л
сп1ф1Н} — ^ дг у
+ а
■ (Т - ) =
(18)
где ср¡, ф-, р, - удельные теплоемкости, объемные доли I -ой фазы и истинные плотности, Т, TS -
температура газовой и конденсированной фаз.
В задачах притока тепла возможно два типа граничных условий: в соответствии адиабатическому и изотермическому режимам. Для уравнений переноса тепла (17), (18) граничное условие имеет вид:
ТП (г,х,у,гх,у,г)еГ = °.
(2°)
При этом начальные условия для задачи переноса тепла в приземном слое атмосферы записываются с обязательным заданием фонового распределения температуры:
Т ( г,х, у, г ) = Т° .
Вернемся к рассмотрению исходных уравнений гидродинамики: - уравнение Навье-Стокса
(21)
иг + иих + VUy + =--
р
^ + Шх + УУ у + = -
1 Рх + (ни'х ) 'х +(ниу ) у + (К ) 'г + /х , 1РУ + (К У х + Н )' у +(К У г + /
(22)
+ им>х + УМ у + =--
р
1Р +(нм'х У х +(нму ) ' у +( У г + / ;
- уравнение неразрывности (транспорта вещества)
+
+
+
- м
д
д
+
+
Рг + м ' х + (р ' У +(wр) ' г =(нрх ) ' х +(нрУ ) У +(нр'г ) ' г + 1 р. (23)
Для построения дискретного аналога гидродинамических процессов применяем метод дробных шагов, т.е. модель разбиваем на две подзадачи [1]. Первая задача описывается уравнением диффузии - конвекции
—— + ии'х + уы'у + ^'г =(ни'х ) х + (ниУ ) у + (ни'г ) г + /х,
^+иух + ууу+муг = (нух) ' х+(нуу) у + (нуг) ' г + /у,
(24)
w - w
h,
г
+и^х+™у+™г =(нwx) х+(нwу) +(нwг) г + /г.
Система уравнений (24) позволяет вычислить поле скоростей на промежуточном временном
слое.
Вторая задача — это расчет распределения скоростей на следующем временном слое с учетом давления:
и - и
1
р
= — р' 1х-
У - У 1
-=--Р'
У'
И
1 - W 1
—=- рг.
г
р
К
г
р
(25)
Умножая систему уравнений (25) на И.р и дифференцируя по переменным х, у, г соответственно, получаем:
И'х =М'х - ^ М'у = М'-¥Уу, ( р1 ) ' г = И'г - ИРгг •
Подставим систему уравнений (26) в уравнение (23), получаем:
(26)
р.г
г + (ри)'х - ЪРхх + (ру) 'у - ИгРУу + (р1) 'г -
- =
(нрх ) х +(нру ) +(нр'г )
г + У8 .
(27)
Учитывая выражение (9), уравнение (27) принимает вид:
р дР
р дТ
'--= Игрхх + ИгРУу + ИРг +--
Р дг ^ Т дг
(ри) х " (рУ) у " (р1) г +
(нрх) ' х+(нрУ) у+(нрг) ' г
г + У8 .
(28)
Уравнение (28) позволяет вычислить поле давлений. Следует отметить, что расчитывая значения давления, учитываются следующие характеристики: сжимаемость среды, тепловое расширение, источники вещества, связанные с переходом воды из жидкого состояния в газообразное и обратно, турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды. При расчете полей плотности вещества и температур источники, которые вызваны расширением или сжимаемостью среды, присутствует в операторе конвективного переноса.
Для получения нетрудоемких для вычисления дискретных моделей рационально переходить от трехмерных моделей к двумерным.
Рассмотрим трехмерное уравнение диффузии-конвекции:
др д(ри) д(ру) д(рм) д
— + ——- + ——- + —-- = —
д дх ду дг дх
и следующие граничные условия:
^ я Л
др
н—
V дх У
д ду
^ я ^
др
н— V дУ У
д дг
^ я Л
др
н—
V дг У
+1
р .
г
И
г
+
+
+
др
РН — = -г , дп
где г - параметр, описывающий наличие источника на боковых поверхностях, п - вектор нормали.
Интегрируя исходное уравнение по параметру у от уа до ув, , получаем:
уЬ др д(ри) д(ру) д(рн>)
уа
уЬ = 1 уа
дг ( . Г
дх
ду
Vдx V
н
др дх
У
ду
дг \
йу =
др н—
V ду У
дг
др н—
V дг.
+1
р
йу.
Преобразуем к виду:
др д(ери) д(ерм>) д ^
дх
в— + дг
дх
дг
др нв — V дх У
дг
др нв — V дг У
р
уЬ
+ в1
р
уа
где в - параметр, описывающий относительную величину объема, свободного от растений, н = н(в, пI) - коэффициент турбулентного обмена, зависящий от проницаемости и видового состава лесного насаждения, который задается параметром щ , 1=1,2,.L - общее количество видов, составляющих данное насаждение.
Отметим, что параметр в удобно использовать при моделировании движения воздушной среды в условиях присутствия лесных насаждений, городских застроек и т.д. При их отсутствии значение параметра принимается равным единице (в = 1), в результате чего из трехмерной модели получаем двумерную:
др д(ри) д(рм) д
дг
дх
дг
дх
др н— V дх У
д + —
дг
др н— V дг У
+1
р.
Заметим, что при построении дискретной модели информация об в будет храниться в коэффициентах, которые описывают степень заполненности ячеек сетки. Далее выполняется программная реализация полученной двумерной модели [1].
1. Яковенко, И.В.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК Пространственно-трехмерная модель и разностная схема расщепления для задачи движения многокомпонентной воздушной среды в приземном слое с учетом насаждений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2916. № 1. - С. 389-383.
Марчук, Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 326 с. Алоян, А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. Курс лекций. М.: ИВМ РАН, 2СС2.
- 2й1 с.
Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2°13. № 4. - 15-2° с.
Чистяков, А.Е., Хачунц, Д.С. Задача движения многокомпонентной воздушной среды с учетом парообразования и конденсации // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2°13. № 4.- С.87-98.
Сухинов, А.И., Хачунц, Д.С., Чистяков, А.Е. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны и ее программная реализация // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2й15. Т. 55. № 7.- С. 1238-1254.
Сухинов, А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. Монография. М.: МАКС пресс, 2СС5. - С. 4С7.
Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Шишеня, А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Математическое моделирование. 2С13. Т. 25. № 11. - С. 53-64. 9. Самарский, А.А., Николаев, Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 532 с. 1°. Коновалов, А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем // Дифференциальные уравнения. 2СС4. Т. 4С. № 7.- 953 с.
11. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. 2°12. Т. 24. № 1.
- С. 3-2°.
12. Сухинов, А.И., Шишеня, А.В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. 2°12. Т. 24. № 11. - С. 2°-32.
13. Антонов, А.С., Артемьева, И.Л., Бухановский, А.В., Воеводин, В.В., Гергель, В.П., Демкин, В.П., Коньков, К.А., Крукиер, Л.А., Попова, Н.Н., Соколинский, Л.Б., Сухинов, А.И. Проект «Суперкомпьютерное образование»: 2°12 год // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. 2°13. № 1-1. - С. 12-16.
14. Сухинов, А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня, А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Математическое моделирование. 2°12. Т. 24. № 8. - С. 32-44.
4
5
6
7
8
д
д
+
+
д
т
+
