Простое описание процессов динамической дифракции рентгеновских волн в кристаллах методом многократного рассеяния Текст научной статьи по специальности «Физика»

Простое описание процессов динамической дифракции рентгеновских волн в кристаллах методом многократного рассеяния

Ведринский Р.В. (vedr@ip.rsu.ru), Козырев В.Э., Новакович А.А.,

Гончар А.А.

Ростовский государственный университет

Для описания взаимодействия рентгеновского излучения (РИ) с кристаллами в традиционной теории динамической дифракции [1] вводится периодически зависящая от координат диэлектрическая проницаемость е(г) . Обоснование ее введения нетривиально

[2]. Кажется целесообразным развить новый подход к теории динамической дифракции, основанный на использовании атомной амплитуды рассеяния РИ, которая в отличие от диэлектрической проницаемости, зависящей от координат, имеет ясное и простое квантовое определение [3]. Эта задача, представляющая заметный методический интерес, решается в данной работе. Развитый подход оказался во многом проще традиционного.

Пусть РИ падает из области г < 0 на кристалл, бесконечный в плоскости х, у, границы которого лежат при г = 0 и г = Ь. Рассмотрение проводится для брэгговской дифракции, когда в кристалле есть две интенсивные волны: падающая с волновым

вектором к и отраженная с волновым вектором к' (рис. 1). Векторы к и к' связаны

соотношением: к ' = к + £, где £ - вектор обратной решетки, обусловливающий

рассматриваемый рефлекс. Электрическое поле РИ Е(г) в любой точке Г в кристалле

складывается из электрических полей этих волн: Е (г) = Е1(г) + Е2(г), где

Ех (Г) = Ех (г) exp(/kr ), Е2 (Г) = Е2 (г) exp(/k Г). В рентгеновской области частот из-за малости диэлектрической восприимчивости кристалла с высокой точностью можно считать, что: Е1 (г) ± к, Е2(г) ± к'.

Волна Е:(Г) формируется из первичной волны е(0) exp(¿kг) и двух наборов расходящихся волн, возникающих за счет рассеяния атомами в области У1 волны Е±(Г') (Г' с У) в направлении «вперед» и волны Е2(Г') (Г' с У1) с передачей

фотонам импульса (- g ). В свою очередь в волну ^(r) дают вклады только два набора расходящихся волн, возникающих за счет рассеяния атомами в области V2 волны E 2(r') (Г 'с V2) в направлении «вперед» и волны Ej(r') (r 'с V2) с передачей фотонам импульса g. Нетрудно понять, что в ходе таких процессов рассеяния возникают расходящиеся волны, складывающиеся «в фазе» в точке r и дающие, тем самым, заметные вклады в Ej(r) и E2(r). Другие процессы рассеяния РИ в кристалле дают ничтожно малые вклады, что обусловлено с одной стороны малостью атомных амплитуд рассеяния РИ, а с другой - хаотичностью фаз расходящихся волн, возникающих при таких процессах рассеяния.

Для определения атомной амплитуды рассеяния РИ введем два набора ортонормированных векторов: {е<а1)}, (e(i1),е®) = Saß, е® ^ k и

{е((2)}, (е^,е|з2)) = Saß, е^ ^ k'. Пусть векторы е1(1) = е1(2) перпендикулярны

плоскости рассеяния, а векторы е®, е^2" лежат в этой плоскости. Волны E1(r) и

E2 (r ) можно представить в виде суперпозиций волн с введенными единичными амплитудными векторами:

E 1(r ) = 2 са1)(г ) е<( exp( ikr )

а

(1)

E2 (r ) = 2 са2)(г) е¿2) exp( ik 'r )

а

(1 2)

где коэффициенты Са (г) медленно меняются с изменением г.

Плоские волны, фигурирующие в правой части (1), рассеиваются атомами. В результате их рассеяния атомом, находящимся в точке Тт = Гп + Г5, где Гп - координата

п-ой примитивной ячейки, Г$ - координата 5-ого атома в ячейке, возникают расходящиеся волны, которые в точке Г , далекой от рассеивающего атома, имеют вид:

2 4 )(0) ?<1)exp( ikfn,) • eXp. !k|rr" i"', r„, с V1 (2.1)

r — r

a ns\

exp ik | r —

2/<!•(—g)е^') exp( ik'гш ) .^MnH, ^ с V, (2.2)

1 V _ V

r

ns

(2)

exp ik| r —

2 /Ц)(g)е0(2) exp( ikrns) ^ : — . f'. ?ns с V2 (2.3)

r—r

а | ns |

2/#(0)42)exp(ii'?„) • exp^■ ?ns с V2 (2.4)

r—r

а ns

где расходящиеся волны (2.1) и (2.3) возникают в результате рассеянии волны

е® ехр(/кг), а волны (2.2) и (2.4) - волны еа2) ехр(/к'г), /^(д) - тензор амплитуды

рассеяния РИ атомом типа 5 в кристалле, q - переданный импульс. Понятно, что от номера ячейки атомная амплитуда рассеяния не зависит. Отметим также, что у всех расходящихся волн волновое число равно к, а не к', поскольку эти волны сохраняют свой вид и за пределами кристалла, где по закону сохранения энергии волновое число должно быть равным своему начальному значению.

а

Тензор /0(р) (Я) несколько необычен, так как его индексы а, в пробегают только

по два значения, нумерующие векторы на плоскостях, перпендикулярных конечному и начальному волновым векторам. Этот тензор связан с традиционным тензором атомной

амплитуды рассеяния /^(д) [3] (где индексы г, ] - трехмерные векторные индексы)

соотношением:

где ер > еа

/ц )(Я)=1 (^а2)) / * чд)е(1)) j

г, ]

(1) г (2)

(3)

введенные выше векторы, образующие ортонормированные базисы на

плоскостях, перпендикулярных начальному и конечному волновым векторам. С учетом (1) и (2), принимая во внимание сказанное выше, получим:

Е1 ( г ) = ^ ^ 2) (г) еа1) вх^ гкГ) = е(0) вх^ гкГ) +

г(1)

(0)

Е с(1)(гт )/§)(0) гкгп*)

exp гк |

г - г„

+

п, * сУ1 ,а,(

Е с(2) (гш ) /а(() (- £) е <а1) exp( гк 'гт)

г-г

I ' и

•( *)

(1)

exp гк |

г-г

п, * с У ,а,(

г-г

I ' и

(4)

Е2 (Г) = Е с£4г) е™ exp( гкГ)

(1)

Е с(2)(гш)/а(()(0) е((2) exp( гк Тт)

exp гк| Г -

+

п, * сУ2,а,(

Е с(1)(гт)/а(в)(£) е^^ гкгт)

г — г

I ' и

Ч *)

(2)

exp гк| Г -

г - г

I ' и

(5)

п, * сУ1 ,а,(

Так как волна Е1 (г ) на поверхности кристалла совпадает с падающей волной, то

(е®, е(0)) = . От векторных соотношений (4) и (5) с учетом этого легко перейти к

(1,2)

следующим соотношениям для коэффициентов с^ (г) , введенных в (1):

) = с« + Е с^Сг» )/Ц> (0)exp( -гк(? - ?„)) ■ ^ к Г - 1

п, * с У1, (

exp /к|

+

Г - Г,„

Е с(2)(гт)/ав)(-£)exp г(к^ - кг)

г - г

с

п, * с У1, (

Г - Г„

(6)

г) = Е с(2)(гш)/а(в)(0)exp(-/k'(r - гш)

exp гк|

г - г„

+

п, * с У2,в

г - Г

' ' л

Е св1)(гш)/а(в)(£)exp фш - к Г)

-(*)

exp гк|

г - г

• ' л

п, * сУ2,в

Г - Г

• ' л

а

а

77Л

ИЛ'

Суммарные фазы экспонент, фигурирующих в первой сумме в правой части (6), близки к нулю в области У1, что делает возможным переход в этом члене от суммирования к интегрированию. Аналогичная ситуация имеет место в области У2 в первой сумме в правой части (7). В то же время во вторых суммах в правых частях (6) и (7) суммарные фазы в рассматриваемых областях могут существенно отличаться от нуля. С учетом брэгговского условия (ехр(гйГп) = 1) преобразуем вторую сумму в правой части (6), учитывая, что вторая сумма в правой части (7) преобразуется аналогично:

I св2) )/V (-й) ехр г(к "п - кГ) • ехр !*|Г." ^ =

п, 5 С VI,в Г Г™\ (8)

^ (2) (5) - ехр 1к\Г - Гп

I св2) (^ )/¿) (-й) ехр( -гк (Г - тп5)) ехр( г ра) • Г 1 Г , п

г - г

'Р \¿■ns)J ав -

п,5| ' 'т

где учтено, что к' = к + й .

Поскольку фаза произведения экспонент ехр(-гк (Г - Гп5 ) • ехр гк| г - гп51 близка

к 0 в области У1, ее зависимостью от номера 5 атома в ячейке можно пренебречь, ввиду чего правую часть (8) можно представить в виде:

(2) ~ - ехр 1к\Г - Гп

I сР2)( ^ /р (- й) ехр( - гк (г - Гп)) • 1 п

п сГ) ,Р |Г Гп|

где /ар (-й) = I /0(р) (-й) ехр(гйг5 ) - тензор структурной амплитуды рассеяния.

аР ^ ° ' "

Проведя аналогичные преобразования также и в (7), получим:

(1) а 0

,(1)( )~ (0) ( гГ (г г )) ехр гк\Г - Гп\

с а1)( г)=с а +

I с^( ¿п) /ар (0) ехр( - гк (Г - Гп)) • -

п С У1, Р |Г Гп|

+

I св2) (^) /ар (- й) ехр( - гк (Г - Гп) • ехр 'к-Г. Г"'

п С У1, Р |Г Гп

(9)

с а2)( г)=

I св2) (¿п )/ар (0) ехр( - гк'(г - 7п)) • ехр /к-Г- Гп I +

п СУ2,Р \Г Гп\

I с^ (^) /ар (й) ехр( - гк '(Г - Гп)) • ехр Г"'

п сУ2,Р | Г Гп

Достаточно простые оценки показывают, что в областях, дающих основной вклад в суммы в (9), можно перейти от суммирования по ячейкам к интегрированию по объему. В результате возникает система интегральных уравнений:

с ачг)-с а +

ж-1 г (1) - , exp 1к\т - г '\ 3 , Е | с (1)( г') Faв (0)exp( - гк (г - г')) • -Ц—!-3 г' +

г - Г

V Г (2) ^ exp гк|г - 3 Е ] с( Чг )Рав (- £ ^^ -гк (Г - г )--■ ■ ■ ■■-1 d г

Г - Г

(10)

с а2)( г ) =

г (2) , exp 1к\т - г'I 3 ,

Е I с в2)( г' ) Рар (0^ - гк ' (г - г ' )) • У 1 ^ 3 г' +

( | Г - Гп |

г (1) , exp 1к\т - г'I 3 ,

Е I с <»( г' ) Рар (£ )exp( - гк ' (г - г ' ) • . 1 .. 1 d 3 г'

в

Г - Г

где Рар (д) = /а( (д)/ V - плотность тензора структурной амплитуды рассеяния, V -

объем примитивной ячейки. Хотя формально интегрирование в (10) ведется по объему кристалла, главные вклады дают области У1 в первом уравнении и У2 - во втором.

Проведя сравнительно простые, но достаточно громоздкие преобразования, можно выполнить в явном виде интегрирование в (10) по переменным х', у', что в пренебрежении малыми поправками дает: с!

а ) - сОс0 +

2 п г

г (

г ~ г

ЕЕ Р а( (0 ){ с в1 )(г' )dг' + ЕЕ Р<*р (- £ ){ с (2 )(г' )dг'

г в

(11)

0 • Ь

сI2)(г)= ^ЕЕ Р„р(0)/е-ги(г-г'Ц2)(г'& +

2 п г

Е FaP(g)1е-ги(г-Ц1 )(г-&

где № - , и=кг+^.

Величина ^ положительна и, поскольку к ~ к', она близка к |кг|, с другой

стороны в случае брэгговского отражения к'г < 0 , ввиду чего величина и мала.

Одномерные интегральные уравнения (11) легко решаются, так как после дифференцирования по г они становятся дифференциальными:

d с

(1)

2 пг

/

d г

¿42>

d г

V в

с

(2)

Е (0) с^ + Е Рав (- £)

в J

2 пг

w

\

Е Рар (0) с(2) +Е Рав (£) св1

V в в У

гис

в

в

в

в

г

Граничные условия для этих уравнений следуют из (11) и физически очевидны:

41}(0) = и ci2)( L) = 0.

Полученная система уравнений близка к системе, полученной другим способом в работе С. Такаги [4] и, тем самым, правильно описывает формирование волнового поля РИ в однородном кристалле в режиме динамической дифракции. В то же время развитый подход в отличие от подходов других авторов использует не методы электродинамики сплошных сред, а методы квантовой теории рассеяния, ввиду чего вводимые величины, имеют ясный квантовомеханический смысл. Предлагаемый подход дает также ответ на вопрос о том, почему поверхность кристалла, как правило, может считаться идеальной. В стандартном подходе для ответа на этот вопрос ссылаются на согласие расчета и эксперимента [1]. В рамках развитого подхода ответ на этот вопрос очевиден: падающая волна, попадая в кристалл, медленно меняется с изменением расстояния от поверхности кристалла, причем характерный масштаб перестройки падающей волны из-за малой величины атомной амплитуды рассеяния велик и он намного больше типичных амплитуд шерховатости поверхности кристалла.

Литература

1. З.Г. Пинскер Рентгеновская кристаллооптика, М. Наука, 1982

2. А.В. Колпаков, В.А. Бушуев, Р.Н. Кузьмин Диэлектрическая проницаемость в рентгеновском диапазоне частот. УФН, т. 126, с. 479, 1978

3. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский Квантовая электродинамика, М. Наука, 1980

4. Takagi S. Acta Crystall., v. 15, p. 1311, 1962