Промежуточные состояния между статикой и динамикой и сейсмическая эмиссия зернистых сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534-16, 550.34.013.4, 51-72

Промежуточные состояния между статикой и динамикой и сейсмическая эмиссия зернистых сред

13 12 13

Б.П. Сибиряков ' , Е.Б. Сибиряков ' , В.В. Карстен '

1 Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 2 Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Новосибирск, 630102, Россия 3 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия

Сейсмической эмиссией называют самопроизвольное излучение волн в пористой или трещиноватой среде. Зависимость этих явлений от параметров среды и структуры порового пространства, а также переход от медленных движений к быстрым в настоящее время не имеют объяснения. В работе предложено описание перехода от статики к динамике с помощью модели континуума с внутренней структурой, важнейшими параметрами которой являются удельная поверхность и пористость среды. Причина эмиссии в том, что равенство нулю сил, созданных внутренними напряжениями, имеет место лишь в среднем по представительному объему, а не в каждой точке среды. Показано, что модель континуума со структурой предсказывает эмиссию волн под действием статической нагрузки и дает оценку излучаемых периодов колебаний. При этом характерные периоды колебаний не зависят ни от характерного времени разрушения частиц, ни от времени воздействия нагрузки.

Ключевые слова: структура порового пространства, удельная поверхность, микронеоднородные среды

DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_2_93-101

Intermediate states between statics and dynamics and seismic emission in granular media

B.P. Sibiriakov1,3, E.B. Sibiriakov1,2, and V.V. Karsten1,3

1 Trofimuk Institute of Petroleum-Gas Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 2 Siberian State University of Telecommunications and Information Science, Novosibirsk, 630102, Russia 3 Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia

Seismic emission is the spontaneous emission of waves in a porous or fractured medium. There is still no explanation for the dependence of these phenomena on the parameters of the medium and the structure of the pore space, as well as for the transition from slow to fast movements. The paper proposes a description of the transition process from statics to dynamics using a model of structured continuum with an internal structure. The most important parameters of the model are the specific surface area and porosity of the medium. The reason for the emission is that the forces caused by internal stresses are only on average equal to zero over a representative volume, being different at each point of the medium. It is shown that the model of a structured continuum predicts the emission of waves under static load and gives an estimate of the emitted oscillation periods. In this case, the characteristic oscillation periods depend neither on the characteristic time of destruction of particles, nor on the loading time.

Keywords: pore space structure, specific surface, microheterogeneous media

1. Введение

Явление сейсмической (акустической) эмиссии известно достаточно давно. В работе [1], на© Сибиряков Б.П., Сибиряков Е.Б., Карстен В.В., 2024

пример, оно объяснялось перестроением микроструктуры песка. В работе были отмечены кило-герцовые частоты. При этом был сделан вывод о

желательности построения математической модели, адекватно описывающей данные эффекты. В работах [2, 3] изменение параметров акустических импульсов обусловлено эволюцией состояния тонкого слоя геоматериала между блоками сплошной среды. Сейсмическую эмиссию обычно описывают в рамках модели сплошной среды [4]. Таким образом, структура порового пространства, с помощью которой пытались объяснить новые явления (кратные частоты, дискретность отдельных актов, усиление и ослабление эмиссии с помощью внешних источников [4]), не учитывалась ни в уравнениях равновесия, ни в уравнениях движения. Экспериментально установленное квантование (дискретные уровни энергии) актов эмиссии [5, 6] с помощью модели сплошной среды не объяснялось. Кроме того, временной диапазон воздействия внешней нагрузки на объем сыпучей среды очень велик, он может составлять секунды, минуты и даже часы [7]. Это говорит о том, что динамические явления сопровождаются процессами квазистатического равновесия. В то же время сплошная среда не может одновременно удовлетворять уравнениям движения и равновесия. Поэтому возникает проблема построения континуума более сложной природы, чем классический континуум Коши и Пуассона.

Проблема построения континуума, обладающего внутренней структурой, возникла после появления работ М.А. Садовского [8], где была установлена определенная иерархия структур горных пород. Развитие идей М.А. Садовского привело к появлению дискретных моделей динамического деформирования металлов и горных пород [9]. Однако наличие характерных размеров неоднородностей не всегда является препятствием для описания субструктур методами механики сплошных сред. Если среда состоит из материалов одного класса, у которых физико-механические параметры различаются в разы, но не на многие порядки, то модель сплошного тела может служить достаточно хорошим первым приближением. Если же среда состоит из материалов, упругие модули которых (или хотя бы один из них) отличаются на многие порядки (например твердый скелет и поры, заполненные жидкостью или газом), то приближение сплошной среды перестает быть адекватным. В механике сплошной среды предполагается, что близость точек влечет за собой близость всех свойств среды (напряжений, деформаций, электропроводности, температур и т.д.). Иначе среда перестает быть сплошной и

производные любого поля теряют смысл на границе раздела скелет-флюид. Модель сплошной среды, основанная на процедурах осреднения параметров, адекватно описывает процессы деформирования лишь в том случае, когда усреднение прямых и обратных параметров (например упругих модулей и податливостей) дает сопоставимые результаты. Контрастные микронеоднородные среды, содержащие флюиды, этим свойством не обладают. Отказ от модели сплошной среды требует описания структур методами интегральной геометрии, которая оперирует лишь с коллективными свойствами горных пород, такими как пористость, удельная поверхность, средняя и гауссова кривизна порового пространства. При этом реальная среда не предполагается сплошной, ее сплошной аналог строится методом переноса поля во все точки порового пространства. В кратком виде основные положения этого подхода к описанию среды были изложены в [10].

Основной целью данной работы является построение модели сейсмической (акустической) эмиссии, учитывающей параметры геометрии порового пространства и позволяющей описать переход от квазистатического процесса нагруже-ния к динамическому деформированию (излучению волн).

2. Операторы приведения к сплошному телу и уравнения движения

Основная идея построения модели заключается не в представлении реальной среды какой-то сплошной моделью, а в конструировании некоторой сплошной картины реальной породы, содержащей микроструктуры конечных размеров. Из интегральной геометрии известно, что удельная поверхность пор или трещин о0 связана со средним расстоянием 10 от трещины (поры) до ее ближайшей соседки равенством [10]

СЛ = 4(1 - /), (1)

где / — пористость образца. Одномерный оператор переноса поля из точки х в точку х ± /0 дается известным символическим выражением [11]

и( х ± /0) = и( х)в±/0°х, (2)

Вх 4, Р(Ох; /0) = е±/0О. их

В (2) Р(Ох; /0) — одномерный оператор переноса поля. Формальное разложение экспоненты в ряд Тейлора предполагает использование производных всех порядков для реализации операции пе-

Рис. 1. Элементарный блок зернистого и трещиноватого тела. 10 — средняя длина от поры до поры или от трещины до ее ближайшей соседки (цветной в онлайн-версии)

реноса. Если в точке х существуют производные всех порядков, то поле можно перенести в любую точку тела, в том числе в поры и трещины. С помощью таких операторов можно сконструировать подобие сплошной среды, заполненной полем в каждой точке скелета и порового пространства (рис. 1). При этом на рис. 1 справа показан плоский разрез матрицы, содержащей флюид (замкнутый контур). Среднее расстояние между двумя ближайшими центрами тяжести /0 связано с удельной поверхностью а0 формулой интегральной геометрии (1).

На рис. 1 (слева) отчетливо видна проблема равновесия для представительного объема среды (поверхность С) и отсутствие равновесия для непредставительного объема (поверхность D, где наличие сил, с одной стороны, соседствует с отсутствием аналогичных сил, с другой стороны). Поэтому процедура осреднения применяется к некоторому минимальному представительному объему, а не к каждой точке.

В трехмерном случае, в результате осреднения по сферическим углам 9, ф оператор переноса поля имеет вид [12]

i 2% %

P(DX, Dy, Dz; /о) = — J Jexp[/o(Dx sin9cosФ

4n

0 0

+ Dv sin 6 sin ф + Dz cos 6)] sin 6 d6 ёф

sinh(/0VÂ ) /0л/Л

/0

/0

= E + ^ Л + ЛЛ + . 3! 5!

(3)

где Е — единичный оператор; А — оператор Лапласа. Гипотеза Коши и Пуассона имеет простое математическое выражение Р = Е, т.е. представительным объемом среды является точка. В случае конечных размеров микроструктур уравнение движения содержит не реальные быстроизменя-

ющиеся силы, а их непрерывный образ, который снабжен оператором приведения к сплошному телу Рфх, Бу, А; /о):

д

— [Р (Ргк )] = Р"/ дхк

"V ,2 . ,4 . . Л

а

дхк

E +

3!

/2 Л /04ЛЛ

5!

+...

Kk )

(4)

Для одномерных стационарных колебаний уравнение (4) в перемещениях имеет вид

' Е /02 А /04 АА ^ к 2 0

Е + + —-+... + к:и = о,

3! 5!

(5)

где ks — квадрат обычного волнового числа либо для продольных, либо для поперечных волн, а поиск решения в виде u=A exp (ikx) дает для неизвестного волнового числа k дисперсионное уравнение

sinW = ksi 2 •

k/0

k2

(6)

Очевидно, что при /0 ^ 0 к ^ к8, что при фиксированной частоте означает обычные (характерные для классической сплошной среды) скорости продольных или поперечных волн. Если же /0 конечна, то скорости волн убывают неограниченно, а при к/0 > п корни уравнения (6) комплексны, что соответствует неустойчивым решениям [11]. Вычисление вещественных корней (6) показывает, что скорости продольных волн с увеличением размера микроструктур падают, скорости поперечных волн также падают, но гораздо слабее. Тем самым с ростом размеров микроструктуры возрастает отношение скоростей поперечных волн к скоростям продольных волн, т.е. падает коэффициент Пуассона вплоть до отрицательных

значений. Возможно, что отрицательные коэффициенты Пуассона для нефтегазовых коллекторов, определяемые по отношению скоростей волн, — это дисперсионный эффект [12].

Количество комплексных корней в зависимости от удельной поверхности пор или трещин соответствуют распределению количества землетрясений по энергии (закон Гутенберга-Рихтера), т.к. удельная поверхность трещин пропорциональна дефициту потенциальной энергии среды, которая в силу закона сохранения энергии переходит в кинетическую энергию волн. Тангенсы углов наклона этих графиков практически совпадают [13].

3. Уравнение равновесия в микронеоднородных средах и внутреннее трение

Уравнение равновесия отличается от уравнения движения (7) отсутствием члена, содержащего силы инерции, поэтому оно записывается в форме

"дс

Р

дх.

= 0,

дСк дх,

= Р

,-1

(7)

(8)

Обратный оператор Р-1, помимо тривиального решения, соответствующего классическому уравнению равновесия сплошной среды, имеет также другие решения, соответствующие дисперсионному уравнению (5) с нулевой частотой (нулевым волновым числом в правой части (5)):

(

/02Л

/04АА

Л

3! 5!

= 0.

(9)

В этом случае из (9) следует

к251П(^0) и = 0.

к/0

Таким образом, уравнению равновесия микронеоднородной среды удовлетворяет не только классическое решение к2 = 0, но и нетривиальное: 8ш(к/0) = 0. (11)

Нетривиальные решения содержат множество значений к/0 = тп, где т — целое число, и удовлетворяют уравнению равновесия микронеоднородной среды. Чистая статика дополняется периодическими колебаниями, зависящими от удельной поверхности микроструктуры. При наличии сухого трения следует учесть, что объемная сила трения рг есть произведение давления на коэффици-

ент трения р и на удельную поверхность соприкосновения частиц о00:

Рг = (А, + 2ц,)ирС00. (12)

Поэтому с учетом (12) дисперсионное уравнение движения в среде с трением имеет вид

эш (к/0) (1 + _РС0^ = к2 (13)

к/

0

- 2 '

В зернистой среде в случае малых площадок контактов их площадь мало отличается от соответствующей площади на сферической поверхности, поэтому

4

- Г0С0 = 4(1 - /)

3

и

2 С0 = 3 "Р. + 33(1—. (14)

3 = 3 %пр

— = 3-3 + С0 ~ 3

г0 4^0 4^0 Г

Причем 3лпр2/(4лг03) — удельная поверхность контактов; п — среднее число контактов; р — радиус контакта; г0 — радиус зерна; о0 — удельная поверхность контакта скелет-флюид. Отсюда следует, что

С 3 ппР /с

С00 = 31—г = / Со,

4лг0

(15)

где / — пористость. Величина о0 является измеряемой либо методом ртутной порометрии, либо методом газовой сорбции.

4. Излучаемые частоты при статической нагрузке

Уравнение (13) с учетом соотношений (14), (15) можно переписать в форме

Г 4 / ] 2

к/0 э1п(к/0) 1 + ¡р-^ = (к^0) . ^ к/0 )

(16)

(10) В случае статической нагрузки это же уравнение

эквивалентно следующему: к/0 э1п (к/0)

Г, ■ 4 / > 1 + ¡р— к/

0)

= 0.

(17)

Уравнение (17) имеет множество вещественных корней к=0 (обычная статика) и к = ят//0 (эмиссия в микронеоднородной среде). Кроме того, обращение в ноль скобки дает комплексный корень к = —¡р(4///0). Это решение неограниченно растет либо убывает, т.е. возникают и неустойчивые процессы.

Если предположить, что расстояния между трещинами являются случайной величиной, и

Рис. 2. Вырожденный вид гамма-распределения

могут быть представлены в виде / = /0£, где £ — случайная величина с гамма-распределением, то для такого случая возникает иное дисперсионное уравнение. Вид функции плотности вероятности в случае гамма-распределения дается нижеследующей формулой:

f = х "Рх, Г(а)

(18)

и при различных параметрах распределения она представлена на рис. 2, 3.

Требование единичного математического ожидания влечет за собой равенство а = р. При этом дисперсия а выражается через единственный параметр а = l/ а2.

На рис. 2 представлена плотность распределения, соответствующая функции распределения (18). Особую роль играет значение параметра а = 1, при котором гамма-распределение обращается в распределение экспоненциальное. Экспоненциальное распределение означает, что существенную роль в общем объеме породы играют исключительно малые частицы с очень большой удельной поверхностью.

Оператор приведения к сплошному телу в данном случае содержит ядро, содержащее гамма-распределение, 0 < < ю и принимает форму P( Dx, Dy, Dz; а,«)

1 ж

= — JJ da J Г-1 ехр(-а^]ехр[ЩДп )d£, (19) 4л о

где а = 1/а2 — обратная дисперсия случайного расстояния между трещинами. Благодаря формуле Пуассона (3) этот интеграл может быть вычислен точно:

P( D*, Dy, Dz; а,

= а (1 - УХ l0/а)1-а - (1 + УХ l0 /а)1-а-1 2l0VX

При а ^ ю формула (20) принимает вид (3). При а ^ 1 оператор осреднения упрощается:

(20)

Рис. 3. Гамма-распределение при больших значениях параметра а приближается к нормальному распределению

P( D*, Dy, Dz; а,

arctg(l^/A) E ■>-t=-= E ■

l0VX

i0x+ic4xx

(21)

/0\ГА < а.

Корни соответствующего дисперсионного уравнения вещественны, так что катастрофы в этом случае невозможны.

5. Промежуточные состояния между статикой и динамикой

Разность операторов Р - Е есть ноль для сплошной среды, но в то же время это сумма последовательно примененных операторов Лапласа для микронеоднородных сред. Тем самым уравнение равновесия для больших масштабов может не являться таковым для масштабов малых. Простейшее уравнение, отражающее это обстоятельство, имеет вид

P

5а

ik

V 5xk у

= (P - E )püi.

(22)

Чтобы получить дисперсионное уравнение, необходимо сделать замену VX ^ ikl0. В частотной области оператор (20) представляется в виде P( D*, Dy, Dz; а, = exp[ikl0(1 -1/ а)] - exp[-ikl0(1 -1/ а)] = 2i(1 -1/ а)

sin kl0(1 -1/ а)

kl0(1 - V а)

(23)

Дисперсионное уравнение, соответствующее (16), с точностью до величин порядка 1/ а2, записывается в виде

sin kl0(1 -1/ а) = kl0(1 -1/ а) =

ksl0

V kl0 у

sin kl0(1 -1/ а) kl0(1 -1/ а)

-1

.(24)

Рис. 4. Зависимость вещественной части 82 из уравнения (25) от вещественной и мнимой частей комплексной переменной г. Корни уравнения (25) есть точки пересечения изолиний 8 с кривой 1т(82) = 0 (обозначенной розовым цветом), соответствующие положительным значениям 8 (цветной в онлайн-версии)

Его же можно переписать в виде

Г Л 2

V

э1п г/г — 1 в(1 — 1/ а) ) э1п г/г

(25)

если положить г = к/0=х + ¡у, 8 = к8/0.

В уравнении (25) при вещественных г левая часть всегда положительна, а правая часть меняет знак. Поэтому при малых значениях г не существует ни вещественных, ни комплексных корней. Это состояние равновесия. Однако в общем случае, при заданных значениях 8 имеется счетное множество корней, как вещественных, так и комплексных. Наличие вещественных корней означает появление волн, которых не должно быть в сплошной среде. Комплексные же корни означают неустойчивые решения (катастрофы либо затишья), причем вещественная часть определяет скорость движения катастроф на данной частоте, а мнимая указывает степень роста или затухания решений. Под скоростью движения катастроф подразумевается скорость перехода из одного состояния в другое. Первые корни (наименьшие по модулю) решения уравнения (25) при отсутствии дисперсии (а ^ го) находились следующим образом: если из (25) формально выразить 82, то получатся две поверхности (вещественная и мнимая части), зависящие от х и у. На рис. 4 представлена зависимость вещественной части 82 от вещественной (горизонтальная ось) и мнимой (вертикальная ось) частей переменной г. Корни уравнения (25) есть точки пересечения изолиний 8 с кривой

1т(82) = 0 (обозначенной розовым цветом), соответствующие положительным значениям 8. Синий цвет на рис. 4 соответствует отрицательным значениям 82, т.е. это поле, где никаких корней не существует. Желтый, красный, зеленый цвета — это области существования возможных корней уравнения (25). Точки пересечения изолиний 8, изображенных черным цветом, с горизонтальной осью суть вещественные корни (25). Видно, что при 8 < п на горизонтальной оси отсутствуют как вещественные, так и комплексные корни, т.е. в этой области имеет место уравнение равновесия. При 8 > п появляются вещественные корни, т.е. возникают волновые явления. Вещественные корни, близкие к изолиниям 8 ~ 0, соответствуют скоростям обычных сейсмических волн, а значениям 8 порядка нескольких единиц соответствуют волны аномально низких скоростей (десятки сантиметров в секунду). Что касается комплексных корней, то здесь ситуация более сложная. В окрестности координат х = 4.6, у = 2.8 находится первый комплексный корень. Остальные повторяются с периодом, примерно равным 2п. Розовые линии на рисунке, которые пересекают изолинии 8, есть геометрическое место возможных комплексных корней, а точки пересечения этих линий с изолиниями 8 суть искомые комплексные корни. При этом положения точек пересечения соответствуют очень большим значениям 8 = 5 и более. Для речного песка с размерами частиц 1-2 мм это соответствует частотам порядка нескольких МГц.

Кроме того, в окрестности комплексных корней возникают полюсы, где значения изолиний в изменяются от 10 до бесконечности. Это означает, что катастрофы возможны при частотах порядка нескольких мегагерц и не регистрируются в кило-герцовом диапазоне частот. Обнаружение в эксперименте таких коротких волн очень сложно ввиду быстрого затухания последних. В данной работе мегагерцовых частот не зарегистрировано, но можно предполагать, что они все же существуют (но быстро затухают), т.к. часть частиц (8 % объема) оказалась раздавленной и появились пы-леватые частицы субмикронного размера. Скорости движения катастроф изменяются в широких пределах и определяются быстрым изменением параметра в в окрестности полюсов. Первые единицы этой величины дают значения очень малых скоростей катастроф (порядка сантиметров в секунду), а очень большие значения в окрестности полюсов) дают скорости, приближающиеся по порядку величин к скорости поперечных волн. При больших дисперсиях а ^ 1 эти скорости уменьшаются, а при а = 1 исчезают совсем. Дискретное множество корней (вещественных и комплексных) означает, что волновое поле в пористых и трещиноватых средах имеет квантованный характер, так что переход из одного состояния к другому (каждый корень соответствует некоторому состоянию) требует какой-то порции энергии.

6. Интегрируемые особенности в гамма-распределении. Поющие пески

В случае а < 1 гамма-распределение имеет интегрируемую особенность. Для очень больших дисперсий, для которых имеет место неравенство (1/а-1) к/0 > 1,

представление оператора приведения к сплошному телу оказывается другим:

Р( Вх, Бу, В2; а, /0) = -

(-1)1-а (/к/0/а)

1-а

2 ¡к/0/ а (гк/0/ а)1-а (гк/0/ а )1-а ^

2 ¡к/0/ а

Учитывая, что (к/0/ а)-а

(26)

1 при а ^ 0, полу-

чаем приближенное представление с точностью порядка а2:

Р( Бх, Бу, В2; а, /0) 1/2 [ехр (2тша) + ехр (4тша)].

(27)

шим целым числом. Если а — рациональное число, то число комплексных корней, соответствующих оператору (27), конечно, в противном случае — бесконечно. Таким образом, дисперсионное уравнение при очень больших дисперсиях микроструктурных параметров принимает форму аттрактора:

к2 = 1/2[ехр(2ттоа) + ехр(4ттоа)]к2. (28)

При а ^ 0 одно из решений (25) (к = 0) есть обычное состояние равновесия. Однако при любом, как угодно малом а найдутся комплексные корни (конечное или бесконечное множество), соответствующие тем или иным локальным катастрофам. Эта схема описывает множество неустойчивых состояний, создающих динамические явления при равновесном состоянии большого масштаба. При а ^ 0 решение дисперсионного уравнения (к = 0) есть обычное состояние равновесия, однако при как угодно малых а имеется очень большое или даже бесконечное число комплексных решений, которые соответствуют катастрофам разного масштаба. Соответствующие частоты колебаний ничем сверху не ограничены, хотя характерные частоты, обязанные конечному времени опыта, соответствующие обратному времени нагрузки, составляют примерно 0.1 Гц.

7. Результаты экспериментов

Образец представлял собой крупнозернистый песок с размерами зерен 2-3 мм, который помещался в отрезок стальной трубы диаметром 40 мм и высотой 80 мм [14]. На внешней стенке трубы крепился сейсмоприемник СВ-20. Нагружение образца осуществлялось с помощью пресса вертикального действия через верхнее и нижнее отверстия отрезка трубки. Общий вид модели изображен на рис. 5.

Формально, при а ^ 0 мы имеем единичный оператор. Однако т может быть как угодно боль-

I I I

Рис. 5. Схема нагружения песка давлением

Рис. 6. Общий вид микросейсмических колебаний

Эксперимент проводился следующим образом. После включения регистрирующей аппаратуры на образец через верхний поршень подавалось давление, значение которого регистрировалось манометром, а смещение поршня — механическим датчиком перемещений. В течение 10 с давление возрастало до 6 МПа, и это значение удерживалось еще 10 с. Акустическая эмиссия началась практически с «нулевого» давления и продолжалась после окончания работы нагнетающего насоса.

Акустическая эмиссия в сжатом песке начинается с давлений, значительно ниже пластовых, что вызвано наличием «внутренних» напряжений в частицах песка и сложной поверхностью частиц. Наблюдаются спонтанные изменения интенсивности акустической эмиссии. На рис. 6 приведен общий вид записи излучаемых колебаний. Помимо приемника колебаний в схеме опыта был задействован микрофон, так что частотный диапазон и наличие обертонов контролировались также на слух.

Частоты, связанные с разламыванием отдельных частиц, составляют порядка первых мегагерц и в эксперименте не зарегистрированы. Это значит, что регистрируются некоторые коллективные процессы. Для малых дисперсий размеров частиц, от 0.00 до 0.05, скорость катастроф должна быть порядка скорости волн Рэлея. Однако для больших дисперсий размеров частиц а2 = 1/а в пределах от 1.0 до 0.2 скорость катастроф должна изменяться, согласно данным расчета на рис. 4, от 0.0 до 0.1 от этих скоростей. Зарегистрированы также короткие импульсы (1000 Гц), следующие друг за другом через промежутки около секунды. Эти короткие импульсы можно интерпретировать

Рис. 7. Зависимость количества событий от их частоты. В низкочастотной области с характерным временем нагружения пресса 10 с и характерной частотой 0.1 Гц события отсутствуют. В области частот выше 1000 Гц событий также нет

как возмущения, соответствующие первым вещественным корням дисперсионного уравнения и аномально малым скоростям от 10 см/с до 2 м/с. Частота повторения этих коротких импульсов составляет примерно 1 Гц. Регистрируются частоты от 30 до 1000 Гц (рис. 7, 8). Однако есть некоторые основания полагать, что мегагерцовые частоты, видимо, возникают, но быстро затухают, т.к. возникло множество раздавленных частиц (8 % общего объема) субмикронного размера.

Большая дисперсия, т.е. малые значения а, подтверждается тем, что после нагрузки возникло большое множество волновых событий (10). Кроме того, видимо, наличие пылеватых частиц оказывает значительное влияние на гамма-распределение. Действительно, в распределении (18), полагая а = в, пренебрегая экспонентой и интегрируя в малом промежутке от 0 до а, получим приближенную формулу

аа а

Р(а) = —[ га—1

{ га—^ =-

а

2а

1.

(29)

Г(а)0 Г(а +1)

Тем самым очень малые частицы, по сравнению со средним размером /0, оказывают решающее влияние на функцию распределения. Экспе-

Рис. 8. Распределение событий в зависимости от времени статической нагрузки. Короткие миллисекунд-ные импульсы расположены сравнительно равномерно по времени статической нагрузки от 2 до 17 с

риментально зафиксировано 125 событий, что можно считать достаточно большим количеством в сравнении с единицей. Это означает, что количество катастрофических решений, реализуемых в эксперименте, достаточно велико.

Несмотря на то что в процессе квазистатического нагружения было разрушено около 8 % зерен, параметры излучаемых волн были примерно одинаковыми все время эксперимента. По этой причине переупаковку среды следует считать маловероятной причиной эмиссии. Настоящей причиной, по-видимому, является существенная разница напряженного состояния в окрестности микрообъема среды, т.е. неустойчивость состояния равновесия.

8. Выводы

Микронеоднородные среды содержат большое (теоретически бесконечное) число степеней свободы. Поэтому как состояние равновесия, так и состояние движения описываются уравнениями в частных производных бесконечного порядка.

Равновесие или движение для микронеоднородных сред не имеют абсолютного смысла в том отношении, что равновесие может иметь место в больших масштабах и при этом может не иметь места в масштабах малых. Тем самым возникают промежуточные состояния между статикой и динамикой, которые в сплошной среде не имеют места. Эти явления, по-видимому, лежат в основе сейсмической эмиссии.

Излучаемые частоты не связаны ни с характерным временем статической нагрузки образца, ни с характерным временем разламывания отдельных частиц, а являются реакцией некоторого множества частиц на медленное деформирование. Отсутствие дисперсии (периодические структуры) также приводит к множеству неустойчивых состояний. Малые дисперсии стабилизируют среду (уменьшают число неустойчивых решений вплоть до их исчезновения), большие дисперсии ее снова дестабилизируют.

Большие дисперсии размеров частиц приводят к появлению множества (теоретически неограниченного) элементарных катастрофических актов. В эксперименте зафиксировано 125 таких актов в течение 9 с, что может считаться достаточно большим числом в сравнении с 1.

Финансирование

Работа выполнена при поддержке фонда

PETROBRAS/CENPES (Бразилия) в рамках проекта GEOMEC.

Литература

1. Вильчинская Н.А., Николаевский В.Н. Акустическая эмиссия и спектр сейсмических сигналов // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1984. - № 5. - С. 91-100.

2. Ostapchuk A.A., Morozova K.G., Pavlov D.V. Influence of the structure of a gouge-filled fault on the parameters of acoustic emission // Acta Acustica-Acustica. - 2019. -V. 105. - P. 759-765.

3. Кочарян Г.Г., Морозова К.Г., Остапчук А.А. Исследование акустической эмиссии слоя геоматериала при сдвиговом деформировании // ФТПРПИ. - 2019. - № 3. -С. 15-21.

4. Дрягин В.В. Сейсмоакустическая эмиссия нефтепродук-тивного пласта // Акуст. журнал. - 2013. - Т. 59. - № 6. -С. 744-751.

5. Алексеев А.С., Цецохо В.А., Белоносова А.В., Белоно-сов А. С., Сказка В.В. Вынужденные колебания трещиновато-блочных флюидонасыщенных слоев при вибросейсмических воздействиях // ФТПРПИ. - 2001. - № 6. -С. 3-12.

6. Курленя М.В., Опарин В.Н., Востриков В.И., Аршавс-кий В.В., Мамадалиев Н. Волны маятникового типа. Ч. III: Данные натурных наблюдений // ФТПРПИ. -1996. - № 5. - C. 3-27.

7. Shen N.E., Long S.R., Wu M.C., Shih Z., Yen N.-C, Tung C.C., Liu H. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. Lond. - 1998. - V. 454. -P. 903-995.

8. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 4. - С. 829-831.

9. Sibiryakov B.P., Sibiryakov E.B. Equilibrium and Dynamics of Porous and Cracked Media // J. Phys. Conf. Ser.: 9th Int. Conf. on Lavrentyev Readings on Mathematics, Mechanics and Physics, 7-11 September 2020, Novosibirsk. - 2020. -V. 1666. - No. 1.

10. Сибиряков Б.П., Прилоус Б.И., Копейкин А.В. Природа неустойчивости блочных сред и закон распределения неустойчивых состояний // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. -№ 3. - С. 11-21.

11. Маслов В.П. Теория операторов. - М.: Наука, 1973.

12. Gregory A.R. Fluid saturation effect on dynamic elastic properties of sedimentary rocks // Geophysics. - 1976. -V. 41. - No. 5. - P. 895-921.

13. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии: Избранные труды. - М.: Наука, 1985.

14. Сибиряков Б.П., Бобров Б.А. О природе возникновения акустической эмиссии при статическом нагружении песков // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 1. - C. 80-84.

Поступила в редакцию 14.07.2023 г., после доработки 16.08.2023 г., принята к публикации 27.08.2023 г.

Сведения об авторах

Сибиряков Борис Петрович, д.ф.-м.н., гнс ИНГГ СО РАН, проф. НГУ, sibiryakovbp@ipgg.nsc.ru Сибиряков Егор Борисович, к.ф.-м.н., снс ИНГГ СО РАН, СГУТИ, sibiryakoveb@ipgg.sbras.ru Карстен Владимир Викторович, нс ИНГГ СО РАН, karstenvv@ipgg.sbras.ru