CC BY
30
О природе возникновения акустической эмиссии при статическом нагружении песков
Б.П. Сибиряков, Б.А. Бобров
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Несмотря на то что сейсмическая эмиссия есть установленный факт, ее природа до сих пор остается не исследованной, и причина такого положения достаточно серьезна. Статическое нагружение предполагает выполнение уравнения равновесия, так что силы инерции исчезающе малы в сравнении с силами, созданными напряжениями. Это значит, что динамическим явлениям просто нет места. В данной работе показано, что ответ на поставленный вопрос можно получить с помощью новой модели континуума с внутренней структурой, определяемой удельной поверхностью изучаемого тела. В этой модели континуума возможно промежуточное состояние, которое можно назвать метастабильным, при котором не имеет места ни классическое уравнение равновесия, ни классическое уравнение движения. Причина эмиссии в том, что равенство нулю сил, созданных внутренними напряжениями, имеет место лишь в среднем, а не в каждой отдельной точке. Классическая модель континуума не делает разницы в свойствах средних для мезоструктуры и в каждой точке. Модель же континуума со структурой позволяет описать явление эмиссии и дать теоретическую оценку излучаемых частот колебаний, которые не имеют ничего общего ни с характерным временем разламывания частиц, ни с характерным временем статической нагрузки.
Origin of acoustic emission under static loading of sands
B.P. Sibiryakov and B.A. Bobrov
Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Although seismic emission is an ascertained fact, its origin is still unclear for substantial reasons. Static loading assumes that the equilibrium equation is fulfilled, so that the inertia forces are vanishingly small compared to the stress-induced forces. This means that there is simply no place for dynamic phenomena. The given paper shows that the answer to the question can be found with the help of a new model of the continuum with internal structure defined by the specific surface of the studied body. The model of the continuum with structure allows an intermediate state, that can be called metastable, for which neither the classical equilibrium equation nor the classical motion equation hold true. The cause of emission is in that the forces induced by internal stresses are zero on average, rather than in every single point. The classical continuum model makes no difference between the properties averaged for the mesostructure and each point. Contrarily, the model of the continuum with structure allows describing emission and theoretically estimating the frequency of emitted oscillations that has nothing in common with the characteristic time of particle failure or static loading.
1. Введение
До последнего времени основные теоретические и экспериментальные результаты в области динамического деформирования твердых тел основывались на модели сплошной среды, которая была предложена еще Коши и Пуассоном. Суть гипотезы сплошности состоит в том, что материал реального тела «размазывается» по всему объему среды, так что близость точек автоматически означает близость всех свойств без исключения: напряжений, деформаций, температур, электропроводности и т.д. Реальные среды, в особенности такие как микронеоднородные тела, содержащие флюиды, очень плохо удовлетворяют гипотезе сплошности. Различие,
например, величин модулей сдвига твердого скелета и флюида составляет многие порядки. Строго говоря, возникла необходимость либо удовлетворять граничным условиям нулевых касательных напряжений и непрерывности нормальных нагрузок на всей сложной поверхности пор и трещин, оставаясь в рамках прежней модели континуума, либо создать новые модели континуума, где внутренняя геометрия микроструктур была бы учтена с самого начала. Эта общая фундаментальная проблема, очевидным образом, потребовала, прежде всего, адекватного геометрического описания порового пространства. Здесь надо сказать, что сравнительно новая математическая дисциплина, именно интегральная
© Сибиряков Б.П., Бобров Б.А., 2008
геометрия, наилучшим образом отвечает этому требованию. Интегральная геометрия имеет дело не с поточечным описанием среды, а с коллективными свойствами геометрических объектов. Два образца считаются неразличимыми, если совпадают их коллективные свойства. И таких коллективных свойств четыре, из которых наиболее важными являются удельная поверхность и, в меньшей степени, пористость. Первая часть проблемы отрицания классического континуума — это описание структуры порового пространства методами интегральной геометрии. Вторая проблема состоит в том, как добиться выполнения основных законов сохранения массы, импульса и энергии для континуума со структурой. Суть проблемы проста. Для того чтобы обеспечить равенство сил, созданных внутренними напряжениями, и сил инерции, необходимо рассмотреть конечный объем, содержащий некоторое множество элементарных блоков или микроструктур. В интегральной геометрии доказывается, что средний размер элементарного блока строго выражается через удельную поверхность и пористость образца. Значит, существует некоторый конечный объем, меньше которого среда будет просто непредставительной. Это, в свою очередь, означает, что силы, созданные напряжениями, приложены на конечном расстоянии от центра тяжести элементарного блока, в то время как силы инерции приложены именно в упомянутом центре тяжести последнего. Это несовпадение точек приложения сил устраняется очень просто в классической концепции. Элементарный объем устремляется к нулю, точки приложения сил совпадают в пределе и разностные отношения автоматически переходят в дифференциальные. Для континуума со структурой такая возможность отсутствует с самого начала.
2. Построение оператора приведения
Как известно, в интегральной геометрии существует связь между удельной поверхностью образца ст0 и средним расстоянием от поры до поры или от трещины до ее ближайшей соседки 10 в виде [1]:
СТЛ = 4(1 - f), (1)
где /'— пористость. Оператор переноса поля из точки х в точку х ± 10 дается известным выражением [2]:
и(х ± 10) = и(х)е±1°°х. (2)
Трехмерный оператор переноса поля в центр выделенного куба может быть представлен суммой:
Д(м( х)] =1 и( х) 6
exp
+ exp
- Dx
2 х
\ / + exp
+ exp I Dz 1+ exp I D
+ exp
- ^ D 2 D,
І0
- - Dx 2x
(3)
Оператор переноса поля в центр некоторой сферы радиуса l0 может быть представлен следующим образом:
P(Dx , Dy , Dz ; l0 ) =
1 2п п
= 4~ í í exp[l0 (Dx sin0 cos ф +
0 0
+ Dy sin0 sinф + Dz cos 0)]sin0 d0dф =
sh(l0VA) 1^л/а
= E + -°- A + -^ AA +...,
3!
5!
(4)
так как существует известное равенство Пуассона [3]:
2п п
íí f (a cos 0 + в sin 0 cos Ф + Y sin 0 sin ф)sin 0 d0dф =
0 0
п 1
= 2ní f (Rcosp)sinpdp = 2ní f (Rt) dt, (5)
0 -1
R = д/а 2 +P2 + y2.
Это равенство может быть переписано в иной форме: P(Dx, Dy, Dz) =
1 1 1
= — í exp(l0VAt) dt = í ch(l0VAt) dt =
2 -1 0
sh(l0VA)
10л/а
l n A ln AA
= E + 0 + l0
3!
5!
-+....
(6)
3. Уравнение движения микронеоднородных сред
Уравнение движения микронеоднородной среды для напряжений, подвергнутых действию оператора Р, то же самое, как и для обычной ситуации для сплошной среды [4]: д
)] = Рй- (7)
дхк
В развернутом виде уравнение (6) можно переписать в форме:
_Э_
дхк
Ґ
l l
E + A + AA +... 3! 5!
°ik = pui.
(8)
Для одномерных стационарных колебаний уравнение (8) существенно упрощается:
^ l02A l04 AA E + -^- + -°---------------------+...
3!
5!
+ k«S и = 0,
(9)
где ^ = ю/ V — волновое число, характерное для обычных продольных или поперечных волн. Если искать решение этого уравнения в виде экспоненты
и = А ехр^кх), (10)
то возникает дисперсионное уравнение относительно неизвестного волнового числа к, т.е. при заданной частоте относительно неизвестной скорости распространения волн:
+
+
8Ш(к/ о) _ = 0
(11)
к/ 0 kz
Уравнение (11) содержит бесчисленное множество как вещественных, так и комплексных корней, причем, в случае /0 ^ 0 очевидно, к ^ Этот корень дает скорость обычных звуковых волн, в то время как другие вещественные корни (11) определяют малые и сверхмалые скорости. Комплексные корни дисперсионного уравнения связаны либо с затуханием волн, либо с неограниченным ростом амплитуд.
4. Уравнение равновесия в микронеоднородных средах и внутреннее трение
Уравнение равновесия отличается от уравнения движения (11) отсутствием члена, содержащего силы инерции:
Эст;,
дхк
= 0.
(12)
Решение уравнения (12) можно искать в виде:
.0 ітх
'■ аікЄ
(13)
где а°к — некоторая функция координат. В этом случае
уравнение (12) может быть представлено в форме:
8Іи(т/0)
ті 0
Эа°к . 0
+ т<3°к
дхк
= 0.
(14)
В частности, уравнение равновесия (14) при т = 0 обращается в обычное уравнение равновесия. Однако оно может быть удовлетворено и при т10 = пп, где п — целое число. Можно отметить, что это решение вытекает из уравнения (11) в случае, когда к$ ^ 0. Относительно сухого трения в микронеоднородной среде следует сказать, что в классической сплошной среде оно просто невозможно, так как классический континуум не предполагает внутренних поверхностей, по которым только и возможно движение с трением. Нужно учесть то обстоятельство, что силы трения связаны с силами нормального давления и приложены по периферии микроструктуры, в то время как массовые силы приложены к центру тяжести ее. Кроме того, средняя часть поля не вносит вклад в силу трения, за нее ответственна лишь флуктуационная часть поля, т.е. сила трения в микроне-однородной среде должна быть снабжена оператором
Р _ Е = -03!
/лД /04аа
5!
+...
(15)
Объемная сила трения есть произведение давления на коэффициент трения и на удельную поверхность соприкосновения:
(А + 2ц)и'а0 р, (16)
где р — коэффициент трения; ст0 — удельная поверхность соприкосновения.
Поэтому дисперсионное уравнение движения в среде с трением имеет вид:
8ш(к/ 0) + гст 0 р
к/а
1 _
8Іи(к/ 0) к/
0
(17)
5. Излучаемые частоты при статическом нагружении
Излучаемые частоты в общем случае можно представить как
І8Іп( к/ 0)
к/ 0
1 _ і
,а 0 р
+ І
(18)
Если к ^ 0, то ш ^ 0, т.е. статическое состояние. Таким образом, статические решения возможны и было бы странным, если бы они отсутствовали.
Если же к ^ п/(п/0), то получаем
Ю =
/
1
х ЗІПСУЙ) + ір 3
у п/п 4
\2
/0
0
1_
БІП( п/ п) п/ п
(19)
где а — радиус контакта.
Для зернистой среды, состоящей из частиц песка, при сравнительно небольших давлениях можно положить поверхность соприкосновения равной средней площади контакта, в то время как напряжения на контактах могут быть определены на основании теории Герца упругого соприкосновения сферических частиц. При больших значениях п получаем:
Ю = -
ПЮ0
3
І1 +ір 4
\2
/0
0
1 П
6 п 5
(20)
где ш0 = VS/ / 0 — обратное время разламывания одной частицы. Механизм появления достаточно низких частот, никак не связанных, казалось бы, с характерной частотой разламывания отдельной частицы, иллюстрируется формулой (20), где значения величины п могут привести к частотам гораздо более низким, в частности в пределе, и к нулевым.
И наконец, метастабильное состояние соответствует общему решению уравнения равновесия, когда, как и в чистой статике, решения определены в соответствии с формулой (14) условием:
Рис. 1. Схема нагружения песка давлением
П
х
а
Рис. 2. Общий вид микросейсмических колебаний в сжатом песке. Время наблюдения — 9 с
к/0 = пп, sin(k/0) = 0. (21)
При этом условии в соответствии с теорией Герца имеем: ,__________
Ю йП
V ~ 171
ір-
.= Р0£: в = 31 _а
(22)
где г0 — радиус частицы; Р0 — внешнее давление пресса. Иными словами, в том состоянии, которое без трения было бы чистой статикой, возникает комплексная частота, которая соответствует эмиссии в виде затухающих колебаний с минимальной частотой, соответствующей значению п = 1. Для сферических частиц с радиусом зерен 0.5 мм и упругими модулями чистого кварца при коэффициенте трения 0.21 минимальная частота излучения составляет
/ = V; ——ліїр = 28 Гц.
2г0 г0
(23)
Статическое состояние не достигается в чистом виде при наличии трения. Возникает акустическая эмиссия с начальной частотой f = п/(2/0) а/г0 ^[¡р, которая затем может увеличиваться в соответствии с множителем 4п. Таким образом, теория предсказывает дискретный набор частот, причем минимальная частота определяется микроструктурой и трением, а высшие частоты представляют собой дискретный набор со все возрастающим затуханием.
6. Результаты опытов
Образец представлял собой крупнозернистый песок с размерами зерен 2-3 мм, который помещался в отрезок стальной трубы диаметром 40 мм и высотой 80 мм. На внешней стенке трубы крепился сейсмоприемник СВ-20. Нагрузка образца осуществлялась с помощью пресса вертикального действия через верхнее и нижнее
отверстия отрезка трубы. Общий вид модели и схема проведения опытов изображены на рис. 1.
Эксперимент проводился следующим образом. После включения регистрирующей аппаратуры на образец через верхний поршень подавалось давление, значение которого регистрировалось манометром, а смещение поршня механическим датчиком перемещений. В течение 10 с давление возрастало до значения равного 16 МПа. Акустическая эмиссия началась практически с «нулевого» давления и продолжалась после окончания работы нагнетающего насоса.
Акустическая эмиссия в сжатом песке начинается практически с «нулевых» давлений (значительно ниже пластовых), что вызвано наличием «внутренних» напряжений в частицах песка и сложной поверхностью частиц. Наблюдаются спонтанные изменения интенсивности акустической эмиссии. На рис. 2 приведен общий вид записи излучаемых колебаний. Помимо приемника колебаний в схеме опыта был задействован микрофон, так что частотный диапазон и наличие обертонов контролировались также на слух.
В ходе опытов выяснилось, что частоты излучаемых колебаний сосредоточены в диапазоне от 30 до 1000 Гц, в то время как теория предсказывает диапазон излучаемых частот от 28 Гц до бесконечности. Однако следует учесть, что с ростом частоты возрастает и затухание, так что согласие данных теории и опыта следует признать весьма удовлетворительным. Характерная частота разламывания отдельной кварцевой частицы миллиметрового диаметра—порядка первых мегагерц, характерная частота движения поршня — ~0.1 Гц. Это означает, что излучаемые частоты не связаны ни с первым, ни со вторым процессом. Несмотря на то что примерно 9 % песка оказалось очень мелкой фракции, т.е. были раздавлены, излучаемые частоты вызваны колебанием неких групп частиц. На рис. 3 заметно, что с ростом давления
Рис. 3. Зависимость «видимого периода колебаний» событий акусти- Рис. 4. Распределение событий акустической эмиссии по «видимой»
ческой эмиссии (1) в трубе, давления поршня (2) и деформации (3) частоте колебаний событий
от времени
увеличиваются излучаемые частоты. Теория предсказывает дискретный набор излучаемых частот, что в опытах зафиксировать довольно трудно. Однако на рис. 4 намечается некоторая дискретизация спектра, что проявляется в виде сильной изрезанности спектра в диапазоне от 30 до 300 Гц.
7. Выводы
Модель континуума со структурой описывает колебания частиц, вызывающих акустическую эмиссию, которая в случае классического континуума не удовлетворяет ни уравнению равновесия, ни уравнению движения. Это промежуточное состояние является метаста-бильным в том смысле, что возможен переход как к истинному уравнению равновесия, так и к быстрым движениям, связанным с катастрофами.
Излучаемый диапазон частот никоим образом не связан ни с характерной частотой разламывания частиц,
ни с характерной частотой внешнего воздействия. Он обусловлен, главным образом, колебаниям групп частиц, причем минимальная частота растет с ростом внешнего давления и коэффициента трения.
Наличие трения исключает классический вариант уравнения равновесия, когда напряжения постоянны в некотором объеме. Трение является важным фактором появления метастабильных состояний микронеоднород-ных сред, в которых элементарные взаимодействия происходят по закону взаимодействия Герца.
Литература
1. Усманов Ф.А. Основы математического анализа геологических структур. - Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1977. - 202 с.
2. Маслов В.П. Теория операторов. - М.: Наука, 1973. - 544 с.
3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1964. - 1100 с.
4. Сибиряков Б.П., Подбережныш М.Ю. Неустойчивость структурированных сред и некоторые сценарии развития катастроф // Геология и геофизика. - 2006. - Т. 47. - № 5. - С. 648-654.
Поступила в редакцию 29.10.2007 г.
