Тектонофизические модели мезоструктурного крипового сдвига и их теоретическая интерпретация Текст научной статьи по специальности «Физика»

Тектонофизические модели мезоструктурного крипового сдвига и их теоретическая интерпретация

Б.П. Сибиряков, П.М. Бондаренко

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Выведены новые уравнения движения и равновесия для микронеоднородной среды. Классическая механика сплошных сред основывается на допущении, что оператор усреднения равен единичному оператору. В действительности же, мы имеем дополнительный член, который включает в себя оператор Лапласа и учитывает линейные размеры мезоструктуры.

1. Введение

В механике сплошных сред действует предположение о том, что близость точек среды приводит к близости всех физико-механических свойств. То есть поле в некоторой точке отождествляется со средним полем в малом объеме среды, окружающем эту точку. В микронеод-нородных средах, содержащих флюиды либо иные включения с резко отличными от материала матрицы физико-механическими свойствами, близость точек не означает близости свойств. Иначе говоря, оператор усреднения Р, действующий в окрестности некоторой точки, в классической механике сплошных сред отождествляется с единичным оператором Е. В классической механике, как мы видим, действует операторное равенство

Р = Е. (1)

2. Уравнение равновесия в микронеоднородных средах

Нам хорошо известно соотношение между оператором усреднения Р, единичным оператором Е и оператором Лапласа А в форме [1] (см. приложение)

Р - Е = —А, 21

(2)

где h — линейный масштаб усреднения; I — размерность пространства. Если тело содержит поры или трещины, то безразмерное произведение удельной поверхности а0 на среднее расстояние 10 от поры или трещины до ее ближайшей соседки удовлетворяет выражению [2]

а0К = 4 (1 - Л (3)

где f— пористость.

Мы можем допустить, что линейный размер структуры I совпадает со значением h. Действуя оператором

д/дхк на усредненное поле напряжений, т.е. на Р(рк), мы можем получить, используя выражение (2), следующее уравнение:

дхк [(к)] дхк

Е + ^ А 21

Э

дхк

= 0.

(4)

Это уравнение равновесия в микронеоднородной среде. Оно совпадает с обычным, когда h ^ 0, и отражает хорошо известный факт неэквивалентности разностных и дифференциальных операторов (см. приложение) при определенных обстоятельствах. Какие это обстоятельства?

Простейший интеграл уравнения (4) не есть просто постоянная, потому что в скобках (4) содержится оператор Гельмгольца. Вместо постоянной а0 имеем решение

Гл/27 ^

к • соэ —у • соэ к

(5)

где А — новая произвольная постоянная. Мы можем допустить, что минимальные напряжения равны нулю (например, на поверхности трещин). В этом случае мы решаем, что А = - а 0 , и вместо (5) имеем

^ ік ® ік [1 - cos(kx)cos(ky)cos(kz)],

(6)

© Сибиряков Б.П., Бондаренко П.М., 1998

где к = 427/Л и максимальные напряжения в два раза больше средних. Для сред малоконтрастных по свойствам между матрицей и включениями постоянная А уменьшается, стремясь к нулю для обычных однородных сред. Таким образом, неэквивалентность между разностными и дифференциальными операторами является возможно реальной лишь для контрастных микро-неоднородных сред. Решение (6) можно представить в форме

сік = с0 Ц - ~ [соэ к(у - х - z) + соэ к(х - у + z) +

+соэ к(х + у - z) + соэ к(х + у + z)H.

(7)

Равенство (7) означает, что максимальные (или минимальные) напряжения (если средние напряжения постоянны) локализуются на плоскостях октаэдров (рис. 1)

х + у + z = С, х + у - z = D, х - у - z = Е, х - у + г = G.

(8)

В двумерном случае вместо формулы (7) мы можем написать

сік = с°к |1 -1 [cos к(х - У) + с^ к(х + У)] [. (9)

Это означает, что максимальные (или минимальные) напряжения образуют сетку ортогональных прямых, подобных линиям крипового скольжения в пластичной области, если напряжения постоянны. Эти линии, которые описываются уравнением (9), в отличие от линий скольжения, не зависят от реологии тел и строго дискретны, тогда как линии скольжения могут располагаться как угодно близко друг к другу. Экспериментальные данные, полученные для природной глины, дают нам более или менее подобную картину (рис. 2). Иррациональные отношения между периодом поля и периодом мезоструктуры возникают потому, что эти отношения включают число л. Это означает, что нет точного совпадения между периодами поля и структуры. Например, в одномерных структурах поле напряжений повторяется через пЛ/Т2 , в двумерных структурах — через лЛ/2 , в трехмерных — лЛ/л/б . Однако мы можем добиться приближенного совпадения, если структура имеет неоднородности вторичного порядка (шероховатые поверхности). В этом случае дробная часть величины МяД/27 должна совпадать с величиной М8/ Л, где М — целое число; 8 — радиус кривизны шероховатости поверхности, что значит

Д| М^= I = м -

727I к ■

Рис. 1. Дискретные октаэдрические грани возникают при максимальных напряжениях, а именно: х + у + г = С, х + у -2 = D, х - у - г = Е, х - у + 2 = G. Дискретные ортогональные линии находятся в двумерных случаях: х - у = Ср х + у = С2

В (10) R означает дробную часть выражения; М— число периодов, по истечении которых мы имеем совпадение максимума поля с границей мезоструктуры (с точностью 8). Эти области представляются наиболее опасными для возникновения главных (магистральных) трещин.

3. Интегральное уравнение для быстро-колеблющегося поля в условиях непостоянных средних напряжений

Прогноз поля средних напряжений при интегрировании уравнения равновесия может быть использован для оценки порядка быстроколеблющихся полей напряжений, так как среднее поле есть правая часть уравнения Гельмгольца, т.е.

л к2 к2 -

с ік + 27 сік = 27 с л,

(11)

где знак черты относится к полю средних напряжений. В этом случае, очевидно, имеем

еМх,у)

сік = с°к + к21 сік(У)——-&Уу

V г(х,у)

(12)

(10)

где V — объем микронеоднородного тела, а а0 удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца. Для больших значений k можно дать оценку интеграла в (12), используя метод стационарной фазы. Прежде всего, мы интегрируем по отношению к расстоянию г при малом телесном угле dю, что дает нам

__ ^ікт

к2 [ с ік (у)----------г =

V г

= -ік|сік(х^) г(#,ф)ек(!ЗАф^іп# dф. (13)

Рис. 2. Экспериментальная картина периодичности распределения линий сдвигового скольжения в модели из влажной природной глины при расстоянии между линиями 1-го порядка 2,0-2,5 см (а); 1,0-1,5 см (б)

Мы можем произвести оценку интеграла в правой части (13), если вернемся к прямоугольным координатам х, у, z. Площадью интегрирования теперь является поверхность S = z(х, у).

Стационарная фаза интеграла в (12) определяется дифференцированием фазовой функции к(х,у) по переменным х, у, тогда как х и у принадлежат некоторой поверхности z = z(х, у) Уравнения для определения стационарных точек таковы

дг х + 2хХ Л Эг у + 22 У

Т— =---------------- = 0, — =------------------- = 0.

Эх г Эу г

(14)

Формула (14) означает, что 2X = - хI2, 2 'у = - УI2 , т.е. х2 + у2 = С, а также х 2 + у2 = С. Иными словами, луч, испущенный из точки х , лежащей на поверхности S = z(х, у), должен пересекать поверхность в точке, которая является общей точкой для двух окружностей, а именно х2 + у2 = С и х 2 + у2 = С, т.е. этот луч должен быть перпендикулярен соприкасающейся плоскости в точке пересечения (рис. 3).

Определитель Гесса (гессиан) функции г(х, у, S) дается выражением

Э 2 г Э 2 г г 2 Э

Эх2 Эу2 ч Эх Эу ,

1

или, более подробно,

(15)

+2(х 22уу - 2ХУ2ху + У 22хх ) = R■

(16)

Таким образом, вклад стационарной точки в объемный интеграл есть а* е1кг/я . Что касается однородного уравнения Гельмгольца

Аа

к 2 а 0к = 0,

то для него граничные условия типа Дирихле имеют вид

."к (5 ) = а* (X)-

R

(18)

Выражение (18) дает возможность записать интегральное уравнение для плотности потенциала v(S) быстроколеблющегося поля, в то время как свободный член этого уравнения зависит только от среднего поля напряжений. Имеем

Акг

а гк (5) + а гк (5)--=

R

Э

“М5 И у( У) -дт

Г

V

(19)

В левой части (19) величина Я есть безразмерное отношение между расстоянием и средним линейным размером объема V.

4. Обобщение закона Гука для сред, которые имеют петлю гистерезиса на диаграмме напряжение-деформация

Известно, что для многих экспериментов, связанных с трением, диаграмма напряжение-деформация есть замкнутая кривая, площадь которой (диссипируемая энергия) пропорциональна третьей степени напряжений (деформаций) [3], рис. 4. Можно аппроксимировать эту кривую эллипсом, так что большая полуось его пропорциональна напряжению (деформации), а малая — квадрату деформации. Такая аппроксимация сохраняет зависимость между диссипацией энергии и третьей

Рис. 3. Локализация стационарных точек у по точкам х при вычислении напряжений

Рис. 4. Диаграмма напряжение-деформация для криповых процессов при трении

степенью деформации. Хотя третья степень дисси-пируемой энергии есть малая величина, но более высокого порядка, чем упругая, мы не можем ею пренебрегать даже при малых деформациях (порядка 10-6), потому что в процессе трения имеем большие параметры

множителя, а именно ц/рР (где ц — модуль сдвига; Р

— вертикальная нагрузка; р — коэффициент трения) для зернистых частиц [3], и 1/ у е — большой параметр для трещиноватых сред, где у — предел упругости на сдвиг) [4]. Уравнение эллипса в комплексной форме имеет вид

О = Єп cos и + і Є0 sin и,

(20)

где и изменяется от 0 до 2п (см. рис. 4). Записывая (20) в другой форме, получим

В (21) разложение радикала ограничено первым членом, что соответствует замене дуги эллипса дугой некоторой параболы. Пренебрегая чисто мнимой постоянной

іє 0, мы можем, без потери общности, дать закон Гука

в комплексной форме

Ок = ^98* + 2^ ек (і ±

(22)

и здесь ^ — упомянутый большой параметр; D — второй инвариант девиатора тензора деформаций. В одномерном случае уравнение движения, с учетом (22), запишем в виде

21 uxx + /о uxxxx ± iєux uxx = 2 Utt'

где ю есть константа.

Уравнение (27) имеет частное решение:

V = еюcos(юx) (2 - V2 )п(юх)с!х =

= ею2 • pcos(2юx),

(28)

гдер есть среднее значение, р = (и2 - V2). А уравнение (26) с использованием (28) дает нам уравнение типа Матье

и + Ю2 и (1 - 2pЄcos(2Юx)) = 0.

(29)

(23)

Уравнение Матье имеет некоторые решения колебательного типа при более или менее малых ре, если же значение ре порядка единицы, так что множитель в скобках уравнения (29) меняет знак, то мы получим неустойчивые решения, которые могут расти неограниченно. Бесконечные значения вторых производных поля перемещений, которые появляются в уравнении Матье (29), означают, что объемные силы внутри тела также бесконечны. Следовательно, поверхность напряжений может иметь скачки напряжений во внутренних точках объема V микронеоднородной среды.

Для глубин порядка 20 км и коэффициента трения около 0,1 существует возможность получить неустойчивое напряженное состояние, если мезоструктуры имеют размеры в десятки раз меньше, чем средние линейные размеры всего объема V, и если средние деформации в этом объеме превышают 10-3. Падение коэффициента трения под действием флюидов или частичного плавления материала пород, есть, вероятно, один из возможных механизмов потери устойчивости мезострук-тур. Если же коэффициент трения стремится к бесконечности — неустойчивостей не возникает.

Если мы имеем малые значения постоянных 10 и е, уравнение (23) может быть сведено к уравнению третьего порядка типа Кортевега-де Вриза (КДВ), однако не к классическому уравнению КДВ, а к уравнению с чисто мнимым нелинейным членом. Используя характеристические координаты ^ = t - х, п = t + х, запишем

Эи Эи _ Э3и

— ± ієи------------р—- = 0.

Эп Э£ ИЭ^3

(24)

Уравнение же равновесия в одномерном варианте дается в форме

+ ю 2 w ± iєw2 = 0,

(25)

где w = и . Пусть комплексное число w = и + IV, тогда для реальной и мнимой частей получим следующие уравнения:

ихх + Ю2 и = 2ею2uv, (26)

V + Ю2 V = -ею2(м2 - V2). (27)

5. Об экспериментальном обнаружении мезоструктур в земной коре

Уравнения движения (24) типа Кортевега-де Вриза описывают распространение плоских Р и 5 волн. Своеобразие этих уравнений в том, что дисперсионный член, который содержит третью производную, в них тот же самый, что и в классических уравнениях КДВ. Этот член вызывает аномальную дисперсию как Р, так и, в особенности, 5 волн. Высокочастотная часть волнового поля распространяется с меньшими скоростями, чем низкочастотные. Поэтому первые вступления обогащаются низкими частотами. Такие явления могут описываться как затухание, хотя это неверно.

Роль нелинейного члена здесь совсем иная, поскольку этот член чисто мнимый, в отличие от классического уравнения КДВ. Именно этот нелинейный член вызывает истинное поглощение Р и 5 волн. Суммарный эффект нелинейных и дисперсионных членов следующий.

Рис. 5. Спектры Р и 5 волн на расстоянии трех длин волн от источника. II — спектры Р волн, III — спектры 5 волн, I — спектры Р и 5 волн в источнике

Частоты 5 волн меньше частот Р волн, и в пределе (на больших расстояниях от источника) отношение частот равно отношению скоростей, что хорошо подтверждается множеством опытов. Мы можем утверждать, что реальное, истинное затухание возможно для волн, в которых деформации не очень малы (порядка 10-6 и более). Если величина деформаций порядка 10-7 и менее, истинное затухание ничтожно мало. Однако, дисперсионные явления имеют место при любых деформациях, и сейсмические волны продолжают обогащаться низкими частотами в первых вступлениях на протяжении всего сейсмического процесса (рис. 5).

Таким образом, изучение изменения частот продольных и поперечных волн, пересекающих крупные блоки земной коры по различным траекториям (например, используя рефрагированные волны), может оказаться полезным инструментом для оценки размеров мезо-структур в земной коре.

Можно записать разностный оператор первого порядка как

A1 =

h Л f h

u| x +— I - u| x-------------

21 { 2

h

-u( x)— h

f h.

-D —D

(31)

а оператор второго порядка принимает вид

f

A 2 = u(x)

-Dv ----Dx

(32)

Оператор усреднения Р определен как среднеарифметическое значение, так что в трехмерном пространстве он имеет вид

P(u( x)) = — u( x)

exp| h D x |+ exp|_ yD x | +

(ЗЗ)

Каждое из слагаемых в (33) с учетом множителя имеет смысл вероятности перехода из любой точки пространства в любую к его ближайшей соседней точке при изотропном случайном блуждании.

Литература

1. Дыгнкин Е.Б., Юшкевич A.A. Теоремы и проблемы по марковским процессам. - М.: Наука, 1975. - 2З2 с.

2. Усманов ФЛ. Основы математического анализа геологических структур. - ФАН Уз.ССР, Ташкент, 1977. - C. 120-124.

3. Johnson K. /.//Contact mechanics. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. - P. 250-260.

4. Сибиряков Б.П. Микропластичность зернистых сред и ее влияние на сейсмические волны//Геология и геофизика. - Вып. З4. - № 2. -199З. - С. 88-100.

5. МасловВ.П. Методы операторов. - М.: Наука, 197З. - 17 с.

6. Приложение

^к известно, оператор переноса имеет вид

u(x + h) = u(x )e

AD

(З0)

где Dx = d/dx — дифференциальный оператор [5].