CC BY
47
УДК 519.833.5 ББК 210.301
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ МЕЖДУ ПРЕД к- И ПРЕД п-ЯДРАМИ РЕШЕНИЯ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР 1 2
Кацев И. В. 3 , Яновская Е. Б. 4
(Учреждение Российской академии наук Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН, Санкт-Петербург)
Определяется набор решений кооперативных игр с трансфе-рабельными полезностями, промежуточных между пред к- и п-ядрами. Все эти решения обладают свойствами симметрии, ковариантности и согласованности в определении Дэвиса-Машлера. Каждое решение из этого набора определяется параметром - положительным целым числом к, таким что для всех игр с числом игроков, не превосходящим к, решение для параметра к совпадает с пред п-ядром, а для игр с числом игроков, большим чем к, оно является максимальным согласованным решением, т. е. удовлетворяет свойству «к-обратной согласованности». Описываются свойства этих решений и дается их характеризация посредством сбалансированности некоторых наборов коалиций.
Ключевые слова: игра с трансферабельными полезностями, пред к-ядро, пред п-ядро, согласованность.
1 Работа поддержана РФФИ, проект №09-06-00155а
2 Текст приводится в соответствии с изданием «Математическая теория игр и ее приложения. - 2009. - Т. 1. №1».
3 Илья Владимирович Кацев, аспирант (economics-hse@yandex.ru).
4 Елена Борисовна Яновская, доктор физико-математических наук, профессор (eyanov@emi.nw.ru).
Введение
Классические кооперативные игры предполагают разрешенными любые коалиции из множества игроков. На практике по разным причинам оказывается, что не все коалиции возможны. Поэтому большой раздел теории решений кооперативных игр посвящен определению и нахождению решений для кооперативных игр с ограниченной кооперацией. Начало этим работам было положено Оуэном [13], который обобщил значение Шепли на игры с заданной коалиционной структурой. В дальнейшем именно линейные значения были определены и охарактеризованы для различных возможностей кооперации игроков. В первую очередь следует выделить работы Майерсона [9, 10], в которых были даны определение и аксиоматизация линейного «значения Майерсона». Другое важное значение (и тоже линейное) - «позиционное значение», рассмотренное в работах [4, 8]. Также аналоги значения Шепли были построены для некоторых специфических структур допустимых коалиций, например, в работах [2, 3].
Во всех этих работах ограниченная кооперация задавалась с помощью графа связей между игроками или с помощью наперед заданного набора допустимых коалиций.
Однако возможен и другой подход к определению ограниченной кооперации. В случае, когда нет экзогенно заданной коалиционной структуры, игрокам труднее объединиться в большие коалиции, чем в малые. Поэтому в таких случаях целесообразно считать коалиции разрешенными, если число их участников не превышает некоторого заданного числа. В данной статье максимальный размер разрешенных коалиций используется в качестве параметра, с помощью которого построен однопараметрический набор решений кооперативных игр, которые оказались «промежуточными» между популярными решениями: пред к-ядром и пред п-ядром.
Эти решения обладают схожей аксиоматической характеризацией: они непусты для любой кооперативной игры и удовлетворяют известным аксиомам симметрии, ковариантности относитель-
33
но линейных преобразований и согласованности в определении Дэвиса-Машлера [5].
Пред п-ядро является одноточечным решением, т. е. оно является минимальным (хотя и не единственно минимальным) решением, удовлетворяющим остальным аксиомам, а пред к-ядро обладает свойством обратной согласованности, иначе, оно является максимальным по включению решением, удовлетворяющим остальным аксиомам. Таким образом, оба они занимают крайние позиции среди множества ковариантных, симметричных и согласованных решений.
Если в определении пред п-ядра существенно используются сила всех коалиций, задаваемая значениями характеристической функции, то определение пред к-ядра можно рассматривать как набор таких векторов выигрышей, против исхода которых не может возразить ни одна пара игроков в смысле того, что их относительные максимальные «недовольства» оказываются равными, если этих игроков по очереди исключить из игры. Оказалось, что пред к-ядро можно определить оптимизационным образом так же, как и пред п-ядро, если сравниваемые вектора выигрышей отличаются только двумя компонентами. Дальнейшее расширение возможностей сравнений векторов выигрышей происходит увеличивающимся размером разрешенных коалиций, так что если все коалиции оказываются разрешенными, то мы получаем пред п-ядро.
В статье определен и охарактеризован набор решений кооперативных игр, «промежуточных» между пред к-ядром и пред п-ядром. Каждое решение РКЖ^ определяется максимальным размером разрешенных коалиций к, где к = 2,3,.... Решение РКЖ^ совпадает с пред к-ядром для к = 2. Для к > 2 вектор выигрышей х принадлежит решению РКЖ^(Ж, у), если для каждой коалиции Б С N |Б| = к выполнено х^ = РЖ (Б, Vх), где {Б, Vх) - редуцированная игра в определении Дэвиса-Машлера на множество игроков Б относительно вектора х.
Решения РКЖк имеют и другое определение в терминах лексикографической минимизации аналогично определению пред
34
п-ядра, которое определяется как множество векторов выигрышей лексикографически минимизирующих векторы эксцессов, компоненты которых расположены в порядке убывания. Решение РКЖк для каждой игры определяется аналогичной «частичной» лексикографической минимизацией векторов эксцессов, которая сравнивает между собой только векторы с не более чем к разными координатами. Из этого определения следует, что для любой игры {Ж, у) и к <1 РКЖг(Ж, у) С РКЖк(Ж, у), и РКЖк(Ж, у) совпадает с пред п-ядром для к ^ п. Таким образом, набор решений РКЖк, к = 2,..., можно рассматривать как «мост» между пред к-ядром и пред п-ядром.
Структура статьи следующая: в параграфе 2 приводятся основные определения и свойства известных согласованных решений и определения рассматриваемого набора таких решений. Параграф 3 посвящен оптимизационному подходу к определениям пред к-ядра, пред п-ядра и набору рассматриваемых решений. Модификация определения сбалансированности наборов коалиций и ее применение к характеризации решений из предлагаемого набора дается в параграфе 4. Примеры таких решений даны в параграфе 5.
1. Определения и основные свойства решений кооперативных игр с трансферабельными полезностями
Кооперативной игрой с трансферабельными полезностями (ТП игрой) называется пара {Ж, у), где Ж - конечное множество игроков; у : 2м ^ М - характеристическая функция игры сопоставляющая каждой коалиции Б С Ж вещественное число у (Б) (полагается у(0) = 0), выражающее силу коалиции. Исходом игры называется вектор выигрышей игроков х € Мм € X(Ж, у), где X(Ж, у) = {х € Мм | £хг ^ у(Ж)} - множество допустимых векторов выигрышей.
Решением а для класса Я ТП игр называется отображение, сопоставляющее каждой игре {Ж, у) € Я некоторое подмножество а(Ж,у) С X(Ж, у)
Через X*(Ы,у) обозначим множество эффективных векторов выигрышей:
X*(Ж,у) = {х € Мм | ^хг = у(Ж)}.
геМ
Если для каждой игры {Ж, у) из класса Я |а(Ж, у)| = 1, то решение а называется значением.
Пусть N - произвольное универсальное множество игроков. Через Ям будем обозначать такой класс игр , что
{Ж, у) € Ям =^ Ж СЯ.
Пусть п : Ж ^ N - взаимно-однозначное отображение. Определим игру {п(Ж ),пу) € Ям равенствами у(п(Б)) = у (Б) для всех Б С Ж. Для любого вектора х € Мм обозначим через у = п(х) такой вектор у € Мп(м), что уп(г) = хг,г € Ж. Игра {Ж', т) называется изоморфной игре {Ж, у), если существует такое взаимнооднозначное отображение п : Ж ^ N, что п(Ж) = Ы' и пу = т.
Две игры {Ж, у), {М',т) € Ям называются стратегически эквивалентными , если существует такое взаимно-однозначное отображение п : Ж ^ N, что п(Ж) = Ж' и такие вектор в € Мм и положительное число а> 0, что т = п(у'), где у' = ау + в.
Напомним некоторые известные свойства теоретико-игровых решений:
Решение а для класса Ям называется
- не пустым, если а(Ж, у) = 0 для всех {Ж, у) € Ям;
- эффективным, если ^ Фг(Ж,у) = у (Ж) для любого х €
гем
а(Ж, у) и любой игры {Ж, у) € Ям;
- анонимным, если для любых игры {Ж, у) € Ям, игрока г € Ж и отображения п : Ж ^ N игра {п(Ж),пу) € Ям и а-к(г)(п(Ж),пу) = аг(Ж, у);
- симметричным, если для любой игры {Ж, у) € Ям симметричные игроки г, ], для которых у(Б и {г}) = у(Б и {]}) для всех Б ^ г,], получают поровну: хг(Ж,у) = х^(Ж, у) для всех х € а(Ж, у);
- ковариантным, если оно ковариантно относительно стратегически эквивалентных игр {Ж, у), {Ж', т): из т = п(ау + в) следует
а(Ж', т) = п(аа(Ж, у) + в)
для всех а > 0,в € Мм, где (ау + в)(Б) = ау(Б) + ^ вг
гея
для всех Б € Ж;
- удовлетворяет инвариантности относительно сдвига, если для любой игры {Ж, у) € Ям и числа Ь {Ж, у + Ь) € Ям, и
х € а(Ж,у) =^ х € а(Ж,у + Ь),
где (у + Ь)(Б) = у(Б)+ Ь для всех Б ^ Ж, и (у+Ь)(Ж ) = у (Ж);
- непрерывным, если из {Ж, у) = {Ж, уп) € Ям, уп ^ у,хп € а(Ж, уп), хп ^ х при п ^ ж, следует х € а(Ж, у);
- согласованным, если для любой игры {Ж, у) € Ям, коалиции Т С Ж, и вектора х € а(Ж, у) ее редуцированная игра (Ж \ Т, у°М\т), полученная после ухода игроков из коалиции Т с выигрышами хг,г €Т, также принадлежит классу Ям и
(1) х = (хм\т,хт) € а(Ж,у) =^ хм\т €а(Ж \ Т,у<М\т);
- обратно согласованным, если для х € X(Ж, у) из соотношений х{г^} € а({г,]},у°хг^}) для всех г,] € Ж следует
х € а(Ж, у);
- удовлетворяет свойству подтверждения, если из х €
а(Ж,у), Б С Ж, у я € а(Б,у%), {Б,ух) € Ям, где {Б,ух) -
редуцированная игра на множество игроков Б относительно вектора х, следует (хм\я, уя) € а(Ж, у).
В формулировках трех последних свойств использовались редуцированные игры. Такие игры не определены просто заданием игры и ее векторов выигрышей, относительно которых происходит редуцирование. Различные определения редуцированных игр приводят к различным свойствам согласованности решений. В данной работе используется определение согласованности в определении Дэвиса-Машлера со следующим определением редуцированных игр:
Пусть а произвольное решение для класса Ям, {Ж, у) € Ям -произвольная игра, х € X*(Ж,у), Б ^ Ж - произвольные вектор выигрышей и коалиция.
Редуцированной игрой (Б, ) на множество игроков Б отно-
сительно вектора х называется игра со следующей характеристической функцией:
{уШ) — х(Ж \ Б), если Т = Б,
ух (Т) = <
| тах (у(Т и О) — х(О)) для остальных коалиций.
{Ясм\я
Из определений последних трех свойств решений следует, что если для некоторого класса игр Ят мы рассматриваем множество всех согласованных (и, возможно, удовлетворяющих еще каким-либо свойствам) решений, то в этом множестве одноточечные решения, т. е. значения, если они существуют, являются минимальными 5 относительно включения, а те из них, которые удовлетворяют еще свойству обратной согласованности, являются максимальными относительно включения. Для класса игр с бесконечным универсальным множеством игроков N среди множества всех непустых, эффективных, анонимных, ковариантных и согласованных решений существуют единственные одноточечное решение - пред п-ядро [1], и максимальное - пред к-ядро [14].
5 Хотя минимальным может быть и не одноточечное решение, см., напр. [12]
Приведем их определения.
Для произвольных игры {Ж, у) и ее вектора выигрышей х эксцессом коалиции Б относительно вектора х называется разность у (Б) — ^ хг. Эта разность выражает отрицательную отно-
гея
сительную полезность выигрыша х(Б) = ^ хг для коалиции Б.
гея
Вектор значений эксцессов е(х) = {е(Б, х)}ясм называется вектором эксцессов для х. В некоторых случаях мы будем пользоваться обозначениями еь (х), еь (Б, х) для того чтобы подчеркнуть, для каких характеристических функций определен соответствующий эксцесс.
Пред п-ядром (РЫ) называется решение, уравнивающие значения эксцессов относительно лексиминного упорядочения. Формально пред п-ядро игры {Ж, у), РЖ (Ж, у), состоит из единственного вектора выигрышей, определяемого из следующего соотношения:
(2) —е(РЖ(Ж, у)) У1ехтгп —е(х) для всех х € X(Ж, у). Существование и единственность пред п-ядра для каждой
игры следует из теоремы Шмайдлера [15], хотя он рассматривал только п-ядра, определяемые соотношениями (2), но только для индивидуально рациональных векторов выигрышей (дележей): х € I(Ж, у), где
I(Ж, у) = {х € X*(Ж, у) | хг ^ у({г}) Уг € Ж}.
Для любой пары игроков г,] € Ж и любого вектора выигрышей х определим максимальное превышение игрока г над игроком ] в х равенством
(х) = тЦМБ) — х(Б)).
Пред к-ядром [7] игры {Ж, у), РК(Ж, у), называется множество
(3) РК (Ж,у) = {х € X (Ж,у) I (х) = вц(х) для всех г,] € Ж}.
39
Пред п-ядро и пред к-ядро имеют аксиоматические характеризации. Рассмотрим класс всех игр Ям с бесконечным универсальным множеством игроков N.
Теорема 1. [1]. Единственным значением для класса Ям, удовлетворяющим аксиомам непустоты, ковариантности, анонимности и согласованности, является пред п-ядро.
Теорема 2. [11]. Единственным значением для класса Ям, удовлетворяющим аксиомам непустоты, ковариантности, симметрии и согласованности, является пред п-ядро.
Так как из одноточечности решения и его анонимности следует симметрия, теорема 2 является усилением теоремы 1.
Теорема 3. [14]. Единственным решением для класса Ям, удовлетворяющим аксиомам непустоты, ковариантности, симметрии, согласованности и обратной согласованности, является пред к-ядро.
Известно [1], что из согласованности следует эффективность, так что оба приведенных решения эффективны. Заметим, что вышеприведенные формулировки теорем 1 и 2 даются для значений, поэтому их можно (как это и делают авторы) сформулировать для общих решений, но добавляя при этом свойство одноточечности. При такой формулировке теорема 2 отличается от теоремы 3 одной аксиомой: Аксиома одноточечности в теореме 2 заменяется на обратную согласованность в теореме 3.
2. Решения, промежуточные между к-ядром и п-ядром
В этом параграфе строится набор решений для класса Ям с произвольным множеством N, каждое из которых для любой игры из этого класса содержит пред п-ядро и содержится в пред к-ядре. Свойства этих решений также совпадают со свойствами пред п-ядра и пред к-ядра, приводимыми в теоремах 2 и 3, кроме разделяющих их одноточечности и обратной согласованности: для некоторых игр и решений из приводимого набора эти решения оказываются одноточечными, в противном случае эти решения удовлетворяют ослабленным вариантам обратной согла-
40
сованности.
Заметим, что определение пред к-ядра, в противоположность определению п-ядра, не содержит никаких оптимизационных процедур, приводящих к решению. Однако на самом деле пред к-ядро имеет и определение, сходное с оптимизационным определением пред п-ядра. Для каждого вектора выигрышей х Є Мм, любой пары игроков і, і є N и трансфера между ними (Уі,Уі) '■ У і + У і = Хі + хі і, обозначим через хЦу^ вектор х, в котором компоненты Хі ,Хі заменены соответственно на у і, у і .
Предложение 1. Для того чтобы вектор выигрышей х произвольной игры ^,у) є Ят принадлежал пред к-ядру, х є РК^,у), необходимо и достаточно, чтобы
(4) —е(х) Уіехтт-е(хІІУіі) для всех і,і є N и трансферов Уі,Уі .
Доказательство. Достаточность. Предположим, что вектор х удовлетворяет (4), но не принадлежит пред к-ядру. Тогда найдутся такие игроки і, і, для которых (х) = віі(х), и пусть віі(х) > віі(х), что означает выполнение неравенства
тах (у(Б) — х(Б)) > тах (у(Б) — х(Б)).
Тогда для любого положительного е и трансфера (уг, у^) = (е, —е) справедливы неравенства
( < е(х,Б), если г € Б,] € Б,
(5) е(хЦу^, Б) <>е(х, Б), если ] € Б,г/Б,
= е(х, Б), иначе .
Следовательно, для достаточно малых е
e(x\\yij ) ^1ехтгп е(х),
что противоречит (4).
Необходимость. Предположим, что для некоторого х € РК (Ж, у), соотношение (4) не выполняется. Тогда найдется такой трансфер (yi,yj), что
(6) —е(х\\у^) Уьехтгп —е(х).
Пусть уг < Хi,yj > Хj. Тогда
!= e(Б,x||yi,yj) для коалиций Б:Бэг,] или Бэг,]; <e(Б,x||yi,yj) для коалиций Бэг, БЭ]; >e(Б,x||yi,yj) для коалиций Бэ],БЭг.
и первые неравные компоненты упорядоченных по убыванию векторов е*(х) и е*^^^ соответствуют некоторым коалициям Б' э ],Б' € г и Б'' э г, Б" Э ]. Из (7) и (х)= Sji(x) следует, что е(Б'', х) < е(Б'', хЦуг, yj), поэтому выполняется соотношение (4).
Утверждение 1 показывает, что и пред к-ядро, и пред п-ядро состоят из векторов, на которых отрицательный вектор эксцессов достигает максимума по отношению лексимина. Однако области, на которых производится максимизация этого отношения, разные для этих двух задач. Для пред п-ядра такой областью является множество всех допустимых векторов выигрышей X(Ж, у), а для пред к-ядра отношение лексимина рассматривается только между векторами, отличающимися не более чем двумя компонентами.
Очевидно, можно рассмотреть и другие возможности, которые приведут к построению решений, состоящих из векторов выигрышей, чьи отрицательные эксцессы достигают максимумов по отношению лексимина на множестве векторов, отличающихся только фиксированным числом компонент. Приведем формальные определения.
Определение 1. Для каждого целого числа к ^ 2 и произвольной игры (Ж, у) € Ям, ^| = п решение
, ч \РК(N,1]) для к = 2,
pкNkт,у) = I у , ; ,
|PN^,у), для к ^ п,
а для 2 < к < п
XЄPNKk ^,у) —е(х) Уіехтіи —е(хІІУв)
для любого трансфера уз, |Б| = к, определяемого равенством
Е уг = Е хг.
гея гея
Из определения 1 непосредственно следует монотонность решений РКЖк по к : для любой игры (Ж, у)
к! < к2 =^ РКЖк2 (Ж, у) С РКЖк2 (Ж, у).
Другие свойства решений РЖ К к будут приведены в следующих разделах.
3. Характеризация решений РК^ посредством сбалансированности
Прежде всего, заметим, что решения РКЖк удовлетворяют ковариантности и симметрии: ковариантность решений РКЖк следует из их определения - они определяются с помощью отношения лексимина на подмножествах множества векторов эксцессов, а векторы эксцессов при ковариантных преобразованиях характеристической функции и вектора выигрышей отличаются только одинаковым положительным множителем, так что отношение лексимина сохраняется; симметрия решений РЖКк также следует из их определения. Действительно, определение 1 показывает, что для любой игры (Ж, у) € Ям и всех к РЖКк(Ж, у) С РК(Ж, у).
Из определения 1 следует, что решения РЖКк одноточечны для класса Ям с |N| = к.
Приведем характеризацию решений РКЖк с помощью сбалансированности наборов коалиций, аналогичную характеризации Колберга пред п-ядра [6].
Определение 2. Набор Б коалиций Б С Ж называется к-сбалансированным, если для любой коалиции К С Ж мощности ^ | = к набор
Бк = {Б' С К | Б' = Б П К, Б € Б} является сбалансированным на множестве К.
Теорема 4. Для того чтобы х € РЖКк(Ж, у) для произвольной игры (Ж, у) € Ям необходимо и достаточно, чтобы для любого числа а набор коалиций
Вка(х,у) = {Б €Ж | е(Б,х) ^ а}
являлся пустым или к-сбалансированным
Доказательство. Необходимость. Пусть х € РЖКк(Ж, у),
К С Ж - произвольная коалиция мощности ^| = к. Тогда для любого трансфера ук € Мм, ук (К) = хк(К) выполняется соотношение
(8) е(х) —1ехтгп Ф^К).
По определению трансфера ук для любой коалиции Б С Ж
е(х,Б) > е(хЦук,Б) =^ у(Б П К) > х(Б П К).
Следовательно, из отношения (8) следует неразрешимость системы неравенств
(9) х(Б П К) ^ ук(Б П К) для всех Б € Вк(а)
и для произвольного а, если хк Ф у к.
Так как х(К) = ук (К), то по теореме Колберга [6]
неразрешимость системы неравенств (9) эквивалентна к-сбалансированности набора коалиций Ва или ее пустоте.
Достаточность. Пусть наборы Ва к-сбалансированы или пусты для всех а. Рассмотрим а, для которого Ва = ®. Тогда для любой коалиции К мощности | К| = к и трансфера ук = хк невозможны неравенства ук (Б П К) ^ х(Б П К) для всех Б € Ва, что означает существование такой коалиции Тк,а € Ва, что ук(Тк,а П К) < х(Тк,а П К).
Пусть а1 = шахяс^ (у(Б) — х(Б). Тогда либо х(Б) = у (Б) для всех Б € Ва1, либо найдется такая коалиция Тк,а1 € Ва1, для которой (хЦук)(Тк,а1) < х(Тк,а1), откуда получаем отношение
е(х) г-1ехтгп е(х||ук).
44
Если x(S) = y(S) для всех S £ Bai, то рассмотрим второй по величине эксцесс
а2 = max (v(S) — x(S)).
S:S(jLBai
Опять имеем либо x(S) = y(S) для всех S £ Ва2, либо найдется такая коалиция Тк,а2 £ Ва2, для которой (хЦук)(Тк,а2) < х(Тк,а2), и мы опять получаем —e(x) ^lexmin —е(хЦук).
Повторяя эту процедуру, мы придем к тому, что либо УК =
xK, либо e(x) ^lexmin e(xllyK).
4. Свойства согласованности решений PKNk
Как будет далее показано в этом параграфе, решения PKNk согласованы для всех к. Однако они не удовлетворяют свойствам обратной согласованности и подтверждения. Поэтому для характеризации этих решений единой системой аксиом мы определим «k-модификации» этих аксиом, аналогично тому как «к-сбалансированность», обобщающая понятие сбалансированности, была определена в предыдущем параграфе. Будет показано, что для каждого к решение PKNk удовлетворяет к-модифицированным аксиомам обратной согласованности и подтверждения.
Определение 3. Решение а для класса Gn удовлетворяет свойству к-обратной согласованности, если для любой игры (N,v) £ Gn и x £ X(N,v) из соотношений xK £ a(K,vK) для всех K С N с IKI = к следует x £ a(N, v).
Легко видеть, что обратная согласованность эквивалентна 2-обратной согласованности, а из к-обратной согласованности следует l-обратная согласованность для I > к. Это свойство не накладывает никаких условий на решения игр с числом игроков меньших или равным к.
Определение 4. Решение а для класса Gn удовлетворяет свойству к-подтверждения, если для любых игры (N, v) £ Gn, вектора x £ a(N,v) и коалиции S С N, |S| ^ к, yS £ a(S,vx),
45
где (Б, ух) - редуцированная игра на множество Б относительно вектора выигрышей х, выполняется соотношение (хN\я,уя) €
а(Ж, у).
Очевидно, из свойства I-подтверждения следует свойство к-подтверждения для к < I.
Из теоремы 4 легко следуют свойства согласованности и к-согласованности решений РЖКк :
Предложение 2. Решения РЖКк согласованы в классе Ям для любого к ^ 2.
Доказательство. Пусть (Ж, у) € Ям - произвольная игра и х € РЖКк (Ж,у). Если к ^ п = ^ ^ то х = РЖ (Ж, у), и согласованность решения РЖКк следует из согласованности пред п-ядра.
Рассмотрим случай к < п. По теореме 4 для каждого а наборы Ва к-сбалансированы. Следовательно, наборы
Ва П Т = {Б С Т | Б = Б' П Т,Б' € Ва}
также к-сбалансированы для любой на любой коалиции Т С Ж.
Для редуцированной игры (Т, у?х) на множество игроков Т С Ж соответствующий набор коалиций Ва, обозначаемый как В^, равен В^ = Ва П Т. Из этого равенства и теоремы 4 следует соотношение хт € РЖКк (Т,ухх).
Предложение 3. Для всех к ^ 2 решение РЖКк удовлетворяет 1-обратной согласованности на классе Ям для I ^ к.
Доказательство. Из определения 3 следует, что достаточно установить это свойство для игр с числом игроков п > к.
Пусть (Ж, у) € Ям, №| > к, х € X(Ж, у), и хк = РЖКк (К, ухк) = РЖ (К, ухк) для всех коалиций К С Ж, ^ | = к, где (К, ухк) - редуцированная игра на множество игроков К относительно х.
Тогда для таких коалиций К выполняется отношение
(10) е'€к (хк) -1ехтгп е'иК (ук)
для любого вектора выигрышей у к € X (К, у’к )■ Из отношений
(10) следуют отношения
еь (х) -1ехтгп еь (х||ук) дЛЯ всех К, \К | — k,
откуда, по определению, х € РЖКк(Ж, у).
Предложение 4. Решение РКЖк обладает свойством к-подтверждения на классе Ям■
Доказательство. Для игр (Ж, у) € Ям с числом игроков ^ | ^ к по определению 1 решения РКЖк одноточечны, а по утверждению 1 они согласованы. Следовательно, для таких игр решение РКЖк обладает свойством к-подтверждения.
Пусть теперь ^| > к и х € РКЖк(Ж, у). Рассмотрим редуцированную игру (Б,ух) на множество игроков Б, |Б| ^ к относительно х. Тогда по свойству согласованности решения РКЖк выполняется соотношение хз' € РКЖк(Б,ух). Однако решение РКЖк(Б,ух) одноточечно, поэтому хз = РКЖк(Б,ух), откуда и следует свойство к-подтверждения решения РКЖк.
Заметим, что свойства решений РКЖк для любого к ^ 2, описанные в утверждениях 2-4, были определены и установлены для всех игр в классе Ям.
5. Пример
Для игр двух и трех лиц пред к-ядро совпадает с пред п-ядром. Следовательно, решения РКЖк также совпадают с этими решениями.
Для игр четырех лиц ^| = 4 решение РКЩ(М,у) = РЖ (Ж, у). Решение РКМ4(Ж, у) состоит из всех векторов выигрышей, которые редуцируются на пред п-ядро во всех редуцированных играх трех лиц. Так как в играх трех лиц пред п-ядро совпадает с пред к-ядром, получаем, что РКЖ4(Ж, у) = РК(Ж, у).
Открытым вопросом остается нахождение минимального п, для которого нашлась бы такая игра (Ж, у), ^| = п, для которой РКЖк = РЖ (Ж, у), РК (Ж, у) для некоторого 2 < к < п.
В этом параграфе мы покажем, что п ^ 11 путем построения примера игры 11 лиц, для которой для некоторых к решения РКЖк отличны и от пред к-ядра, и от пред п-ядра.
Рассмотрим игры Г1 = (Ж1,у1), Г2 = (Ж2 ,у2), где =
5, | ^21 = 6. Для определения их характеристических функций
47
у1 и у2 обозначим Ж1 = {1, 2, 3, 4, 5}, и Ж2 = {1', 2', 3', 4', 5', 6'}, Б1 = {1, 2, 3}, Б2 = {4, 5}, Бз = {1', 2', 3', 4'}, Б4 = {5', 6'} В этих обозначениях характеристические функции у1 , у2 определяются следующим образом:
у1(М1 ) = у2 (^) = 6,
у1(г,],к)=3, если г,] € Б1,к € Б2,
у2(г,],к)=3, если г,] € Б3,к € Б4,
у1(Б) = у2 (Т) = 0 для остальных Б С Ж1,Т С Ж2.
Игры Г1 и Г2 являются модификациями игры из известного примера в [5]. В игре ^ игроки 1, 2, 3 и 4, 5 симметричны, а в игре Г2 игроки 1', 2', 3', 4' и 5', 6' симметричны. Следовательно, нетрудно проверить, что пред к-ядра этих игр имеют следующий вид:
(11) РК(Ж1,у1) = {1,1,1, 3 — Щт, 3 — 3т}4е[0,3] ,
РК(Ж2,у2) = {т, т, т, т, 3 - 2т, 3 - 2т}те[0,3] .
Если х € РК(Ж1,у1), то
(12) 5,(у1,х)Л для 1 « 3/2
\{г,3,к}г,^зз1 ,кв32, {к}, к € Б2 для 1 = 3/2.
Набор коалиций во второй строке равенств (12) сбалансирован, и вектор из пред п-ядра, соответствующий значению
1 = 3Т, равен пред п-ядру игры Гь Набор коалиций в первой строке равенств (12) не является сбалансированным, но он 3-сбалансирован, поэтому по теореме 4, РКМ3(М1,у1) = РК(Ж1,у1), РК^^ух) = РЖ(Ж1,у1).
Аналогично, если у € РК(Ж2,у2), то
51(у2,у) = {г,],к}^еЯ3,кеЯ4:
и этот набор сбалансирован.
48
Обозначим через (12 , у) набор коалиций из множества иг-
роков N2, на котором достигается второй по величине эксцесс для вектора у:
S2(v2,y)=arg тах в(у2,у).
(У2,у)
Тогда этот набор имеет следующий вид для разных значений Ь :
!{і}, і є £3, если Ь є [0,1),
{к}, к є Б4, если Ь Є (1, §),
{і}, і є Б3, {к}, к є Б4, если Ь = 1.
Наборы в первых двух строках равенств (13) не являются
сбалансированными, но они 5-сбалансированы; набор в третьей строке (13) сбалансирован, и вектор у, соответствующий значению Ь = 1, совпадает с пред п-ядром. Из теоремы 4 следует
ГКЩ(^,у2) = ГКЩ (^,у2) = РК ^,у),
РК^(^,У§) = PN (Щ,у§).
Рассмотрим теперь сумму игр ^, у) = Г +Г2, где N = N1 и N, и если Q = Б и Т,Б С N1,Т с Щ, то у(<^) = у1(Б) + у2(Т). Покажем, что для любого к
PNKk(N,1) = PNKk^1,у1) х PNKkN,у2).
Для доказательства этого результата нам понадобится простое свойство пред к-ядра суммы игр.
Лемма 1. Пусть ^, у)- сумма двух игр:
(N,1) = {N1,11) + {N2,12).
Тогда для любого х є PK ^, у) и любого числа а наборы коалиций
{£ ^ N1, | е(Б, у) ^ а, },і = 1,2 является пустыми или 2-сбалансированными.
Доказательство. Пусть S = Si U S2 - произвольная коалиция, Si С Ni,S2 С N2. Тогда e(S,x) = e(Si,x) + e(S2, x) и
e(Si,x) ^ a =^ e(S,x) ^ a + e(S2,x).
Пусть i £ Si, j £ Ni \ Si. Так как e(S,x) ^ sij(x) = max e(Q,x) и x £ PK(N,v), найдется такая коалиция T С N,
Q:Q3i
Q^j
для которой j £ T,i £T, и e(T, x) ^ e(S, x) ^ a + e(S2, x). Пусть T = Ti U T2, Ti С Ni, i = 1, 2. Тогда
(14) e(T, x) = e(Ti,x) + e(T2 ,x) ^ a + e(S2, x).
Заметим, что равенство (14) выполняется для любых коалиций
S2 С N2, следовательно, и для S2 = T2, и из неравенства (14) следует e(Ti,x) ^ a.
Покажем теперь, что для выше приведенной игры (N, v) x(Ni) = x(N2) = 6 для любого x £ PK(N,v). Предположим, что это не так. Тогда для некоторого вектора выигрышей x £ PK(N,v) справедливо либо неравенство x(Ni) > 6, либо неравенство x(Ni) < 6. Рассмотрим оба случая.
1. x(Ni) > 6. Возьмем коалиции T £ argmaxScNl e(S,x), U £ argmaxScN2 e(S,x). Покажем, что e(T,x) ^ 0. Предположим противное: e(T,x) < 0. Так как e(N2,x) > 0, то и e(U,x) > 0. Для произвольных игроков i £ T,j £ U рассмотрим коалицию R : e(R,x) = Sj (x), и пусть она имеет вид R = Ri U R2, R С Ni, i = 1, 2. Тогда
e(R, x) = e(Ri,x) + e(R2,x) ^ e(T, x) + e(U, x) < e(U, x).
Полученное противоречие доказывает, что e(T, x) ^ 0.
Из симметрии игроков в коалициях Si, S2, S3, S4 следует, что любой вектор x из пред k-ядра PK(N,v) можно представить в виде
3t 3t
(1З) x = (t,t,t,B - — ,B - — ,y,y,y,y, б - B - 2y, б - B - 2y) ЗО 2 2
где 2В = х(М]) = 12 — х(Ж2). Проверим, какой может быть коалиция Т С Жх, с максимальным неотрицательным эксцессом е(Т,х) ^ 0. Так как х € РК(Ж, у), по симметрии игроков в коалициях Бх , Б2 для 1 > 0 неравенство е(Т,х) ^ 0 возможно только для Т = {4, 5}, {г, 4, 5}, г € Бх. Игроки 4, 5 принадлежат всем этим коалициям. Однако по лемме 1 найдется такая коалиция Q С Ж1,д ^ 4, или Q ^ 5, что е(<^,х) = е(Т, х).
Если 1 = 0, то е(Т,х) = 0, и е(Б,х) = 0 =^ Б С Бх. Опять по лемме 1 этот случай невозможен.
Рассмотрим случай 1 > 0. Аналогично вышеприведенным рассуждениям мы получаем, что коалиция Т может иметь вид только Т = {1, 2, 3}, {1, 2, 3, к}, где к € Б2, для того чтобы быть кандидатом на коалицию с максимальным эксцессом.
Однако, так как игроки 1, 2, 3 принадлежат всем таким коалициям, этот случай также невозможен.
2. х(К1) < 6. Тогда х(Ж2) >, и е(Ж2,х) < 0. Аналогично случаю 1 мы получаем, что е(и, х) > 0 и В < 3 в представлении
(15). В этом случае е({г, ], к}, х) = В—3 < 0 для г,] € Б3,к € Б4, откуда {г, ], к} = и. Таким образом, если у ^ 0, то и = Б4 , а если у < 0, то и = Бз единственные возможные кандидаты на коалиции с максимальным эксцессом. Однако по лемме 1 оба эти случая невозможны.
Таким образом, мы доказали равенства х(Мх) = х(Ж2) = 6, и для любой коалиции Б С Ж, Б = Бх и Б2,Бi С ^,г = 1,2, справедливо равенство
е<и (Б,х) = е^1 (Б1,х) + еу2 (Б2,х),
где через е^ (■, ), г = 1,2, обозначены эксцессы в играх {Ж1,у1), {М2,у2). Следовательно, из представления 11 мы получаем равенства
РК (Ж, у) = РК (Ж1,у1) х РК (Ж2,у2) =
Те [0,3 ],уе [0,3 ]
= <! 1,1,1, 3 — '2-, 3 — 31,у,у,у,у, 3 — 2у, 3 — 2у
из которых следует соотношение РК (Ж, у) С С (Ж, у) где С (Ж, у) - с-ядро игры {Ж, у). Следовательно, если е(Б,х) ^ а, для некоторой коалиции Б С Ж, то а ^ 0 и
Б П Ж1 = 0, Б П Ж2 = 0 =^ е(Б П Жх) ^ а, е(Б П ^^ а.
Из этого соотношения мы можем заключить, что к-сбалансированность наборов Ва для всех а ^ 0 эквивалентна к-сбалансированности наборов Вга для всех а ^ 0, где Вга = {Б П ^, | Б € Ва}.
Теперь с помощью теоремы 4 мы получаем равенства РЖКк(Ж, у) = РЖКк(Ж1,у1) х РЖКк(Ж2,у2) для всех к =
2, 3,.... Итак, для игры-суммы мы получаем следующие решения:
РЖ (Ж, у) = РМК2(Ж,у) = РЖК3 (Ж,у) =
3х 3х
= \ 1,1,1,3 — —, 3 — —,у, у, у,у, 3 — 2у, 3 — 2у
те [0,3 ],уе [0,3 ]
2 2 I +^Гп 31 „,сГп 31
33333
РЖК4(М,у) = <{ -, -, -, -, - ,y,y,y,y, 3 — 2у, 3 — 2у .
2 2 2 4 4 )у е [0,2]
333333
РМК5(М, у) = РЖ (М, у) = \2, -, 2, -, -, -4, 1,1,1,1,1,1
Литература
1. СОБОЛЕВ А. И. Характеризация принципов оптимальности в кооперативных играх посредством функциональных уравнений // Математические методы в социальных науках. Под ред. Н. Н. Воробьева. - 1975. - №6. - Вильнюс: Институт физики и математики АН Литовской ССР. -С. 94-151.
2. ALGABA E., BILBAO J. M., BORM P., LOPEZ J. J. The Myerson Value for Union Stable Structure // Mathematical Methods of Operations Research. - 2001. - V. 54. - P. 359371.
3. ALGABA E., BILBAO J.M., VAN DEN BRINK R., JIMENEZ-LOSADA A. An axiomatizations of the Banzhaf value for cooperative games on antimatroids // Mathematical Methods of Operations Research. - 2004. - V. 59. - P. 147166.
4. BORM P., OWEN G., TIJS S. On the position value for communication situations // SIAM Journal on Discrete Mathematics. - 1992. - V. 5. - P. 305-320.
5. DAVIS M., MASCHLER M. The kernel of a cooperative game // Naval Research Logistics Quarterly. - 1965. - V. 12.
- P. 223-259.
6. KOHLBERG E. On the nucleolus of a characteristic function game // SIAM Journal of Applied Mathematics. - 1971. -V. 20. - P. 62-66.
7. MASCHLER M., PELEG B., SHAPLEY L. S. Geometric properties of the kernel, nucleolus, and related solution concepts // Mathematics of Operations Research. - 1979. -V. 4. - P. 303-338.
8. MEESSEN R. Communication games. Master’s thesis. Department of Mathematics. University of Nijmegen, The Netherlands (in Dutch), 1988.
9. MYERSON R. B. Graphs and cooperation in games // Mathematics of Operations Research. - 1977. - V. 2. - P. 225229.
10. MYERSON R. B. Conference structures and fair allocation rules // International Journal of Game Theory. - 1980. - V. 9. -P. 169-182.
11. ORSHAN G. The prenucleolus and the reduced game property:equal treatment replaces anonymity // International Journal of Game Theory. - 1993. - V. 22. - P. 241-248.
12. ORSHAN G., SUDHOLTER P. Reconfirming the
prenucleolus // Mathematics of Operations Research. - 2003.
- V. 28. - P. 283-293.
13. OWEN G. Values of games with a priori unions //In:R. Henn, O. Moeschlin, eds., Mathematical economics and game theory. Essays in honor of Oskar Morgenstern (Lecture Notes Econ. and Math.Syst. - 1977. - V. 141. - Berlin: Springer. - P. 76-88.
14. PELEG B. On the reduced game property and its converse // Internat. J. Game Theory. - 1987. - V. 15. - P. 187-200, A correction // Internat. J. Game Theory. - 1987. - V. 16. -P. 209.
15. SCHMEIDLERD. The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics. - 1969. - V. 17. -P. 1163-1170.
BETWEEN THE PREKERNEL AND THE PRENUCLEOLUS
Ilya Katsev, post-graduate student(economics-hse@yandex.ru). Elena Yanovskaya, St.Petersburg Institute for Economics and Mathematics RAS, St.Petersburg, Doctor of Science, professor (eyanov@emi.nw.ru).
Abstract: A collection of TU games solutions intermediate between the prekernel and the prenucleolus is considered. All these solutions are Davis-Maschler consistent, symmetric and covariant. Each solution from the collection is parametrized by a positive integer k such that for all games with the number ofplayers not greater than k the solution for parameter k coincides with the prenucleolus, and for the games with more than kplayers it is maximal, i.e. satisfies the "k-converse consistency". The properties of solutions are described and their characterization in terms of balancedness is given.
Keywords: TU game, prekernel, prenucleolus, consistency.
