Производная функции множества по мере и её применение (теоретические основы инвестиционных задач) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

МОДЕЛЮВАННЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТУ ТА ЕКОНОМ1КИ

УДК 517.5

А. А. БОСОВ1 , П. А. ЛОЗА

1*

2*

1 Каф. «Прикладная математика», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 373 15 36, эл. почта ааЪ080У@1.иа, ОЯСГО 0000-0002-5348-2205

2*Каф. «Электроподвижной состав железных дорог», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел. +38 (056) 373 15 31, ОЯСГО 0000-0002-6698-5629

Цель. В работе необходимо разработать теоретические основы для решения инвестиционных задач, представленных в виде функций множества как задач векторной оптимизации или задач на условный экстремум. Методика. В качестве исследования инвестиционных задач используются функции множества и их производные по мере. Доказывается необходимое условие минимума функции множества. В задачах на условный экстремум используется метод Лагранжа. Показано, что этот метод применим и для функций множества. Для доказательства используется мера, обобщающая меру А. Лебега, и вводится понятие предела последовательности множеств. Отмечается, что введенный предел по мере совпадает с классическим пределом по Э. Борелю и может быть использован при доказательстве существования производной от функции множества по мере на сходящейся последовательности множеств. Результаты. Предложен алгоритм решения инвестиционной задачи на условный экстремум применительно к задачам инвестирования. Научная новизна. Научная новизна состоит в том, что в многовариантных задачах на условный экстремум от непосредственного перебора можно отказаться, а использовать предлагаемый алгоритм построения (отбора) вариантов, которые позволяют строить выпуклую линейную огибающую решения по Парето. Данная огибающая позволяет лицу, принимающему решения (ЛПР), выбрать такие варианты, которые «лучше» с его позиции, и учитывать некоторые критерии, формализация которых затруднена или они не могут быть описаны в математических терминах. Практическая значимость. Результаты исследования дают необходимое теоретическое обоснование принятия решений в инвестиционных задачах, когда объектов инвестирования значительное число и непосредственный перебор вариантов весьма затруднителен по затратам времени даже для современной вычислительной техники.

Ключевые слова: алгебра множеств; функции множества по мере; производные функции множества по мере; пределы последовательности множеств

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА ПО МЕРЕ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ЗАДАЧ)

Введение

n

Среди множества задач инвестирования необходимо выделить наиболее часто встречающуюся, когда надо найти максимум функции

при условии

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

I / (X ) = ^ ,

7=1

где х7 - объем инвестирования, 7 -го объекта; с - капитал, который необходимо распределить по п объектам (предприятиям); Е (х) -

прибыль от распределения инвестиций по предприятиям.

С математической точки зрения данная задача представляет собой многомерную задачу на условный максимум. Р. Беллман [2] предложил свести эту задачу к решению п задач одномерной оптимизации, что позволяет значительно упростить поиск максимума исходной многомерной задачи.

В работах [9, 10] предложено усовершенствованные алгоритмы процедуры Р. Беллмана.

Основным недостатком подобного подхода к решению рационального инвестирования является отсутствие возможности вариации перечнем объектов инвестирования. Еще одним из недостатков является отсутствие определения последовательности вложения капитала. Заметим, что вариацию набора предприятий можно произвести, но тогда необходимо решить 2п подобных задач.

Так, например, при п = 100 должно быть решено 2100 задач. И если быстродействие такое, что за одну миллионную долю секунды решается одна задача, то потребуется непрерывно работать 4 -1014 веков, что значительно более существования жизни на земле.

Другими словами имеем неполимиальной сложности задачу [1, 5], что приводит к необходимости разработки нового математического аппарата.

Цель

Разработать теоретические основы для решения инвестиционных задач, представленных в виде функций множества как задач векторной оптимизации или задач на условный экстремум.

Методика

Предложены основы исчисления функций множества.

Введена производная от функции множества по мере и получено необходимое условие минимума функции множества.

Доказана возможность применения метода Лагранжа в задачах на условный экстремум в терминах функций множества.

Постановка проблемы. В работе [2] приводится предположение А. Коши, которое заключается в том, что любой показатель может быть измерен, если математической моделью его является функция множества.

В данной работе предлагается построение исчисления функций множества и ее производной для решения задач оптимизации.

Функции множества. Мера. Пусть О некоторое множество, а А (О) - класс подмножеств множества О.

Относительно А (О) считаем, что оно обладает следующими свойствами:

1. УА, В е А (О) А и В е А (О);

2. УА, В е А (О)^ Л \ В е А (О);

3. Ое А (О) .

Другими словами А (О) представляет собой алгебру. На классе А (О) определяем отображение

А (О)—— Я,

где Е - некоторое правило сопоставления УА е А (О) действительного числа Е (А) е Я .

В дальнейшем Е (А) будем называть функцией множества, областью определения которой является А (О), а областью значений -

действительная ось Я [12].

Среди всевозможных функций множества выбираем такую, которая обладает следующими свойствами:

С1. УА е А(О)^ц(А) > 0;

С2. Если ц(А) = 0, то А = 0 ;

С3. УА, В е А (О) имеет место

ц( А и В ) = ц( А) + ц(В )-ц(А П В)

С4. У{Вп }п=1,2... —>В; н^(Вп Вп).

Свойство С4 требует более подробного рассмотрения. Если имеется некоторая последовательность {Вп }п12 , то Э. Борель [11] вводит

два множества:

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

В - верхний предел последовательности {Вп} , т. е. если х е В, то данный х принадлежит бесконечному числу множеств их последовательности {Вп}; В - нижний предел последовательности {Вп} , т. е. если х е В, то можно указать такой номер п (х), что для всех п > п (х) данные х е Вп .

Определение 1. Если В = В , то по Борелю данная последовательность сходится, а В* = В = В называется пределом последовательности

{Вп }п=1,2,...

Определение 2. Будем говорить, что множество В является пределом последовательности {Вп} , если имеет место

lim БАБп ) = 0,

(1)

limF(An) = F(А) .

(2)

4) если Ф(х) - непрерывная функция переменной х, то Ф(Г(А)) - непрерывная функция множества [13].

Соотношение (2) можно переписать на языке в . 5 следующим образом:

Если функция Г (А) непрерывна, тогда по

заданному в > 0 можно указать такое 5 (в) , что если ц( ААВ ) <5(в), то |Г (А)- Г (В )|<в .

Данным представлением непрерывности удобно пользоваться при доказательстве свойств непрерывности функции множества.

В качестве примера, докажем свойство 3.

Прежде всего, оценим разность

F (A) F (Б)

f2 (a) F2 (Б)

<

F2 (Б ) + | F (Б) F2 (A)-| F2 (Б )

где А - операция симметричной разницы двух множеств.

Теорема 1. Если существует предел по Борелю В*, то существует и В . Если существует В, то существует и В*, более того они совпадают.

Доказательство данной теоремы приведено в работе [1].

Определение 3. Функцию множества Г (А) будем называть непрерывной при А, если для любой последовательности {Ап}, сходящейся к А имеет место

где Sl = max {|F (A) - F (Б)| ,|F2 (A) - F2 (Б)} . Тогда, выбирая s > 0 так, что

S |F2 (Б)| + |F (Б)| S1 |F2(A)-1F2 (Б)j

<S

В силу данного определения С4 необходимо понимать как тот факт, что А) - непрерывная функция множества. В дальнейшем функцию А) будем называть мерой на классе А (О) [4, 6].

Отметим некоторое свойство непрерывных функций множества. Если Г1 (А) и Г2 (А) -непрерывные функции множества, то

1) Г (А) + Г2 (А) - непрерывна;

2) Г (А) • Г2 (А) - непрерывна;

3) Г1(А)/Г2 (А) - непрерывна при Г (А)* 0;

И 5(в) таким, что ААВ )<5(в),

Получаем доказательство непрерывности отношения непрерывных функций.

Правда, при этом необходимо оговаривать, что функции Г (А) и Г2 (А) ограничены и Г2 (В) не равны нулю [7].

Определение 4. Множество С = ААВ будем называть вариацией множества А с помощью множества В [8]. Так как

ААВ = (А \ В) и (В \ А) , то множество

С = ААВ е А (О).

Пусть имеем некоторую последовательность {Вп }п12 , сходящуюся к множеству В, и рассмотрим последовательность чисел = Г ( ААВп )-Г ( А)

ц(ААБ„ )-ц(А)

, n = 1,2,...

Производная по мере.

Определение 5. Если предел чисел ап существует, то его будем называть производной

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

функции множества по мере на последовательности {Вп} и записывать в виде

dF (А)

d ц

= lim an.

(3)

Очевидно, в силу свойства 3 данный предел существует, если функция Е (А) непрерывна

и мера ц(А) в силу С4 так же непрерывна.

Основная задача. Необходимо найти такое множество А* е А (О), что

F (A )< f2 (A )

(4)

для любого А е А (О) .

Теорема 2. Если множество А* таково, что имеет место (4), то с необходимостью должно выполняться для непрерывной функции Е (А) соотношение

dF (A)

d ц

< 0.

(5)

n Be Ax

F(A)=! f (ю) .

(6)

юе A

dF (A)

d ц

F ( A AB )-F ( A) ц(ААВ)-ц(А) '

И если В = {ю}е А, то производная функции (6) будет равна

/ {ю} -1-1—'— < 0

Тогда множество А с необходимостью представляет собой А = {шеО :/(ю)< 0} .

Вводя седловую пару (А*,tгде А* -* ~

множество, а t - неопределенный множитель Лагранжа, и применяя теорему и лемму из работы [3, 10], получаем доказательство метода Лагранжа в задаче на условный экстремум для функций множества. Таким образом, задача на условный экстремум

при условии

F (А) ^ min

F2 (А) = M

сводится к поиску минимума функции Лагранжа

Доказательство. В силу того, что A* доставляет минимум функции F (A) , имеем

AFn = F(A*ABn)-F(A*)> 0.

А меру можно представить в виде A|n = |(A*ABn)-|(A) = |(An)-2|(A ПBn) .

Тогда при некотором n*, начиная с которого Bn с A*, получаем A|n = Bn ) .

И тогда а, = W)-F(A> <0.

Откуда следует, что и предел lim а n < 0, что

и доказывает теорему.

В качестве примера, рассмотрим функцию множества равную

■ min.

J(A, t) = F (А) +1 (M - F2 (A)) Так например, когда Fl (A)=^ c (ю) ,

ие А

F2 (A) = ^ P(ю), то функция Лагранжа будет

юе А

следующей

Прежде всего отметим, что для непрерывной функции множества имеет место

J (A, t) = X c (ю) +1 Mp (ю)

юе A V юе A

а ее производная при {Вп} ^ {ю} е А принимает вид

d 3 ( А, t) с (ю)- tp (ю)

^ {ВпЫю}еАВ ^({Ю}) '

И в силу теоремы 2 имеем

А( ={юеО: с(ю)- tp(ю)< 0},

*

а значение t определяем из соотношения Е (А, )= М .

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

Числовой пример. Рассмотрим числовой пример, когда Q некоторый набор мероприятий, а c(о) - затраты средств на реализацию мероприятия о , p(о) - прибыль от реализации данного мероприятия. Числовые данные приведены в табл. 1.

Таблица 1 Table 1

ю (Bj ю2 ю3 Ю4 ю5

с(ю) 2 4 3 5 6

р(ю) 1 3 2 7 5

t =с(ю) р(ю) 2 1,(3) 1,5 0,71 1,2

Порядок формирования 5 3 4 1 2

множества

At

В силу того, что p(о) > 0 множества At можно представить в виде

a=Н:СёН'} •

Перебирая t из табл. 1, получим последовательность множеств A, а также F (At)

и F2 (At) и результат сведем в табл. 2.

Таблица 2 Table 2

t At F1( At) F2( At)

0,71 {Ю4} 5 6

1,2 {Ю4, Ю5} 11 12

1,(3) {ю2, ю4, ю5} 15 15

1,5 {ю2, ю3, ю4, ю5} 18 17

2 Q 20 18

Так, если M = 18, то t = 1,5, а множество

A* будет следующим A* = {ю2, этом F2 (A* ) = 17 .

Юо ,юА,ю

}, при

Значения в табл. 3.

№ пор.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

всех 32 вариантов представлены

Таблица 3

Table 3

ю3 Ю4 ю5 F F2

1 5 6

1 7 5

1 1 11 12

1 3 2

1 1 9 7

1 1 8 9

1 1 1 14 14

4 2

1 10 8

1 9 10

1 1 15 15

1 7 5

1 1 13 10

1 1 12 12

1 1 1 18 17

2 1

1 8 6

1 7 8

1 1 13 13

1 5 3

1 1 11 8

1 1 10 10

1 1 1 16 15

6 4

1 12 9

1 11 9

1 1 17 14

1 9 6

1 1 15 11

1 1 14 13

1 1 1 20 18

СО

СО

2

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

Все варианты S из табл. 2 и 3 представлены на рис. 1. Ломаная, проведенная по точкам *, представляет собой огибающую всех вариантов из S.

C -т

/ 1

1

/

/

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 F,

Рис. 1. Все варианты S из табл. 3 (о) и варианты из табл. 2 (*)

Fig. 1. All variants of S from the Table 3 (o) and variants from the Table 2 (*)

На рис. 1 представлен конус Парето с вершиной в точке C .

Решение по Парето определяется из необходимого и достаточного условия

S n KP (с ) = {с}, где KP (с) - конус Парето с вершиной в точке C .

Результаты

Предложен алгоритм решения инвестиционной задачи на условный экстремум применительно к задачам инвестирования.

Научная новизна и практическая значимость

Получен алгоритм приближенного решения NP -задач, который применим для оценки эффективности инвестиционных вложений.

Выводы

1. Если обозначить через S* точки из табл. 2, а через Sp решение по Парето, то имеет место соотношение S* с Sp .

2. Таким образом, для построения S* необходимо рассмотреть только 5 вариантов

(табл. 2), а чтобы построить Sp необходимо

рассматривать все 32 варианта из табл. 3.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Андерсон, Дж. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон. - М. : Изд. дом «Вильямс», 2004. - 530 с.

2. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. - М. : ИЛ, 1960. - 401 с.

3. Босов, А. А. Функции множества и их применение : учеб. пособие / А. А. Босов. - Днепродзержинск : Изд. дом «Андрей», 2007. - 182 с.

4. Босов, А. А. Об одном подходе определения меры и ее применения / А. А. Босов, К. В. Ели-сеенко // Вюн. Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. ш. акад. В. Лазаряна. - Д., 2010. -Вип. 34. - С. 176-179.

5. Босов, А. А. Обоснование эвристического алгоритма в задаче о ранце / А. А. Босов, А. В. Горбова, Н. В. Халипова // Вюн. Дншро-петр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Д., 2012. - Вип. 42. - С. 170-175.

6. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. - М. : Наука, 1980. - 518 с.

7. Лазарев, А. А. Теория расписаний. Задачи и алгоритмы / А. А. Лазарев, Е. Р. Гафаров. -М. : Изд-во Моск. гос. ун-та им. М. В. Ломоносова, 2011. - 222 с.

8. Лебег, Анри. Интегрирование и отыскивание примитивных функций / Анри Лебег. - М. : Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 324 с.

9. Линейное и нелинейное программирование / И. Н. Ляшенко, Е. А. Карагодова, Н. В. Черников, Н. З. Шор. - К. : Вища шк., 1975. - 370 с.

10. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. - М. : Наука, 1975. -530 с.

11. An exact algorithm for project scheduling with recourse constraints based on new mathematical formulation / A. Mingozzi, V. Maniezzo, S. Ricci-arddellis, L. Bianco // Management Science. -1998. - Vol. 44. - P. 714-729.

12. Borel, E. Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques / E. Borel // Rend. Circ. Mat. Palermo. - 1909. - № 27. -P. 247-271.

13. Kuratowski, A. Set theory with an introduction to descriptive set theory / A. Kuratowski, A. Mo-stowski. - Warszava : PWN, 1976. - 508 р.

F~2

18

16

12

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

МОДЕЛЮВАННЯ ЗАДАЧ ТРАНСПОРТУ ТА ЕКОНОМ1КИ

A. А. БОСОВ1*, П. О. ЛОЗА2*

1 Каф. «Прикладна математика», Дшпропетровський нацюнальний унгверситет залiзничного транспорту iMeHi академжа

B. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Днгпропетровськ, Украша, 49010, тел. +38 (056) 373 15 36, ел. пошта [email protected], ORCID 0000-0002-5348-2205

2*Каф. «Электрорухомий склад залiзниць», Дшпропетровський нацюнальний унгверситет залiзничного транспорту iMem академiка В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Днгпропетровськ, Укра1на, 49010, тел. +38 (056) 373 15 31, ORCID 0000-0002-6698-5629

ПОХ1ДНА ФУНКЦ11 МНОЖИНИ ЗА М1РОЮ ТА II ЗАСТОСУВАННЯ (ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ 1НВЕСТИЦ1ЙНИХ ЗАДАЧ)

Мета. У робот! необхвдно розробити теоретичш основи для вирiшення iнвестицiйних завдань, представлених у виглядi функцiй множини як задач векторно! оптимiзацil або завдань на умовний екстремум. Методика. В якосп дослвдження iнвестицiйних задач використовуються функцп множини та !х похiднi за мiрою. Доводиться необхвдна умова мiнiмуму функци множини. У завданнях на умовний екстремум використовуеться метод Лагранжа. Показано, що цей метод можна застосовувати й для функцш множини. Для доказу використовуеться мiра, узагальнююча мiру А. Лебега, i вводиться поняття межi послвдов-ностi безлiчi множин. Ввдзначаеться, що введена межа за мiрою збiгаеться з класичною межею за Е. Борелем та може бути використана при доведенш юнування похщно1 вiд функцп множини за мiрою, що сходиться на послщовносп множин. Результати. Запропоновано алгоритм розв'язання швестицшно1 задачi на умовний екстремум стосовно завдань швестування. Наукова новизна. Наукова новизна полягае в тому, що в багато-варiантних задачах на умовний екстремум ввд безпосереднього перебору можна вщмовитись, а використо-вувати запропонований алгоритм побудови (вщбору) варiантiв, який дозволяе будувати опуклу лiнiйну оги-наючу рiшення за Парето. Дана огинаюча дозволяе особ^ яка приймае рiшення (ОПР), вибрати таю варiанти, як1 «краще» з його позицп i враховувати деяш критерп, формалiзацiя яких ускладнена або вони не можуть бути описаш в математичних термiнах. Практична значимкть. Результати дослвдження дають необхвдне теоретичне обгрунтування прийняття рiшень в швестицшних завданнях, коли об'ектiв iнвестування значна кшьшсть i безпосереднiй перебiр варiантiв вельми скрутний за витратами часу навггь для сучасно1 обчислю-вально1 технiки.

Ключовi слова: алгебра множин; функци множини за мiрою; похщш функцil множини за мiрою; меж1 послiдовностi множин

A. A. BOSOV1*, P. A. LOZA2*

1 Dep. «Applied Mathematics», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 36, e-mail [email protected], 2O*RCID 0000-0002-5348-2205

2*Dep. «Electric Rolling Stock of Railways», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 31, ORCID 0000-0002-6698-5629

DERIVATIVE OF SET MEASURE FUNCTIONS AND ITS APPLICATION (THEORETICAL BASES OF INVESTMENT OBJECTIVES)

Purpose. It is necessary to develop the theoretical fundamentals for solving the investment objectives presented in the form of set function as vector optimization tasks or tasks of constrained extremum. Methodology. Set functions and their derivatives of measure are used as research of investment objectives. Necessary condition of set function minimum is proved. In the tasks for constrained extremum the method of Lagrange is used. It is shown that this method can also be used for the set function. It is used the measure for proof, which generalizes the Lebesgue measure, and the concept of set sequence limit is introduced. It is noted that the introduced limit over a measure coincides with the classical Borel limit and can be used in order to prove the existence of derivative from set function over a measure on convergent of sets sequence. Findings. An algorithm of solving the investment objective for constrained extremum in relation to investment objectives was offered. Originality. Scientific novelty lies in the fact that in multivariate objects for constrained extremum one can refuse from immediate enumeration. One can use the

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2014, № 3 (51)

proposed algorithm of constructing (selection) of options that allow building a convex linear envelope of Pareto solutions. This envelope will let the person who makes a decision (DM), select those options that are "better" from a position of DM, and consider some of the criteria, the formalization of which are difficult or can not be described in mathematical terms. Practical value. Results of the study provide the necessary theoretical substantiation of decision-making in investment objectives, when there is a significant number of an investment objects and immediate enumeration of options is very difficult on time costs even for modern computing techniques.

Keywords: algebra of sets; set function over a measure; derivative set function over a measure; sets sequence limit

REFERENCES

1. Anderson Dzh. Diskretnaya matematika i kombinatorika [Discrete mathematics and combinatorics]. Moscow, Izd. dom «Vilyams» Publ., 2004. 530 p.

2. Bellman R. Dinamicheskoyeprogrammirovaniye [Dynamic Programming]. Moscow, IL Publ., 1960. 401 p.

3. Bosov A.A. Funktsii mnozhestva i ikh primeneniye [Set functions and their applications]. Dneprodzerzhinsk, Izd. dom «Andrey» Publ., 2007. 182 p.

4. Bosov A.A., Yeliseyenko K.V. Ob odnom podkhode opredeleniya mery i yeye primeneniya [About one approach of measure determination and its application]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2010, issue 34, pp. 176-179.

5. Bosov A.A., Gorbova A.V., Khalipova N.V. Obosnovaniye evristicheskogo algoritma v zadache o rantse [Justification of a heuristic algorithm in a knapsack problem]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho univer-sytetu zaliznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2012, issue 42, pp. 170-175.

6. Vasilyev F.P. Chislennyye metody resheniya ekstremalnykh zadach [Numerical methods for solving extremal problems]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 518 p.

7. Lazarev A.A., Gafarov Ye.R. Teoriya raspisaniy. Zadachi i algoritmy [Scheduling theory. Problems and algorithms]. Moscow, Izd-vo Mosk. gos. un-ta im. M. V. Lomonosova Publ., 2011. 222 p.

8. Lebeg Ann. Integrirovaniye i otyskivaniye primitivnykh funktsiy [Integration and search of primitive functions]. Moscow, Gos. tekhn.-teoret. izd-vo Publ., 1934. 324 p.

9. Lyashenko I.N., Karagodova Ye.A., Chernikov N.V., Shor N.Z. Lineynoye i nelineynoye programmirovaniye [Linear and nonlinear programming]. Kyiv, Vishcha shkola Publ., 1975. 370 p.

10. Moiseyev N.N. Elementy teorii optimalnykh sistem [Elements of optimal systems theory]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 530 p.

11. Mingozzi A., Maniezzo V., Ricciarddellis S, Bianco L. An exact algorithm for project scheduling with recourse constraints based on new mathematical formulation. Management Science, 1998, vol. 44, pp. 714-729.

12. Borel E. Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, no. 27, pp. 247-271.

13. Kuratowski A., Mostowski A. Set theory with an introduction to descriptive set theory. Warszava, PWN Publ., 1976. 508 р.

Статья рекомендована к публикации д.физ.-мат.н., проф. С. А. Пичуговым (Украина); д.т.н., проф. А. И. Михалевым (Украина)

Поступила в редколлегию 10.03.2014

Принята к печати 30.04.2014