Программная реализация усовершенствованной методики расчета прочностной надежности конструкций для плана испытаний с запасом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.6

Власов М.А., Сергин С.Ф.

ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ им. академ. Е.И.Забабахина»

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ

ДЛЯ ПЛАНА ИСПЫТАНИЙ С ЗАПАСОМ.

Аннотация: В докладе рассматриваются алгоритмы преодоления трудностей программирования

предложенных ранее методик оценки прочностной надежности связанных со статической обработкой сверхбольших массивов данных и вычислением сложных интегралов узких островершинных функций распределения.

Ключевые слова: прочность, надежность, программирование, алгоритм.

Введение

В рамках работ по уточнению методики расчета прочностной надежности конструкций для плана испытаний с запасом, были предложены два способа ориентированные на широкое применение вычислительной техники:

- метод статистического моделирования;

- метод решения сложных интегралов связи для аналитической формулы плотности распределения оценки надежности.

Первоначально, для отработки алгоритмов расчета надежности по вышеприведенным методам, были написаны программные модули при помощи встроенного в редактор Excel языка программирования VBA. В результате отладки был выявлен ряд трудностей, которые потребовали нестандартного подхода к их решению, что явилось темой отдельной научной работы.

Отработанные алгоритмы обеспечили заданную точность расчетов но, при использовании в качестве базы - редактора Excel, не позволили достичь приемлемой скорости (статистическое моделирование для количества реализаций более 10000 требует более 30 минут). В связи с этим, для ускорения и улучшения визуализации расчетов, была создана программа Pinocchio. Данная программа написана на языке программирования C++, с использованием функций MatLab.

Программа Pinocchio работает автономно и включает в себя следующие два метода расчета:

1 - расчет по аналитической формуле;

2 - расчет на основе метода статистического моделирования.

Исходные данные

Рассматриваемой является задача оценки показателей прочностной надёжности.

Испытания конструкции производятся с заданным коэффициентом запаса.

Vu

OuL F .

Действующая F и испытательная QM нагрузки постоянны. Несущая способность конструкции Q рас-

пределена нормально с известным коэффициентом вариации Vq.

Объем испытательной серии: n опытов, из них m отказов.

По этим исходным данным требуется определить надежность конструкции. Метод статистического моделирования

Для оценки надежности, используется функция плотности распределения вероятности отказа qu . Величины qM и P связываются между собой цепочкой функциональных преобразований. Иными словами, любому конкретному значению вероятности отказа qи ставится в соответствие конкретное значение оценки надежности P. Моделирования сводится к последовательному выполнению следующих операций: генерируется случайное число Rnd, распределенное по равновероятному закону в интервале [0,

1];

решением интегрального уравнения

(и + 1)

е у • г.(1-у

!*(n-m)! г '

dt = Rnd находится случайное значение qи

вероятности

f (qu ) = cm • qU .(1 - qu )'

отказа

In—m

;

при

испытательных

нагрузках,

подчиненное

распределению

находится квантиль вероятности отказа u пределения от аргумента q^

определяется квантиль надежности по формуле:

как значение обратной функции нормального рас-

Vu-1-Vq

Vu Vo

l up _ t2

определяется оценка надежности P по формуле P = , I e 2 dt ;

\}2n _

определяются параметры распределения оценки надежности:

N

IP

P = s=^ ;

N

I( P-P)

N-1

где N - количество реализаций;

значение Po,g определяется численно.

Для данного метода расчета в разработанной программе реализовано два способа расчета:

- расчет по методу Монте - Карло с генерированием равновероятного случайного числа с помощью встроенного датчика случайных чисел;

- расчет по методу Монте - Карло с генерированием равновероятного случайного числа с помощью искусственной разбивки единичного отрезка.

Метод расчета по аналитической формуле

Ранее авторами доклада был предложен метод расчета прочностной надежности по результатам испытаний «с запасом» путем решения сложных интегралов связи для аналитической формулы плотности распределения оценки надежности. Общая формула для плотности распределения оценки надежности P имеет вид:

u

P

=

1

- m

, 4 (n + 1)!

g(P) = ~T7—Ч'V, ■

m!(n — m)!

ф\ъ_1—v . ф-— i p)

1 — Ф| £-1 — Vu - Ф-— (P)

n—m _11 Vu —1 2'| v,

ф-— (p)

e J .* 2

Ф_1 (P)T

X

0 < P < 1.

Расчетный модуль оценки надежности по аналитической формуле представляет собой, фактически, программу поиска значений двух интегралов - первого и второго начальных моментов распределения с указанной плотностью распределения.

Программная реализация

Первой особенностью реализации вышеописанных методов является обработка больших массивов данных, что предполагает особый подход к поиску даже стандартных статистических характеристик, для которых существуют встроенные в алгоритмические языки стандартные функции.

Второй особенностью является решение интегралов бесконечных функций плотностей распределения имеющих в области ±3о растянутые асимптотические участки и ярко выраженный пик наибольшей вероятности, значительно смещенный относительно медианы. Это не позволяет применить стандартный подход, так как приводит к необходимости разбиения области интегрирования (~±3о) на сверхмалые отрезки, что в свою очередь неограниченно увеличивает их количество и, следовательно, время счета.

Модуль оценки надежности методом статистического моделирования

Для расчетов по данному методу используются три специально написанные функции:

1. Функция baies. Данная функция решает интегральное уравнение:

✓ . 14. U

-j tm - (1—t)n—mdt,

a =

о

где a, n, m - входные параметры функции, а самой функции baies присваивается значение квантиля U.

Сам алгоритм решения интегрального уравнения сложности не представляет. С определенным шагом dt рассчитываются площади трапеций и последовательно суммируются до достижения суммой значения а. Значение переменной t, при котором это произошло, и считается решением данного уравнения.

Сложность решения задачи для конкретного уравнения заключается в том, что для значений а близких к 1 при заданном шаге t может превысить 1, а это противоречит здравому смыслу, т.к. t это, фактически, тоже вероятность, определенная как число из диапазона (0е1). Так происходит из-за неточности определения крайних значений при большом шаге интегрирования. Выход очевиден. В программе применен метод плавающего шага: он уменьшается по признаку превышения переменной t значения 1. В этом случае значение интеграла пересчитывается с новым, уменьшенным в 10 раз, шагом.

2. Функция ssko. Данная подпрограмма предназначена для определения среднего квадратичного отклонения выборки по известной формуле:

Уу-У

V n — 1

3. Функция medium. Данная функция предназначена для определения по выборке большого объема значения ее медианы и, в зависимости от передаваемого параметра m, значения любой нижней доверительной границы.

Самый простой способ определения медианы (или нижней доверительной границы) сортировкой для массивов больших объемов >105 не приемлем, так как значительно затягивает по времени расчет. В связи с этим в данной подпрограмме был применен способ половинного деления. Суть способа заключается в следующем. По выборке находятся минимальное и максимальное значения. Переменной niz, определяющей нижнюю границу, присваивается значение минимального, а верхней границе verh максимального значения. Делением отрезка [niz, verh] пополам определяется значение переменной gran. Подсчитывается количество членов выборки (переменная schet) меньших числа gran. Если оно меньше требуемой части элементов массива (в случае медианы - это 50%, в случае нижней доверительной границы на уровне 0,9 - это 10%), то gran идентифицируется как нижняя граница (niz=gran). В противном случае gran - верхняя граница (verh=gran). Эти действия повторяются до тех пор пока gran не будет равно такому числу, меньше которого не будет требуемая часть элементов массива.

Модуль оценки надежности по аналитической формуле

При использовании в расчетах аналитической формулы для плотности точность расчетов определяется точностью интегрирования функции (3) и связанных с нею функций, а она (точность), в свою очередь, зависит от формы кривой плотности, то есть от комбинации параметров Vu , Vq , m и n.

Дело в том, что при достаточно больших значениях испытательного коэффициента запаса Vu и достаточно малых Vq особенно в случае безотказных серий, кривая плотности g(P) становится все более островершинной, одновременно неограниченно сближаясь с вертикалью, проведенной через точку P = 1. В этих случаях точность интегрирования существенно снижается.

В данной программе, для решения указанной проблемы, применен метод неоднократного уменьшения шага контролируемого по нарастанию значения интеграла плотности распределения. Попутно по этому интегралу определяются значение надежности на уровне доверия 0,9 (превышение интегралом значения 0,1 и первая корректировка шага), значение медианы (превышение интегралом значения 0,5) и моды (значение аргумента при котором достигается максимальное значение плотности). Дополнительное уменьшение шага (в 1000 раз) происходит на каждых последних шагах интегрирования и выход из цикла осуществляется только при наборе контрольным интегралом единицы с заданной точностью (в программе 10-16).

2

Вычисление плотности распределения оценки надежности Р по формуле (3) оформлено как функция plotnost.

После окончания расчета по данному методу, в программе предусмотрена возможность вывода графика плотности.

Заключение

Для проведения расчетов по оценке прочностной надежности конструкций для плана испытаний с запасом была создана программа Pinocchio. Данная программа работает автономно, проста в использовании и не требует каких-либо специальных знаний при работе на ЭВМ.

3