CC BY
54
Таким образом, по совокупности критериев одиннадцатью векторными компонентами, двадцатью
наилучшим оказался вариант S6 - программно- девятью скалярными критериями.
3. Осуществлены словесная и математическая
аппаратный комплекс (программные средства).
L L L 1 постановки задачи гипервекторного ранжирования
Заключение. 1. Для решения задачи моделиро- „„.. _
^ f средств моделирования элементов БСУ. Решена
вания элементов бортовых систем управления воз- ^
задача выбора наилучшего средства моделирования
можно применение различных пакетов символьной
элементов бортовых систем управления летатель-
математики и программно-аппаратных комплексов.
ных аппаратов при использовании в качестве
2. Сформирована система критериев, позволяю* L L ff' опорных методов «жесткого» ранжирования, тур-щая всесторонне оценить средства моделирования
L L 1 нирной таблицы, Борда.
элементов БСУ. Совокупность критериев характеризуется тремя многовекторными компонентами,
ЛИТЕРАТУРА
1. Быстров Л.Г., Говоренко Г.С., Сафронов В.В., Тетерин Д.П. Исследование динамических систем методом аналогового моделирования // НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО: Труды международного симпозиума. Пенза: Изд-во Пенз. ГУ, 2002. С. 163-165.
2. Быстров Л.Г., Сафронов В.В., Тетерин Д.П. Построение цифровой и аналоговой моделей линейного динамического звена с комплексной дробно-рациональной передаточной функцией // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении. Материалы Международной конференции. Саратов. Изд-во СГТУ, 2002. С. 235-240.
3. Быстров Л.Г., Дрогайцев В.С., Попов А.А., Тетерин Д.П. Методы идентификации динамических характеристик стационарных элементов бортовых систем управления // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 4 (42). С. 65-71.
4. Быстров Л.Г., Сафронов В.В. Новые компьютерные алгоритмы вычисления матричной экспоненты в приложении к исследованию линейных динамических систем автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2012. № 8. С. 18-25.
5. Быстров Л.Г., Попов А.А., Тетерин Д.П. Методика оценки работоспособности элементов бортовых систем управления летательных аппаратов в условиях произвольных входных возмущающих воздействий // Мехатроника, автоматизация, управление. 2012. № 12. С. 56-61.
6. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.
7. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.
8. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Сов. Радио, 1964. 838 с.
9. Михалевич В.С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. 286 с.
10. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 7. С. 1259-1268.
11. Решение линейных дифференциальных уравнений. Аналитико-числовые методы и алгоритмы: Монография. Часть 1 / Л.Г. Быстров, Г.С. Говоренко, А.В. Гориш, В.В. Сафронов, Д.П. Тетерин, В.А. Ушаков. М.: МГУЛ, 2004. 440 с.
12. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.
13. Сафронов В. В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования: Монография. Саратов: Научная книга, 2009. 329 с.
14. Сафронов В. В. Применение метода идеальной точки в пространстве критериев для решения задачи гипервекторного ранжирования // НАДЕЖНОСТЬ И КАЧЕСТВО: Труды Международного симпозиума // Под ред. Н. К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. ГУ, 2010. В 2-х томах. Т.1. С. 12-14.
15. Сафронов В. В. Построение истинных кортежей Парето в задачах гипервекторного ранжирования систем // Надежность и качество сложных систем. 2014. № 4(8). С. 11-18.
16. Тетерин Д.П. Методы моделирования линейных стационарных элементов систем управления летательных аппаратов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 4 (42). С. 95-100.
17. Кочегаров И.И. Системы удалённого рабочего стола при работе с конструкторскими САПР / Кочегаров И.И., Трусов В.А. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2009. Т. 2. С. 406-407.
18. Стюхин В.В. САПР в расчёте и оценке показателей надёжности радиотехнических систем / Стю-хин В.В., Кочегаров И.И., Трусов В.А. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2013. Т. 1. С. 287-289.
19. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия согласованных решений // Приложение к журналу «Информационные технологии». 2002. № 3. 24 с.
УДК 621.396.6
Власов М.А., Сергин С.Ф., Ермишова Т.В., Орлова Н.А.
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ им. академика Е.И.Забабахина», Снеженск, Россия
ПЛАНИРОВАНИЕ ИСПЫТАНИЙ НА ПРОЧНОСТНУЮ НАДЕЖНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В работе представлен метод планирования ис- 2 Расчетные формулы
пытаний на прочностную надежность конструкции, Вероятность отказа при испытательной нагруз-
основанный на методе статистического моделиро- ке определяется квантилем:
вания. Q —Q Q —Q
1 Формулировка исходных данных u = —_— = —_тт- (1)
Необходимо подтвердить надежность конструк- Ч" Gq Vq ■ Q
ции на заданном уровне при определенном объеме испытаний n и прогнозируемом количестве отказов m. Т.е. определить, с каким коэффициентом запаса П необходимо провести испытания для под-
Вероятность отсутствия отказа при испытательной нагрузке, определяется как величина обратная вероятности отказа (Вер(отсутствие отказа)=1-Вер(отказ)). Следовательно, квантиль тверждения данного уровня надежности. вероятности отсутствия отказа будет рассчиты-
Считается, что действующая ¥ и испытательная ваться по формуле:
0и нагрузки постоянны. Несущая способность кон струкции 0 распределена коэффициентом вариации у(
струкции Q распределена нормально с известным u = Q Qu =—u (2)
Квантиль вероятности отсутствия отказа при рабочей нагрузке (надежность) определяется аналогичным образом:
_е - р
Яраб
(3)
Расписав уравнения (1) и (3) можно выделить из них нагрузки:
Из (1) имеем: Из (3) имеем:
0.и = % - Од + б Р = д - ир -Од
(4)
Коэффициент запаса испытательной нагрузки Ц равен отношению испытательной нагрузки к рабочей нагрузке ( ).
Р
Найти эту величину возможно, поделив первое уравнение системы (4) на второе:
п = а = Ч О +д
(5)
Р <2 - ир Од
Поскольку величины < и о< неизвестны, но известно их отношение, определяемое как коэффициент вариации предельного состояния Уд , выражение (5) принимает вид:
П =
ияи -уд +1
1 - ир - Уд
(6)
Вычисленная по этой формуле величина является детерминированной.
Величина ир в формуле (6) - квантиль требуемого уровня надежности, который определяется решением интегрального уравнения:
, ир г
р = -== Г е ~*йг
(7)
Таким образом, зная заданный уровень надежности и соответствующую вероятность отказа, можно получить из выражения (6) необходимый коэффициент запаса П . Необходимо отметить, что результат расчета будет так же детерминированной оценкой обусловленной дискретным характером закона распределения величины , а, следовательно, и нормализованной интерпретации её квантиля определяемого как решение интегрального уравнения:
1 % - г_ = Г е 2 йг.
Яи =
ненных этому распределению, затем по этим числам, используя соотношение (6), сформировать выборку детерминированных значений оценки коэффициента запаса П , по которой и определить параметры распределения этой оценки.
В практических расчетах основная трудность реализации этого метода заключается в генерировании случайных чисел подчиненных распределению (8). Одним из простейших способов решения этой задачи является способ, детально описанный в книге И.С. Соболева [4]:
генерируется случайное число ЯпС из массива чисел, распределенных по равновероятному закону в интервале [0, 1];
учитывая, что это число характеризует вероятность попадания случайной величины на участок [0, ЯпС], решением уравнения: Яи
Спт- Ггт-(1 -г)п-тйг = Япй , (9)
0
относительно д„ находится случайное число, подчиненное распределению (8).
В итоге, величины и Т] оказываются свя-
занными между собой цепочкой функциональных преобразований в детерминированном виде. Иными словами, любому конкретному значению вероятности отказа ди ставится в соответствие конкретное значение оценки коэффициента запаса Т] .
Таким образом, в целом оценка требуемого испытательного запаса для подтверждения заданного уровня надежности методом статистического моделирования сводится к последовательному выполнению следующих операций: генерируется случайное число ЯпС, распределенное по равновероятному закону в интервале [0, 1]; решением интегрального уравнения (9) находится случайное значение ди вероятности отказа при испытательных нагрузках, подчиненное распределению (8); находится квантиль вероятности отказа и , как значение
Чи
обратной функции нормального распределения от аргумента д„; находится квантиль надежности ир,
как значение обратной функции нормального распределения от аргумента Р; определяется оценка коэффициента запаса П по формуле (6); определяются параметры распределения оценки коэффициента запаса П :
П =
N
Ед
1=1
Е (п-п )2
' ¿=1
Следовательно, этим способом невозможно определить вероятностные характеристики искомой величины запаса и судить о достаточности его для подтверждения оценки надежности на заданном уровне доверия. Одним из выходов из данной ситуации является грубая оценка, которую можно получить, введя в расчет не точечное значение оценки требуемой надежности, а её значение на заданном уровне доверия. Но более корректным представляется путь проведения математического эксперимента заключающегося в применении метода статистического моделирования. Данный метод использовался при расчете прочностной надежности конструкций в работах [1], [2].
3 Статистическое моделирование
Функция плотности распределения вероятности
/ \п-т
отказа Яи имеет вид: /(Яи) = С"т-Чит-(1 -Яи)
Данная формула для функции плотности распределения вероятности отказа Яи получена в работе В.И.Лукьященко и А.Н.Терпиловского [3] на основе априорного предположения о равномерном распределении случайной величины Яи в интервале [0, 1].
Принимая за основу соотношение (8), достаточно получить массив случайных чисел, подчи-
N " \ N -1
где N - количество реализаций; значение верхней доверительной границы, на уровне доверия 0,9 ( —0.9
П ) определяется численно.
4 Пробные расчеты
Описанный метод расчета надежности был всесторонне апробирован для широкого диапазона изменения исходных данных. Для проведения расчетов по данному методу была составлена отдельная программа. Алгоритмически программа расчета мало отличается от составленной ранее и представленной в работе [5].
В качестве примера приведем решение одной из задач.
Необходимо подтвердить надежность конструкции прибора к действию некоего механического фактора. По техническому заданию надежность прибора должна быть не ниже 0,995 с доверительной вероятностью 0,9. Для испытаний может быть выделено не более двух образцов данного прибора. Наибольший коэффициент вариации предельного состояния материала для всех деталей из состава данного прибора составляет 15%.
Статистическое моделирование было проведено по 100000 реализаций случайной величины.
В результате при планируемом отсутствии отказов для двух приборов средний испытательный коэффициент запаса составляет 1,43, а верхняя
его доверительная граница на уровне доверия 0,9 составляет 1,65.
Как показывает обратный расчет - именно верхняя доверительная граница коэффициента запаса 1,65 дает нижнюю оценку надежности не ниже 0,995, что подтверждает работоспособность метода.
При планируемом отсутствии отказов для одного прибора средний испытательный коэффициент запаса составляет 1,49, а верхняя его довери-
тельная граница на уровне доверия 0,9 составляет 1,75.
Разработанный метод планирования испытаний на прочностную надежность конструкции, основанный на методе статистического моделирования, хорошо поддается программированию и позволяет определить требуемый коэффициент запаса пи необходимый при проведении испытаний для подтверждения заданного уровня надежности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Методика расчета прочностной надежности конструкции для плана испытаний с запасом, основанная на применении статистического моделирования. М.А. Власов, В.А. Горопашный, С.Ф. Сергин, Н.А. Орлова. Надежность и качество 2013: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - Т.1. - С. 106-108.
2. К вопросу о расчете прочностной надежности конструкции для плана испытаний до разрушения. М.А. Власов, В.А. Горопашный, С.Ф. Сергин, Н.А. Орлова. Надежность и качество 2014: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Т.1. - С. 391-392.
3. Об учете предварительной информации при оценке надежности сложных систем. В.И. Лукьященко, А.Н. Терпиловский В сборнике «О надежности сложных технических систем». Изд-во «Советское радио», Москва, 1966г., 263-275с.
4. Численные методы Монте-Карло. И.С. Соболь. Издательство «Наука», Москва, 1973г. 312с.
5. Артемов И.И. Исследование влияния дефектной структуры материала болтового соединения на процесс ослабления затяжки / Артемов И.И., Кревчик В.Д., Суменков С.В. // Новые промышленные технологии. 2002. № 5-6. С. 67.
6. Программная реализация усовершенствованной методики расчета прочностной надежности конструкции для плана испытаний с запасом. М.А. Власов, С.Ф. Сергин. Надежность и качество 2013: труды международного симпозиума. В 2-х томах. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - Т.1. - С. 108-109.
УДК 51-37 Старостин И.Е.
Научно-исследовательский институт стандартизации и унификации, ФГУП (НИИСУ), Москва, Россия ВЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫХ УРАВНЕНИЙ НЕРАВНОВЕСНЫХ
ПРОЦЕССОВ В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАРАМЕТРАХ
Введение
В настоящее время для исследования неравновесных процессов существуют два подхода: макроскопический и микроскопический [1 - 6]. Микроскопический подход основан на статистической физике и кинетической теории [1, 2]. Эти теории основываются на уравнениях движения частиц, как, например, уравнение Больцмана, Паули [2], базируются на известных моделях молекул и применяются для определенных классов необратимых процессов [2, 3]. Поэтому эти теории, несмотря на то, что дают глубокое физическое описание явлений, не нашли широкого применения для моделирования неравновесных процессов в технических, технологических системах, в природе, в живых организмах [1, 3].
Макроскопический подход основывается на современной термодинамике [3 - 6]. Предметом современной термодинамики является изучение тех наиболее общих свойств макроскопических тел, которые не зависят от конкретного микрофизического строения этих тел и которые проявляются в процессах обмена энергией между телами [3 - 6]. Любые явления в природе и технике сопровождаются обменом энергией, поэтому термодинамика, разрабатывая общие методы изучения энергетических явлений, имеет всеобщее методологическое значение и ее методы используются в самых различных областях знания [1, 3 - 6].
Современная термодинамика подразделяется на равновесную (классическая термодинамика), изучающую равновесные (квазистатические) переходы из одного равновесного состояния в другое, и неравновесную, изучающую неравновесные переходы из одного состояния в другое [2, 3 - 6]. Современная неравновесная термодинамика в общем случае характеризуется отказом от принципа локального термодинамического равновесия (рациональная термодинамика) [5, 6].
Современная неравновесная термодинамика рассматривает как системы, обладающие эффектом памяти, так и системы, не обладающие эффектом памяти [6, 7]. В случае систем, обладающих эффектом памяти, вводятся дополнительные динамические величины, характеризующие накопленный опыт системы, сведя тем самым описание систем, обладающих эффектом памяти, к описанию систем,
не обладающих эффектом памяти [6, 7]. Таким образом, в современной неравновесной термодинамике состояние системы характеризуется параметрами состояния - динамическими переменными, значения которых однозначно характеризуют состояние системы и не зависят от предыстории системы [4, 5, 7, 8]. Среди параметров состояния выделяют координаты состояния, изменение каждой из которых сопряжено с неравновесным процессом конкретной физической природы [4, 5]. Число координат состояния равно числу степеней свободы рассматриваемой системы [4, 5]. Таким образом, в современной неравновесной термодинамике состояние системы целесообразно характеризовать координатами состояния [4, 5, 8]. Координаты состояния связаны друг с другом уравнениями баланса [3 - 8].
С точки зрения современной неравновесной термодинамики причиной и необходимым условием протекания неравновесных процессов являются термодинамические силы, определяемые как взятый с противоположным знаком градиент свободной энергии по независимым координатам состояния с учетом уравнений баланса [3, 5 - 8]. Но однако термодинамические силы однозначно не определяют всех особенностей протекания неравновесных процессов [9]. Помимо термодинамических сил независимо от последних эти особенности определяются еще и кинетическими свойствами неравновесных систем (например, энергией активации, эффективным диаметром молекул, и т.д.) [9]. Шкалой кинетических свойств неравновесных систем является матрица восприимчивостей (кинетическая матрица), определяемая кинетическими свойствами [9], коэффициенты которой характеризуют восприимчивость неравновесных процессов к термодинамическим силам [7 - 9]. Матрица восприимчиво-стей определяется из экспериментальных данных [7, 10].
Помимо детерминированной составляющей любая термодинамическая система обладает стохастикой [2]. Для учета стохастики вводятся случайные силы и случайные составляющие внешних потоков [11].
Зная термодинамические силы, случайные силы, внешние потоки и их случайные составляющие, матрицу восприимчивостей, а также имея уравне-
