Методика расчета прочностной надежности конструкций для плана испытаний с запасом, основанная на использовании аналитической формулы для плотности распределения оценки надежности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.6

Власов М.А. , Горопашный В.А., Сергин С.Ф. , Орлова Н.А.

ФГУП «РФЯЦ-ВНИИТФ им. академ. Е.И.Забабахина»

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ПЛАНА ИСПЫТАНИЙ С ЗАПАСОМ ОСНОВАННАЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

Аннотация: В докладе к рассмотрению предлагается метод оценки надежности по результатам испытаний основанный на решении сложных интегралов функциональных зависимостей вероятности отказа при испытании и вероятности сохранения прочности при рабочей нагрузке. Развитие возможностей вычислительной техники позволяет применять данный метод взамен приближенного.

Ключевые слова: надежность, прочность, коэффициент запаса, плотность распределения.

1 Формулировка исходных данных

Испытания конструкции производятся с заданным коэффициентом запаса:

Vu

Qu F '

Действующая F и испытательная QM нагрузки постоянны. Несущая способность конструкции Q рас-

пределена нормально с известным коэффициентом вариации Vq.

Объем испытательной серии: n опытов, из них m отказов.

По этим исходным данным требуется определить надежность конструкции.

2 Расчетные формулы

Поставленную задачу оценки надёжности можно решить приближенным методом, подробно описанным еще в 1976 году сотрудниками РФЯЦ-ВНИИЭФ Н.А.Билыком, В.А.Хариным и Ю.В.Хомутининым [1]. Их работа была опубликована в Бюллетене технической информации (выпуск 3(86) за 197 6 год) . Согласно этой работе задача решается следующем образом:

Среднее значение оценки надежности определяется по формуле:

,_L 7

•рж _

t2

e 2 dt

для квантиля Vu-1 -Vq ■ u

Q Uu

F Vu ■Vq 'V1+®2

(1)

, \ u

, 2n • m •( n - my e q

n3 •l1 +VQ • uqn f

2 2n-(n + 1Ve q

М2 =-----------------

(n + 3)-(n + 2)2 \1 + Vq • uqn )

при m ^ 0

при m = 0

где

1

u - нормированный квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности q—------------------

qu n + 2

, в случае отсутствия отказов (ш=0), или q —— , в случае т#0.

n

Величина среднего квадратичного отклонения рассчитывается по формулам:

Jn + 1

> — I t

V'J(n + 3)-(n + 2)2 ^1 + rn2)

yjm • (n — m) - u -Ug

v^j n ф+М)

2 при m — 0

при m Ф 0

(2) .

Нижнюю доверительную границу оценки надежности, на уровне доверия 0,9 формуле:

рассчитывается по

Po,9 -P —1,28 (3)

Приведенные формулы получены путем нескольких последовательных линеаризаций.

3 Погрешности и допущения при определении оценки надежности для плана испытаний с запасом

Расчет оценки надежности сводится к последовательному определению параметров распределения линейных функций по известным значениям параметров распределения случайного аргумента, при этом распределение самой оценки предполагается нормальным.

Однако такое предположение является приближенным. В самом деле, если даже оставить без внимания погрешности, вносимые в расчет двумя линеаризациями, для нормального распределения оценки надежности необходимо, чтобы также была распределена и исходная случайная величина qM.

Но в действительности она распределена по биномиальному закону, который существенно отличается от нормального распределения как раз для наиболее важных в практическом плане малых объемов испытательных серий. А для т=0 этот закон оказывается вообще непригодным для любых п, так как в этом случае девальвируется само понятие частоты появления события, которая является предметом исследования биномиального закона.

Поэтому при выводе формулы для функции плотности распределения вероятности отказа qM в этом случае приходится вводить определенные допущения.

В работе В.И.Лукьященко и А.Н.Терпиловского [2], например, она получена на основе априорного предположения о равномерном распределении случайной величины qM в интервале [0, 1], которое

по результатам серии опытов (п, т) в соответствии с теоремой Байеса для плотностей преобразуется к виду:

1

f (Чи ) = cm ■ qum-(1 - qu fm , (4)

со средним значением и среднеквадратическим отклонением, равными: m +1 1 (n — m + 1)-( m +1)

Чи = n + 2 ' °ч'и = n + 2 \ n + 3 ■

(5)

Эти результаты справедливы как для тФ0, так и для m=0, хотя и являются приближенными в обоих случаях.

Следует заметить, что разница между точными и приближенными формулами не столь уж и велика. Поэтому для единообразия, возможно, есть смысл использовать в расчетах лишь формулы (5).

4 Метод решения сложных интегралов связи для аналитической формулы плотности распределения оценки надежности

Указанные выше недостатки приближенного метода расчета надежности легко преодолеваются при отказе от линеаризации и переходе на использование фактических функциональных связей при составлении формулы для плотности распределения оценки надежности.

Решим эту задачу сначала для частного случая:

n=3, m=1,

для которого плотность распределения вероятности отказа qM при испытательных нагрузках определяется выражением:

Ф(Чи )= 12-Чи ■ (1 — Чи )2 (6)

Функциональная зависимость между вероятностью отказа qM и квантилем uq в предположении нормальности распределения несущей способности Q конструкции определяется соотношением:

1 чи

У/2г^е 2 dt=Ф ^),

где Ф(и ) - функция Лапласа.

Чи

иЧи = (Чи ) ,

где Ф-1( q„ ) - обратная функция нормального распределения.

Для нахождения плотности распределения квантиля и , как функции случайного аргумента qM с

известной плотностью (6), воспользуемся механизмом, предложенным в работе [3] (это далеко не единственный источник):

„ 2

g (иЧи ) = qt' Ф (иЧи И1 - Ф (иЧи

(7)

Вычисленные по этой плотности параметры распределения квантиля и (интегрирование велось в пределах ± 5) оказались равны:

+5

MoW ] = JиЧи ■ S1 (иЧи Ки =-°>29701 ,

-5

+5

“2 [иЧи ] = J иЧи 2 ■ S1 (иЧи Уичи = 0 44867 ,

-5

ст„ = ,/“,-Mo2[u ] = 0.60038 ■

иЧи ч 2 L Чи J

Для контроля полученных результатов вычислим значение Mo[ uq ] и другим способом, а именно

через числовые характеристики аргумента (порядок вычислений изложен в той же работе [3]):

1

Mo [ичи ] = 12 JФ-1 (Яи )■ Яи ■ (1 - Чи)%. = -0,29701 ■

0

Совпадение результатов свидетельствует о том, что ошибок в вычислениях нет.

Переходим к выводу формулы для плотности распределения квантиля надежности up. В этом случае аргументом является квантиль вероятности отказа (7), а вид функциональной зависимости представляется выражением:

11и -1-^0 ■ иа

ир =—------■ (8)

Vu -vQ

Следовательно, обратная функция будет иметь вид:

,, _Чи~1

-Чи ■ иР

VQ

а её производная будет равна:

^ич

—— = ч ■

л 'и

СЫр

Здесь знак производной изменен на обратный, так как функция (8) является монотонно убывающей.

С учетом этого выражение для плотности распределения квантиля надежности up будет иметь вид:

Ч

Следовательно, зависимость и от qM, как от аргумента, будет иметь вид:

2

S2 (* ) = ^ \rt

1 _ Ф| ^-4 -Vu• щ

2 1 \ П _1

(9)

_ <X> < Up < <x>.

Математическое ожидание и СКО распределения Up, вычисленные по этой плотности (в пределах интегрирования ± 5) для Пи=1,2 и Vq=0,1, оказались равны:

Mo [ up ] = 1,91418; <2 up ] = 3, 91439;

O,

0,50315.

up ] 1,91418» ос2 [ up .

Значение математического ожидания, вычисленное через числовые характеристики аргумента, совпало с полученным через плотность:

u2

Mo\up 1 = 1^ • f

L p f

Пи _!

_Пи • UP

Ф (u* ){l_ Ф {Uqu )] • ^ 2 dUqu = 1,91418.

И, наконец, получим выражение для плотности распределения оценки надежности P по уравнению

Up t

^ “p _ ‘_

i P = . I e 2 dt . В этом случае обратная функция будет иметь вид:

,=ф-1 (р),

а её производная:

_1 ( . u2 V1 У (р)]2

= у/2ж • e 2

dP I ди

1

\[2ж

Плотность распределения аргумента определяется соотношением (9). С учетом этого плотность распределения оценки надежности будет иметь вид:

ft (P) = 12•Пи • ФI— _Пи •Ф-1 (P)

1_Ф| ъл_пи• ф 1 (р)

(10)

1 \ п-1

-Па (P)

\Ф_ (Р)]

, 2

0 < Р < 1.

и

2

2 I v

х е

Параметры распределения оценки надежности, рассчитанные по этой плотности для тех же Пи=1,2 и vq=0,1, оказались равными:

Mo[P] = 0,95672; «2 [ P] = 0,91745; о = 0,04635.

Для оценки надежности дополнительно были вычислены значения медианы и величины Pe,g:

Mе[P] = 0, 97188; Po,9 = 0,89925.

Контрольный расчет значения математического ожидания, проведенный по числовым характеристикам аргумента, дал результат:

Mo

1р1=тИФ

Пи _ 1

Пи • UP

1-Ф

Пи _ 1

Пи • UP

-i\ 2

х e

1

2'

Пи -1

Vq

-Пи •иР

• Ф (up) dup

0,95672.

Общая формула для плотности распределения оценки надежности P имеет вид:

g (p)=cm •п,

_ -па-ф-1 (р)]2

Ф _Пи'Ф1 ( Р)

1_ Ф 1^2 _Пи.ф-1 (Р)

0 < Р < 1.

-im г-

хе

х

(11)

Вывод ее совершенно аналогичен приведенному выше, никаких дополнительных трудностей не вызывает и в комментариях не нуждается.

При использовании в расчетах аналитической формулы для плотности точность расчетов определяется точностью интегрирования функции (11) и связанных с нею функций, а она (точность), в свою очередь, зависит от формы кривой плотности, то есть от комбинации параметров Пи , Vq , m и n.

5 Апробирование разработанного метода

Описанный метод расчета надежности был всесторонне апробирован для весьма широкого диапазона изменения исходных данных. Результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1- результаты проверочных расчетов

метод параметры Пи = 1.1 ft=0.3 n = 2 m = 0 Пи =11 ft = °-3 n = 1 m = 0 Пи = 1.2 ft = 0Л n = 3 m = 1 П = 1.38 V = °-3 n = 2 m = 0 Пи = 11 ve = 0.072 n = 2 m = 0 Пи = 1.38 Vq = 0.097 n = 10.6 m = 0 Пи = 1.45 Vq = 0.166 n = 7 m = 0

приближенный по формулам (1) -(3) p 0.76671 0.71129 0.94470 0.86817 0.99986 0.99959 0.98824

Op 0.13474 0.16147 0.05489 0.07495 0.00020 0.00046 0.000928

p0 9 0.59404 0.50436 0.87435 0.77211 0.99960 0.99900 0.97635

аналити- ческий p 0.81227 0.74223 0.95672 0.91143 0.99996 0.99991 0.99594

Op 0.15536 0.19893 0.04635 0.07993 0.00017 0.00017 0.00501

p0 9 0.58750 0.44756 0.89925 0.80308 0.99992 0.99977 0.99020

Me 0.85265 0.78770 0.97188 0.93468 1(0.955) 0.99997 0.99763

3

Mod 0.98659 0.98080 0.99481 0.98605 не 1(0.98) 0.99988

найдена

Первые четыре примера из включенных в таблицу являются искусственными и предназначенными для демонстрации возможностей разработанной программы. Последние три взяты из расчетной практики автора.

Первые два примера показывают, как реагирует программа на изменение числа опытов в безотказной серии. Чтобы избежать сложностей, связанных с интегрированием слишком уж вытянутой кривой плотности, коэффициент запаса Г)и был принят достаточно малым, а Vq, наоборот, было искусственно завышено. Сравнение результатов показывает, что программа адекватно реагирует на изменение условий расчета.

Четвертый пример показывает, как реагирует программа на изменение коэффициента вариации Vq. Сравнение производится с примером 5, взятым из конкретных расчетов и показывает, как резко повышается надежность при уменьшении Vq примерно в четыре раза.

Как видим из таблицы 2, при Vq = 0,072 кривая плотности деформируется настолько, что при принятом механизме задания и корректировки шага интегрирования не удается идентифицировать моду распределения.

Заключение

Разработанный метод расчета прочностной надежности конструкции, основанный на использовании аналитической формулы для плотности распределения оценки надежности хорошо поддается программированию и дает возможность избежать ошибок, обусловленных линеаризацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Приближенный метод оценки показателей надежности элементов по выборкам малых объемов. Н.А. Билык, В.А. Харин, Ю.В. Хомутинин. Бюллетень технической информации. Выпуск 3(86) Москва 197 6.

2. Об учете предварительной информации при оценке надежности сложных систем. В.И. Лукьящен-ко, А.Н. Терпиловский В сборнике «О надежности сложных технических систем». Изд. «Советское радио» Москва 1966

3. Теория вероятностей. Е.С. Вентцель. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва 1962г. 560с.

4