CC BY
23
-□ □-
Пропонуеться метод селективного з^тав-лення зi зразком для прогнозування знатв nриростiв фшансових часових рядiв. Пiдхiд базуеться на тдексаци часових рядiв для зна-ходження в гх динамц nодiбних дтянок на основi методу К-найближчих сусШв, а також селективного групування цих дшянок за знаками приростiв, як спостериаються тсля гх завершення
Ключовi слова: часовий ряд, прогнозування, тдексащя, знак приросту, з^тавлення зi зразком
□-□
Предлагается метод селективного сопоставления с образцом для прогнозирования знаков приростов финансовых временных рядов. Подход базируется на индексации временных рядов для определения в их динамике подобных участков на основе метода К-ближайших соседей, а также селективной группировки этих участков в зависимости от знаков приростов, которые наблюдаются после их завершения
Ключевые слова: временной ряд, прогнозирование, индексация, знак прироста, сопоставление с образцом -□ □-
1. Вступ
У фшансовш сферi часто розглядаеться проблема прогнозування короткочасно'1 тенденцп часового ряду без розрахунку безпосередньо прогнозних значень. Це пов'язано з тим, що фшансовим часовим рядам часто притаманний нестшкий характер коливань. Таю ряди можуть бути близькими до випадкових. В цьому випадку будують модел^ як б дозволяли розрахува-ти прогнози знаюв прироспв значень часового ряду на одну точку вперед з необхщною максимальною точшстю. Особливштю таких моделей i методiв е мож-ливкть знаходження достатньо стшко'1 залежносп поточного спостереження вщ попередшх. На пiдставi ще'1 залежност розраховуеться прогноз знаку приросту на наступну точку, тобто з перюдом 1. Моделi такого типу зазвичай застосовуються для визначення напрямку руху часових рядiв валютних пар i можуть використо-вуватися для визначення точок змши тенденцш. Для прогнозування знаюв прироспв застосовують специ-фiчнi моделi та методи. Слщ зазначити, що перед реа-лiзацiею таких моделей необхiдно дослiдити вхщний фiнансовий часовий ряд на абсолютну випадковiсть. Це може бути реалiзовано на основi фрактального ана-лiзу або з використанням критерпв поворотних точок, розподшу довжини фази тощо.
Основними етапами при побудовi прогнозу в цьому випадку е:
- прогнозна ретроспекщя (тобто встановлення об'екту прогнозування, що складаеться з передпро-гнозного аналiзу об'екту та ощнки його параметрiв);
- вибiр методiв прогнозування та побудова моделi прогнозування i 11 формалiзацiя;
©
УДК 004:519.2
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.548121
ПРОГНОЗУВАННЯ ЧАСОВИХ РЯД1В МЕТОДОМ СЕЛЕКТИВНОГО З1СТАВЛЕННЯ З1 ЗРАЗКОМ
O. Ю. Кучанський
Кандидат техычних наук, доцент* E-mail: kuczanski@gmail.com А. О. Б^лощицький
Доктор технiчних наук, професор, завщувач кафедри* E-mail: bao1978@gmail.com *Кафедра iнформацiйних технологiй КиТвський нацюнальний унiверситет будiвництва i архiтектури пр. Пов^рофлотський, 31, м. КиТв, УкраТна, 03680
- побудова проспекцii (розрахунок прогнозу на визначений перюд);
- ощнка прогнозу i його верифжащя.
Традицiйнi математичнi моделi не дозволяють от-
римати необхiдну точнiсть прогнозування фшансових часових рядiв, якi близью до випадкових. У зв'язку iз цим, розробка моделей та методiв, як призначенi для прогнозування знаюв приростiв таких часових рядiв мае важливе наукове й практичне значення. До-слщження спрямоване на розробку такого методу, який дозволяв би виконувати прогноз знаку приросту часового ряду з максимальною точшстю. При цьому може використовуватися апарат фрактального аналiзу шформацп, тдходи штелектуального аналiзу часових рядiв, зокрема iндексацii за методами найближчого сусвда i К-найближчих сусiдiв тощо.
2. Аналiз лiтературних даних i постановка проблеми
Прогнозування фшансових часових рядiв е кла-сичною задачею штелектуального аналiзу даних. На сьогодшшнш день iснуе багато дослiджень в сферi Time-Series Data Mining i прогнозування на основi нейронних мереж [1], генетичних алгоритмiв [2, 3], нечетких методiв [4], класичних економетричних тд-ходiв [5, 6]. Також кнуе багато моделей i ввдповвдних методiв, якi дозволяють розраховувати ощнки про-гнозiв iз заданим горизонтом як стащонарних, так i нестащонарних часових рядiв [7-9]. Серед них тради-цiйно застосовуються: AR-, MA- та ARMA-моделi [10]. Проте проблема побудови проспекцп достатньо! точ-ност для нестацiонарних часових рядiв, яю близькi
до випадкових (курсовi пари i т. д.), залишаеться ви-вченою не повною мiрою. Для цих щлей можуть вико-ристовуватися такi модели адаптивна полiномiальна модель прогнозування часових рядiв з нестабiльним характером коливань [6], комбшована модель прогнозування знаюв приростiв на основi плинних середшх [11, 12], наiвнi моделi тощо. Крiм вказаних моделей, для щлей короткострокового прогнозування часових рядiв такого типу можуть застосовуватися модел^ яю базуються на аналiзi подiбностей в поведiнцi часових рядiв, кластеризацп, iндексацii тощо [13-15]. Такi мо-делi та методи можуть використовуватися для побу-дови проспекцiй фшансових часових рядiв, оскiльки iх поведшка, як правило, характеризуеться наявнiстю квазiциклiв. Для побудови моделей прогнозування за даними методами необхщно робити припущення, що поведiнка часового ряду повторюеться. Тобто якщо знайти i зафжсувати деяку дiлянку часового ряду, яка подiбна до дiлянки, яка передуе прогнозу, то поведшка вхщного часового ряду тсля цих д^янок буде наближено повторюватись. Подiбнiсть часових рядiв визначаеться на основi дея^ мiри подiбностi. Як правило, ця мiра метрична, проте е спроби використання i неметричних ввдстаней. Крiм даноi гiпотези, необхiдно враховувати, що часовий ряд повинен мати пам'ять про свою ретроспекщю. Слщ зазначити, що побудувати ощнку прогнозу для рядiв, якi близькi до випадкових, означае передуем знайти знак приросту часового ряду на одну точку вперед. Для виконання бiржових опера-цш на валютному ринку цього може бути достатньо. В цьому дослвдженш саме реалiзована задача знахо-дження знаку приросту фшансового часового ряду на основi шдексацп ряду i аналiзу подiбностей, яю iдентифiкуються.
i = 1,п, S - деяка дискретна множина, ^ - початковий момент часу:
{г, }"=1 = К/2,...,гп } = {z(tl ),z(t2).....z(tn)}. (1)
На основi даного ряду побудуемо часовий ряд, який складаеться з перших рiзниць {Дг!}П=1, де Аг, = г, - гм, , = 2,п. Знаковий ряд, який утворений з вхiдного часового ряду {г,} позначимо через {х, } або
{х, }П=2 = {Х2, Хэ^ Хп }, (2)
де X, = sgn(Azi).
Задача прогнозування знаюв приростiв полягае у побудовi такоi моделi F, яка дозволяе знайти ощнку знаку приросту Х1(п), що представляе собою прогноз, який виконуеться в точщ п з перюдом 1, причому розрахована на основi результатiв прогнозування по-хибка мае бути мжмальною. Особливостi розрахунку похибок прогнозування у випадку знаюв прироспв часових рядiв розглянуто в робоп [11]. Формально таку модель можна записати у виглядi (3). Якщо одра-зу перейти вщ часового ряду {г,} до знакового ряду {х, } , то модель прогнозування матиме аналопчний вигляд (4). Позначимо цю модель через М. Тодi моделi прогнозування матимуть вигляд:
Х1(п) = , гп-т+2, • ■ ■, гп X (3)
Х1(п) = М(Хп-т+1, Хп-т+2, •, Хп ), (4)
де т - довжина дшянки часового ряду, яка безпосеред-ньо передуе точщ, в яюй розраховуеться прогноз або довжина передюторп. Всi значення часового ряду з цiеi дiлянки використовуються для побудови проспекцii.
3. Цшь i задачi дослщження
Цiллю дослщження е побудова моделi i методу для прогнозування знаюв приросив фшансових часових рядiв, що демонструють поведшку, яка близька до ви-падковоi на основi аналiзу подiбних дшянок цих рядiв або зiставлення зi зразком.
Для досягнення мети були поставлеш такi завдання:
- проведення процедури фрактального аналiзу вхiдного фшансового часового ряду для визначення характеристик часового ряду та можливост застосу-вання моделi прогнозування знакiв прироспв часових рядiв;
- проведення шдексацп часового ряду на основi методу К-найближчих сусдав з мiрою подiбностi Евклiда та Хемiнга (залежно вщ представлення часового ряду);
- формалiзацiя моделi для розрахунку прогнозу знаку приросту часового ряду з перюдом 1 на основi результапв фрактального аналiзу та за результатами шдексацп.
4. Формальна постановка проблеми прогнозування знаюв приросив часових рядiв
Нехай {г,}п= - деякий фшансовий дискретний часовий ряд без пропусюв довжини п . Значення часового ряду фжсуються в дискретш моменти часу ti е S,
5. Прогнозування знаюв прирослв часових рядiв
Метод, який описано в цьому роздШ, може використовуватися для прогнозування знаюв приросив як фшансових часових рядiв, так i часових рядiв iншоi природи, яю близькi до випадкових.
Для побудови прогнозу за цим методом необхщно виконати ряд етатв:
Етап I. Передпрогнозний фрактальний аналiз фшан-сового часового ряду для встановлення рiвня персис-тентностi, антиперсистентностi i випадковост часового ряду, перевiрки на наявшсть довготривалоi пам'ятi, а також визначення значення ш, тобто iдентифiкацii тiеi дiлянки часового ряду, яка буде безпосередньо використовуватися для розрахунку прогнозу. Ця дшянка довжини ш називаеться опорною iсторiею i позначаеться:
Х(1тШ+1 = {хп-т+1, Хп-т+2, •, Хп } = {хj }п=п-т+1 , (5)
де в позначеннi верхнiй шдекс визначае точку, з якоi починаеться побудова штори, а нижнiй шдекс в дужках - довжину юторп. Ва iншi iсторii називаються неопорними i позначаються:
Х(т) = {Х( , Х(+1, • • •, Х(+т-1 } = {Х(+j }т=0 , (6)
де N = 1,п - т.
Процедура фрактального аналiзу складаеться з таких алгоритмiв:
1. Фрактальний R/S-аналiз для розрахунку показ-ника Херста H вхвдного часового ряду. Детально цей алгоритм описано в роботах [16, 17]. Для цих щлей також може бути використано метод детрендованого флуктуацшного аналiзу.
2. Оцiнка стiйкостi розрахованого показника H та дослщження його поведшки в динамiцi [18]. У ви-падку застосування фрактального R/S-аналiзу для оцiнки значимостi показника для вхщного часового ряду використовують функщю Енiса-Ллойда [19]. Роз-раховуеться величина E е[0,1], яка дозволяе ощнити персистентнiсть:
- якщо H > E, то часовий ряд персистентний (трендостшкий) i для його прогнозування можна використати звичайш економетричш моделi: моде-лi експоненцiального згладжування Брауна, Хольта, Хольта-Вштерса, Трiгга-Лiча, MA-моделi тощо;
- якщо 0.5 < H < E, то часовий ряд випадковий i будь-яка модель прогнозування, яка буде використана в цьому випадку, буде неадекватною;
- якщо 0.5 < H, то часовий ряд антиперсистентний або ергодичний, тобто вш реверсуе частше, шж випад-ковий часовий ряд;
- якщо H-E<8 i 0<8<0.05, то часовий ряд е близьким до випадкового. Застосування традицшних моделей прогнозування в цьому випадку не дозволяе отримати необхщну точшсть прогнозу i для побудови проспекцп або знаходження оцiнки знаку приросту з перюдом 1 потрiбно застосовувати модифжоваш моделi, якi базуються, зокрема, на основi попередньо! iндексацii або кластеризацп часового ряду. До таких часових рядiв у фiнансовiй сферi належать ряди кур-сових пар, показник Херста яких в б^ьшост випадюв перевищуе розрахункове значення Ешса-Ллойда E менш, нiж на 8. Слщ зазначити, що в перюди неви-значеностi на ринку часовi ряди курсових пар мо-жуть «втрачати пам'ять» i ставати на короткий перюд випадковими або навиь антиперсистентними. Таю явища спостерiгаються здебшьшого пiд час кризових явищ. Тому для отримання повного розумшня поведшки часового ряду i його властивостей необхщне дослiдження його показника Херста в динамвд та щентифжацп наявностi пам'ятi. В цьому дослвдженш розглядаеться випадок часових рядiв, яю близькi до випадкових. Детальнiше про дослвдження показника H в динамвд розглянуто в роботi [18].
3. Розрахунок середньо! довжини квазiциклiв. Шд-хiд визначення довжини квазiциклiв на основi побудови сiм'i часових рядiв i згладжуваннi V-статистик за допомогою iндексу Кауфмана описано в робой [18]. Величина середньо! довжини квазщиклу для вхiдного часового ряду буде використовуватися для побудови опорно! та неопорних шторш як довжина m.
Етап II. 1ндексащя часового ряду. Задача шдек-сацп часового ряду е класичною задачею Time-Series Data Mining i полягае у визначенш на основi деяко! мiри подiбностi або вiдмiнностi того, яю з часових ря-дiв деяко! бази B подiбнi до вхщного часового ряду Z [13, 20]. База B включае часовi ряди тако! ж довжини, що й вхщний часовий ряд.
Неопорна iсторiя називаеться подiбною до опорно! iсторii деякого дискретного часового ряду, якщо мiра
подiбностi d мiж ними не перевищуе мiр подiбностi d мiж опорною та в«ма iншими неопорними iсторiя-ми. У випадку задання часового ряду у виглядi (1) мiрою подiбностi може бути вщстань Евклiда, ман-хетенська метрика, вщсташ Махаланобiса, Мшков-ського, Журавлева тощо. У випадку задання часового ряду у виглядi (2) зручно використовувати вщсташ Хемшга або Роджерса-Ташмото [21, 22]. Якщо розгля-дати опорну та неопорнi шторп як двiйковi вектори в m-вимiрному просторi, то вiдстань Xеммiнга мiж ними довжини т представляе собою число позицш, в яких вони приймають рiзнi значення. Загальна схема ввдбо-ру подiбноi iсторii показана на рис. 1. Вибiр опорно! та неопорних кторш на часовому рядi показано на рис. 2.
Неопорш krropfi
Пошбна icTopis
Опорна icTopia
Рис. 1. Схема вщбору подано! ¡сторм
1снуе двi основш постановки задачi iндексацii:
1. Знайти з бази часових рядiв В таю к > 0 рядiв, мiра подiбностi d яких до вхвдного часового ряду не перевищуе фжсованого, наперед заданого числа £, d <£.
2. Знайти з бази В таю к >0 часових рядiв, мiра подiбностi яких d до вхщного часового ряду мiнi-мальна.
Слвд зазначити, що перед проведенням шдексацп часового ряду необхiдно переконатися, що обрана мiра подiбностi мiж двома часовими рядами задовольняе вимогам симетричноси, сталост при самоподiбностi, невiд'емностi та правило трикутника.
Рис. 2. Вибiр icroprn на вхiдному фiнансовому часовому ряд1
6 два тдходи до реалiзацii шдексацп для нашоi задачi, залежно ввд представлення вхiдного часового ряду (у виглядi (1) та у виглядi (2)). Якщо ряд представлено у виглядi (1), то перед проведенням шдексацп його потрiбно нормувати за формулою [23]:
(7)
де
г
4н)
1ш-1
(8)
- середне арифметичне кожноi iсторii часового ряду,
(9)
- середньоквадратичне вiдхилення iсторiй. Далi необхiдно видiлити з нормованого часового ряду {г,} опорну iсторiю:
(10)
i неопорну iсторiю:
ZNm)={ZN,ZN+1,•,ZN+m-l}={ZN+j}Ш=-1, ( = ^ п - т. (11)
Знайдемо всi вiдстанi Евклiда w мiж опорною та вима неопорними iсторiями за формулою для N = 1,п - т:
w(Znmm+1,ZNm))^Z(Zn-m+j-.
Аналогiчно, формуемо таю кеМ вiдстаней, для яких виконуеться умова мiнiмума:
w (Znmm+1,ZNm))
(15)
Неопорш iсторii, якi визначають таю мжмальш вiдстанi позначимо через Х(КШ), Ке[1,п-т] i розiб'емо '¿х на двi групи:
- група таких iсторiй Х(Кт), для яких Х(К+) = 1. Кшь-
кiсть таких iсторiй позначимо через ^Ш1 , - к ;
- група таких шторш Х(КШ), для яких Х(+) = 0 . Юль-кiсть таких шторш позначимо через , СШ - к .
Етап III. Розрахунок прогнозу знаку приросту фь нансового часового ряду. Позначимо через Q (Х1(п) = 8) оцiнку того, що Хп+1 = 8 , при 8 е {-1,1} . Знайти щ оцш-ки у випадку задання вхвдного часового ряду у виглядi (1) можна за формулами [24]:
а (Х(п)=8)=—
пШ
-Пш -1
£п
а (Х(п)=8)=^^
Ек1+п+ш
£ ш п; а (Х(п)=8)=^-^
£ш (п1+п+„
=1 п-1
а (Х(п)=8)=п-т
п+
1 п+ +п+
(16)
(17)
(18)
(19)
У випадку задання вхщного фiнансового часового ряду у виглядi (2) оцiнки розраховуються за аналопч-ними формулами:
Г
(12) а (Х(п) =8)^--5^
С+СШ1
(20)
Серед розрахованих значень ввдберемо такi кеМ вiдстаней, якi е мiнiмальними:
w(Znmm+1,ZNm) )"К=1^Ш;п.
(13)
Позначимо неопорнi iсторii таких мiнiмальних вщ-станей через ^Ш), де К е[1,п - ш]. Розiб'емо цi iсторii на двi групи:
- група таких шторш ^Ш), для яких 1((Ш+)1 - ^Ш) >0. Кiлькiсть таких шторш позначимо через пШ1, пШ1 - к;
- група таких шторш ^Ш), для яких ^Ш!)1 - ^Ш) < 0.
Кiлькiсть таких шторш позначимо через пШ1, пШ - к.
Для того, щоб сформувати таю групи у випадку задання фшансового часового ряду у виглядi (2), необхвд-но розрахувати ва мiри Хемiнга W мiж опорною та всь ма неопорними iсторiями для N = 1,п - ш за формулою:
(Х(1Ш) , Х(Ш) )=£|Xn-m+j XN+j-J. ^=1
(14)
а (Х(п)=8)=^^
£(С+С
£ т £
а (Х(п)=8)=-пзгт=1-
£ш (С+С
а (Х(п) = 8) = И^Т
п-1 г 8 т
1 с+с
(21)
(22)
(23)
Для розрахунку прогнозу знаку приросту за да-ним методом, введемо порогове значення ф ~ 0.5, а також значення Х = 0.1 для щентифжацп промiжку, на якому спрямований прирост не спостерiгаеться. Щ значення пiдбираються на початку побудови проспек-цii i коригуються з кожним новим розрахованим прогнозом, враховуючи похибку прогнозування. Таким чином, якщо вхщний ряд мае вигляд (1), то прогноз
2
його знаку приросту з перюдом 1 розраховуеться за формулою:
Sn+1 =
8, ц>ф + Х 0, це[ф-Х,ф + Х] , -8, т<ф-Х
(24)
де 8е{-1,1} i вiдношення оцiнок
Q (X(n) =8)
m=
Q (i(n)=-8)'
(25)
Алгоритм розрахунку прогнозу знаку приросту для часового ряду, який задано у виглядi (1) мае ви-гляд:
1. Завантаження вхвдного часового ряду ^ } (1).
2. Нормалiзацiя часового ряду ^ } за формулами
(7)-(9), тобто формування часового ряду ^! }"= .
3. Проведення процедури фрактального аналiзу (R/S-аналiз або детрендований флуктуацшний ана-лiз). Встановлення параметрiв, якi необхiднi для побу-дови моделi прогнозування.
4. Розбиття часового ряду ^!} на д^янки довжи-ною т методом плинного вжна. Видшення опорно'! та неопорних юторш.
5. Iндексацiя часового ряду для вдентифжацп по-дiбних дiлянок за формулою Евклiда (12) на основi методу К-найближчих сусвдв. За основу обираеться дiлянка, що передуе точщ, в якiй розраховуеться прогноз, тобто опорна iсторiя. В результат отримаемо дiлянки, як подiбнi до опорно'.
6. Шдрахунок кiлькостi подiбних дiлянок, пiсля яких спостертеться тенденцiя до зростання та спа-дання.
7. Розрахунок ощнок за формулами (16)-(19).
8. Розрахунок прогнозу з перюдом 1 за формулами (24), (25).
Алгоритм розрахунку прогнозу знаку приросту з перюдом 1 для знакового часового ряду (2) мае вигляд:
1. Завантаження вхвдного часового ряду ^ } (1).
2. Перетворення часового ряду ^} на знаковий ряд |х };_2 (2) або безпосередне завантаження знаков ого ряду.
3. Проведення процедури фрактального аналiзу.
4. Розбиття знакового часового ряду |х}._2 на дь лянки довжиною т. Видiлення опорно! та неопорних юторш.
5. Iндексацiя часового ряду для вдентифжацп по-дiбних дшянок за формулою Хемiнга (14) на основi методу К-найближчих сусiдiв. За основу обираеться дшянка, що передуе точщ, в якш розраховуеться прогноз, тобто опорна iсторiя. В результат отримаемо дiлянки, якi подiбнi до опорно'!.
6. Пiдрахунок юлькост подiбних дiлянок, пiсля яких спостертеться тенденцiя до зростання та спа-дання.
7. Розрахунок ощнок за формулами (20)-(23).
8. Розрахунок прогнозу з перюдом 1 за формулами (24), (25).
6. Висновки
В результат проведених дослщжень було встанов-лено:
1. Якщо за результатами передпрогнозного фрактального аналiзу отримано, що фшансовий часовий ряд е персистентним, то можна застосувати традицшш економетричш методи прогнозування. Якщо часовий ряд е персистентним, але близьким до випадкового (Н = 0.5, Н > 0.5), то можна використовувати запропоно-ваний метод прогнозування знаюв прироств. В iнших випадках, якщо часовий ряд випадковий або анти-персистентний, то використовувати будь-як методи прогнозування не мае змюту. За результатами фрактального аналiзу також встановлено, що застосування запропонованого методу не мае змюту, якщо у часовому рядi не щентифжовано наявнiсть довготривало! пам'я-ть Iдентифiкована за результатами аналiзу середня дов-жину квазiциклу часового ряду може бути використана в запропонованому методi прогнозування як граничне максимальне значення для довжини передюторп т.
2. На наступному етат дослщження на основi мiр Хемiнга i Евклiда за методом К-найближчих сусдав була проведена процедура iндексацii часового ряду або зютавлення зi зразком для визначення тих дшянок ряду, яю подiбнi до зразка (до опорно! юторп).
3. В результат iндексацii отриманi iсторii селективно групувались на двi групи, залежно вщ знаку приросту, який по !х завершеннi спостерiгався. На ос-новi формул (16)-(23) залежно вщ вхiдного представ-лення фiнансового часового ряду розраховувались ощнки того, що ряд буде зростати або спадати. Далi знаходились вщношення цих ощнок, що визначало силу спрямованост приросту до зростання або спа-дання (25). Прогноз розраховувався за формулою (24). Описаний метод використовувався для прогнозуван-ня часових рядiв курсових пар (EUR-USD, EUR-GDP тощо), якi е близькими до випадкових. Точшсть про-гнозування за описаним методом для даних часових рядiв склала >58 %, що для рядiв такого типу е непоганим результатом.
В результат дослiдження описано i формалiзо-вано метод селективного зютавлення зi зразком для розрахунку прогнозу знаку приросту з перюдом 1 для фшансових часових рядiв, яю близькi до випадкових. Цей метод, що е альтернативою для таких методiв, як описанi в роботах [6, 13], може бути використано в системах тдтримки прийняття ршень i прогнозування у фшансовш сферi для прогнозування курсових пар, приросту шдекив тощо [25]. Описаний метод прогнозування може бути складовою частиною експертно! системи, яка може використовуватись для прийняття ршень i планування в певнiй сферi дiяльностi.
^riepaTypa
1. Azoff, M. E. Neural Network Time Series Forecasting of Financial Markets [Text] / M. E. Azoff. - Cornwall : John Wiley and Sons, 1994. - 212 p.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
I
Ferreira, C. Gene Expression Programming. A new adaptive Algorithm for solving Problems [Text] / C. Fereira // Complex Systems. - 2001. - Vol. 13, Issue 2. - P. 87-129.
Barbulescu, A. Time Series Modeling Using an Adaptive Gene Expression Programming Algorithm Barbulescu, A. Time Series Modeling Using an Adaptive Gene Expression Programming Algorithm [Text] / A. Barbulesku, E. Bautu // International Journal of Mathematics and Computation. - 2009. - Vol. 3, Issue 2. - P. 85-93.
Матвшчук, А. В. Моделювання еконо1шчних процеав Í3 застосуванням методiв неч^ко! лопки [Текст] / А. В. Матвшчук. -К. : КНЕУ, 2007. - 264 с.
Снитюк, В. 6. Прогнозування. Модель Методи. Алгоритми [Текст]: навч. поабник / В. 6. Снитюк. - К. : Маклаут, 2008. - 364 с.
Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов [Текст]: учеб. пособие / Ю. П. Лукашин. - М. : Финансы и статистика, 2003. - 416 с.
Box, G. E. P. Time series analysis: forecasting and control [Text] / G. E. P. Box, G. M. Jenkins. - San Francisco : Holden-Day, 1976. - 575 p.
Brown, R. G. Statistical forecasting for inventory control [Text] / R. G. Brown. - US : McGraw-Hill Inc., 1959. - 223 p.
Holt, C. C. Forecasting trends and seasonal by exponentially weighted averages [Text] / C. C. Holt // International Journal of
Forecasting. - 1957. - Vol. 20, Issue 1. - P. 5-10.
Vercellis, C. Business intelligence: data mining and optimization for decision making [Text] / С. Vercellis. - Cornwall : John Wiley & Sons Ltd. Publication, 2009. - 417 p. doi: 10.1002/9780470753866
Берзлев, О. Ю. Метод прогнозування знагав прироспв часових рядiв [Текст] / О. Ю. Берзлев // Схщно-бвропейський журнал передових технологш. - 2013. - Т. 2, № 4 (62). - С. 8-11. - Режим доступу: http://journals.uran.ua/eejet/article/ view/12362/10250
Берзлев, А. Ю. Разработка комбинированных моделей прогнозирования с кластеризацией временных рядов по методу ближайшего соседа [Текст]: сб. науч. тр. / А. Ю. Берзлев // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. - 2012. - Вып. 161. - С. 51-59.
Singh, S. Pattern Modeling in Time-Series Forecasting [Text] / S. Singh // Cybernetics and Systems. An International Journal. -2000. - Vol. 31, Issue 1. - P. 49-65. doi: 10.1080/019697200124919
Perlin, M. S. Nearest neighbor method [Text] / M. S. Perlin // Revista Eletronica de Administraijäo. - 2007. - Vol. 13, Issue 2. - P. 15.
Fernández-Rodríguez, F. Nearest-Neighbour Predictions in Foreign Exchange Markets [Text] / F. Fernández-Rodríguez, S. Sosvilla-Rivero, J. Andrada-Félix // Fundacion de Estudios de Economia Aplicada. - 2002. - Vol. 5. - P. 36.
Peters, E. E. Fractal market analysis: applying chaos theory to investment and economics [Текст] / E. Peters. - Cornwall : John Wiley & Sons Inc, 1994. - 336 p.
Hurst, H. E. Long-term storage capacity of reservoirs [Text] / Н. Hurst // Transactions of the American Society of Civil Engineers. - 1951. - Vol. 116. - P. 770-799.
Берзлев, О. Ю. Методика передпрогнозного фрактального аналiзу часових рядiв [Текст] / О. Ю. Берзлев // Управлшня розвитком складних систем. - 2013. - Вип. 16. - С. 76-81.
Anis, A. The expected value of the adjusted rescaled Hurst Range of independent normal summands [Text] / A. Anis, E. Lloyd // Biometrika. - 1976. - Vol. 63, Issue 1. - P. 111-116. doi: 10.2307/2335090
Kahveci, T. Variable length queries for time series data [Text] / T. Kahveci, A. Singh // Proceedings of the 17th International
Conference on Data Engineering. - Heidelberg, Germany, 2001. - P. 273-282. doi: 10.1109/icde.2001.914838
Chang, C. L. E. Clustering for approximate similarity search in high-dimensional spaces [Text] / C. L. E. Chang, H. Garcia-Molina,
G. Wiederhold // IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering. - 2002. - Vol. 14, Issue 4. - P. 792-808. doi: 10.1109/
tkde.2002.1019214
Зайченко, Ю. П. Нечеткие модели и методы в интеллектуальных системах [Текст] : учеб. пособие / Ю. П. Зайченко. - К. : Слово, 2008. - 344 с.
Goldin, D. Q. On Similarity Queries for Time-Series Data: Constraint Specification and Implementation [Text] / D. Q. Goldin, P. C. Kanellakis // Proceedings of the 1-st International Conference on the Principles and Practice of Constraint Programming. -Cassis, France, 1995. - P. 137-153. doi: 10.1007/3-540-60299-2_9
Кучанський, О. Ю. Прогнозування часових рядiв методом зiвставлення зi зразком [Текст] / О. Ю. Кучанський, В. В. Ншо-ленко // Управлшня розвитком складних систем. - 2015. - Вип. 22. - С. 101-106.
Берзлев, О. Ю. Сучасний стан шформацшних систем прогнозування часових рядiв [Текст] / О. Ю. Берзлев // Управлшня розвитком складних систем. - 2013. - Вип. 13. - С. 78-82.
