CC BY
243
УДК 330.4, 519.2
Вл. В. СКАЛОЗУБ, I. В. КЛИМЕНКО (ДПТ)
ДОСЛ1ДЖЕННЯ МЕТОДУ ПРОГНОЗУВАННЯ ЕКОНОМ1ЧНИХ ЧАСОВИХ РЯД1В НА ОСНОВ1 УЗАГАЛЬНЕНОГО ЛОГ1СТИЧНОГО В1ДОБРАЖЕННЯ
В робот наведено результати дослвдження та оперативного прогнозування властивостей часових р.вдв, отриманих з використанням моделi узагальненого логiстичного ввдображення.
Ключовi слова: прогнозування властивостей вагонопотошв, методи оперативного прогнозування, аналiз часових рядiв, узагальнене логiстичне вiдображення
В роботе представлены результаты исследования и оперативного прогнозирования свойств временных рядов, полученных с использованием модели обобщенного логистического отображения.
Ключевые слова: прогнозирование свойств вагонопотоков, методы оперативного прогнозирования, анализ временных рядов, обобщенное логистическое отображение
The results of research and operational forecasting the properties of economic time series derived from models of the generalized logistic map are presented.
Keywords: forecasting of wagon stream properties, operational forecasting methods, time series analysis, generalized logistic map
Проблеми прогнозування недетермшованих економiчних процеав, представлених за допомогою часових рядiв
Ршення задач прогнозування i планування параметрiв економiчних, а також багатьох ш-ших процешв, було i залишасться актуальним i важливим для ефективно! органiзацii дiяльностi в рiзних сферах. На практицi вирiшення цих завдань вiдбуваeться в умовах неповноi шфор-мацii, а також при невизначеносп, пов'язаноi зi специфiкою тих або ж шших виробничо-економiчних, технологiчних процесiв, при вщ-сутносп достатньо повних вiдповiдних моделей [1, 2]. З урахуванням зазначених особливостей i невизначеностей одним iз загальних пiдходiв до аналiзу та прогнозування властивостей таких процешв е розгляд iх часових рядiв [2, 3]. Завдання оперативного прогнозування на осно-вi часових рядiв спостережень параметрiв про-цесiв широко використовуеться для органiзацii ефективного прогнозування, планування та управлшня [3, 4]. Останшм часом все бiльше уваги придшяеться питанням щодо урахування фрактальних властивостей процешв, застосу-ванню методiв хаотично!' динамши [4, 5], якi дозволяють виявити i врахувати при прогнозу-ваннi нову, ранiше не використовувану при статистичнiй обробцi, iнформацiю стосовно властивостей дослщжуваних процесах. Мате-матичш моделi та методи хаотичноi динамши все бiльше використовуються при виршенш завдань аналiзу та прогнозування економiчних систем [2 - 4]. Серед таких методiв аналiзу ча-
сових рядiв видiлимо Л/S,-аналiз Херста [4, 5, 7], за допомогою якого вдаеться встановити деяю додатковi властивосп щодо тенденцiй i параме-трiв недетермiнованих процесiв.
Прикладом iншого методу хаотичноi дина-мiки, дослiдженню властивостей якого присвя-чена наша стаття, е нелiнiйне логiстичне вщо-браження [6, 7], яке е детермшованим, але в [7] та шших дослщженнях показано, що нелiнiйнi моделi при певних значеннях параметрiв мо-жуть мати «хаотичну» поведiнку. В робот [9] модель узагальненого лопстичного вщобра-ження запропоновано використовувати для оперативного прогнозування значень рiвнiв часових рядiв, що характеризують властивосп потокiв вагонiв залiзничного транспорту. У статп наведено комплекс дослiджень, як роз-кривають можливостi цього нового методу, призначеного для оперативного прогнозування, а також виконано порiвняльний анатз з iнши-ми загальноприйнятими моделями прогнозу-вання рiвнiв часових рядiв, встановлюються властивостi адекватносп узагальнених лопсти-чних моделей для недетермшованих процешв.
Метод прогнозування часових рядiв
на основi логiстичного вщображення
Оперативне прогнозування на основi часових рядiв спостережень представляе важливе завдання для ефективного планування та управлiння багатьма економiчними процесами [1 - 5], при цьому часто вони мають складну поведiнку, що схожа на «хаотичну». 1снують моделi хаотичноi динамiки, якi все бшьше за© Скалозуб Вл. В., Клименко I. В., 2011
стосовуються в управлшш економiчними системами. Розвитку цих дослiджень i присвячена ця робота.
Прогнозування наступних значень рiвнiв ча-сових рядiв будемо виконувати на основi моде-лi узагальненого логiстичного вiдображення (УЛВ), що задаеться таким рекурентним сшв-вщношенням [6, 7]:
хи+1 = К (N - хв ), (1)
де X , а i в параметри моделi, як розрахову-ють методом найменших квадрапв (МНК);
N - максимальне значенням рiвнiв ряду.
Вiдображення (1) е одновимiрним нелшш-ним i використовуе лише попереднш рiвень ряду. Вщповщно [1, 2] та iнших дослщжень навiть простi нелiнiйнi моделi, для деяких значень параметрiв мають при достатнiй кiлькостi рiвнiв ряду хаотичне поводження, яке здаеться випадковим. Разом з тим у детермшованих не-лiнiйних моделях така хаотична поведшка по-роджуеться саме нелшшшстю. Для наших за-вдань на практищ встановити довжину моделi ряду (1), з яко! почнеться «хаотична поведшка», не можливо. Тому прогнозування викону-еться на основi узагальнення результатiв розра-хункiв для кшькох моделей виду (1), параметри кожно! з яких розраховують методом МНК для фрагмент часових рядiв рiзноl довжини (i е суттево вiдмiннi). Побудова прогнозу, у нашо-му дослiдженнi оперативного, вiдбуваеться ре-курентно. Для прогнозування на основi вiдо-браження (1) на 1 або 2 кроки виконуеться на-ступна послiдовнiсть операцiй (яю утворюють узагальнений алгоритм).
Для побудови моделi виду (1) використову-валися 15, 10 та 5 попередшх значень ряду. За МНК проводився пошук таких значень X, а i в , щоб мiнiмiзувaти квадрат похибки.
У вщповщност до вибрано! кiлькостi попе-реднiх значень ряду визначаеться N i проводиться розрахунок пaрaметрiв (X, а i в ).
Проводиться побудова прогнозу на наступ-ний перюд за знайденими параметрами - ви-значення наступного рiвня ряду (або двох).
На основi прогнозiв для 15, 10 и 5 попередшх значень ряду, знаходимо середне значення результат моделей iз 15 i 10, та 5 рiвнiв, так само i для 10 i 15 рiвнiв.
Знаходиться середне значення для початко-вого ряду i його абсолютне вщхилення вiд се-реднього.
Додаеться абсолютне вщхилення до серед-нiх значень моделей iз 15 i 10, та 5, так само i
для моделей iз 10 i 15 попереднiх рiвнiв ряду. При цьому отримуемо Прогноз № 1 та Прогноз № 2, вщповщно на один i два кроки уперед.
У табл. 1 подано результати числових роз-рахунюв щодо побудови оперативного прогнозу, а також вщносш похибки величин прогно-зiв, укaзaнi у вiдсоткaх. Останш два рядки без-посередньо представляють значення оперативного прогнозу, вщповщно на один та два кроки. Саме вони (два останш рядки 02.02.10 i 03.02.10) являють мету попередшх розрахунюв i е прийнятними для практичного застосування методу. На рис. 1 подано графши цих процеав оперативного прогнозування часових рядiв на основi УЛВ, (1). Необхщно вiдзнaчити, що за-пропонований метод розрахований у першу чергу на оперативне прогнозування, тому до-сить значш розбiжностi мiж рiвнями вихщного ряду та значеннями, отриманими iз моделi УЛВ для деяких внутршшх рiвнiв, не характеризу-ють точшсть методу у цiлому. Вони лише де-монструють можливостi моделi УЛВ (1) щодо покрокового представлення дуже складного процесу, описаного за допомогою часового ряду («Кшьюсть вагошв», табл. 1). Грaфiки (тaбличнi значення) рис. 1 прогнозних оцiнок рiвнiв ряду отримують шляхом послiдовного виконання наведених вище крокiв алгоритму моделi УЛВ для попереднiх i останнього фактичного значення рiвня ряду. При цьому, зро-зумiло, будуть змшюватися параметри моделi УЛВ для наступного етапу оперативного прогнозу.
В дослщженнях були з'ясоваш значш мож-ливостi застосування запропонованого методу використання УЛВ для побудови у нашому ви-падку оперативного прогнозу пaрaметрiв ваго-нопотоку, а також його практичного застосу-вання для планування (тут роботи зaлiзниць). Щоб дати бiльш достовiрну оцiнку методу УЛВ зупинимось на загальних питаннях aнaлiзу вла-стивостей вихщних часових рядiв, для яких ви-конуеться прогнозування, хоча iз рис. 1 та наступних у цшому зрозумiлa склaднiсть завдань прогнозування вщповщних процесiв. Розгляне-мо щ питання бiльш докладно.
Важливе значення для прогнозування мае виконання вимог до початково! шформацп (ш-тервали мiж сусiднiми рiвнями ряду, зютавшсть рiвнiв ряду, нaявнiсть аномальних значень, а також присутнiсть у даних тенденци та iн. ([2, 6, 7]). Для виявлення аномальних рiвнiв часових рядiв можна використовувати метод 1рвша [2, 8]. Метод полягае у використанш наступного рiвняння:
Ч = |у* -У^> * = 1
(2)
с у =
де оу - середне квадратичне в1дхилення часового ряду у15 У2 УгУп :
^/[Е (У - У)2 ] /(и -1) ,
у=Е у / п • (3)
Таблиця 1
Результата оперативного прогнозування параметрiв часових ря.ив на основi логiстичного в1дображення
Дата Кшьюсть вагошв Середне (5, 10 и 15) Середне (5 и 10) Прогноз № 1 Прогноз № 2 Похибка прогнозу № 1 Похибка прогнозу № 2
12.01.10 3 059
13.01.10 3 577 2 916 2 851 3 363 3 298 5,98 % 7,79 %
14.01.10 3 232 2 760 2 658 2 862 2 761 11,45 % 14,59 %
15.01.10 3 100 2 859 2 781 2 889 2 810 6,81 % 9,34 %
16.01.10 3 465 2 902 2 834 3 237 3 169 6,57 % 8,54 %
17.01.10 3 468 2 790 2 696 3 129 3 034 9,79 % 12,51 %
18.01.10 3 388 2 789 2 695 3 048 2 953 10,04 % 12,84 %
19.01.10 2 782 2 812 2 723 3 160 3 070 13,58 % 10,36 %
20.01.10 3 103 3 018 2 979 3 045 3 006 1,87 % 3,13 %
21.01.10 2 674 2 901 2 833 3 357 3 288 25,53 % 22,97 %
22.01.10 3 441 3 063 3 035 3 374 3 347 1,94 % 2,75 %
23.01.10 2 907 2 797 2 704 3 020 2 927 3,87 % 0,68 %
24.01.10 3 716 2 970 2 919 3 556 3 505 4,29 % 5,68 %
25.01.10 3 412 2 724 2 614 3 006 2 897 11,89 % 15,10 %
26.01.10 2 625 2 805 2 714 3 310 3 219 26,09 % 22,62 %
27.01.10 3 199 3 084 3 062 3 153 3 131 1,42 % 2,12 %
28.01.10 2 774 2 870 2 794 3 225 3 149 16,27 % 13,53 %
29.01.10 2 849 3 021 2 983 3 302 3 264 15,91 % 14,56 %
30.01.10 2 523 2 992 2 946 3 599 3 553 42,63 % 40,82 %
31.01.10 3 299 3 130 3 120 3 300 3 290 0,02 % 0,28 %
02.02.10 2 817 2 839 2 755 3 151 3 068 11,86 % 8,91 %
03.02.10 3 356 3 005 2 970 3 231 3 196 3,71 % 4,76 %
Розрахунков1 значення Х2, Х3 ... пор1вню-ються з табличними значеннями критер1ю 1рв1-на, 1 якщо виявляються бшьше табличних, то вщповщне значення, р1вня ряду вважаеться аномальним.
У [8] подано таблицю значень критер1ю 1р-вша для р1зних р1вшв значущосп а . Питання щодо виникнення та усунення аномальних р1в-шв часових ряд1в, як правило, виршуються ок-ремо.
Перев1рка ппотези юнування тенденци часових ряд1в являе важливий етап !х дослщжен-
ня, тому що в них не завжди простежуеться присутнють тренда. Перев1рка ще! ппотези за критер1ем «висхщних { низхвдних» серш вико-нуеться за наступною схемою [8]. Нехай даний часовий ряд:
у^ у 2,У*
Уп
(4)
де * = 1,...,п.
Вщповщно до критерда «висхщних { низ-хщних» серш виконуються таю розрахунки. 1. Визначаеться послщовшсть знатав у рядк +, якщо У(+1 - У( > 0 ; -, якщо У*+1 - У( < 0 .
2. Пщраховуеться число серш V (п) - по-слщовноен пiдряд розташованих плюсiв або мшуив.
3. Визначаеться протяжнiсть найдовшо!
СеР" 1шах (п) .
4. Знаходиться табличне значення I (п ) .
5. З довiрчою вiрогiднiстю 0,95 гiпотеза про вiдсутнiсть тренда вщкидаеться, якщо по-рушуеться хоч би одна з наступних нерiвнос-тей,
v(n) > Г(2п -1)/3 -1,96^/(16п - 29)/90
/шах(п) < I(П),
(5)
де квадратш дужки нершносн означають цiлу частину числа.
Прогноз вагонопотоку —•—Дан —»—Прогноз №1 ■ Прогноз №2
1\ 11
ч ■ч \ / Ч' 1 хЧ"/\/
мае», та результати прогнозування на основi цих моделей данi у табл. 2 та на рис. 2 - 4. Для кожно! iз перелiчених моделей процесу, побудованих на основi методу найменших квадрапв, було вико-нано перевiрку адекватшсть на основi методики [1, 5, 8]. Застосування критерiю Дарбiна-Уотсона тдтвердило неадекватнiсть цих моделей. Разом з тим запропонована модель УЛВ на основi (1), дослiджена тим же методом, виявилась адекватною.
Прогноз вагонопотоку
-Даш
-Прогноз
0 5 10 15 20 25 30
Рис. 2. Прогноз обсяпв вагонопотоку на основ1 квадратично! модел
Прогноз вагонопотоку [МА(3)]
-Даш
Прогноз
12.01.2010 17.01.2010 22.01.2010 27.01.2010 01.02.2010 06.02.2010
Дата
Рис. 1. Граф1ки прогнозування р1вшв часових ряд1в
на основ1 методу лопстичного вщображення
Вiдзначимо, що для представленого у цш роботi прикладу, табл. 1, далi табл. 2, з довiр-чою вiрогiднiстю 0,95 тенденщя у рiвнях ряду вiдсутня: оби^ нерiвностi (5) виконуються,
v(n) >Г(2п -1)/3-1,96^/(16п -29)/90]; 25 > 17;
/шах(п) < I(п); 3 < 6.
У зв'язку iз наведеною оцiнкою властивос-тей дослщжуваного часового ряду отриманi у табл. 1 прогнозш оцiнки його рiвнiв можна вважати достатнiми для практики.
Порiвняльний аналп результатiв прогнозування рiвнiв часових рядiв на основi лшшнот, квадратичнот моделей та ковзнот середньот
Розглянемо питання порiвняльного аналiзу можливостей прогнозування рiвнiв часових рядiв на основi лшшно!, квадратично! моделей та ковз-но! середньо!, коли використовуються три (МА(3) або КС(3)) чи п'ять рiвmв (МА(5) або КС(5)). Вь дповiднi вихiднi данi, коли по суп «тренду не-
Рис. 3. Прогноз обсяпв вагонопотоку на основi ковзно! середньо! для МА(3)
Прогноз вагонопотоку [МА(5)]
-Дан!
- Прогноз
Рис. 4. Прогноз обсяпв вагонопотоку на основi ковзно! середньо! для МА(5)
Наведений приклад аналiзу та прогнозування часових рядiв приводить до такого висновку. За рахунок запропонованого методу тдбору параметрiв моделей детермiнованого хаотичного процесу (1) вдалося отримати таку послщов-шсть прогнозованих рiвнiв ряду, яка дозволяе вважати модельш значення адекватними вщпо-вiдно вихiдного часового ряду. При цьому опе-ративнi прогнозш значення рiвнiв часового ряду на один та два кроки мають похибку, що не перевищуе 12 %, табл. 1.
3 750
3 500
* 3 250
т3 000
2 750
2 500
0
5
10
15
20
25
30
35
Таблиця 2
Прогнозування |лв1мв часових ря.ив на основi лшшноТ, квадратично!' моделей та ковзно'1 середньо'1
Даш Похибка (%) Лшшна Похибка (%) Квадратична Похибка (%) КС(3) Похибка (%) КС (5)
3059 2934 4,10 2916 4,68
3577 2959 17,27 2943 17,71
3232 2985 7,64 2971 8,08
3100 3011 2,88 2998 3,28 3289 6,11
3465 3036 12,37 3026 12,68 3303 4,68
3468 5,23 3062 11,71 3053 11,97 3266 5,8 3287
3388 0,58 3088 8,87 3080 9,09 3344 1,29 3368
2782 19,72 3113 11,90 3107 11,68 3440 23,66 3331
3103 4,43 3139 1,15 3134 1,00 3213 3,53 3241
2674 21,21 3164 18,34 3161 18,22 3091 15,59 3241
3163 0,28 3549 12,20 3558 12,48 3248 2,68 3172
3261 3,57 3575 9,62 3584 9,89 3183 2,38 3145
3790 14,69 3600 5,01 3609 4,76 3253 14,16 3233
3293 0,83 3626 10,11 3635 10,39 3405 3,39 3320
3635 7,33 3651 0,45 3661 0,71 3448 5,14 3369
3957 13,36 3677 7,07 3687 6,84 3573 9,71 3428
4043 11,27 3703 8,42 3712 8,18 3628 10,26 3587
3658 2,34 3728 1,92 3738 2,18 3878 6,02 3744
3413 8,91 3754 9,99 3763 10,26 3886 13,86 3717
4446 15,85 3780 14,99 3788 14,79 3705 16,67 3741
Висновки
У робот дослiджено можливостi оперативного прогнозування недетермшованих проце-сiв, поданих часовими рядами, на основi моделi узагальненого логiстичного вiдображення. За-пропоновано рекурентну процедуру розрахунку прогнозних ощнок рiвнiв часових рядiв. Порiв-няльний аналiз результатiв прогнозування на основi запропоновано! моделi показав, що вона е адекватною i мае переваги перед декшькома загальноприйнятими моделями. Ощнки похи-бок оперативних прогнозiв, розрахованих на основi запропоновано! моделi, свщчать про И практичну придатнiсть.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Андерсен, Т. Статистический анализ временных рядов [Текст] / Т. Андерсен. - М.: Мир, 1976. -680 с.
2. Иванов, В. В. Анализ временных рядов и прогнозирование экономических показателей [Текст] / В. В. Иванов. - Х.: ХНУ, 1999. - 230 с.
3. Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики [Текст] / А. Н. Ширяев. -Т. 1. Факты. Модели. - М.: ФАЗИС, 1998. -512 с.
4. Петерс, Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике [Текст] / Э. Петерс. - М.: Интернет-трейдинг, 2004. - 304 с.
5. Сергеева, Л. Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса) [Текст] / Л. Н. Сергеева. - Запорожье: Запорожский гос. ун-т, 2002. -227 с.
6. Безручко, Б. П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды [Текст] / Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов. - Саратов: Гос. УНЦ «Колледж», 2005. - 320 с.
7. Шарапов, О. Д. Економ1чна шбернетика [Текст] : навч. поабник / О. Д. Шарапов, В. Д. Дербен-цев, Д. £. Семьонов. - К.: КНЕУ, 2004. - 231 с.
8. Модел1 1 методи сощально-економ1чного прогнозування [Текст] : шдручник / В. М. Геець [та ш.]. - Х.: Видавн. д1м «1НЖЕК», 2005. - 396 с.
9. Скалозуб, В. В. Метод прогнозування часових ряд1в на основ1 лопстичного ввдображення [Текст] / В. В. Скалозуб, I. В. Клименко // Тез. докл. V Межд. науч.-практ. конф. «Современные информационные технологии на транспорте, в промышленности и образовании». - Д., 2011. - С. 67-68.
Надшшла до редколегп 11.05.2011.
Прийнята до друку 19.05.2011.
