Прогнозирование малоцикловой усталостной прочности для элементов конструкций гражданской авиации Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта

УДК 620

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАЛОЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Д.Л. ЛЕБЕДЕВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Умушкиным Б.П.

В статье рассмотрены математические модели для прогнозирования усталостной прочности материалов, подвергающихся циклическим нагрузкам. Рассмотрена малоцикловая усталость материала с линейным упрочнением, предложены математические модели циклически стабильного и циклически упрочняющегося конструкционных материалов. Сравнивается малоцикловая прочность материала при пульсационном и знакопеременном симметричном режимах.

Несущая способность элементов, подвергающихся повторным нагружениям, определяется циклическими свойствами конструкционного материала. В этих ситуациях ориентация на упругость уже лишена смысла, поскольку упругость соответствует поведению материала лишь при достаточно малых напряжениях и деформациях. Малоцикловое деформирование и малоцикловая прочность связаны с малой упругопластической деформацией, которая вызывает упрочнение (наклеп) металла, т. е. повышение его предела текучести. Другой особенностью циклического деформирования является наличие процессов, подготавливающих разрушение материала.

Различные (конструктивные, технологические и эксплуатационные) факторы влияют на малоцикловые свойства. Как правило, это влияние учитывают на основе результатов эксперимента путем использования соотношений, носящих эмпирический или полуэмпирический характер (использование методов аппроксимации). В то же время при разработке новых узлов элементов конструкции возникает необходимость в процессе проектирования проводить оценку малоцикловой прочности для различных вариантов выполнения и для различных условий работы конструкционного материала. В тех случаях, когда конструирование выполняется методами САПР (системы автоматизированного проектирования), использование эмпирических соотношений нецелесообразно. В этом случае эффективно использование машинного моделирования поведения конструкционного материала (машинного анализа, численного эксперимента или машинного эксперимента). Рассматриваемые варианты анализируются с помощью современных вычислительных машин на основе математической модели деформирования вплоть до разрушения.

Выполнение машинного эксперимента позволяет исследовать проявление логических следствий, вытекающих из представлений о деформировании конструкционного материала. Машинный эксперимент не может предсказать или описать новый (фундаментальный) физический закон, но может выявить новые связи, предсказать существование не очевидных на первый взгляд соотношений.

Упругопластический материал с линейным упрочнением. Диаграмма упругопластического материала (модуль упругости Е) с линейным упрочнением приведена на рис. 1. Пластическое деформирование сопровождается линейным упрочнением, причем коэффициент к упрочнения удовлетворяет условию к<<Е. В этом случае, если е < еТ, то о = Ее, если е > оТ, то

О = гоТ + ке1 = о* + ке1, где коэффициент г = 1 - к / Е.

= к 1§а = Е

> в

Рис. 1. Схематизированная диаграмма

Здесь математическую модель упругопластического тела с линейным упрочнением распространим на ситуации повторных знакопеременных нагружений. При этом ограничимся рассмотрением одноосного напряженного состояния при растяжении и сжатии.

Математическую модель иллюстрируем феноменологической моделью, построение которой (рис. 2а) основано на представлении силовой деформации материала в виде суммы

£ = £уПр + £ ,

где £упр - упругая деформация, £т - пластическая (необратимая) деформация, которая может быть определена разгрузкой материала и (или) графическим построением на диаграмме о - £ на основе условия упругой разгрузки. Для упругопластической среды используют следующую аналогию. Действующая сила и перемещение точки ее приложения отражают напряжение и деформацию материала. До тех пор, пока абсолютная величина напряжения о меньше значения оТ , материал деформируется упруго, £т = 0 ; £упр = о / Е.

Рис. 2. Упругопластический материал: а - аналог; б - диаграмма о-е; в - диаграмма о-епл

Затем при увеличении действующей силы, когда абсолютная величина напряжения превысит значение оТ , начинается пластическое деформирование материала

£пп = (о-оТ)/ЪЕ = Б/ЬЕ.

Упрочнение Б пропорционально пластической деформации,

Б = ЪЕе™ (здесь параметр Ь<<1.0).

Е

Н

м

к

Н

м

Ь

ЬЕ

Н

м

£т — ■

Е

При описании исходного нагружения математическая модель имеет следующий вид

если £ < £Т — аТ / Е, то а — Ее;

если

\£\ >£Т , то £ :

ЬЕ£п

а

(Гт + £ •

Учитывая, что £т =£-а/Е, получаем

а = аТ /(1 + Ь) + ЬЕе /(1 + Ь) = а* + к£.

Метод взаимного перестроения диаграмм а — £ и а — £т приведен на рис. 2б

Гт = Гт — к£т = Гт — к Т = Гт | 1-----

Е ^ Е.

Для произвольной точки А, так как

а

аТ + ЬЕ£пА

ат + ье\£а —аА

получаем

Га = Гт + к£А

или аА =

а

ЬЕ

1 + Ь Л1 + Ь

и, сопоставляя множители при £А, получаем больший угол наклона (Ь Е) диаграммы а — £т, нежели угол наклона (к) диаграммы а — £ .

В случае, когда происходит изменение знака (реверсирование) нагрузки и последующая смена упругой разгрузки и упругого состояния состоянием упругопластическим, имеет место эффект Баушингера. Эффект заключается в отличии предела текучести в направлении текущего (после реверсирования) упругопластического деформирования от предела текучести исходной диаграммы. Для описания свойств конструкционного материала в указанной ситуации, а именно для отражения величины напряжения, при котором упругое состояние сменяется упругопластическим, используют различные подходы (диаграмма на рис.3):

- независимость предела текучести после реверсирования от исходного нагружения (точка В диаграммы);

- изотропное упрочнение (точка С диаграммы), когда значение предела текучести после реверсирования принимают равным по абсолютной величине значению напряжения аА в конце исходного нагружения;

- идеальный эффект Баушингера (точка Б диаграммы), когда абсолютное значение предела текучести после реверсирования принимается равным |аТ — £ .

Отметим, что поскольку реальное нагружение материала в конструкции не ограничивается разовым реверсированием, математическая модель должна отражать любые виды реверсирования в процессе деформирования.

Рис. 3. Начало текучести при реверсировании

Математическая модель циклически стабильного конструкционного материала. Рассмотрим функционирование математической модели, отражающей идеальный эффект Баушин-гера, в ситуации повторного реверсирования. До реверсирования имеем (рис. 4 а, б)

°М =°Т + ЯМ = аТ + ЬЕеМ ,

предел текучести сжатия после исходного растяжения и реверсирования равен (—аТ + ЯМ), а дальнейшая траектория соответствует уравнению а — (—аТ + ЯМ ) = ЬЕ(е™ — еМ ) прямой, проходящей через точку Н с координатами (—аТ + ЯМ ); еМ.

Рис. 4. Траектория реверсирования при идеальном эффекте Баушингера в координатах: а — а-е; б — а-епл

Имеем а = —аТ + ЬЕепл, т. е. после реверсирования из любой точки исходной диаграммы переходим на аналогичный упругопластический участок другой ветви исходной диаграммы. Повторное реверсирование вызовет переход на направление упругопластического участка исходной диаграммы (рис. 4б).

Математическая модель отражает изменение пластической деформации лишь при движении по прямым (рис. 5)

а = а* + ке, а = —а* + ке

и содержит ограничение, которое заключается в том, что траектория рабочей точки не может находиться вне области, ограниченной этими прямыми. Если пластическая деформация остается неизменной, то рабочая точка движется по прямой а = Е(е — £™), где £™ - значение пластической деформации на предыдущем этапе расчета.

О ? к ' / / гр ■■ ! / / В / ОВ’ / / ^5 / ■■р ОГ О 2 р

! / ! / к \ ' ' гГ/ В А — О

Рис. 5. Расчетные значения а1, а2 циклически стабильного материала

Для определения напряжения необходимо знать в фиксированный момент времени значения Е, е™, е . Предварительно вычисляют значения

0 = Е(е-е™), 02 = 0* 8§п0 + ке.

Затем на основе указанного выше ограничения принимают напряжение в материале 0 = 01,

если (02 -0)0 > 0. В ином случае 0 = 02, причем тогда следует вычислить новое значение

пластической деформации е™в = е - 0 / Е, которое используется в расчетах при следующем

значении деформации е. Рассмотренный вариант математической модели отражает циклически стабильные свойства конструкционного материала, так как участки траектории рабочей точки при повторном реверсировании повторяются.

Математическая модель циклически упрочняющегося конструкционного материала.

Рассмотрим функционирование математической модели, отражающей изотропное упрочнение в ситуации повторного реверсирования. До реверсирования имеем (рис. 6)

0М = 0Т + 8М = 0т + ЪЕеМ ,

предел текучести сжатия после исходного растяжения и реверсирования равен (-0М ), а дальнейшая траектория соответствует уравнению прямой, проходящей через точку Н с координата-

ми

(-0, Цем - 20м / Е).

Таким

образом, если(ем -20м /Е) <е<е

м

то

0 = Е[є- (є, -0м / Е)], если є < (є, - 20м / Е), то 0 = -0, (1 - Ь) /(1 + Ь) + ЬЕ(е - ем) /(1 + Ь).

б

8

Рис. 6. Изотропное упрочнение: а - реверсирование; б - изменение за цикл

Эти уравнения могут быть записаны в общем виде, если считать, что значения 0М, еМ дос-

тигнуты не при исходном деформировании, а (рис. 6) в конце /-го полуцикла (/=0,1,2,3..^)

если (еу - 20. / Е) <е<еу, то 0 = е[,£ - (еу - 0 / Е)];

если е < (е. - 20. / Е), то 0 = -0. (1 - Ъ) /(1 + Ъ) + ЪЕ(е - е.) /(1 + Ъ) . (1)

Характерной особенностью рассматриваемой математической модели является описание свойств циклически упрочняющегося материала. Эта особенность проявляется уже с первого цикла деформирования при различных программах испытания.

Приведем результаты сопоставления деформирования в знакопеременном симметрическом цикле и в пульсационном цикле. В этих простейших ситуациях анализ поведения конструкционного материала может быть выполнен без применения вычислительной техники.

Знакопеременное симметричное деформирование. Деформация е изменяется в пределах

- е0 < е < е0 (рис. 6б и рис. 7а). При исходном (/=0) деформировании имеем

0М = (0Т + ЪЕе0) /(1 + Ъ) = Ее0 - (Ее0 - 0Т) /(1 + Ъ). (2)

8

После первого реверсирования на основании уравнения (1)

0 = [-0м (1 - Ь) + ЬЕ(е - е)]/(1 + Ь)

и в конце полуцикла 7=1 при е = -е0 и (е — е0) = —е0 —е0 = - 2е0 получаем с учетом значения

0М из (2)

0 = —

1 — Ь

1 + Ь

Ее0 ^Т~“(Ее0 -0 )

1 + Ь

1 + Ь

-2Ее = —

Е 1 — Ь Е ч

Ее0— (1+Ь)2 (Ее0 —06)

(3)

Ь

а

б

£0

-Е0

еа = 60

номер

цикла

6 60 N ^ ^

' \ £тах = 2б0

/ \/

60 номер цикла

Рис. 7. Параметры циклов: а - знакопеременный цикл; б - пульсационный цикл

После второго реверсирования на основании уравнения (1)

0 = —0 (1 — Ь) /(1 + Ь) + ЬЕ(е — е1) /(1 + Ь), а в конце полуцикла7=2 при е = е0 и (е — е1) = е0 — (—е0) = 2е0 получаем

02 =

1 — Ь

1+Ь

Ее

АлЫ(Ее -0)+-Ь_2Ее = Ее — <1—Ь£ (1+Ь)з( 0 0°)+1+ь 0 0 (1+Ь)3

(Ее0 — 0д )-

(4)

Нетрудно убедиться, что (1 — Ь)2 /(1 + Ь)3 < 1/(1 + Ь), поэтому 0 > 0М, что соответствует упрочнению в процессе знакопеременного симметричного деформирования. Анализ выражений (2)-(4) показывает, что соотношение для напряжений в конце у-го полуцикла может быть записано в виде

0. = (—1)-

Ее

1

(Ее0 0Т)

(5)

1 + Ь ) 1 + Ь

При циклическом воздействии значение 0. повышается лишь до определенной величины Я

сопротивления отрыву. Если параметр Я материала известен, то математическая модель устанавливает соотношение между количеством циклов испытания и размахом деформации. Указанное соотношение характеризует малоцикловую прочность материала и зависит от параметров цикла (знакопеременный цикл, пульсационный цикл и др.).

Для знакопеременного симметричного цикла условие достижения параметра разрушения Я на основе формулы (5) принимает вид

Ее0 — (Ее0 — 0Т )[(1 — Ь) /(1 + Ь)ГС /(1 + Ь) = Я, где Мс - количество полуциклов испытания в симметричном режиме до разрушения. Отсюда имеем зависимость Мс = N(е0), характерную для диаграмм малоцикловой усталости

1

(

Я — 0

Л

, 1+—— . (6) 1 — Ь ) 1 + Ь ^ Ее0 — Я )

Деформирование в пульсационном режиме. Деформация е изменяется в пределах 0 < е < етах (рис.7б). Используем расчетную формулу для определения напряжений (ее вывод на основании соотношений (1) здесь не приводим)

N

с

S

1 - bb

Ee

1-

и вытекающее из нее условие разрушения

(1 + b Л N П

1-b

1 +

R — (ГТ /(1 - b) Еє /2 -R

(7)

^1 — Ь ) ^1 + Ьу

где NП - количество полуциклов испытания в пульсационном режиме до разрушения.

Сравним малоцикловую прочность материала при пульсационном и знакопеременном симметричном режимах. Если етах = 2е0, то правая часть выражения (7) имеет меньшее значение, чем правая часть в выражении (6), значит NП (2е0) < NС (е0) , т. е. при одной и той же амплитуде еа = е0 циклов пульсационный цикл более опасен, чем знакопеременный симметричный цикл. Если же етах = е0, то с учетом Ь<<1 убеждаемся, что NП (е0) > NС (е0), т. е. в знакопеременном симметричном испытании и полуциклы сжимающих напряжений влияют на малоцикловую прочность. Условие равноопасности знакопеременного симметричного и пульсационно-го режимов NС (е0) = NП (етах) позволяет для Ь<<1 установить значение етах пульсационного

цикла, если известна амплитуда е0 знакопеременного симметричного цикла

Я — 0

~тах = 2е0 —

(Я — 0Т) + Ь(Ее0 — Я)

при Этом ~тах < 2е0 .

Таким образом, математическая модель малоциклового деформирования позволяет учесть зависимость малоцикловой прочности от параметров режимов нагружения конструкционного материала и может быть использована при расчёте несущей способности конструктивных элементов, подверженных повторным воздействиям.

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность: в 2 ч./ Н.А.Махутов. Отв. ред. К.В.Фролов, В.В.Москвичев. Ч.1: Критерии прочности и ресурса. Ч.2: Обоснование ресурса и безопасности. -Новосибирск: Наука, 2005.

2. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1969.

FORECASTING LITTLECYRCLIES OF FATIGUE DURABILITY FOR ELEMENTS OF DESIGNS

OF CIVIL AIRCRAFT

Lebedev D.L.

In article principles of mathematical modelling of behaviour of elements of the designs which are exposed to variable loadings are considered. Models for various kinds of cyclic loadings with the account of elastic and plastic deformations of a material are resulted.

Сведения об авторе

Лебедев Дмитрий Леонидович, 1971 г.р., окончил МГУИЭ (1992), кандидат технических наук, доцент кафедры «Защита технических систем от действия окружающей среды» МГУИЭ, автор 7 научных работ, область научных интересов - проектирование аппаратуры в коррозионностойком исполнении, решение задач оптимизации структуры композиционных материалов.