CC BY
161
Раздел 3. Естественные науки.
Пунктиром на рисунке 5 выделена зависимость, относящаяся к рассмотренному выше случаю однородной плоскости. Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рис. 5 получены при задании значений параметров Е(2)/Е(1), у(1), v(2) в виде (10; 0,1; 0,45), (2; 0,1; 0,45), (10; 0,45; 0,1), (2, 0,45; 0,1), (0,1; 0,1; 0,45), (0,1; 0,45; 0,1), соответственно. Как видно, в случае Е(2)/Е(1) = 0,1; V = 0,45; V = 0,1 наблюдается снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,6 раза по сравнению со случаем однородной плоскости. При Е(2)/Е(1) = 0,1 наблюдается, кроме того, ситуация, когда изменения параметров v(1) и v(2) в широком диапазоне значений (см. кривые 6 и 7) не приводят к выходу уровня напряжений на кромке отверстия за пределы того, что имеет место в случае однородной плоскости (кривая 4). Наконец, даже в ситуации, когда Е(2)/Е(1) = 2 , выбрав V() = 0,45 и Vе ) = 0,1 (кривая 5), можно также снизить уровень напряжений на кромке отверстия по сравнению со случаем однородной плоскости.
В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры продольно растягиваемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых круговых отверстий. Более того, установлена возможность существенного снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.
Литература
1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.
2. Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. с. 42-58.
3. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. НАН Армении. Механика. 2009. Т.62. № 3. с. 52-58.
4. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2010. № 2. с. 53 - 62.
Математическое моделирование циклического деформирования
д.т.н., проф. Темис Ю.М., к.т.н. Азметов Х.Х.
«ЦИАМ им. П.И. Баранова» tejoum@ciam.ru
Аннотация. На основе модели поведения конструкционного материала при циклическом упругопластическом деформировании и оценки ресурса малоцикловой усталости создана система математического моделирования циклического на-гружения конструкций методом конечных элементов. Приведены примеры решения тестовых задач и реальных конструкций.
Ключевые слова: циклическое нагружение, малоцикловая усталость, метод конечных элементов
Математическое моделирование циклического деформирования и оценка ресурса малоцикловой усталости актуально для высоконагруженных машин и установок энергетического машиностроения, авиационных двигателей и других конструкций, работающих при циклическом нагружении. Явление малоцикловой усталости непосредственно связано с процессами пластического деформирования в зонах концентрации напряжений в деталях конструкции: отверстиях, галтелях, выточках, сварных швах, шпоночных и шлицевых соединени-
ях, технологических дефектах и дефектах материала, включениях и неоднородностях на границах между матрицей и волокном в композиционном материале. Основными факторами, вызывающими разрушение, являются высокие циклические напряжения и деформации материала детали, который работает в этих зонах в условиях знакопеременного нагружения по циклу, близкому к жесткому. Отметим, что в ряде случаев процесс нагружения в этих зонах близок к простому при условии, что действующие силы и температуры изменяются синхронно, а эффектами ползучести можно пренебречь. Для таких условий в инженерных приложениях возможно применение теории малых упругопластических деформаций [1], обобщенной на случай циклического нагружения [2].
Анализ большинства аналитических зависимостей, описывающих поведение конструкционного материала при циклическом упругопластическом деформировании, показывает, что они не всегда учитывают экспериментально установленные факты изменения модуля упругости, эффекта Баушингера и масштаба преобразования нелинейного участка кривой деформирования. При этом авторы в качестве параметра, ответственного за кинетику упруго-пластических свойств конструкционного материала, выбирают номер полуцикла нагружения и либо амплитуду напряжений в мягком цикле, либо амплитуду деформаций в жестком цикле. К сожалению, перенести модели, основанные на таких параметрах, в практику расчета реальных конструкций весьма затруднительно.
В настоящей работе, в отличие от работы [2], рассматривается вариант модели поведения конструкционного материала, в которой модуль упругой разгрузки Ех, размер упругой зоны при разгрузке и масштаб преобразования нелинейного участка кривой деформирования в каждой ветви кривой циклического деформирования зависят от накопленной пластической п/
деформации х = , а сама ветвь определяется направлением нагружения (рисунок 1) в
п=0
виде [3-6]
* *
а = <
Ех8 8
Е/*х + Ьх
I
**
8 -£*г 8 +-~
V ЬХ J
** 8 >8*х
(1)
Испытания, проведенные для различных конструкционных материалов, показали [5, 7], что при программах нагружения с постоянным размахом напряжений, постоянным размахом деформаций или случайными размахами напряжений число полуциклов п/ до разрушения при знакопеременном пластическом деформировании связано с предельной величиной накопленной пластической деформации хтах степенной зависимостью
п/ =(хтах/3}, (2)
где: 5 - постоянная, зависящая от величины остаточной пластической деформации,
у - параметр, характеризующий свойство материала «залечивать» повреждения при циклическом нагружении.
Накопленная пластическая деформация при этом может быть представлена на плоскости (х, п/) графиком изменения 1п(х) от 1п(п/) (рисунок 2).
Если в качестве меры повреждения рассматривать величину Б = %(п)/ хтах (п), то момент равенства ее единице определит величину полуциклов нагружения, при котором имеет место начало разрушения малоцикловой усталости.
Под программным нагружением будем понимать процесс приложения нагрузок и температур, который можно разбить на ряд этапов, считая, что нагрузки и температуры изменяются на к+1 этапе на величины {АДк+1} и {АТк+1} соответственно. Обозначим в качестве продолжительности этапа изменения {Д} и { Т} от {Дк} и {Тк} до {Дк+1} и {Тк+1} время А1к+^
Рисунок 1 - Формирование кривой деформирования для к +1 полуцикла: а) ветви кривой в зависимости от направления нагружения
Рисунок 2 - Процесс исчерпания ресурса МЦУ: 1 - предельная кривая хтах(п);
2 - характер изменения %(п); а, Ь - направления изменения х(п) в зависимости от
программы нагружения
Пусть векторы деформаций и напряжений в точке тела {¿}к и { о"}к соответствуют концу к-го временного этапа, а {е}к+1 и {а}к+1 - концу к+1 этапа. Для каждого этапа выполняется вариационное соотношение [6]:
\{а}тч [5в}ёО. - {{/Ц- {{/I = 0, (3)
□ □ 5
где: д=к, к+1 - номер этапа.
Вычитая из соотношения (3) при д=к+1, аналогичное при д=к, получим, что задача моделирования НДС при переходе от этапа к этапу сведется к решению следующей задачи:
{{Ла} - {{Л/}+1 {би}сЮ. - {{А/ }Т+1 {5ы}а8 = 0. (4)
□ □ 5
Будем считать, что при циклическом деформировании этапы соответствуют полуциклам нагрузки или разгрузки. Полуциклы нагрузки задаются приращениями сил Л/а и Л/5, а также кинематическими граничными условиями Лм5, прикладываемые к начальному состоянию нагрузок и кинематическим условиям Ь(п5)=0. Полуцикл разгрузки задается векторами -¥□ и -Л/5 и кинематическими условиями -Лп$. Таким образом, если рассматривать упругую деформацию, то линейная система, следующая из (4), за один цикл нагрузки и разгрузки должна вернуться в исходное состояние. Однако, если рассматривать каждый по-
луцикл нагрузки или разгрузки для каждой расчетной точки конструкции как этап движения по соответствующей части кривой циклического деформирования, то на этапе с номером к можно рассматривать зависимости деформационной теории пластичности в локальной системе координат (а*®, 8 г*(к)). При этом получим, что напряжения и деформации связаны известной зависимостью
Аа*(к) = С.. А8*(к) +А8*°к). (5)
г] г]тп тп г] (к) V /
Значения компонент тензора С]тп определяются итерационным методом при решении задачи для к-го этапа. Из вариационного соотношения (4) известным способом можно получить систему уравнений МКЭ
[К ]к+1 •{А^к+1}=(АДк+1}, (6)
где: [К]к+1 - матрица жесткости к+1 этапа, определяемая последовательными приближениями;
{Аик+1} и {АГк+/} - векторы приращений перемещений и нагрузок на к+1 этапе соответственно.
Тогда для всех векторов в конце к+1 этапа справедливо
ик+1 = ик +Аик
8к+1 =8к +А8к ^ (7)
ак+1 =ак +Аак+1.
Воспользуемся обобщением понятия единой кривой деформирования. На к+1 этапе точка, отображающая процесс деформирования, должна находиться на одной из ветвей кривой циклического деформирования, представленных на рисунке 1 а линиями, выходящими из точки ак.
На основе полученных соотношений МКЭ и модели материала при циклическом деформировании (1) создана программа «Сус1е2Б». Программа предназначена для определения упругопластического напряженно-деформированного состояния деталей методом конечных элементов при циклическом нагружении. Процесс расчета является шаговым. Каждый шаг нагружения соответствует этапу изменения нагрузок.
Для проверки работы программы «Сус1е2Б» и оценки точности предложенной методики было проведено решение тестовых задач по моделированию кинетики напряженно-деформированного состояния и кривых усталостной долговечности гладких образцов.
Рассмотрены образцы из никелевого сплава ЭИ698ВД и титанового сплава ВТ-9, широко применяемые в авиадвигателестроении. Эти материалы при циклическом нагружении проявляют различный характер изменения свойств: первый материал упрочняющийся, а второй - разупрочняющийся. По экспериментальным данным были определены параметры кривых циклического деформирования (1) и параметры модели малоцикловой усталости (2) для сплавов ЭИ698ВД и ВТ-9.
На рисунке 3 показаны расчетная схема и сетка конечных элементов для модели гладкого цилиндрического образца. Рассматривались осесимметричные задачи циклического деформирования при мягком (силовом) и жестком (кинематическом) нагружении. Прикладывалась симметричная циклическая нагрузка с постоянной величиной амплитуды напряжений или деформаций.
На рис. 4 показаны расчетные кривые циклического деформирования при жестком и мягком нагружении для одного из уровней нагрузок образцов из материалов ЭИ698ВД и ВТ-9 соответственно.
На рисунке 5 показан характер изменения величины накопленной пластической деформации х в зависимости от числа полуциклов при жестком нагружении образца из сплава ЭИ698ВД для различных значений амплитуды деформации 8а. Пересечение кривых х(п) с предельной линией хтах(п), построенной по зависимости (2), позволяет перейти к построе-
нию усталостной диаграммы в координатах (еа, Ы=п/2). Для рассматриваемого примера расчетная усталостная диаграмма приведена на рисунке 6а.
Ар, Ы
I I = А а) б)
Рисунок 3 - Модель гладкого образца: а) расчетная схема; б) сетка конечных элементов
(Па]- — 250-
-И
/ - Л
Г / //
/ //
/ //
/ //
/ / у
/ / / /
( / Л
//
7
1
'60/ / /
- 1 - 10 ПОЛу1|ИКЛЫ_ - 99- 100 пилуциклы-999 - 1000 гшлуцкклы
1
1 -125<Н
а [МП Э г1200-
т
/
/
0- /
/
/
г .5 ■1 .0 ¿1 я -1 0 -В .5 [1 0 0 6- 1 0 1 5 -г 0 2
// 600-
0- Ополу! ЦИК/ ы
— 56-99 полуцикпы
в)
Г' "7
< /
/у
/
А 00, /
/ / ЬС1 ^ /
7 / /
/ / >)
.5 0 -[ 5 / а 0# /о J 0
/ •с
/
/
■ /
/ / -48-49 полуцикпы
-чооо- — 74-75 полуцинлы
г)
Рисунок 4 - Расчетные кривые циклического деформирования образца из сплава ЭИ698ВД при жестком Деа = 1,0% (а) и мягком ДРа=1150 МПа (б) нагружении и из сплава ВТ-9 при жестком Деа = 2,5% (в) и мягком ДРа=950 МПа (г) нагружении
Усталостные диаграммы для сплава ЭИ698ВД при мягком нагружении и сплава ВТ-9 при жестком и мягком нагружении представлены на рисунках 6б-6г, соответственно.
Сравнивая данные эксперимента и расчета, можно сделать вывод, что для гладких образцов модель поведения материала при циклическом деформировании и модель прогноза ресурса приводят к результатам, хорошо согласующихся с экспериментом. Расхождение результатов при жестком нагружении в области большой долговечности связано с тем, что модель (2) не учитывает упругую составляющую повреждаемости, вклад которой в этом диапазоне становится существенен. На рисунках 6а и 6в показаны усталостные диаграммы при жестком нагружении, полученные с помощью часто используемой для оценки ресурса модели Мэнсона [8]. Из графиков видно, что данная модель дает хорошее соответствие только в области большой долговечности. Это связано с тем, что она не учитывает изменение свойств
материала при циклическом деформировании, которое существенно при больших пластических деформациях.
Рисунок 5 - Изменение накопленной пластической деформации х сплава ЭИ698ВД при жестком нагружении для различных значений амплитуды деформации
в)
г)
Рисунок 6 - Диаграммы МЦУ сплава ЭИ698ВД при жестком (а) и мягком (б) нагружении и сплава ВТ-9 при жестком (в) и мягком (г) нагружении
Описанная методика применена для анализа циклической долговечности диска компрессора авиационного ГТД, на ресурс малоцикловой усталости которого основное влияние оказывает замковое соединение. Расчет показал, что в галтели замкового соединения диска возникают опасные точки, в которых возможно возникновение трещин малоцикловой усталости (рисунок 7). На рисунке 8а приведены кривые циклического деформирования для опасной точки галтели замкового соединения диска, показывающей характер изменения напряжений и деформаций. Из графика видно, что из-за изменения свойств материала и перераспределения напряжений и деформаций в окрестности опасной точки размах напряжений
падает, а размах деформаций растет. На рисунке 8б приведены экспериментальные и расчетные точки долговечности замкового соединения. Расчетные точки построены для различных свойств материала: номинальных, минимальных и максимальных из возможного набора реализаций кривых деформирования, - что позволяет получить разброс циклической долговечности диска для заданного уровня нагружения. Из диаграммы видно хорошее соответствие расчетных и экспериментальных данных.
Рисунок 7 - Распределение интенсивности напряжений в замковом соединении диска и
положение опасных точек
1000 800 еоо
400
200 а
(
-200 -400 -600 -В00 -1000 -1200
-в |Г ЛПэ)
/
/
1
/ /
/
/
/ /
/ / / /
/
' 1
0.0 1.0 2 0 ''Г С 4 и ь а в.
/ ' 1
/ 1
/ /Л
Ь/
/
- 1- 1и папуцикпы - - 99-100 [юпуциклы ■ - .*,:.:< $00 Г . 1111
а)
--п[оЕ>/«ин]-
-А—< >А— А
♦ Эксперим
_ .■ Расчет
_:-.|:гы 10:::) б)
Рисунок 8 - Расчетные кривые циклического деформирования в опасной точке (а) и диаграмма малоцикловой усталости диска (б) Выводы
На основе модели поведения конструкционного материала при циклическом упруго-пластическом деформировании и оценки ресурса МЦУ создан программный комплекс метода конечных элементов "Сус1е2В", позволяющий проводить математическое моделирование циклического нагружения конструкций. Решение ряда тестовых задач и численный анализ реальных конструкций показали хорошее соответствие полученных результатов экспериментальным данным.
Литература
1. Ильюшин А. А. Пластичность. - М.: ОГИЗ, 1948. - 376 с.
2. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.
3. Темис Ю.М. Пластичность и ползучесть деталей ГТД при циклическом нагружении // В сб.: Проблемы прочности и динамики авиадвигателей. Вып.2. - Тр. ЦИАМ №1237, 1989. - с. 32-50.
4. Темис Ю.М. Моделирование процессов неизотермического упругопластического деформирования в деталях энергосиловых установок // В кн.: Машиностроение. Энциклопедия / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.) и др. - Динамика и прочность машин. Теория Механизмов и машин. Т. 1-3 в 2-х книгах. Кн. 1. Под общ. ред. К.С. Колесникова. -М.: Машиностроение, 1994. - С. 263-268.
Раздел 3. Естественные науки.
5. Темис Ю.М., Пучков И.В. Характеристики упругопластического деформирования и повреждаемости конструкционных материалов при циклическом нагружении // Межвуз. сборник «Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения». - Изд-во Нижегородского университета, 1992. - с.82-89.
6. Темис Ю.М. Пластичность и ползучесть в инженерных расчетах. Аналитические и численные методы в решении граничных задач пластичности и вязкоупругости. Свердловск, АН СССР, 1986. - С. 100-106.
7. I.V. Putchkov, J.M. Temis, A.L. Dowson, D. Damri: Development of a finite element based strain accumulation model for the prediction of fatigue lives in highly stressed Ti components // IntJ. Fatigue. Vol.17, No 6, 1995. - pp. 385-398.
8. Мэнсон С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. / Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1974. - 344 с.
Моделирование кривых деформирования и ресурса конструкционного материала при циклическом неизотермическом нагружении
д.т.н., проф. Темис Ю.М., Факеев А.И.
МГТУ «МАМИ» (495) 223-05-23, доб. 1318, tm@mami.ru
Аннотация: Предложена модель упругопластического материала при циклическом неизотермическом нагружении. Проведено сравнение рассчитанных по модели петель циклического упругопластического деформирования и экспериментальных результатов стали Х18Н9 при жестком нагружении и действии высоких температур. Проведено сравнение модели малоцикловой усталости, основанной на накопленной пластической деформации с формулой Мэнсона при повышенных температурах.
Ключевые слова: пластичность, циклическое нагружение, неизотермические условия.
Трехпараметрическая модель [1], предназначенная для расчета пластических деформаций при циклическом нагружении в изотермических условиях, обобщена на случай неизотермического нагружения. Это позволило описывать кривые циклического деформирования, учитывая эффект Баушингера, изменение модуля разгрузки и различные масштабы преобразования линейного и нелинейного участков первоначальных кривых деформирования, полученных при разных температурах. Показано, что существует зависимость, связывающая число циклов до разрушения образца с накопленной при высоких температурах пластической деформацией. На основе этой зависимости произведена оценка усталостной долговечности образцов.
1. Моделирование кривых циклического деформирования. Подход, основанный на описании кривых циклического деформирования в зависимости от структурного параметра,
n
в качестве которого принят параметр Одквиста Х= ^, получил экспериментальное
i
подтверждение при постоянной температуре для ряда конструкционных материалов [2]. В работе [3] предложено использовать понятие о термомеханической поверхности - поверхности неизотермического пластического деформирования
^ = F (ер, T). (1)
Однако термомеханическая поверхность, построенная по изотермическим кривым деформирования, полученным при постоянных температурах испытаний, справедлива только для процессов, при которых не происходит изменение направления деформирования. При
