CC BY
53
Т.Д. ТАБИШЕВ. ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ, ФОРМИРУЕМЫЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ, ФОРМИРУЕМЫЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ »
PROFESSIONAL COMPETENCES FORMED DURING LEARNING THE COURSE OF «MATHEMATICAL ANALYSIS»
T.A. Табишев
T.A. Tabishev
Профессиональные компетенции, результаты обучения, матрица компетенций, фонды оценочных средств. В статье рассмотрены профессиональные компетенции (ПК), которые задаются в федеральном государственном образовательном стандарте высшего образования 01.03.01 Математика, и их формулирование на языке результатов обучения. На примере учебной дисциплины «Математический анализ» приведены уровни и этапы освоения отдельно выбранной компетенции (авторский вариант), показатели достижения уровня освоения компетенции, критерии оценивания и оценочные средства для диагностики уровня сформи-рованности компетенции.
Professional competences, learning outcomes, the matrix of competences, the funds of estimation means. The article considers the professional competences (PC) which are set in the Federal State Educational Standard of higher education 01.03.01 Mathematics and their formulation in the language of learning outcomes. On the example of the discipline «Mathematical analysis» the author presents the levels and stages of developing a separately chosen competence (the author's option), the indicators of achieving the level of competence development, the criteria of estimation and the estimation means for the diagnostics of the level of competence formedness.
Исследование будет проводиться для основной образовательной программы бакалавриата 01.03.01 Математика, так как для этой программы учебная дисциплина «Математический анализ» является профилирующей.
В требованиях федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (ФГОС ВО} по основной образовательной программе 01.03.01 Математика (уровень бакалавриата) [ФГОС ВО, 2014] к характеристике профессиональной деятельности выпускников, освоивших программу бакалавриата указано, что выпускник, освоивший программу бакалавриата, в соответствии с видом (видами) профессиональной деятельности, на который (которые) ориентирована программа бакалавриата, должен быть готов решать следующие профессиональные задачи:
- научно-исследовательская деятельность: применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач; решение математических проблем, соответствующих направленности (профилю) образования, возникающих при проведе-
нии научных и прикладных исследовании; подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований; участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ;
- производственно-технологическая деятельность: использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности; применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности; сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники;
- организационно-управленческая деятельность: применение математических методов экономики, актуарно-финансового анализа и защиты информации; создание эффективных систем внедрения в практику результатов научно-исследовательских и опытно-конструкторских ра-
<
m
Щ
$9
I %
С И
о
ь
к к
W Рq Н U
Рч
<
о ^
о о о Q
£ W
н S о
Рч W
о §
к
и
W V S
ь
1-4
<с п
W
с
S
Д
Н U
W PQ
# ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ. Теория и методика профессионального образования
бот; применение методов теории вероятностей и математической статистики для принятия решений в условиях неопределенности;
- педагогическая деятельность: преподавание физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных и профессиональных образовательных организациях; разработка методического обеспечения учебного процесса в общеобразовательных и профессиональных образовательных организациях.
В качестве пояснения по каждому виду деятельности приведён перечень соответствующих профессиональных компетенций (всего их 11):
- научно-исследовательская деятельность: способность к определению общих форм и закономерностей отдельной предметной области (ПК-1); способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2); способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3); способность публично представлять собственные и известные научные результаты (ПК-4);
- производственно-технологическая деятельность: способность использовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач (ПК-5); способность передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженная в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-6);
- организационно-управленческая деятельность: способность использовать методы математического и алгоритмического моделирования при анализе управленческих задач в научно-технической сфере, в экономике, бизнесе и гуманитарных областях знаний (ПК-7); способность представлять и адаптировать знания с учетом уровня аудитории (ПК-8);
- педагогическая деятельность: способность к организации учебной деятельности в конкретной предметной области (математика, физика, информатика) (ПК-9); планированию и осуществлению педагогической деятельности с учетом специфики предметной области в образовательных организациях (ПК-10); способность к проведению методических и экспертных работ в области математики (ПК-11).
Изучение дисциплины «Математический анализ» на основании рабочей программы, составленной автором данного исследования [Табишев, 2014], должно способствовать формированию следующих профессиональных компетенций: ПК-2, ПК-3, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-11.
Если, к примеру, взять дисциплину «Математический анализ» за I курс (1, 2 семестры), то годовое содержание этой учебной дисциплины можно разделить на 6 учебных модулей (табл. 1). С учетом особого места дисциплины «Математический анализ» в профессиональном блоке оправдана и определённая «загруженность» структурной матрицы формирования ПМК по каждому из 6 учебных модулей.
Как видно из табл. 1, ключевыми звеньями профессиональной математической подготовки бакалавров по основной образовательной программе 01.03.01 Математика на I курсе являются учебные модули «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Интегральное исчисление функции одной переменной». Знания и опыт, приобретённые студентом при изучении именно этих разделов, в основном определяют дальнейшее совершенствование профессиональной математической деятельности студентов [Табишев, 2010].
Нелегко подобрать и задания, которые объективно диагностируют ту или иную профессиональную компетенцию.
Рассмотрим более подробно профессиональную компетенцию ПК-5 - способность использовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач.
При изучении математического анализа на 1 курсе указанная компетенция формируется двумя модулями. Компетенция будет разворачиваться и в процессе дальнейшего обучения. В исследовании диагностика компетенции носит характер контрольного среза, оценки текущего уровня освоения компетенции. Итоговый показатель сформированное™ будет объективно отслежен только на выпуске. Для оценки качества сформированно-сти профессиональной компетенции ПК-5 необходимо выделить этапы (уровни) освоения данной компетенции, планируемые результаты обучения (то есть показатели достижения заданного уровня освоения компетенции) и критерии оценивания результатов обучения (табл. 2).
Структурная матрица формирования профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС ВО по дисциплине «Математический анализ» (МА) за I курс
Дисциплина МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (1 курс)
Семестр 1 семестр 2 семестр
Модуль 1 модуль 2 модуль 3 модуль 4 модуль 5 модуль 6 модуль
Индекс компетенции, формируемой по ФГОС ВО при изучении дисциплины «МА» Множества. Операции над множествами. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности Простейшие элементарные функции. Свойства элементарных функций. Предел и непрерывность функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной: производная функции. Полное исследование функции и построение её графика Интегральное исчисление функции одной переменной:неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Геометрические приложения ОИ Дифференциальное исчисление функции многих / нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных Числовые ряды. Функциональные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенных рядов. Ряд Тейлора
ПК-2 + + + + + +
ПК-3 + + + + + +
ПК-5 + +
ПК-6 + +
ПК-7 + + +
ПК-11 + + + +
ТЗ Гр у у т Л- -ЖГ КРАСНОЯРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОХл V-/ X ПИ|\ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА им. В.П. АСТАФЬЕВА
Структурная матрица формирования и диагностики профессиональной компетенции ПК-5
УРОВЕНЬ ОСВОЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИИ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ (показатели достижения заданного уровня освоения компетенций)
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ПРИМЕРЫ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ
Уровень освоения компетенции -мотивационно-
волевой, квалификация -ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ
Способность понимать основные математические термины, понятия и категории в контексте исследования и решения различных математических задач и проблем
Владеть Навыками работы с основными математическими понятиями и методикой выделения их взаимосвязей В (ПК-5) -I
Уметь
Раскрыть смысл основных математических понятий и фактов. Представить рассматриваемые прикладные проблемы и задачи на математическом языке У (ПК-5)-I
Знать
Основные математические категории и специфику их использования при исследовании различных задач и проблем 3 (ПК-5) -I
Модуль «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
@1. Записать заданное определение в более кратком виде с помощью математической символики: Функция у = /(х) называется непрерывной в точке а, если для любого положительного числа £ найдётся отвечающее ему положительное число 8 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию \ х — а\< 8, справедливо неравенство | /(х) — /(а) \< 6.
Предлагаемый вариант ответа (но не единственный, возможны некоторые другие вариации): Функция у = /{х) называется непрерывной в точке а, если
\/£>0 38 = 8(£) Чх:\х-а\<5 => \/{х)~/{а)\<е.
такое, что
СП
1 2 3
2х + 1 @2. Вычислить по определению производную функции у =-. Зх + 1 Предлагаемый вариант ответа (но не единственный, возможны некоторые другие вариации): /■/ , ч /-/л 2х + 2Ах + 1 2х + 1 Ау = /(х + Ах) Дх) = = Зх + ЗАх + \ Зх + 1 _ (Зх + 1)(2х + 2Ах + \)- (2х + 1)(3х + ЗАх +1) _ (Зх + ЗАх + 1)(3х +1) 6х2 + бхАх + Зх + 2х + 2Ах +1 - 6х2 - бхАх - 2х - Зх - ЗАх -1 (Зх + ЗАх + 1)(3х +1) Ах (Зх + ЗДх + 1)(3х +1)' Ах Ау (Зх + ЗАх + 1)(3х +1) 1 Ах Ах (Зх + ЗАх + 1)(3х +1)' Лх)=НтА^=Нт{- 1 } = - 1 2, Дх^оАг Дх^о[ (Зх + ЗАх + 1)(3х +1)] (Зх + 1)2 1 У = 9 ' (Зх + 1)2
Т> Т7 пр Т у Т* 1Г КРАСНОЯРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
15 X ГЦ/ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА им. В.П. АСТАФЬЕВА
Уровень освоения компетенции -когнитивно-процессуальный, квалификация -ЭРУДИТ
Способность использовать элементы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач
Владеть Приёмами анализа и синтеза при решении математических и простейших прикладных задач _В (ПК-З)-И_
Уметь
Применить элементы математического и алгоритмического моделирования при исследовании профильных математических задач и проблем
_У (ПК-З)-И_
Знать
Основные компоненты и этапы математического и алгоритмического моде-лирования
3 (ПК-З)-И
X х2 х3
1) 8(х) = 1 2х Зх2
0 2 6х
Модуль «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» @3. Найти производную заданной функции, если:
2) g(x) =
@4. Вычислить производную функции у = X
1п^ = 1п(х81ПХ) 1п7 = 8И1Х-1пХ >
— = (8И1Х)'-1ПХ + 8П1Х-(1ПХ)' = СОБХ • 1пх Н--
У X
гх 347
X х2 X3
1 1 1
X 7 7
.вт х
(1п у)' = (бшх • 1п х)',
БШХ
У=У
С , втх^ совх • 1пх +-
V х )
= X
1п
(хс°8Х)+-
БШХ
X у
@5. Найти приращение и дифференциал функции у = Зх +1-1 в точке х = 1 при Ах = ОД. Найти абсолютную и относительную погрешности, которые допускаются при замене приращения функции её дифференциалом [Ильин и др., 2013; Фихтенгольц, 2012].
Предлагаемый вариант ответа (но не единственный, возможны некоторые другие вариации):
Ау = [3(х + Ах)3 + (х + Ах) -1] - (Зх3 + х -1) = - 9х2 Ах + 9хАх2 + ЗАх3 + Ах, с/у = (9х2 + 1)Ах - 9х2 Ах + Ах, Ау - ¿/у = 9хАх2 + ЗАх3.
При х = 1 и Ах = 0,1 получаем, что
Ау - ау = 0,09 + 0,003 = 0,093,
с!у = 1, Ау = 1,093.
Абсолютная погрешность равна | Ау — йу |= 0,093, относительная погрешность равна
Ау-¿у
Ау
0,093 1,093
0,085, или 8,5%.
Уровень освоения
компетенции -исследовательско-рефлексивный,
квалификация - МАСТЕР-ПРОФЕССИОНАЛ
Способность осуществления творческого поиска решения теоретической и прикладной задачи через использование методов математического и алгоритмического моделирования
Владеть Навыками творческого поиска решения и нестандартного подхода к изучаемому явлению или процессу, использования всех этапов математического и алгоритмического моделирования В (ПК-З)-Ш
Уметь
Выстраивать корректную схему решения и исследования
и использовать знания из различных областей математической науки В (ПК-З)-Ш
Знать
Компоненты и этапы математического и алгоритмического моделирования при решении и исследовании теоретических и прикладных задач В (ПК-З)-Ш
Модуль «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» @б. 1 часть кейс-задания.
Из квадратного листа жести со стороною х, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую коробку.
Какой из представленных ниже чертежей отражает условие задачи?
б)
X
Я и
^—а 1 <
а © 1 1 * 1
Ж
а —
Ш Ж 8
• 1
а © ! < < 1 1
1 ■
е)
а-2х
©
г)
X /
ш ______________■
х-2а—~ 1 •
а 1 © 1 (
ш ш В
Рис. 1
2 часть кейс-задания.
Какой вид будет иметь функция, характеризующая объём сделанной прямоугольной открытой коробки?
Правильный ответ: /(.т) = х(а — 2л")~
и | : С V т Туг у/* КРАСНОЯРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО В , V I ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА им В.П. АСТАФЬЕВА
-vl
о
3 часть кейс-задания.
Как получить коробку наибольшей вместимости? Провести исследование и найти значения всех искомых параметров.
Приводится развёрнутый ответ, например, в форме (вариант): Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х. Тогда объём коробки вьтазится формулой у = х{а — 2х)2, причём изменяется в проме-
жутке
Л!
ния функции
. Вопрос задачи свёлся к нахождению наибольшего значе-в этом промежутке.
Так как производная у' — (а — 2х)(а — 6х) между значениями 0 и
а
а
Рис. 2
имеет единственный корень х-—, то, убедившись в том, что это значе-
6
ние доставляет функции максимум, одновременно получаем и искомое
а 2 а3
наибольшее значение: х = — , у —-.
6 27
Приведённое кейс-задание является профессионально ориентированным, то есть составлено на основе элементов не только математического анализа, но и других областей математического знания. Здесь студентам следует показать не только знания в области геометрического восприятия представленного материала, но и свои способности в использовании элементов исследования функции и нахождения её экстремальных значений, которые были изучены ранее в курсе математического анализа.
@7. Дано бревно с круглым сечением диаметра ¿/(рис. 3). Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей прочности (в сопротивлении материалов устанавливается, что прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению bh2, где Ъ- основание прямоугольника в сечении балки, а - его высота).
Так как /г = d2 — b2, то речь идёт о наибольшем значении для выражения у = bh2= b(d2 — b2), причём независимая переменная b изменяется в промежутке (0, d). Производная у= d2 - ЗЬ2 обращается
, d
в нуль лишь один раз внутри этого промежутка, в точке b — —;=■
V3
Вторая производная у" = —6Ь < 0, следовательно, в указанной точке достигается максимум, а с ним и искомое наибольшее значение.
Рис.3
1 2 3
¡2 При Ь — —р= имеем /г = ¿/л| —, так что сЯ + к + Ь = л/3 -Ьл/2 -5-1. Из рис. видно, как построитьтребуе- УЗ мый прямоугольник (диаметр разделён на три равные части, в точках деления восстановлены перпендикуляры). В строительном деле обычно предписывается отношение к + Ь = 7-5-5, это и есть приближённое значение л/2 = 1,4... Задача решена. @8. Зависимость количества (2 вещества, получаемого в химической реакции, от времени / определяется формулой () = а{ 1 + Определить скорость V реакции и выразить её как функцию Q. @9. Размер популяции биологической популяции в момент ^ (время выражено в часах) задаётся формулой р= Ю6 +104/ —103/2. Найти скорость роста популяции, когда t = \ц. @ 10. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью и затем разделить этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?
"О /П ПРХТ Т/Т Т/" КРАСН0ЯРСК0Г0 ГОСУДАРСТВЕННОГО О X НУЦу ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА им. В.П. АСТАФЬЕВА
# ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ. Теория и методика профессионального образования
Аналогично конструируются оценочные средства для диагностики уровня сформированное™ других профессиональных компетенций.
Таким образом, введение в стандартах понятия «компетентность» как основополагающего результата профессиональной математической деятельности [Шкерина, Панасенко, 2013] сказывается естественным образом на формах контрольных заданий и программно-дидактических тестовых материалов. Специфика таких заданий и задач требует от ведущего преподавателя несколько иного подхода к планированию всего учебно-образовательного процесса, который включает обучение-учение, диагностику, коррекцию и совершенствование качества математической подготовки студентов образовательных организаций высшего образования.
Библиографический список
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ: в 2 ч. / под ред. А.Н. Тихонова. М.: ЮРАЙТ, 2013.
2. Табишев Т.А. Методическая система мониторинга математической подготовки студен-
тов вуза: автореф. дис. ... канд. пед. наук. Астрахань, 2010. 28 с.
3. Табишев Т.А. Рабочая программа по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов направления подготовки 01.03.01 Математика (уровень бакалавриата) / Утверждён УС ОО 14.05.2014 г., регистрационный номер 01.03.01/1.
4. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.03.01 Математика (уровень бакалавриата) / Утверждён приказом № 943 Министерства образования и науки Российской Федерации от 07.08.2014 г. (ФГОС ВО).
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М.: Книга по требованию, 2012.
6. Шкерина Л.В., Панасенко А.Н. Технологические карты как средство измерения математических компетенций будущего учителя математики в процессе выполнения проектных заданий // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2013. № 4 (26). С. 133-137.
