CC BY
36
,,„ „„„„, Jj Ставрополья
научно-практическии журнал
УДК 51:378.147
Бондаренко В. А., Мамаев И. И.
Bondarenko V. A., Mamayev I. I.
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ БИОЛОГИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ
PROFESSIONAL ORIENTATION IN TRAINING OF MATHEMATICS STUDENTS OF BIOLOGICAL FACULTY
Представлен опыт организации профессиональной направленности студентов биологических факультетов в процессе обучения математике.
Ключевые слова: профессиональная направленность в обучении; универсальное множество; мирмеколог; энтомолог; комбинаторный анализ; хромосома; цепочка из генов; п-мерный вектор; антропологические данные; отображение; матрица; биологический вид; функциональная зависимость; производная; неопределенный интеграл; дифференциальные уравнения; задача Коши; биофизик; диагностика заболеваний; симптомы; характер заболевания; скрытые причины; наблюдаемые следствия причин; анализ генного состава; активизация мышления студентов.
The article presents the experience of a professional orientation of biology students in learning mathematics.
Key words: professional orientation training; universal set; myrmecology; entomologist, combinatorial analysis, chromosome; chain gene; n-dimensional vector; anthropological data, mapping, matrix, species, functional dependency, derivative, indefinite integral, differential equations; Cauchy problem; bio-physicist; diagnosis of diseases; symptoms; nature of the disease; underlying causes; observable consequences of reasons, and analysis of the gene composition, activation of students' thinking.
Бондаренко Виктория Артемовна -
кандидат педагогических наук,
старший преподаватель кафедры математики
Ставропольский государственный
аграрный университет
Тел.: (8652) 35-75-87
E-mail: bekastavropol@mail.ru
Мамаев Иван Иванович -
доцент кафедры математики Ставропольский государственный аграрный университет Тел.: (8652) 35-75-87
Bondarenko Viktoriya Artemovna -
PhD in Pedagogical Sciences,
Senior Lecturer of Department of Mathematics,
Stavropol State
Agrarian University
Теl.: 8 (8652) 35-75-87
E-mail: bekastavropol@mail.ru
Mamayev Ivan Ivanovich -
Docent of Department of Mathematics, Stavropol State Agrarian University Теl.: 8 (8652) 35-75-87
Профессиональная направленность в преподавании математики связана с организацией такого обучения, которое обеспечивает естественный переход от деятельности познавательной к деятельности профессиональной, опираясь на модель структуры творческих способностей студентов [1, 2]. В частности, математическая дисциплина не может и не должна излагаться изолированно от других дисциплин, изучаемых студентами [3].
На наш взгляд, на биологических факультетах в первую очередь это относится к вводным понятиям. Сделать их доступными для студента, не превратить обучение математике в рассмотрение замкнутой в себе системы истин - задача, несомненно, трудная, но разрешимая. Наиболее существенным аспектом математической подготовки студента является не столько вооружение его знаниями, сколько развитие у него принципиально иного - математической культуры [4].
В нашем опыте работы уделяем особое внимание биологическим примерам, проясняющим суть вновь вводимых понятий через организацию активной деятельности студентов путем
использования коротких поисковых упражнений [5, 6]. Например, при изучении элементов теории множеств, говоря об универсальном множестве, отмечаем, что специалист-мирмеколог может взять в качестве универсального множества - множество всевозможных муравьев, а в качестве подмножеств этого множества те или иные виды муравьев.
В то же время специалисту-энтомологу этого множества будет недостаточно. В качестве универсального множества он будет рассматривать множество всевозможных насекомых, а в качестве подмножества этого множества те или иные отряды (муравьев, бабочек, жуков и т. д.) [7].
Пустым множеством является множество трехглавых драконов-героев многих сказок, поскольку таких драконов в природе не существует.
Комбинаторный анализ применяется в тех многочисленных вопросах естествознания, которые связаны с перебором множества возможностей, с выделением из этого множества тех или иных подмножеств [8].
В этом пункте мы приводим простые задачи из генетики. Например, хорошо известно, что
в
естник АПК
Ставрополья
: № 1(13), 2014
Проблемы аграрного образования
7
хромосому можно себе представить как цепочку из генов. При этом свойства хромосомы зависят не только от состава генов, но и от расположения в цепочке.
Существуют методы, позволяющие изменять порядок генов в хромосоме. Возникает вопрос, какое количество хромосом можно получить из данной, изменяя в ней порядок следования генов.
Пусть исходная хромосома состоит из л-генов. Обозначим их а1, а2, ..., an и пусть
A = {а1,а2, ..., ал}. Тогда понятно, что каждая хромосома, имеющая данный набор генов, есть перестановка множества А. число таких перестановок, как мы знаем, равно л!. А число различных хромосом будет в два раза меньше. В самом деле, перестановки A = а1,а2, ..., ал1,ал и A" = ал, ал1, ..., а2, а1 мы считаем различными. Однако, если а1 - это ген, то хромосома A превращается в хромосому A", если A' перевернуть на 180°. Поэтому нет смысла различать эти хромосомы. Отсюда следует, что общее число различных хромосом, которые
можно получить из данного набора генов, n!
равно -2.
Вот другой пример, связанный с перестановками из «л» элементов. Имеется л юношей и n девушек. Сколькими вариантами их можно соединить в супружеские пары? Чтобы решить эту задачу, выстроим всех юношей в шеренгу и присвоим каждому номер от 1 до л. Тогда понятно, что интересующее нас число вариантов равно числу перестановок из множества девушек, то есть л!.
Функциональную зависимость мы наблюдаем повсюду. Так, например, каждому человеку можно поставить в соответствие некоторый л-мерный вектор - вектор его антропологических данных. К этому вектору можно добавить физиологические данные (химический состав крови, интенсивность основного обмена и прочее) [9].
Поскольку все компоненты такого вектора меняются с возрастом, то для полноты картины мы должны записать матрицу, каждый столбец которой соответствует вектору определенного возраста. Таким образом будет установлено отображение множества людей на множество прямоугольных матриц.
Аналогично каждому биологическому виду можно поставить в соответствие географическую зону его обитания. Так будет установлена функциональная зависимость между множеством видов и множеством географических зон. Точно так же существует функциональная зависимость между множеством видов и множеством способов существования (куда входит способ размножения, способ добывания пищи, способ устройства жилища и т. д.).
На протяжении нашего курса мы неоднократно сталкиваемся с различными функциями. Например, рассматривая вектор-функцию или
произвольную матрицу, элементами которой являются функции одной переменной, мы фактически имели дело с функцией, которая каждому значению х из некоторого числового множества ставила в соответствие определенный постоянный вектор или определенную матрицу с постоянными элементами [10].
Далее, что такое операция дифференцирования? Это правило, по которому каждой функции из определенного множества ставится в соответствие другая функция - её производная. Таким образом, и здесь мы имеем отображение одного множества на другое. Аналогично, отображением является и неопределенное интегрирование: каждой непрерывной функции ставится в соответствие некоторая дифференцируемая функция - её неопределенный интеграл [11].
Точно так же отображением является и определенное интегрирование, например, по отрезку [а; Ь]. Каждой непрерывной функции ставится в соответствие некоторое число - определенный интеграл от этой функции по отрезку [а; Ь].
Зафиксируем теперь функцию ф( х) и будем менять отрезки интегрирования. Например, будем брать всевозможные отрезки [а; Р], содержащиеся внутри отрезка [0; 1]. Тогда каждому такому отрезку можно поставить в соответствие некоторое число - определенный интеграл от ф(х) по этому отрезку. Мы снова имеем отображение. Это отображение множества отрезков [а; Р] с [0; 1] на числовую ось.
Интересные примеры отображений доставляют дифференциальные уравнения. Так, например, решение задачи Коши для одного обыкновенного уравнения первого порядка есть не что иное, как установление соответствия между множеством начальных данных (в данном случае множеством точек на плоскости) и множеством интегральных кривых. Аналогично, решение задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка - это установление соответствия между множеством начальных кривых и множеством интегральных поверхностей.
Мы пользуемся разбиением множества при построении определенных интегралов. Классическим примером разбиения множества является классификация живых существ. Всё множество живых организмов разбивается, как известно, на типы; типы - на классы; классы - на порядки и т. д. Это, разумеется, не единственное возможное разбиение. Так, например, биофизик, изучающий механизм зрений, разо-бъет всё множество животных не по типам, а по чувствительности к световым сигналам. При таком разбиении в одно множество могут попасть слепые насекомые (например, некоторые виды муравьев) и некоторые позвоночные (например, кроты).
Далее остановимся на одном из приложений алгебры логики - диагностике заболеваний.
ЖЭестеик АПК
,,„ „„„„, Jj Ставрооодья
научно-практическии журнал
Предположим, что имеется больной, у которого обнаружены некоторые симптомы и подозреваются некоторые заболевания. Требуется, как обычно, поставить как можно более точный диагноз. Привлечем для решения этой задачи алгебру логики.
Рассмотрим некоторое множество симптомов Б1, Б2, ..., Бп. Среди перечисленных симптомов имеются и те, которые обнаружены у больного, но не только эти. Рассмотрим также некоторое множество заболеваний М1, М2, ..., Мт. Среди этих заболеваний есть и все те, которые подозреваются у больного.
Обозначим х; высказывание «обнаружен /-тый симптом» / = 1, 2, ..., п. Обозначим у. - высказывание «обнаружено /-тое заболевание», / = 1, 2, ..., т.
Симптомы и заболевания, очевидно, связаны между собой. Эта связь устанавливается экспериментально, на основе многолетних медицинских обследований тысяч больных.
В результате таких обследований может быть установлено, например, что заболевание М2 всегда сопровождается симптомом Б4 или Б3, то есть у ^ х4 V х3.
Аналогично, может быть известно, что если обнаружены симптомы Б4 и Б6, то обязательно должно быть заболевание М1, то есть
х 4 Л х 6 ^ У1.
Часто один какой-нибудь симптом (например, высокая температура) сопровождает многие заболевания. В этом случае, может быть, например, что х3 ^ у1 V у2 V у3 V... V у.
Таким образом, экспериментально установлено некоторое число зависимостей между логическими переменными х1, ..., хп, у1, ..., ут:
1 (х1, х 2, ..., хп, у1, ..., ут ) ^2 (х1, х2, ..., хп, у1, ..., ут)
fn (*1>
<2> ■■■> xn, у1,
Назовем каждую такую зависимость указанием. Каждое указание - это составное высказывание. Понятно, что мы не получим противоречия с опытом, если не нарушим ни одного из найденных указаний. Иными словами, мы не получим противоречия с опытом тогда и только тогда, когда будут выполнены все указания. На языке алгебры логики это означает, что высказывание «мы не получим противоречия с опытом» истинно тогда и только тогда, когда истинны все указания. Поэтому, обозначив это высказывание 2, может записать 2 = 11 л л... л N
Составим таблицу для функции 2. Всего в
таблице будет 2п+т строк. Так как случаи, противоречащие опыту, нас не интересуют, а именно в этих случаях функция 2 = 0, то мы выделим из таблицы лишь те строки, которые соответствуют множеству истинности 2. Затем из этих строк выделим те, в которых имеются симптомы, обнаруженные у пациента. В каждой такой строке имеются и заболевания. Анализируя эти строки, можно сделать выводы о характере заболеваний пациента.
Аналогичным методом можно действовать в любой ситуации, где есть скрытые причины, легко наблюдаемые следствия этих причин и известны некоторые связи (указания) между причинами и следствиями. В частности, такое положение встречается при анализе генного состава.
Наблюдения показывают, что изложение математических понятий с использованием примеров профессиональной направленности активизирует мышление студентов и способствует лучшему усвоению изучаемого материала.
Литература
1. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сах-нюк П. А., Сахнюк Т. И.. Модель структуры творческих способностей студентов в вузе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона : сб. науч. ст. по материалам Международной научно-практической конференции. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 229232.
2. Бондаренко В. А., Цыплакова О. Н. Условия формирования математической культуры у студентов экономических направлений // Аграрная наука, творчество, рост : сб. науч. тр. по материалам Международной научно-практической конференции. Т. 2. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 246-248.
3. Мамаев И. И., Шибаев В. П. Возможности информационно-коммуникационных тех-
References
1. Bondarenko V. A., Mamayev I. I., Cakhniuk P. A., Cakhniuk T. I. Model structure creative abilities of students in the university // Information systems and technology as a factor of economic development in the region. Collection of research papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 229-232.
2. Bondarenko V. A., Tsyplakova O. N. Conditions for formation of mathematical culture among students of economic directions // Agrarian Science, creativity and growth. Collection of scientific papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 246-248.
3. Mamayev I. I., Shibaev V. P. Features information and communication technologies in en-
в
естник АПК
Ставрополья
! № 1(13), 2014
Проблемы аграрного образования
9
нологий в повышении качества образовательного процесса современного вуза // Вестник университета (Государственный университет управления). 2013. № 6. С. 265-268.
4. Цыплакова О. Н. Основные аспекты формирования математической культуры студентов вузов на занятиях по математическому анализу // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики : сб. науч. ст. по материалам научно-практической конференции. Ставрополь : АГРУС,2012. С.117-123.
5. Бондаренко В. А., Мамаев И. И. Модель организации активной мыслительной деятельности студентов путем использования коротких поисковых упражнений // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона : сб. науч. ст. по материалам Международной научно-практической конференции. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 220-225.
6. Трухачев В. И. Опыт применения технологии е-!еагп1пд в системе аграрного образования // Высшее образование в России. 2009. № 11. С. 75-80.
7. Бондаренко В. А., Мамаев И. И., Сах-нюк П. А., Сахнюк Т. И. Опыт использования математических моделей современных экономических исследований в учебном процессе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона : сб. науч. ст. по материалам Международной научно-практической конференции. Ставрополь, СтГАУ, 2013. С. 233-236.
8. Мамаев И. И., Шибаев В. П. Информационно-обучающая среда вуза как средство повышения эффективности образовательного процесса // Мир науки, культуры, образования. 2013. № 2 (39). С. 19-20.
9. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост : сб. науч. тр. по материалам Международной научно-практической конференции. Т. 2. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 266-268.
10. Родина Е. В. Фундаментальные компетенции студентов и их значимость на практических занятиях по высшей математике // Аграрная наука, творчество, рост : сб. науч. тр. по материалам Международной научно-практической конференции. Т. 2. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 280-283.
11. Мамаев И. И., Бондаренко В. А. Функции нескольких переменных в моделировании экономических процессов // Аграрная наука, творчество, рост : сб. науч. тр. по материалам Международной научно-практической конференции. Т. 2. Ставрополь : СтГАУ, 2013. С. 268-271.
hancing the quality of the educational process of the modern university // Bulletin of the University (SUM). Moscow State University of Management, 2013. № 6. P. 265-268.
4. Tsyplakova O. N. Basic aspects formation of mathematical culture of university students on employment by in mathematical analysis // Theoretical and applied problems of modern pedagogy. Collection of scientific articles based on scientific and practical conference. Stavropol : AGRUS, 2012. P. 117124.
5. Bondarenko V. A., Mamayev I. I. Model of organization the active work of students by using short search engine of exercises // Information systems and technology as a factor of economic development in the region. Collection of research papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 220-225.
6. Trukhachev V. I. Experience of e-learn-ing technology application in the system of agrarian education // Higher Education in Russia. 2009. № 11. P. 75-80.
7. Bondarenko V. A., Mamayev I. I., Cakhni-uk P. A., Cakhniuk T. I. Experience of using mathematical models of modern economic research in the educational process // Information systems and technology as a factor of economic development in the region. Collection of research papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 233-236.
8. Mamayev I. I., Shibaev V. P. Information training environment of the university as means of increase the efficiency of the educational process // The world of science, culture and education. 2013. № 2 (39). P. 19-20.
9. Mamayev I. I., Bondarenko V. A. Modeling economic processes with the use of methods the linear algebra // Agrarian Science, creativity and growth. Collection of scientific papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 266268.
10. Rodina E. V. Fundamental competence of students and their relevance to practical training on higher mathematics // Agrarian Science, creativity and growth. Collection of scientific papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. P. 280283.
11. Mamayev I. I., Bondarenko V. A. Functions of several variables in the modeling of economic processes // Agrarian Science, creativity and growth. Collection of scientific papers based on the International Scientific and Practical Conference. Stavropol : Stavropol State Agrarian University, 2013. - P. 268-271.
