Проекционные методы решения одного класса интегро–дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968 : 519.6 А.И. Леонов

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Обозначим через m < p и С = С[-1,1] пространства функций, квадратично-суммируемых по Лебегу и, соответственно, непрерывных на отрезке

[-1,1], а через Ж2(т)- пространство Соболева функций, имеющих обобщенную производную порядка m (т еN), принадлежащую пространству

. В пространстве Соболева m> через WrH% и

WrHа (г > т,0 < а £ 1) будем, как обычно, обозначать классы функций, имеющих производную порядка г, удовлетворяющую условию Гельдера с

показателем а в метрике пространства L2 и С , соответственно.

Рассмотрим линейную краевую задачу

Еу (х) = 0, п = 1т , (1)

для интегро-дифференциального уравнения

Кх ° х(т)(Г> + Zgk а>х(т-*>(г> + к=1

р +1

2 | к] s)х(] >(s>ds = у (0, -1 £ t £+1, (2) ]=0 -1

где т и р - целые неотрицательные числа, причем т < р, Яп - данные линейно-независимые

функционалы на пространстве (т -1) - раз непрерывно-дифференцируемых на [-1,1] функций, gk ^), к] ^, 5) и у^) - известные функции, а х(^ -

искомая функция.

Известно (см., напр., в [1]), что при естественном выборе пространства искомых элементов и пространства правых частей уравнения (2) задача (1)-(2) при т < р является, вообще говоря, некорректно поставленной. В работе [2] нами для решения задачи (1) - (2) был предложен вариант метода осциллирующих функций, когда функции

к] (по переменной t), gk и У обладали определенной

степенью гладкости. В работе [3] для указанной задачи дано обоснование метода коллокации и одного варианта метода механических квадратур в случае, когда функции

к] (по переменной 5 ) обладают определенной степенью гладкости, а гладкости известных функций по переменной t нет.

Данная работа является естественным продолжением работы [3]. В ней предлагается теоретическое обоснование общего полиномиального проекционного метода решения задачи (1) - (2) в паре

пространств , L2.

Пусть у есть пространство L2 с обычной

евклидовой нормой ||.||2, а X- подпространство

пространства Ж2(т) функций, имеющих суммируемую по Лебегу производную порядка р и удовлетворяющих краевым условиям (1). Норму в

X зададим соотношением || х ||=|| х(т) ||2 (х е X).

В отличие от У, пространство X является неполным пространством. Задачу (1)-(2) запишем в виде одного операторного уравнения

Кх ° Ох + ?х + Т2х = у (х е X, у е У), (3)

где операторы О,^? определяются соотношениями:

г \ т

от=х (т)(о, (т х)^) =2 gk ^) х(т-к )+

к=1

+1

2 I к .. (^ 5)х(])(5) ds,

]=0-1

(Т2х)^) = 2 +\к} (t,5)х(])(5) ds.

]=т+1 -1

Обозначим через Н п множество алгебраических многочленов степени не выше п, а через X с X и Уп с У - подпространства многочленов

0

Н п+т-1 = Нп+т-1 * X и Нп-1 соответственно-

Введем в рассмотрение аддитивный и однородный оператор Рп, который любую функцию из

У переводит в многочлен из Уп .

Приближенное решение уравнения (3) будем искать как точное решение следующего конечномерного уравнения

РпКхп ° РпОхп + РпТ1 хп + РпТ2хп =

= РпУ (хп е Xn,РпУ е Уп). (4)

_Известия КГАСА, 2004, №1(2)

Как хорошо известно, (4) есть уравнение общего полиномиального проекционного метода решения уравнения (3), а следовательно, и решения краевой задачи (1) - (2). Оно эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений порядка п + m

относительно коэффициентов многочлена xn ^).

Для общего полиномиального проекционного метода (4) справедливы следующие результаты.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) gk, k = 1, m , и у е L2;

2) функции hj ^, 5), у = 0, m, таковы, что оператор Т : X ® У вполне непрерывен;

3) при j = m +1, p существуют непрерывные

aj-m

свойством: || Рп ||с®У = 0(1), п ® да; 3) условия 2) - 4) теоремы 1. Тогда уравнение (4) при всех п, начиная с

некоторого, имеет единственное решение хп е Хп . Погрешность приближенных решений в метрике

пространства Жл[т) характеризуется порядковым соотношением

II X - Хп ||= 0(Еп_1(X(т))), (7)

где Еп-1(г) есть наилучшее равномерное

приближение функции алгебраическими

многочленами степени не выше п - 1.

Следствие. Пусть в условиях теоремы исходные коэффициенты таковы, что решение

частные производные

dsJ~m

ds

h, (t,±1) ° 0, к = 0, j - m-1;

к j

4) краевая задача (2) для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1), имеет лишь тривиальное решение;

5) операторы Рп : У ® У обладают свойством:

Рп2 = Рп , II Рп ||= 0(1), п

Тогда уравнение (4) однозначно разрешимо (хотя бы при всех достаточно больших п ). Приближенные

решения хп е Хп сходятся к точному решению

Х е X уравнения (3) в метрике пространства Ж2(т) со скоростью

II х - Хп||= 0(Еп-1(X(т))2), (5)

где Еп-1 (г) 2 есть наилучшее среднеквадратическое

приближение функции алгебраическими

многочленами степени не выше п - 1.

Следствие. Пусть, в условиях теоремы 1, коэффициенты уравнения (2) таковы, что решение

x(t) еЖгНа, г > т,0 < а £ 1. Тогда для

погрешности приближенных решений верна порядковая оценка

II X - Хп||= 0(п-г+т-а). (6)

Теорема 2. Пусть выполнены:

1) gk, k = 1, т , и у е С;

hj (^ 5), причем х^)еЖгН , г > т,0 < а £ 1. Тогда для погрешности

приближенных решений верна порядковая оценка (6).

Теорема 3. В условиях теорем 1 и 2 общий полиномиальный проекционный метод (4) устойчив относительно малых возмущений коэффициентов уравнения (3), а следовательно, и исходных данных краевой задачи (1)-(2).

Доказательство теорем. В условиях теорем 1 и 2

оператор Т2 = Т3, где Т3 задается соотношением:

(Тз x)(t) = £ (-1)j-m J

+1 a j-m

m с i. t-i „\..(m).

j-m

h, (t, s)x(m)(s) ds.

2) операторы Pn : Y ® Y (Pn = Pn) неограничены при каждом фиксированном n, а Pn : C ® Y обладает

j=m+1 -ldsJ

Поэтому в условиях указанных теорем оператор T + Т2 : X ® Y вполне непрерывен и, следовательно, уравнение (3) является уравнением, приводящимся к уравнению второго рода с вполне непрерывным оператором. Это означает, что условие 4) теоремы 1 эквивалентно однозначной разрешимости краевой задачи (1)-(2), а следовательно, эквивалентно условию двусторонней обратимости оператора K: X ® Y уравнения (3).

Далее, в условиях теоремы 1 имеем

5 n °||y - Pny ||< 2|| Pn ||y ®y En-\( y)2 =

= O(En-1(y)2) ® 0, n (8)

Поэтому для любого элемента xn е Xn имеем I I KXn - KnXn ||=|| (T + T2)Xn - Pn (T + T2)Xn ||<

< sup || (T + T2)Z - Pn (T + T2)z||

zeX ,||z||<1

|| Xn ||x ° en || Xn ||x . (9)

Из соотношения (8) и теоремы Гельфанда о сходимости по норме на компакте сильно сходящейся последовательности операторов (см., например, в [5], с. 322) вытекает сходимость к нулю при n ® да

к

a

величины еп, что, в свою очередь, влечет сильную сходимость последовательности операторов Кп к

оператору К на подпространстве Xn. Остальное

непосредственно следует из общей теории приближенных методов функционального анализа (см., например, в [4]). При доказательстве же теоремы 2

величину дп в (8) можно оценить следующим

образом:

$п °|| У - РпУ ||£ 2|| Рп ||с®у Еп-1 (У) =

= 0(Еп-1 (У)) ® 0, п что влечет сильную сходимость последовательности операторов Рп : С ® У к оператору вложения

пространства С в пространство У.

Поскольку в условиях теорем 1 и 2 операторы

Кп : Xn ® Уп обратимы (хотя бы для всех достаточно

больших п) и обратные операторы К-1 : Уп ® Xп ограничены по норме в совокупности, то отсюда нетрудно вывести утверждение теоремы 3 (см. гл. 1 монографии [4]).

В заключение приведем несколько замечаний.

1. В условиях теорем 1 и 2 приближенные решения сходятся к точному решению равномерно. Более того, равномерно сходятся и все производные

приближенного решения до (т -1) -го порядка включительно к соответствующим производным точного решения.

2. Поскольку точное решение краевой задачи имеет суммируемую по Лебегу производную порядка р > т , то можно указать определенный порядок сходимости наилучших приближений производной

х(т^) точного решения многочленами из Нп-Х.

Поэтому порядковые оценки (5) и (7) могут быть уточнены.

3. В рассмотренный класс краевых задач (1)-(2) входят также и краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения (2), имеющего в интегральной части и слабо сингулярные особенности.

4. Приведенные теоремы дают непосредственное обоснование конкретных полиномиальных методов решения краевой задачи (1)-(2), таких, как, например, метод Галеркина, методы коллокации и подобластей по узлам Чебышева I -рода.

5. В случае р = т + 1 можно снять ограничение на функцию кр : кр (^±1) = 0. Это означает, что

обоснование общего полиномиального метода может быть проведено и в более общей ситуации, когда задача (1)-(2) в выбранной нами паре пространств не является корректно поставленной.

Литература

1. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов, II// Изв. вузов. Математика. - 1968, №> 10. - С. 21 - 29.

2. Агачев Ю.Р., Леонов А.И. Об одном оптимальном методе решения обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений/ Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Том 5. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Международной научной конференции. - Казань: Изд-во " Унипресс", 2000. - С. 12 - 13.

3. Агачев Ю.Р., Леонов А. И. О сходимости метода коллокации и одного варианта метода механических квадратур для интегро-дифференциальных уравнений/ Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Том 11. Проблемы современной математики. Материалы научной конференции. -Казань: Изд-во "Унипресс", 2001. - С. 7 - 9.

4. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные методы решения линейных задач. - Казань: Изд-во КГУ 1980. - 232 с.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Изд. второе. - М.: Наука, 1977. - 744 с.