ПРОЕКТИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С УСЕЧЁННОЙ ИДЕНТИФИКАЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проектирование регуляторов для объектов с усечённой идентификацией

А.Н. Заворин ФГБОУ ВПО НГТУ (Новосибирск, Россия)

Аннотация: Данная работа посвящена методам проектирования регуляторов для систем автоматического управления одноканальными линейными

стационарными объектами. Особенность рассматриваемых объектов в том, что их активная идентификация в широкой полосе частот по каким-либо причинам затруднена, поэтому, в результате этой идентификации, модель объекта известна с определённой точностью и в высокочастотной (ВЧ) области она менее точна. На практике, идентификация производится в той области, в которой она возможна и зачастую, в ВЧ области она наиболее трудоёмкая. Зачастую применяется подход, при котором ВЧ частью логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) объекта

пренебрегают и для простоты считают, что она имеет постоянный наклон [1]. Это утверждение обосновывается тем, что устойчивость системы в большей степени определяет среднечастотный участок характеристики. В этом традиционном подходе осуществляется пренебрежение инерционными звеньями высших порядков. В работе [2] показано, что такое пренебрежение не целесообразно, так как в некоторых случаях возможно ухудшение качества переходных процессов, а иногда, и потеря устойчивости системы. В настоящей работе предлагается представлять модели таких объектов в виде произведения двух передаточных функций, одна из которых представляет объект в области частот, где активная идентификация выполнена. Вторая функция представляет объект в области частот, где идентификация не выполнена. В качестве метода решения применяется аналитический метод синтеза по асимптотическим ЛАЧХ. Исследования подтверждены примером.

Ключевые слова: автоматическое управление, регулятор, одноканальная система, усечённая идентификация, астатическая система, минимально-фазовые звенья, частотный метод, аналитический метод

ВВЕДЕНИЕ

Предлагается для линейного

одноканального стационарного объекта, идентификация которого выполнена в ограниченной полосе частот, произвести проектирование регулятора. Для упрощения задачи рассматриваются только астатические объекты с минимально-фазовыми звеньями. Инструментом исследования служат

асимптотические ЛАЧХ объекта. Наиболее распространённым методом, использующим этот инструмент исследования, является частотный метод синтеза систем автоматического управления подробно рассмотренный в работах В.В. Солодовникова и В.А. Бесекерского [3,4]. По методике В.В. Солодовникова, основываясь на заданных показателях качества переходных процессов к системе управления, по формулам и номограммам определяются частота среза желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы и запас устойчивости по модулю. Затем, в логарифмической области частот строятся асимптотические ЛАЧХ объекта и желаемой

системы,

из

основного соотношения

частотного метода синтеза вычисляется логарифмическая характеристика регулятора [4]. Использование данного метода

предполагает точно известную

логарифмическую характеристику объекта. При погрешностях этой характеристики, частотный метод может привести к отрицательному результату. В данной работе предполагается, что ЛАЧХ исследуемого объекта является известной до какой-то определенной частоты (назовём эту область частот областью достоверной идентификации), а вне этой полосы частот результаты идентификации ненадежны (назовем её областью недостоверной идентификации), и дополнительные сведения не могут быть получены дополнительными экспериментами. Такую идентификацию можно условно назвать усечённой, поскольку модель объекта известна лишь в достоверной области идентификации.

Таким образом, управление объектом в условиях усеченной идентификации является актуальной проблемой теории автоматического управления.

и

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему автоматического управления, которая в области Лапласа описывается следующим образом:

у = ж (5)и + н (.?), (1)

Передаточную функцию исследуемого объекта управления представим следующим образом:

ж (8) = Жо (*) = Ж/ (8) ,

7 А (8) 7

(2)

В уравнениях (1) и (2), Л», и(5) и Н(л) изображения Лапласа, соответственно, выходной величины у(/), управляющего воздействия ы(() и возмущающего воздействия Ъ(±); Вт(8) и Ап(в) полиномы порядков тип соответственно, причем т<п ; 5 - оператор Лапласа.

Объект управления в области достоверной идентификации задается передаточной функцией Ж0(5), которая известна. В области недостоверной идентификации объект управления имеет передаточную функцию Ж5). Ограничимся случаем, когда передаточная функция Ж(5) принадлежит множеству следующих функций:

1 , (3)

Ж/ (5) -

5 +1

где q - это целые числа £ [0;7]. От нулевых частот до верхней частоты идентификации /в, значение передаточной функции Ж/5) равно единице, что видно из уравнения (3), при q=0. При q равном от 1 до 7 изменяется наклон ЛАЧХ объекта на частоте /в от -20 до -140 дБ/дек с шагом 20 дБ/дек. Выбор передаточной функции (3) осуществляется таким образом, чтобы она оказывала наибольшее влияние на объект Жо(5) и обосновывается следующим образом. Инерционность 1//в с увеличением частоты/в, уменьшается и тем самым оказывает меньшее влияние на объект, поэтому выбрана именно нижняя частота в области недостоверной идентификации. Увеличение наклона ЛАЧХ на этой частоте также влияет отрицательно на объект с точки зрения показателей качества, поэтому функция (3) содержит апериодическое звено, которых может быть от одного до семи, в зависимости от значения q.

Управляющее воздействие формируется в виде:

и(5) = жк (5)[Г(5) - У (5)].

Здесь ¥(я) - изображение Лапласа входного воздействия у^); Жк(^) - передаточная функция искомого регулятора.

Требуется спроектировать регулятор для объекта (2), который обеспечит устойчивое управление объектом с заданными показателями качества при ограничениях наложенных на передаточную функцию (3).

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Предлагается нижеследующая процедура решения поставленной задачи.

1. Осуществляется роектирование регулятора для объекта (2) при q=0. В этом случае предлагается использовать частотный метод синтеза [3, 4].

2. Анализируется качество переходного процесса реального объекта управления с регулятором, полученным на первом этапе. Если качество переходного процесса неудовлетворительное, то переходим к третьему этапу.

3. Методами моделирования оценивается качество переходных процессов системы управления с регулятором, полученным на первом этапе при q равном от 1 до 7.

4. Сравниваются показатели качества переходного процесса реальной системы управления с показателями качества систем управления полученных на третьем этапе. При наиболее близких показателях качества реальной и моделируемой систем делается вывод о том, какой порядок будет иметь добавочный регулятор (этот порядок равен значению q). Добавочный регулятор является последовательным корректирующим звеном к регулятору, полученному частотным методом.

Если на втором этапе не удается оценить качество переходного процесса, например из-за его неустойчивости, то выбор добавочного регулятора происходит по нижеследующему принципу.

Поочерёдно исследуются качество переходных процессов со следующими цепочками добавочных регуляторов Жга(5):

5 +1

5 +1

к • /в

5 + 1

к • /в

-5 +1

5 + 1

5 +1

к • /в

-5 +1

к • /в

5 +1

в

2

в

В

2

1

1

3

4

1

1

V fB

s + 1

( 1 ^

-5 +1

к ■ /в у

Значение к предлагается выбирать из интервала [2; 10], что определяется моделированием.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

Ниже даны результаты экспериментальных исследований проектирования регуляторов аналитическим методом. Передаточная функция разомкнутой системы в области достоверной идентификации имеет вид[3]:

W (s) =

kr.

s(T1s + 1)(T2s + 1)

(5)

где к0 = 10; Т1 = 10с; Т2 = 1c.

Требуется обеспечить следующие показатели качества: а менее 15%, ~ 5 с.

На первом этапе воспользуемся процедурой частотного метода синтеза [3]. Построим ЛАЧХ объекта, предварительно определив

необходимые точки:

20lgk0= 20дБ; lgm1=lg(\/T1)=lg0.\= -1 дек; lgrn2=lg(\/T2)=lg\= 0.

Построим желаемую ЛАЧХ,

среднечастотный участок которой имеет наклон -20 дБ/дек. Исходя из заданного перерегулирования а < 20%, по соответствующим номограммам [3] определим Pmm=1.1 и юн=3.5гс///~2.2 1/c. Частоту среза обычно находят по соотношению юср=(0,6...0,9) ®н, поэтому выберем ®ф= 2 1/с. В этом случае lg® ср=0.3 дек. Запас устойчивости по модулю, ограничивающий среднечастотный участок ЛАЧХ, также определим по номограмме, AL = 25 дБ. В результате, получим L*(®), которая приведена на рис.1. Далее, графически вычисляем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику регулятора из соотношения Lk(®)= L*(®)- Lo®).

Область достоверной идентификации

L, дБ

Lx(ffl)

Область недостоверной идентификации

lg(1/T)

lgm, дек

lg(1/z1)

\

-60 -20

\

-60

\

у/

L*( ш)

Рис. 1. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики

Определим Lk(®) и запишем передаточную функцию регулятора:

WR (s) =

(t s + 1)(ts + 1)2 (t s + 1) , (t1s +1)2 (t5 s + 1)2 '

(6)

где lg{\lz\)=- \.36 дек =J ^=22.71; /g(l/r2)=-l r2=10;

/g(l/r3)=-0.95 дек r3=9.09; /g(l/r4)=0 =3 r4=l; /g(l/r5)=1.55 дек =i r5=0.028.

7

1

Передаточная принимает вид:

функция регулятора

WR (5) =

(105 + 1)(9.095 + 1)2 (5 + 1)

(22.715 + 1)2(0.0285 + 1)2 (ю/ +115 + 1)(82.6352 +18.185 + 1) (515.752 + 45.425 +1)(0.000852 + 0.0565 +1)

.(7)

Таким образом, система с регулятором (7) имеет следующие показателями качества: о = 6%; ¡рр = 12 с, при вхождении в 3% зону; статическая ошибка равна нулю, т.к. система астатическая.

Далее исследуем процессы в системе при различных вариантах изменения ЛАЧХ объекта в области недостоверной идентификации. В таблице 1 представлены показатели качества системы при изменении угла наклона ЛАЧХ до 7-го порядка в области недостоверной идентификации.

Таблица 1. Показатели качества при различных гипотезах вида ЛАЧХ

Порядок добавочного фильтра на частоте 1 рад/с Показатели качества

о, % 1рр, с

1 44 13.9

2 неуст неуст

3 неуст неуст

4 неуст неуст

5 неуст неуст

6 неуст неуст

7 неуст неуст

Как видно из Таблицы 1, при изменении угла наклона ЛАЧХ объекта на частоте 1 рад/с на 2 и более порядка система неустойчивая.

1 -й вариант. Для объекта (5) в области достоверной идентификации получен регулятор (7) частотным методом. В результате оценки показателей качества реального объекта с

рассчитанным регулятором имеем следующее: о ~ 45%; 1рр ~ 14 с. Из таблицы 1 можно сделать вывод, что на частоте 1 рад/с имеется дополнительное апериодическое звено, поэтому выбираем следующий добавочный регулятор:

-15 +1]

/в I и оцениваем качество

^т(5) =

1

к • Л

-5 +1

переходных значениях к.

процессов при различных

Таблица 2. Показатели качества систем управления при различных значениях к

Значение 1-й 2-й вариант

к Показател Показатели

и качества качества

о, % 1рр , с о, % tpp, с

2 26 11.6 неуст неуст

3 17.1 11.7 83 36.4

4 12.1 11.8 62 15.3

5 9.3 11.9 48 13

6 7.9 12.9 38 27.3

7 7.3 11.9 35 39.5

8 8.9 11.5 25 3.3

9 16.2 10.5 20 29.3

10 15.6 7.3 17.5 30.3

2-й вариант. В результате оценки показателей качества реального объекта с регулятором (7) выяснилось, что система неустойчивая, поэтому оценим показатели качества с добавочными регуляторами, как показано в таблице 3.

Из Таблицы 3 можно сделать вывод, что порядок добавочного фильтра третий, поэтому исследуем показатели качества при различных значениях к. Данные исследования показаны в Таблице 2.

Таблица 3. Показатели качества

Порядок WR1(S) к=2 к=4 к=6

Показатели Показатели Показатели

о, % ¡рр, с о,% tpp, с о, % ¡рр, с

1 неуст неуст неуст неуст неуст неуст

2 неуст неуст 98 130 80 32.4

3 неуст неуст 62 15.3 38 27.3

4 апериод. Апериод. 49 32.3 43.4 35.1

5 92 640 неуст неуст неуст неуст

6 неуст неуст неуст неуст неуст неуст

7 неуст неуст неуст неуст неуст неуст

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлен метод аналитического проектирования регуляторов для систем автоматического управления одноканальными линейными стационарными объектами, структурно неопределёнными в

среднечастотной и высокочастотной областях. Такой объект представляется в виде произведения двух передаточных функций, одна из которых неизменна, а другая принадлежит определённому множеству передаточных функций, характеризующих объект в области недостоверной идентификации. При

аналитическом проектировании регулятора, на первом этапе рассчитывается регулятор для объекта в области достоверной идентификации, на втором этапе, передаточная функция регулятора уточняется с тем, чтобы система не выходила за рамки требуемых показателей качества. Данный метод достаточно трудоёмкий в вычислительном плане и полученный в результате регулятор, как правило, сложно реализуем на практике.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. Изд-во БХВ-Петербург, 2004. -601 с.

[2] Заворин А. Н. , Ядрышников О. Д. Исследования влияния высокочастотной области ЛАЧХ на качество переходных процессов на примере систем с минимально-фазовыми звеньями // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2011. - № 3 (65). - С. 19-36.

[3] Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие.-Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 364 с. -(Серия «Учебники НГТУ»).

[4] Бесекерский А.В. Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.-768 с.

[5] Zhmud V.A. The method of the designing of adaptive control systems for the controlling of nonstationary object with delay. Science Bulletin of NSTU. 2012. 3. (In Russian: Метод проектирования адаптивных систем для управления нестационарными объектами с запаздыванием. / В.А. Жмудь, А.Н. Заворин, А.В. Полищук, О. Д. Ядрышников // Научный вестник НГТУ. 2012. №3).

Александр Заворин - аспирант кафедры Автоматики НГТУ, автор более 15 научных статей. Область научных интересов и компетенций - теория автоматического управления, оптимальные и адаптивные системы, оптимизация, многоканальные системы. E-mail: pisatel1987@mail.ru

Designing of Regulators for Objects with Truncated Identification

ALEKSANDER ZAVORIN

Abstract: This paper is devoted to methods of designing of regulators for automatic control systems of single-channel linear stationary objects. The peculiarity of these objects is that their active identification in a wide frequency band for some reasons is difficult, however, as a result of this identification, the model of the object is known with some accuracy, and in the high frequency (HF) region it is less accurate. In practice, the identification is performed in the region in which it is possible and often in an HF field it is the most difficult. Frequently used approach is one where the HF part of the logarithmic amplitude-frequency characteristic (LAFC) of the object is neglected for simplicity and consider that it has a constant slope [1]. This assertion is based on the fact that the stability of the system is strongly depends on the characteristics in the middle-frequency range. This traditional approach neglects the higher orders inertial links. In the paper [2] it is shown that such neglection is not advisable, since in some cases, it can result in poor transient, sometimes, even the loss of stability of the system. In this paper we propose to represent model of such objects as the product of two transfer functions, one of which is an object in the frequency domain, where the identification is made active. The second function is the object in the frequency region where identification is not performed. For the decision of such task analytical method for the synthesis of the asymptotic LAFC is applied. Theese studies are confirmed with example.

Key words: automatic control, regulator, singlechannel system, the truncated identification, astatic system, minimum-phase units, the frequency method, the analytical method