CC BY
1УДК 614.838.44:536.3
DOI: https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.92.36.001 EDN: https://elibrary.ru/ajzrlg
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭВАКУАЦИОННЫХ ВЫХОДОВ В ЗДАНИЯХ КОРИДОРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОРИДОРА
Алексей Викторович Голкин, Валерий Геннадьевич Шамонин, Станислав Анатольевич Зуев, Светлана Юрьевна Хатунцева
Всероссийский ордена "Знак Почета" научно-исследовательский институт противопожарной обороны Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (ФГБУ ВНИИПО МЧС России), г. Балашиха, Московская область, Россия.
Аннотация. Рассмотрена возможность решения задачи выбора оптимальной ширины эвакуационных криволинейных коридоров, обе стороны которых представляют собой части эллипса для последующей минимизации смешения людских потоков (и, соответственно, предотвращения заторов при движении людей) при эвакуации в случае пожара или других чрезвычайных ситуаций. Анализируются вопросы о критерии разделения коридоров на широкие и узкие, о точности формулы Рамануджана и о расчете длины дуги эллипса.
Ключевые слова: ширина коридора, длина коридора, широкие и узкие коридоры, эксцентриситет эллипса, формула Рамануджана, длина дуги эллипса, эллиптический интеграл, формула Симпсона
Для цитирования: Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного эллиптического типа. Геометрические характеристики коридора / А.В. Голкин, В.Г. Шамонин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 4 (22). С. 8-14. DOI 10.37657/vniipo. avpb.2024.92.36.001. EDN AJZRLG.
DESIGN OF EVACUATION EXITS IN ELLIPTICAL CORRIDOR TYPE BUILDINGS.
CORRIDOR GEOMETRY Alexey V. Golkin, Valery G. Shamonin, Stanislav A. Zuev, Svetlana Yu. Khatuntseva
All-Russian Research Institute for Fire Protection (VNIIPO), the Ministry of the Russian Federation for Civil Defence, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters (EMERCOM of Russia), Balashikha, Moscow region, Russia.
Abstract. There is considered the possibility of solving the problem of choosing the optimal width of evacuation curved corridors, both sides of which are parts of an ellipse to further minimize the mixing of human flows (and, accordingly, prevent congestion when people move) during evacuation in case of fire or other emergency situations. Questions on the criterion for dividing corridors into wide and narrow, on the accuracy of Ramanujan formula and on the calculation of the ellipse arc length are analysed.
Keywords: corridor width, corridor length, wide and narrow corridors, ellipse eccentricity, Ramanujan formula, ellipse arc length, elliptic integral, Simpson formula For citation: Golkin A.V., Shamonin V.G., Zuev S.A., Khatuntseva S.Yu. Design of evacuation exits in elliptical corridor type buildings. Corridor Geometry. Aktual'nye voprosy pozharnoi bezopasnosti - Current Fire Safety Issues, 2024, no. 4, pp. 8-14. (In Russ.). DOI 10.37657/vniipo.avpb.2024.92.36.001. EDN AJZRLG.
Введение
Работа является продолжением предыдущих публикаций [1-4]. Рассматривается вопрос о геометрических характеристиках коридора, обе стороны которого являются верхними половинами эллипсов (см. рисунок), необходимых для оптимального проектирования эвакуационных выходов.
Схематическое изображение эллиптического коридора
Проводится анализ зависимости этих характеристик. При этом ширина коридора на вершине и обоих концах равна заданной проектной величине h0 (см. рисунок). Как было отмечено в статье [1], верхний эллипс не является эквиди-стантом по отношению к нижнему, т. е. ширина HФ Const. В статье [2] была изучена зависимость H от длины коридора и эксцентриситета, а экстремум является максимумом или минимумом и какова его величина. При уменьшении эксцентриситета обоих эллипсов, т. е. при b ^ a имеем H ^ h0.
Далее, как отмечено в статье [1], осложняющим фактором является то, что рассматриваемая область (коридор, рис. 1) является выпуклой.
Широкие и узкие коридоры Для определения критической концевой безразмерной ширины коридора z = hja в статье [1] было получено алгебраическое уравнение 4-й степени:
Ф^) = z4 + 2(1 + y)z3 + 4yz2 - Y2 = 0, Y = bla. (1)
Как видно из рисунка, искомый критерий разделения заключен в следующем (аналогично работам [3, 4]): широкий коридор соответствует расположению внутреннего эллипса под прямой CD, а узкий - его пересечению этой прямой в двух точках. «Разделительная» ширина коридора (hja в точках C и D) отвечает касанию внутреннего эллипса прямой CD.
Единственный положительный корень уравнения (1) численно определялся методом дихотомии (половинного деления) на отрезке [0, Y ],так как Ф( Y ) > 0. При этом были заданы погрешности отличия от 0 интервала и значений функции (1) на его концах, равные 10-4. В табл. 1 представлена зависимость значения корня z = hja от «эксцентриситетного» параметра y (или коэффициента сжатия). Значение корня 0,41419 для y = 1 отлично от его точного значения V2 -1 [3, 4] на 0,48 • 10-4.
Таблица 1
Зависимость «разделительной» ширины коридора от коэффициента сжатия
Y h*/a
0,1 0,21146
0,2 0,17820
0,3 0,22196
0,4 0,25864
0,5 0,29076
0,6 0,31959
0,7 0,34591
0,8 0,37017
0,9 0,39287
1,0 0,41419
Вычисление длины дуги эллипса
Аналогично рассматриваемым расстояниям между эвакуационными выходами в кольцевых коридорах [3, 4] здесь необходимо рассчитывать их по длине дуги (между заданными точками), как для внутреннего, так и для внешнего эллипсов.
Как отмечено в работах [5-7], эллиптические кривые широко распространены в очертаниях различных геофизических объектов, естественных и искусственных тел, траекториях движений планет, спутников, элементарных частиц и др. Однако до настоящего времени расчетные зависимости по нахождению длины отдельных участков (дуги) эллипса, востребованные в инженерной практике, разработаны не в полной мере. В настоящее время широко используются таблицы с интерполяцией их значений [8, 9] (впервые составленные еще А.М. Ле-жандром в 1830-х гг.) для различных оценок, не громоздких задач (не требующих разработки программ для ЭВМ).
Как отмечено в предыдущей публикации [1] (со ссылкой на работу [10]), расстояния между точками на дуге эллипса не выражаются через элементарные функции, а рассчитываются с помощью медленно сходящихся рядов [11], представляющих собой эллиптические интегралы 2-го рода [12]:
Е(ф, к) = |оФ(1 -(kSint)2)1/2dt =£¡_q n k2nS2n (ф). (2)
Отметим также публикацию [13], где интеграл (2) сводился к интегралу
i
0 _
Е*(0,a) _ J0 [cost- cosa)2 dt, 0 < a,
c последующим разбиением отрезка (0, 0) и т. д.
Анализ вышеупомянутых публикаций [5-7, 13] позволил прийти к пониманию, что следует попытаться найти менее трудоемкие процедуры расчета эллиптических интегралов 2-го рода. В нашей предыдущей публикации [1] говорилось о применении формулы Симпсона [10], о трудностях с выбором числа разбиений отрезка (0, ф) в формуле (2), а также о возможности построения кубического сплайна [14, 15].
Прежде всего, выясним, какую минимальную по трудоемкости процедуру расчета полного эллиптического интеграла 2-го рода (ф = п/2 в формуле (2), далее сокращенно ПЭИ2) можно найти в литературе. В сборнике [16] представлена процедура elliptic2 (алгоритм 56б, на языке АЛГОЛ-60), содержащая 13 опе-
раций. В сборнике [17] представлена процедура elliptic (алгоритм 165б, на языке АЛГОЛ-60), вычисляющая полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода, содержащая 10 операций и 14 в итерационном цикле.
Наконец, в интернет-публикациях [18] представлены приближенные формулы для E(nl2, k), наиболее точной, на наш взгляд, является вторая формула С. Рамануджана:
4*4 = п (1 + y) [ 1 + Д /(lü+VÍ-Д)] /4, (3)
где А = 3[(1 - у) l (1 + у)]2 и индекс 114 означает четверть безразмерного периметра (P/a) эллипса.
Точное значение, согласно формуле (2):
41/4 = Е(п/4, к) = ¡ü¡/4 (1 - (kSint)2)1/2 d t, (4)
а для коэффициента сжатия и эксцентриситета имеем соотношение:
k2 = 1 - y2.
В таблицах [8, 9] представлены значения Lf/4e sE(n/4,k) через 1 град, а вместо эксцентриситета используется вспомогательный угол k = sina, и еще имеем y = cosa.
Втабл.2представленорасчетноеотличиевеличин (3) и Lf/4e: в = 11-4*4/41/4 | с ростом угла a.
Таблица 2
Зависимость относительной разности значений ПЭИ2 табличных
и по формуле С. Рамануджана от «эксцентриситетного» угла a
а (град) £
0 0,2338 • 10-5
10 0,8213 • 10-5
20 0,5216 • 10-6
30 0,2575 • 10-4
40 0,2889 • 10-4
50 0,2995 • 10-4
60 0,3631 • 10-4
70 0,1993 • 10-4
80 0,1219 • 10-4
90 0,4023 • 10-3
Формула Рамануджана (3) будет использована для вспомогательных целей, а основная - найти экономичную (по времени) процедуру расчета неполного
эллиптического интеграла 2-го рода {фф (1 - (&5тс)2)1/2^с.
Программы расчета указанного интеграла по квадратурной формуле Симп-сона с заданной точностью имеются в публикациях [19-22], тем не менее в справочном пособии [16] имеется объемная процедура еШпг (алгоритм 73б, на языке АЛГОЛ-60, 46 строк) со ссылкой на статью [23].
Процедуры вычисления интегралов по формуле Симпсона с заданной допустимой погрешностью имеются на языке АЛГОЛ-бО: алгоритм 182б-в [17]; алгоритм 145б-в [19]; стр. 52,80-в [20], а также на языке ПАСКАЛЬ: -в [21], пар. 5.6; [22], стр. 303.
Окончательный текст процедуры принят согласно [21]. Был проведен расчет значения ПЭИ2 с заданной погрешностью 10-3 и осуществлено сравнение с формулой Рамануджана в том же диапазоне углов а = 0, 10°, 20°, 90° (к = в1па).
Максимальная относительная разность оказалось равной 3,526 • 10-3. Результаты иллюстрирует табл. 3, где обозначено:
£ =
^(Simpson) /j(fi)
J1/4
1/4
Таблица 3
Зависимость относительной разности значений ПЭИ2 формульных С. Рамануджана и квадратурных Симпсона от «эксцентриситетного»
угла а
а (град) £
0 0
10 0,8985 • 10-10
20 0,2432 • 10-7
30 0,6898 • 10-6
40 0,7934 • 10-5
50 0,5645 • 10-4
60 0,2966 • 10-3
70 1,22 • 10-3
80 3,526 • 10-3
90 5,371 • 10-4
Все вышесказанное относилось к исторически сложившейся параметризации эллипса (х, у) = ^М, bCost). Однако далее будем использовать более удобную, на наш взгляд, параметризацию (х,у) = (aCost, bSint), так как в пределе Ь ^ a t - полярный угол. Все полученные выше цифры справедливы, так как для ПЭИ2 имеет место:
|0п/4(1 - ^шО2)17^ = |0п/4(1 -
где е = ^1 -у2- эксцентриситет (более удачное, на наш взгляд, обозначение, чем К). Таким образом, для вычисления расстояния между эвакуационными выходами по дуге эллипса L/a = |ф1ф2 (1 - (eCost)2)1/2dt, при последующих исследованиях предполагается использовать квадратурную формулу Симпсона с контролируемой погрешностью и продолжать разработку программы оптимизации размещения эвакуационных выходов аналогично нашим предыдущим публикациям [3, 4].
В дополнение следует отметить, что в тексте статьи [3] были допущены следующие опечатки. _
1. Стр. 20, 7-я строка сверху: xB = со8(фи); ув = зт(фи.); / = 1, Ы2»;
следует читать: «хв = со8(фу.); ув = 8т(фу.), / = 1, Ы2».
2. Стр. 21, 9-я строка снизу: хрз = Я1(Я1 • ха - С1 • уА); ур3 = (Я2 - ха • хр) / уА»; следует читать: = • Ха - С1 • Уа); уРз = (Я12 - Ха • хга) / Уа».
3. Стр. 21, 8-я строка снизу: «Знак +, как и ранее, обусловлен предельным переходом А3 ^ Е1 или знаком в линейной зависимости (7)»; следует читать: «Знак +, как и ранее, обусловлен предельным переходом А3 ^ L1».
4. Стр. 21, 7-я строка снизу: «Если хв < хаз, то...»; следует читать: «Если
Хв < ^ то-».
5. стр. 19, 11-я строка снизу: «Здесь ¥пу - матрицы размера Ы2 * Ы2 и N * N ...»; следует читать: «Здесь ¥ш> - матрицы размера Ы2 * Ы2 и N *
Заключительные замечания
Настоящая работа является подготовительной для последующего оптимального проектирования эвакуационных выходов из обеих сторон коридора эллиптического типа. Следует отметить, что упомянутое проектирование является гораздо более сложной проблемой по сравнению с проектами коридоров кольцевого типа, рассмотренными в наших предыдущих публикациях [3, 4].
Список литературы
1. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях с коридорами эллиптической формы. Схема исследований / А.В. Голкин, В.Г. Шамонин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 2 (20). С. 6-12. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.96.61.001.
2. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного эллиптического типа. Ширина коридора / А.В. Голкин, В.Г. Шамонин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 3 (21). С. 6-14. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.69.92.001.
3. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного кольцевого типа. Широкий коридор / В.Г. Шамонин, А.В. Голкин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2023. № 4 (18). С. 16-24. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2023.13.77.002.
4. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного кольцевого типа. Узкий коридор / А.В. Голкин, В.Г. Шамонин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 1 (19). С. 6-9. https://doi. org/10.37657/vniipo.avpb.2024.20.45.001.
5. Анакаев К.Н. Аналитическое определение длины дуги эллиптической кривой // Известия РАН. Механика твердого тела. 2019. № 5. С. 150.
6. Анакаев К.Н. О полных эллиптических интегралах 3-го рода в задачах механики // ДАН, 2017. Т. 473, № 2. С. 151.
7. Анакаев К.Н. Эллиптические интегралы в нелинейных задачах механики // Доклады РАН. Физика, техн. науки. 2020. Т. 491. С. 24.
8. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1968. 344 с.
9. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций. Москва: Ком-книга, 2006. 368 с.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. Москва: Наука, 1969. 800 с.
11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Ламе и Матье / пер. с англ. Н.Я. Виленкина. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. 299 с.
12. Прасолов В.В., Соловьев Ю.П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. Москва: Изд-во МЦНИО, 2022. 317 с.
13. Пархомовский Я.М. Приближенные формулы для эллиптических интегралов и примеры приложения их к двум задачам нелинейной статики упругих балок // Ученые записки ЦАГИ, 1978. Т. IX, № 4. С. 75.
14. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1989. 432 с.
15. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1980. 536 с.
16. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 51 б—100б. Вып. 2. Москва: Советское радио, 1976. 136 с.
17. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 151б-200б: справочное пособие. Вып. 4. Москва: Радио и связь, 1981. 184 с.
18. Эллипс // Википедия: сайт: Ьир8://ги^к1реЬ1а.огд^к1/Эллипс (дата обращения: 12.08.2024).
19. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 101 б—150б: справочное пособие. Вып. 3. Москва: Советское радио, 1978. 128 с.
20. Балуев А.Н., Даугавет В.А. Сборник упражнений по АЛГ0Л-60. Ленинград: изд-во ЛГУ, 1967. 88 с.
21. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с.
22. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. Москва: Высшая школа, 1998. 383 с.
23. A.R. DiDonato andA.V. Hershey. New formulas for computing incomplete elliptic integrals of the first and second kind. Journal of the ACM, 6(4): 515-526, October 1959.
Статья поступила в редакцию 01.08.2024; одобрена после рецензирования 16.09.2024; принята к публикации 14.10.2024.
Голкин Алексей Викторович - заместитель начальника отдела. Тел. (495) 524-82-53. E-mail: [email protected]; Шамонин Валерий Геннадьевич - кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник. Тел. (495) 52482-57. E-mail: [email protected]; Зуев Станислав Анатольевич - кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник. Тел. (495) 524-81-74. E-mail: k708@ yandex.ru; Хатунцева Светлана Юрьевна - начальник сектора. Тел.(495) 52481-74. E-mail: [email protected].
Всероссийский ордена "Знак Почета" научно-исследовательский институт противопожарной обороны Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (ФГБУ ВНИИПО МЧС России), г. Балашиха, Московская область, Россия.
Alexey V. Golkin - Deputy Head of Department. Phone: (495) 524-82-53. E-mail: [email protected]; Valery G. Shamonin - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher. Phone (495) 524-81-74. E-mail: [email protected]; Stanislav A. Zuev - Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher. Phone: (495) 524-81-74. E-mail: [email protected]; Svetlana Yu. Khatuntseva - Chief of Sector. Phone: (495) 524-81-74. E-mail: [email protected].
All-Russian Research Institute for Fire Protection (VNIIPO), the Ministry of the Russian Federation for Civil Defence, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters (EMERCOM of Russia), Balashikha, Moscow region, Russia.
