CC BY
1УДК 614.838.44:536.3
doi: 10.37657/vniipo.avpb.2024.69.92.001
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭВАКУАЦИОННЫХ ВЫХОДОВ В ЗДАНИЯХ КОРИДОРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
ШИРИНА КОРИДОРА
Алексей Викторович Голкин, Валерий Геннадьевич Шамонин, Станислав Анатольевич Зуев, Светлана Юрьевна Хатунцева
Всероссийский ордена "Знак Почета" научно-исследовательский институт противопожарной обороны Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (ФГБУ ВНИИПО МЧС России), г. Балашиха, Московская область, Россия.
Аннотация. Рассмотрена возможность решения задачи выбора оптимальной ширины эвакуационных криволинейных коридоров, обе стороны которого представляют собой части эллипса для последующей минимизации смешения людских потоков (и, соответственно, предотвращения заторов при движении людей) при эвакуации в случае пожара или других чрезвычайных ситуаций. Рассматривается вопрос об изменении ширины коридора по его длине двумя способами: одномерной безусловной оптимизации и классической теории Куна -Таккера. Предложена последовательность шагов для реализации поставленной задачи - нахождению оптимальной ширины коридора.
Ключевые слова: ширина коридора, активные и неактивные ограничения, нелинейное программирование, условный экстремум, седловая точка, матрица Гессе
Для цитирования: Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного эллиптического типа. Ширина коридора / Голкин А. В., Шамонин В. Г., Зуев С. А., Хатунцева С.Ю. // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 3 (21). С. 6-14. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.69.92.001.
DESIGN OF EMERGENCY EXITS IN ELLIPTICAL CORRIDOR TYPE BUILDINGS.
CORRIDOR WIDTH
Alexey V. Golkin, Valery G. Shamonin, Stanislav A. Zuev, Svetlana Yu. Khatuntseva
All-Russian Research Institute for Fire Protection (VNIIPO), the Ministry of the Russian Federation for Civil Defence, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters (EMERCOM of Russia), Balashikha, Moscow region, Russia.
Abstract. There is considered the possibility of solving the problem of choosing the optimal width of curved emergency corridors, both sides of which are parts of an ellipse to further minimize the mixing of human flows (and, accordingly, to prevent congestion in people's movement) during evacuation in case of fire or other emergencies. The issue of changing the corridor width along its length is considered in two ways: one-dimensional unconditional optimization and the classical Kuhn-Tucker theorem. A sequence of steps is proposed to implement the task of finding the optimal corridor width.
Keywords: corridor width, active and inactive constraints, nonlinear programming, conditional extremum, saddle point, Hessian matrix
For citation: Golkin A.V., Shamonin V.G., Zuev S.A., Khatuntseva S.Yu. Design of evacuation exits in elliptical corridor type buildings. Corridor width. Aktual'nye Voprosy Pozharnoi Bezopasnosti - Current Fire Safety Issues, 2024, no. 3, pp. 6-14. (In Russ.). https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.69.92.001.
Введение
Работа является продолжением предыдущей публикации [1]. Рассматривается вопрос об изменении ширины коридора, обе стороны которого являются верхними половинами эллипсов (рис. 1). При этом анализируется только правая половина коридора (симметрия), а значения его ширины на вершине и правом конце равны заданной проектной величине h0 (рис. 1). Как отмечено в статье [1], верхний эллипс не является эквидистантой по отношению к нижнему, т. е. ширина HФ Const. Ясно, что зависимость H по длине коридора унимодальна, но не ясно, чем является экстремум - максимумом или минимумом и какова его величина. При уменьшении эксцентриситета обоих эллипсов, т. е. при b ^ a имеем H ^ h. Это обстоятельство может быть использовано для косвенного контроля правильности анализа при оценке extrH. Далее, как отмечено в статье [1], осложняющим фактором является то, что рассматриваемая область (коридор, рис. 1) не является выпуклой.
Постановка задачи
Для решения нашей задачи имеем следующие соотношения.
Уравнения эллипсов:
2 2 2 2
" +772Г^7=1; Щ + (1)
{a+h0) 2 (b+h0) 2 ' a2 b2
Уравнение нормали к внутреннему эллипсу (xin, yn) из точки (xex,yj на внешнем (кратчайшее расстояние) имеет вид
b2
Ут(хех—х1п) a[2^tn( уех—ут) 0- (2)
Здесь и далее индексы ex и in (external, internal) символизируют точки на верхнем и нижнем эллипсах соответственно.
Целевая функция задачи - квадратичная:
F(x. y. x.. y) = (x - x.)2 + (y -y)2. (3)
v ex ' ex г n y г n v ex г n ex ' г n x '
Смысл целевой функции: при движении точки по верхнему эллипсу расстояние между ней соответствующей точкой на нижнем эллипсе (концом нормали, т. е. ширина коридора) меняется; нужно оценить экстремальное значение этой ширины.
Поскольку рассматривается первый квадрант плоскости коридора, рис. 1, то имеем линейные граничные условия:
0 < x < a + h0, 0 <y < b + h; 0 < x < a, 0 <y < b. (4)
ex 0 s ex 07 гп 7 ' гп x '
Проектными (задаваемыми) параметрами являются a, b и h0.
Переход к безразмерным величинам:
21=хех = хех/а; z2 = уех = уех/Ь; z3 = хт = хт/а; z4= yin= yin/b; Y = b а- (5)
Далее векторы обозначаются жирными прописными буквами, а матрицы -жирными заглавными. Введем вектор безразмерных ограничений:
g = (я;< g2; g3; g4; g5; g6; g7; g8; g9; g10; g„)T,
где в соответствии с выражениями (1)-(5) обозначим:
-(1+Ло а); S,2=-zi; 03=z2-(1+Лс Ь); 04=-Z2; 05=Z3-1;^6 = "zs;
07 =Z4-1; 08 =-Z4; 09=z2/(1 + Ло/а)2 +z|/(1 + ^o/¿ )2 1; 010 =z3+z4-1; (6)
011 =z4 (z1 - z3) -Y2Z3 (z2-z4) =z1z4-y2z2z3-(1-y2) z3z4.
Согласно формулам (2), (4), (5) линейные граничные (неравенства) и квадратичные (равенства) для вектора g имеют вид:
Яг < 0, i = 1,8; g г = 0, i = 9, 10, 11. (7)
Безразмерная целевая функция, согласно формулам (3) и (5), имеет вид:
F(z) = (*i - Z3)2 + y2(z2 - z4)2. (8)
Множество допустимых значений вектора z можно записать в эквивалентном соотношению (7) виде:
U = {zl # (z) < 0, í = 1,8; #9 = я™ = #11 = 0}. (9)
Таким образом, в безразмерном представлении имеем задачу оценки ширины коридора: найти extrF(z) в области U (8). Это задача нелинейного программирования.
Среди множества публикаций по этому классу задач можно отметить следующие: иностранные [2-5] и отечественные [6-12] монографии и учебники, а также учебные пособия (в т. ч. лекции) из сети Интернет [13-17]. В них представлены: теоретические изыски (выпуклый анализ, седловые точки, теория Куна -Таккера и пр.), численные методы для многомерных задач (число координат вектора z n > 5), а также учебные малоразмерные (n = 2, 3) примеры.
Сведение задачи к одномерной оптимизации
Одним из способов прямого решения задачи оптимизации при наличии уравнений связи (ограничений-равенств) является уменьшение размерности задачи, используя эти уравнения [2, 13, 14].
Учитывая выражения (3) и (5), для безразмерной ширины коридора имеем:
Я = Я/Ло = [ (хех - x¿n)2+y2( уех-ут )2 ]1/2
Подставляя сюда Xex-Xín) из уравнения (безразмерного) (2)
Я=Я/Ло = [(Xex-X¿n)2+Y2( уех-У;п)2 ]1/2 (10)
получим:
Я = уа/Лс (уех У;п-1) у2+(1-у2)у2. (11)
Возводя в квадрат обе части равенства *ехут= [ У2Уе*+( 1- У2)У;п ],
вытекающего из формулы (10), и подставляя туда
х2х=( 1 + Л0/а)2/[1-у2х/(1+Л0 Ь)2] и х2п =1-у2п, которые следуют из уравнений (1) и соотношений (5) получим:
(1 + Ло а)2[1-у2х/(1+Ло Ь)2]уП=(1-у2)[У2уех+( 1-у2)у,П2. (12)
Для контроля перехода к окружности Ь ^ а = Я, у ^ 1 последнее уравнение принимает вид:
[(1+Ло/Д)2-Уе2х]У2 = (1-у2)уе2х, откуда ^-1 = Ло/Л, тогда формула (11) дает Н = 1, ч. т. д.
Соотношение (12) является полиномом 4-й степени относительно у^п и 2-й степени относительно уех. Поэтому будем иметь квадратное уравнение относительно зависимости уех (у^) с переменными коэффициентами:
иу2. +2ууех-ш=0, (13)
где и = [(1+Ло/а )/(1+&0/Ь) ]2УП+У4(1-У1п )> 0,
к 2
Р=у2{1-у2Ш1-у2п) >01ы = у2п[( 1+Л) - (1-у2) 2( 1-у1)2] >0. (14)
Положительный корень уравнения (13):
у«=-и-■ (15)
Предельный переход к окружности: a = Ь = R, у = 1. Тогда u = = 0, w = {1+ко/Ю2уП Уех= Уех/Ут-1=ко/Я, т. е. Н = 1.
Далее проведем косвенный контроль непротиворечивости соотношений для границ коридора (рис. 1).
1. Вершина коридора. Ут = 1^и=(1+ко/а )3/( 1+ко/Ь)3; р = 0;
w= (1+к0/а )3 ^ уех=^/и = 1+к0/Ь: Н=(уа/к0)к0/Ь=1.
2. Правый конец коридора. Здесь возникает неопределенность типа 0/0, так как уп^0. Имеем:
у2(1-у2)у[(1+ко )2-(1-У2)2]уП^2+иw=y4(1+ка )2уП
уех ко
Согласно (14) получаем -—1= _ 2 и, согласно (11), окончательно
r=(gh =1
Ут ау2
Н=^ЧГ=1, ч. т. д.
ау2
Согласно выражениям (11), (13) и (15) безразмерная ширина коридора зависит от двух безразмерных параметров: у и hJa. Однако при этом аналитическую зависимость Н(упп), хотя бы приближенную, получить очень сложно. Поэтому имеет смысл хотя бы оценить экстремальное значение этой ширины. Для простоты обозначим г=уех, ^ = уп. Дифференцируя формулу (11), имеем:
Н= уа/ко^уЧ 2)^2Ф(^) = 0, (16)
где обозначено
ФМ=(2-г/\1)/\1+(1-у2)(г-^) [у2+ (1-у2)^2]. (17)
Здесь и ниже точка над переменной означает дифференцирование по независимой переменной ц (движение по нижнему эллипсу). Очевидно, что стационарные точки Н(ц) определяются нулями правой части формулы (17); поскольку подкоренное выражение (16) не обращается в нуль, то будем иметь Ф(ц) = 0. Дифференцируя соотношение (13) по переменной ц, получим
г=0,5 [ы-г(иг + 2у)[1(иг + у). (18)
Дифференцируя полиномиальные коэффициенты (14), будем иметь: и=2{[(1+ко/а)/(1+ко/Ь) 2-у4}^; р=у2(1-у2)(1-3^2); w=2 \1[(1+ко/а)3+2(1-у2)(1-^2)]. (19)
Подставляя соотношения (19) в (18) и, далее, в (17) и (16), с учетом формул (14) и (15), получим очень сложное дробно-алгебраическое уравнение Ф(ц) = 0, что требует дополнительного анализа.
Методика Куна - Таккера В публикациях [2-17] представлена информация о необходимых и достаточных условиях того, что данный вектор г является стационарной точкой целевой функции (8) со смешанными ограничениями (9).
Если г* - точка локального минимума (максимума) в нашей задаче, то найдется такой вектор V = (Х1*, Х11*)г Ф 0 (множителей Лагранжа), что антиградиент функции Лагранжа Ь(г*, А*) = Р(2*)+1111*д1(г*) является линейной комбинацией градиентов всех ограничений (9) - условие ее стационарности:
^f^ = 0, i = 1,4; (20)
- условие допустимости решения выражения (9);
- условие неотрицательности (для минимума) X* > 0 или неположительности (для максимума)
Г < 0, i = 1,1.1; _ (21)
- условие дополнительной нежесткости A?0i(z*) = 0, i = 1,8.
Это условие означает, что если ограничение-неравенство в точке г* пассивное, т. е. g (г*) < 0, то X* = 0, а если активное, т. е. gfz*) = 0, то X* > 0 (для минимума) или X* < 0 (для максимума). При этом еще должно выполняться условие регулярности: градиенты активных ограничений-неравенств и ограничений-равенств в точке г* линейно независимы.
Наконец, отметим еще проверочное достаточное условие оптимальности F(z*) - существование седловой точки (z*, X*) [2, 3, 5-7, 9, 16]:
L(z\ X) < L(z*, X*) < L(z, X*). (22)
Градиенты ограничений, согласно формуле (6), имеют компоненты: V01=(1;O;O;O)7; V^ = (-1;0;0;0)7; %= (0; 1; 0; 0)7; V^4= (0;-1;0;0)7; V^ =(0 ;0;1; 0)7 V&= (0; 0;-1;0)7;
V.g7=(0;0;0;1)77 V08 = (0;0;0;-1)7V,g10 = (0;0;2z3;2z4)7; (23)
Vg9 = [2z1/(1+ ^0/a)2; 2z2/(1+ Vb)2; 0; 0) 77
V011 = [z4;-Y2Z3;-Y2Z2-(1-Y2)z4;z1-(1-y2)z3] .
Уравнения Лагранжа (20) с учетом выражения (23) имеют вид:
Л =2[1+A9/(1+Va)2]z1 -2z3 +Auz4+A1-A2= 0;
ft =2[Y2+A9/(1+^0/b)2]z2-z3-2Y2z4+A3 -A4= 0;
2 (24)
fz3 = -2z1 -Y2^uz2+2(1+A10)z3-(1-Y2)Anz4 +A5-A6 = 0;
14=^UZ1-2Y2Z2-(1-Y2)AHZ3+2(Y2+A10)Z4+A7-Ae = 0.
Условия линейной независимости ограничений-равенств:
P1V09+P2V010+P3V011 = 0;
в покомпонентной записи с учетом соотношения (23) имеем:
2z1P1/(1+Va)2 +z4P3=0, 2z2P1/(1+Vb)2-Y2z3P3=0, 2z3p2-[Y2z2+(1-Y2)z4]p3=0,
2z4p2+[z1-(1-Y2)z3]p3= 0.
Первая пара этих уравнений - линейная однородная система относительно P1 и P3; ее детерминант равен -2[у^3/(1 + h0/a)2 + z2z4/(1 + hjb)2]. Поскольку одновременно не могут выполняться равенства z1z3 = 0 и z2z4 = 0 в силу (6) и (9), то Р1 = Р3 = 0. Тогда вторая пара уравнений дает Р2 = 0, так как z3 = 0 и z4 = 0 не могут выполняться одновременно. Линейная независимость имеет место.
Проверим далее выполнение условий Куна - Таккера на краях коридора.
1. Вершина. = г3 = 0, г2 = 1 + h0/b, г4 = 1. Тогда согласно выражению (6) д2 = д6 = д3 = д7 = 0. Соотношение ^92 + №д 3 + №96 + = 0, расписанное по компонентам (23), дает Р2 = Р3 = Р6 = Р7 = 0, т. е. градиенты активных ограничений-неравенств линейно независимы. Далее имеем Х1 = Х4 = Х5 = Х8 = 0, Х. Ф 0, I = 2, 3, 6, 7.
Первое и третье соотношения (24): Х2 = Хп; Х6 = -Хп(1 + y2h0/b); поскольку Х2 и Х6 должны быть одинаковых знаков, то Хп = Х2 = Х6 = 0. Второе и четвертое соотношения (24) дают: Х3 = -2(у2^/Ь + Х9/(1 + h0/b)), Х7 = 2(y2h0/b - Х10). Считаем, что вершина является точкой минимума, т. е. все множители Лагранжа ограничений-неравенств должны быть неотрицательны, т. е. должны быть выполнены неравенства: у^0/Ь + Х9/(1 + h0/b) < 0 и у^0/Ь - Х10 > 0. Таким образом, вектор - множитель Лагранжа в седловой точке V = (0; 0; Х3*; 0; 0; 0; Х7*; 0; Х9*; Х10*; 0)т определяется неоднозначно, что, по-видимому, свидетельствует о вырождении.
2. Правый конец. Здесь = 1 + hJa, г2 = 0, г3 = 1, г4 = 0.
Согласно выражению (6) д1 = 0; д4 = 0; д5 = 0; д8 = 0. Соотношение в1Чд1+в4Чд4 + в5Чд5 + в8Чд8 = 0, расписанное по компонентам соотношения (23), дает Р1 = Р4 = Р5 = Р8 = 0, т. е.: градиенты активных ограничений-неравенств линейно независимы. Аналогично предыдущему рассмотрению имеем: Х2 = Х3 = Х6 = Х7 = 0,
X. ф 0, I = 1, 4, 5, 8.
Второе и четвертое соотношения (24) дают: Х4 = -у2Хп, Х8 = (h0/a + у2)Хп, откуда Х11 = Х4 = Х8 = 0. Первое и третье соотношения (24): Х1 = -2(^/а + Х9/(1 + h0/a)), Х5 = 2(h0/a - Х10). В силу предполагаемой неотрицательности Х1 и Х5 должны быть выполнены неравенства Ща + Х9/(1 + h0/a) < 0 и h0/a - Х10 > 0. Таким образом, вектор -множитель Лагранжа в седловой точке V* = (Х1*; 0; 0; 0; Х5*; 0; 0; 0; Х9*; Х10*; 0)т также не определен однозначно.
Рассмотрим, наконец, выполнение условий Куна - Таккера внутри коридора. В этом случае ограничения-равенства являются пассивными, т. е. д(£) < 0; ¿ = 1,8. Тогда в силу соотношения (22) Х1 = Х2 = ... = Х8 = 0 и уравнения (24) имеют вид:
Гг = 0, (25)
а матрица Г-суть матрица Гессе функции Лагранжа Ь(г, V),
^=¿1; 1' к=14
элементы которой определяются формулами:
Г13 = -2; Г14 = ^11;
Г24
Гп=2[1 + Х9/{1 + h0/a)2]; Гц = 0; Ги = -2; Гм = ^ Г21= 0 ; Г22 = 2[y2+X9/(1+h0/b)2]; Г23= -у2Хи; Г24 = -2у2;
Г31=-2;Г32= -у2Хц;Г33 = 2(1 + Xw); Гм= -(1-у2)Хп; Г41 = \i> Г42 =-2у2; Г43=-(1-у2)\п; Г44 = 2(у2+\10).
(26)
Система (25) однородная, если ^Г Ф 0, то единственное решение (25) -тривиальное, г = 0. что не удовлетворяет множеству допустимых решений и (9). Значит, определитель матрицы Гессе = 0. Как указано в учебнике [18], если матрица Гессе вырождена, то система (25) либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Однако, в монографии [19] дано несколько иное определение: врожденная матрица не имеет обратной, существует ненулевой вектор г такой, что Гг = 0. В любом случае, уравнение (25) не позволяет найти искомое решение г.
Что касается вектора - множителя Лагранжа в седловой точке X*, то условие ^Г = 0 с учетом формул (26) приводит к очень сложному уравнению поверхности в трехмерном пространстве вида 0(Х9, Х10, Хп) = 0, на которой лежит искомый X*.
В итоге теория Куна - Таккера не позволяет найти седловую точку (г*, X*) из-за вырожденности матрицы Гессе, т. е. наша задача относится к классу вырожденных задач нелинейного программирования, и в Интернете нами пока не найдено конструктивных публикаций.
Иллюстративный численный пример
Рассмотрим коридор со следующими геометрическими характеристиками (рис . 1):
а = 12; Ь = 6 (у = 0,5); И = 2 (м). (27)
Рис. 1. Схематическое изображение эллиптического коридора, Ь/а = 0,5; = 1/6
Эти числа соответствуют таковым, заданным для кольцевого коридора в статьях [20, 21], где длина внутреннего полукруга Ьх = 29,01 м. Длина % периметра внутреннего эллипса оценивается второй формулой Рамануджана [22]:
¿1/2 = тс(а+Ь)[1+Д/(10 + л/4—Д)]/2, где Д= 3[(а-Ь)/(а+Ь;]2.
Подстановка вышеприведенных а и Ь дает Ьш = 29,06 м.
Для анализа уширения коридора по его длине был проведен расчет безразмерной толщины Н (уп) по формуле (11) с учетом (14) и (15) с данными (27) и числом узлов N = 41. Результаты иллюстрирует рис. 2, визуально согласующийся с рис. 1.
12
1.1
> Уи
Рис. 2. Зависимость ширины коридора от положения точки на внутреннем
эллипсе. Величины безразмерные
Максимальное уширение составило « 20 % (Н(0,675) = 1,19926). С помощью другого расчета с меньшим эксцентриситетом (е = 1-у2) y = 0,8 было получено Н (0,7) = 1,06942, т. е. уменьшение эксцентриситета влечет уменьшение уширения, что очевидно.
Выводы
Проведенные расчеты показали, что ширина коридора непостоянна по длине его образующих, т. е. Н(уп - унимодальная вогнутая функция, хотя строгое доказательство этого весьма сложно. Тем не менее разработка алгоритма оптимального размещения эвакуационных выходов в коридорах эллиптического типа аналогична такой в кольцевых коридорах, представленной в статьях [20-22], и может быть реализована.
Вместе с тем было выявлено, что теория Куна - Таккера не позволяет определить седловую точку функции Лагранжа из-за вырожденности матрицы Гессе, что представляет собой вырожденную задачу нелинейного программирования. Это обстоятельство, по нашему мнению, должно явиться предметом отдельного сложного исследования.
Список литературы
1. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях с коридорами эллиптической формы. Схема исследований / А.В. Голкин, В.Г. Шамонин, С.А. Зуев, С.Ю. Хатунцева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 2 (20). С. 6-12. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.96.61.001.
2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. 344 с.
3. Базарра М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. Москва: Изд-во «Мир», 1982. 583 с.
4. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. Москва: Радио и связь, 1988. 128 с.
5. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. 488 с.
6. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1983. 384 с.
7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1988. 552 с.
8. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. Москва: Изд-во МАИ, 1988. 340 с. ISBN 5-7035-2088-6.
9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978. 432 с.
10. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1982. 432 с.
11. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975. 320 с.
12. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. 2-е изд., исправленное. Москва: Изд-во «Высшая школа», 2005. 544 с. ISBN 5-06004137-9.
13. Богданова Е.Л. Оптимизация в проектном менеджменте: нелинейное программирование. Санкт-Петербург: Ун-т ИТМО, 2017. 181 с.
14. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Математическое программирование: учебное пособие. Москва: МИЭТ, 1988. 115 с.
15. Гладков Л.А., Гладкова Н.В. Методы оптимизации. Конспект лекций. Часть 2. Таганрог: Изд-во Южного Федерального ун-та, 2013. 105 с.
16. Манита Л.А. Условия оптимальности в конечномерных нелинейных задачах оптимизации. Москва: МГУЭМ, 2019. 84 с.
17. Белоусов А.А. Методы оптимизации (лекции, электронный ресурс). Самара: Самар. гос. азрокосм. ун-т им. С.П. Королева, 2012.
18. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва: Высшая школа, 1998. 320 с.
19. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. Пер. с англ. Москва: Изд-во «Мир»,1998. 575 с. ISBN 5-03-002432-8.
20. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного кольцевого типа. Широкий коридор / В. Г. Шамонин, А. В. Голкин, С. А. Зуев, С.Ю. Хатун-цева // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2023. № 4 (18). С. 16-24. https://doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2023.13.77.002.
21. Проектирование эвакуационных выходов в зданиях коридорного кольцевого типа. Узкий коридор / А. В. Голкин, В. Г. Шамонин, С. А. Зуев, С.Ю. Хатунце-ва // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2024. № 1 (19). С. 6-9. https:// doi.org/10.37657/vniipo.avpb.2024.20.45.001.
22. Эллипс // Википедия: сайт: https://ru.wikipedia.org/wiki/Эллипс.
Статья поступила в редакцию 25.04.2024;
одобрена после рецензирования 27.05.2024;
принята к публикации 24.06.2024.
Голкин Алексей Викторович - заместитель начальника отдела. Тел. (495) 524-82-53. E-mail: 2102pro@mail.ru; Шамонин Валерий Геннадьевич - кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник. Тел. (495) 52482-57. E-mail: k708@yandex.ru; Зуев Станислав Анатольевич - кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник. Тел. (495) 524-81-74. E-mail: k708@ yandex.ru; Хатунцева Светлана Юрьевна - начальник сектора. Тел. (495) 524-81-74. E-mail: lu2986@yandex.ru.
Всероссийский ордена "Знак Почета" научно-исследовательский институт противопожарной обороны Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (ФГБУ ВНИИПО МЧС России), г. Балашиха, Московская область, Россия.
Alexey V. Golkin - Deputy Head of Department. Phone: (495) 524-82-53. E-mail: 2102pro@mail.ru; Valery G. Shamonin - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher. Phone (495) 524-82-57. E-mail: k708@yandex.ru; Stanislav A. Zuev - Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher. Phone: (495) 524-81-74. E-mail: k708@yandex.ru; Svetlana Yu. Khatuntseva - Chief of Sector. Phone: (495) 524-81-74. E-mail: lu2986@yandex.ru.
All-Russian Research Institute for Fire Protection (VNIIPO), the Ministry of the Russian Federation for Civil Defence, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters (EMERCOM of Russia), Balashikha, Moscow region, Russia.
