Продолжаемость решений возмущенного включения с вольтерровыми операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОДОЛЖАЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

В.В. Васильев

Пусть К71 - пространство п-мерных вектор-столбцов с нормой | • |; сотр[1&п] - множество всех непустых компактов пространства Мп. Обозначим Сп[а,Ь\ (Ьп[а,Ь]) пространство непрерывных (суммируемых по Лебегу) функций х : [а,6] —> с нормой ||х||с = тах{|х(£)| :

г € [а,Ь]} (||х|и = /|я(з)|Ж?); П(Сп[а,Ь])

а

(Р(Сп[а, 6])) множество всех непустых выпуклых компактов (непустых подмножеств) пространства Сп[а, Ь]; Вс[а,ь][х,г] ~ замкнутый шар в пространстве Сп [а, 6] с центром в точке х (Е С[а,Ь] и радиусом г > 0.

Будем говорить, что множество Ф С Ьп[а,Ь] выпукло по переключению (разложимо), если для любого измеримого по Лебегу множества е С [а, Ь] и любых х,у € Ф справедливо включение х(е)х + + х([а>&] \ е)у € Ф, где х(') - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через П[£п[а, Ь]\ множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению множеств из Ьп[а,Ь\. Отметим, что понятие выпуклого и выпуклого по переключению множества суть два независимых понятия.

Пусть Z - банахово пространство функций х : [а, Ь] -> Еп. Пусть V € (а, Ь) элемент х 6 2 и М С Z. Обозначим хи - сужение функции х на отрезок [а^и] и Ми = {ж*' : х € М}.

Под суммой множеств понимаем алгебраическую сумму множеств.

Рассмотрим семейство включений, зависящих от параметра е е (а, с) с 6 (а, оо]

х е Т£(х) + У£Ф£(х). (1С)

Здесь семейство операторов {Тс} обладает свойствами:

1) для любого е 6 (а, с) оператор ТЕ :

Сп[а,Е} -> П(С'п[а,б‘]) компактен;

2) для любого £ € (а, с) множество

{(Ге(х))(а) : х € Сп[а,£]} ограничено;

3) при каждом £ € (а, с) для любого х 6 6 Сп[а,е] и любого V 6 (а,е) выполняется равенство (Т^х))1' = ТДх") (таким образом, при каждом £ 6 (а, с) оператор Т£ : Сп[а,е:] —► Г2(С7п[а,е]) вольтерров по А.Н. Тихонову);

4) для любого £ € (а, с) оператор Те :

Сп[а,£] —► П(Сп[а,е]) либо замкнут, либо полу-

непрерывен снизу. Семейство операторов {КФг} обладает свойствами:

5) для каждого £ € (а, с) линейный непрерывный оператор Уе : Ьп[а,£] -> Сп[а,б], определен-

ный равенством

г

{У£г)(Ь) = J У(*, «)*(«)<&, «€[а,е], (2)

а

переводит каждое слабо компактное в Ьп[а,£] множество в компактное множество пространства Сп[а,£}\

6) для каждого £ € (а, с) оператор Фе : Сп[(1,е] -> П[£п[а, е]] полунепрерывен снизу и переводит каждое ограниченное в Сп[а,£] множество в слабо компактное множество пространства Ьп[ау£]]

7) при каждом £ € (а, с) для любого х £ € Сп[а,£] и любого V 6 (а, £) выполняется равенство (Фе(х))*/ = Ф^х") (таким образом, оператор Фе : Сп[а,е] —> П[1,п[а,£]] вольтерров по А.Н. Тихонову).

Отметим, что для каждого £ € (а, с) и каждого х € Сп[а,£] множество Уе(Фе(х)) в (1е) - образ множества Фг(х) £ П[Ьп[а, е]] линейного оператора V;, определенного равенством (2). Далее, так как множество Фе(х) вообще говоря, не обладает свойством выпуклости, то образ У£(Ф£(х)) не является выпуклым множеством. В связи с этим, многозначное отображение, определенное правой частью включения (1Е) представляет собой оператор, не обладающий свойством выпуклости значений.

Под решением включения (1е) понимается непрерывная функция х : [а,е] -+ Кп, удовлетворяющая включению (1е). Таким образом, элемент х £ Сп[а,£] является решением включения (1С) тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы у £ Т£(х) и г £ Фг(х), для которых справедливо равенство х = V + Уег .

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1) -1). Тогда существует такое £ £ (а, с), что множество решений включения (15) непусто.

Будем говорить, что непрерывная функция х : [а, Ь] -* Кп является решением семейства включений {(1е)} на [а,6), если для произвольного е£ £ [а, Ь) сужение функции х на отрезок [а, е] является решением включения (1г). Решение х семейства включений {(1£)} на [а,6) назовем непро-должаемым, если не существует такого решения у включения (1е), где £ £ (6, с), что для любого ££ £ [а, Ь) справедливо равенство х(£) = ?/(£). Если х является решением семейства включений {(1е)} на [а, с), то будем считать решение х непродол-жаемым.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) - 7). Для того чтобы решение семейства включений {(1е)} на [а, Ь) было продолжаемо, необходимо и достаточно, чтобы х было ограничено на [а, Ь).

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1) - 7). Если у - решение включения (1г), тпо существует такое непродолжаемое решение х семейства включений {(1е)} на [а,Ь), Ь € (т,с], что х -продолжение у.

Пусть Н - множество всех непродолжаемых решений семейства включений {(1£)}. Обозначим 7(Я) = зир{|х(а)| : х Є Я}.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1) - 7). Тогда для любого тп > 'у(Н) найдется такое число сі > 0, что для всех х Є Н и каждого Ь Є Є [а, а + й] выполнено неравенство |х(£)| ^ га.

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами и и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сборник, 1998. Т. 189, №6. С.3-32.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Ананьев Б.И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыванием // Дифференц. уравн., 1975. Т.11, №7. С. 1153-1158.

4. Барбахиин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных

дифференциальных уравнений // Изв. вузов, матем. 1962., №1 С.3-13.

5. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т.169, С. 194-252.

6. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтер-ровыми операторами // Дифференц. уравнения, 1981. Т.17, т С. 1362-1374.

7. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений // Матем. сб., 1954. Т.34, J02. С.213-274.

8. Дядченко Ю.А. О локальной разрешимости операторных уравнений //В сб. "Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений". Ярославль, 1978. С. 48-61.

9. Курмсанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравн., 1970. Т.6, №10. С. 1800-1809.

10. Nakagiri S and Murakami Н. Some properties of setvalued operators defined by solution families of Volterra integral equations // Mem. Fac. Eng. Kobe Univ., 1975. N*21. P.113-130.

11. Борисович Ю.Г. Гельман Б.Д., Мыхикис А.Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1985.

12. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values //Stud. Math.(PRI), 1988. V.90, №1. P.69-86.

13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

14. Michael Е.А. Selected selections theorems // Amer. math. mon. 1956, V.4. P.233-236.

СВОЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

А.А. Григоренко

Пусть ПТ* - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой I • |; сотр[Кп] - множество всех непустых компактов пространства К" ; Л[-, *] - расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве Кп ; ЦАЦ = тах{|а| : а € А} (А € сошр[!п]), со(А) - выпуклая оболочка, а ех^А) - замыкание множества крайних точек множества А. Обозначим Сп[а,6] (Ьп[а,Ь\, £)п[а, Ь]) пространство непре-

рывных (суммируемых, абсолютно непрерывных) вектор-функций х : [а, Ь] —► Шп с нормой

||х||с = тах{|х(*)| : t е [а,Ь]} (||х||^ = = /пЬ|х(«)|^, ||з||£> = |аг(а)| + ||х|Ы. Измеримость многозначных отображений понимаем в смысле (11-

Будем предполагать, что отображение .Р : [а, 6] х Сп[а, 6] -> сотр[!п] обладает следующими свойствами: для любого х 6 Сп[а, 6] Р(‘^) изме-

римо; существует такая функция (3 6 Ь[[а,Ь], что при почти всех £ € [а, й] и всех х,у 6 Сп[а, Ь] вы-

полняется неравенсво /i[F(£,x);F(£,y)] ^ /?(£)||х -- У\\с ; функция t -> ||F(t, 0)|j суммируема. Многозначный вектор-функционал <р : Сп[а,Ь\ —> -* comp[Rn] обладает свойством: существует такое число а ^ 0, что для всех х,у € Сп[а,Ь] выполняется неравенство h[ip{x)\<р(у)] ^ а||х — у\\с-

Рассмотрим в пространстве Dn[a,b] линейную задачу

Сх = 0, 1х = 0, (1)

где линейный непрерывный оператор С : Dn[a,b\ -> Ln[a,b\ фредгольмов, I : Dn[a,b] -> Kn -линейный непрерывный вектор-функционал. Будем предполагать, что задача (1) имеет только тривиальное решение. В этом случае существует непрерывный оператор Грина G : Ln[a,b] -» -> Dn[a,b], определенный равенством (Gz)(t) =

= /аЬ G(t,s)z(s)ds, te [а, 6].