Продольный удар точечной массы по составному стержню Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. БажановаН. С., Коссович Л. Ю., СухоловскаяМ. С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. 2000. № 1. С. 17-24.

УДК 539.3

В. Л. Березин, Ю. П. Гуляев

ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ ПО СОСТАВНОМУ СТЕРЖНЮ

В отличии от работ [1, 2], посвященных задаче нахождения спектра собственных частот колебаний сосредоточенных масс, в данной статье развит метод расчета скоростей и деформаций в любой точке составного стержня на основе интерференции прямых и обратных волн.

Имеется Л'-слойный круглый стержень диаметром £>, находящийся в состоянии покоя. /-Й слой этого стержня (V = 1,2,3) выполнен из упругого материала, имеющего плотность р/ и модуль Юнга Е1, в котором возмущения распространяются со скоростью а¡= ^Е/ /р/. Толщина 1-го слоя равна И!. Эти слои могут быть выполнены из трех различных материалов: «а» - стекло , «б» - мягкий полимер, «в» - жесткий полимер. В момент времени г = 0 левый конец стержня взаимодействует с точечной массой т0, движущейся со скоростью у0 , направленной вдоль оси стержня.

Решение данной задачи можно представить как суперпозицию решения более простых задач: задачи о прохождении импульса, распространяющегося вправо через границу разрыва материальных свойств стержня, задачи о прохождении импульса, распространяющегося влево через границу разрыва материальных свойств стержня, задачи об отражении импульса, распространяющегося влево от границы контакта с точечной массой.

Для первой задачи, в которой рассматривается прохождение волной, бегущей вправо, границы разрыва материальных свойств стержня, имеем следующие соотношения для напряжения и скорости:

скорость в падающей волне, оги V - напряжение и скорость в прошедшей волне.

Для второй задачи, в которой рассматривается прохождение волной, бегущей влево, границы разрыва материальных свойств стержня, легко получить следующие соотношения для напряжения и скорости:

ах и V - напряжение и

О)

ах = (1 + Д)-5^ = (1-Л)у. (2)

В третьей задаче рассмотрим прохождение волной, бегущей влево, левой границы многослойного стержня, на которой имеется точечная масса т, имеющая скорость у0 .

Пусть бежит обратная волна щ = С-Ца^ + х). В стержне появляется отраженная волна й1 = g(alt -х), а их линейная суперпозиция и1=щ+ и1 дает результирующее движение.

Так как на левом конце имеется сосредоточенная масса, то уравнение ее движения можно записать в виде

+ аКа,0 = -(*"(<¥)" аУ(а,0), (3)

Е,ЕВ т0а\

где ^-площадь поперечного сечения стержня.

При этом предполагается, что скорость сосредоточенной массы есть невозрастающая функция по времени.

Решение дифференциального уравнения (3) вместе с контактными условиями было получено в [3] конечно-разностным методом.

В результате преобразований получим следующие соотношения для напряжения и скорости:

стх = -20+(1 + До)-стх, У = 20+(1-Д0)У, (4)

г0 = У0ехр(-аг), Яо = 1 - 2а:х;("а°}п^)ехр(аГМ?- •

Чщ*) о

На основании полученных формул (1), (2), (4) произведен расчет напряжённо-деформированного состояния в составном стержне, состоящем из материалов типа «а» и «б», для двух вариантов расположения слоев (рис. 1).

а) Л = (8 0.48 6 0.48 з)мм б)А = (3 0.48 8 0.48 б)мм

Рис.1

На рис. 2 изображено изменение максимального значения растягивающего напряжения а = ох/Е1 в последнем слое для обоих вариантов структуры стержня.

На рис. 3 изображено изменение максимального значения сжимающего напряжения с в последнем слое для обоих вариантов структуры стержня.

0,60 Рис. 3

0,0000 ст

-0,0200

-0,0400 0,1

Из сравнения кривых на рис.2 видно, что уменьшение толщины лобового слоя приводит к увеличению максимального (по времени и среди всех точек слоя, для которых производились вычисления) значения растягивающего напряжения на 33%.

Из сравнения кривых на рис.3 видно, что уменьшение толщины лобового слоя приводит к увеличению максимального (по времени и среди всех точек слоя, для которых производились вычисления) значения сжимающего напряжения на 24%, причем это напряжение в 2.3 раза превышает допустимое напряжение на сжатие.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лазарян В. А., Манашшн Л. А. Собственные продольные колебания стержней с сосредоточенными массами //Прикладная механика. 1970. Т. 6, вып. 8.

2. Механика систем оболочка-жидкость-нагретый газ / Под ред. Н. А. Кильчевского. Киев: Наукова думка, 1970.

3. Гуляев Ю. П., Кравчук А. С. Схема рабчета процесса распространения упругих волн в составном стержне//Прикладная механика. 1972. Т. 8, вып. 8.