CC BY
91
Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке
Б.Д. Аннин, О.В. Садовская1, В.М. Садовский1
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 660036, Россия
Работа посвящена численному решению задачи косого соударения пластин как задачи с заранее неизвестной, изменяющейся в процессе деформирования зоной контакта. Используемая в расчетах простейшая геометрически нелинейная модель учитывает конечные повороты элементов пластин при малых упругопластических деформациях.
Задача косого соударения пластин имеет важное прикладное значение в связи с исследованием процесса сварки металлов взрывом. Как правило, этот процесс сопровождается образованием периодических волн на границе раздела пластин. Волны могут появляться как в случае прочного сварного соединения, так и при его полном отсутствии. В то же время сварка не всегда сопровождается волнообразованием.
Основные теоретические результаты, касающиеся объяснения механизма волнообразования, получены на основе гидродинамической модели. В этой модели предполагается, что напряжения, возникающие в окрестности точки контакта, значительно превосходят предел прочности металлов на сдвиг. Следовательно, соударение металлических пластин можно моделировать как соударение струй идеальной несжимаемой жидкости.
Впервые периодические деформации в виде волн на границе контакта были обнаружены при проведении опытов по взрывному обжатию конусных оболочек под руководством Лаврентьева [1]. Волнообразование наблюдали также Аллен и др. [2]. В работе Абрахамсона [3] дано качественное объяснение механизма волнообразования в рамках гидродинамической модели. В [4] Бахрани, Блэк и Кроссланд критически оценили модель Абрахамсона и привели свои гипотезы о механизме волнообразования, основываясь на представлениях о пе-
риодическом появлении и захлопывании кумулятивных струй. В работе [5] предложено количественное обоснование модели Абрахамсона, основанное на предположении о том, что причиной образования волн является неустойчивость тангенциального разрыва скоростей на границе раздела обратной кумулятивной струи и неподвижной пластины. В [6] волнообразование рассмотрено как результат автоколебательного процесса в зоне высоких давлений. В работах [7, 8] на основе анализа большого числа экспериментов в широком диапазоне изменения скоростей точки контакта для различных материалов получена эмпирическая формула, связывающая длину волны X с углом соударения у: X = 81^ 8т2(у/2), где К— коэффициент, значение которого колеблется от 26 до 32 в зависимости от свойств материала; считается, что толщина неподвижной пластины 82 во много раз превышает толщину метаемой пластины 81. Экспериментально обнаружено также, что волнообразование наблюдается в случаях, когда скорость перемещения зоны высоких давлений (в плоском случае скорость точки контакта) меньше скорости звука в соударяющихся металлах. Более полный обзор результатов можно найти в [9, 10].
Кроме гидродинамической существует также механическая гипотеза, согласно которой появление волн связано с потерей устойчивости поверхностного слоя
© Аннин Б.Д., Садовская О.В., Садовский В.М., 2000
пластин под действием больших сжимающих напряжений в окрестности зоны контакта, аналогично потере устойчивости продольно сжатого стержня [11]. В соответствии с этой гипотезой необходимым условием образования волн является превышение критической эйлеровой нагрузки сжимающими напряжениями в продольном направлении.
Данная работа посвящена численному решению задачи косого соударения пластин как задачи с заранее неизвестной, изменяющейся в процессе деформирования зоной контакта. Используемая в расчетах простейшая геометрически нелинейная модель учитывает конечные повороты элементов пластин при малых упругопластических деформациях.
Рассматривается косое соударение пластин, расположенных под углом друг к другу. Одна из пластин неподвижна и закреплена снизу, а другая налетает на нее с постоянной скоростью. Задача решается в двумерной постановке. Деформирование каждой пластины описывается с помощью модели упругопластического течения, основанной на разложении тензора градиентов деформации, определяющего линейное преобразование элемента из отсчетного состояния в актуальное, в произведение ортогонального тензора конечного поворота и симметричного тензора, компоненты которого в предположении малости деформаций отождествляются с компонентами единичного тензора. Модель состоит из уравнений движения, закона Гука для упругих составляющих деформации, принципа максимума скорости диссипации энергии, описывающего процесс пластического формоизменения, и уравнения для угла поворота [12]. Процесс перехода материала из упругого состояния в пластическое определяется условием пластичности Мизеса. Объемная деформация происходит по линейному упругому закону. Зависимость предела текучести и параметров упругости от величины механических напряжений и температуры не учитывается. Численная реализация модели осуществляется на основе комбинации метода расщепления Фрязинова по пространственным переменным [13], на каждом шаге которого решаются четыре одномерные задачи с помощью монотонной ENО-схемы второго порядка аппроксимации [14], являющейся уточнением схемы Годунова, и специальной процедуры корректировки напряжений [15, 16], позволяющей учесть необратимые деформации.
Для численной реализации граничных условий контактного взаимодействия разработан алгоритм корректировки скоростей. Подробное изложение алгоритма приведено в [17]. Граничные условия с учетом трения Кулона представляются в виде квазивариационного неравенства, содержащего допустимые вариации неизвестных векторов скоростей точек в зоне контакта. Это неравенство соответствует механическому принципу, согласно которому виртуальная мощность нормального
напряжения в зоне контакта, равная разности между мощностью поверхностных напряжений и мощностью сил трения, принимает минимальное значение на действительных скоростях. Скорости удовлетворяют геометрическому ограничению, представляющему собой условие непроникания взаимодействующих тел друг в друга. Аппроксимация неравенства и ограничения позволяет получить дискретный принцип минимума. На основе этого принципа в тех граничных ячейках сеточной области, где возможен контакт, строится сходящийся итерационный процесс последовательного вычисления векторов скорости и векторов, определяющих направление скольжения, как проекций некоторых вспомогательных векторов на выпуклые и замкнутые множества специального вида. Если при реализации контактных условий силы трения не учитываются, то итераций не требуется. В этом случае алгоритм сводится к определению вспомогательных векторов скорости из условия равенства нулю напряжений в зоне контакта и последующей совместной корректировки этих векторов с целью удовлетворения ограничению.
Численные расчеты показали, что используемая модель удовлетворительно описывает механическую потерю устойчивости. На рис. 1 представлены результаты решения вспомогательной задачи об устойчивости стержня в приближении плоской деформации. К упругому стержню длиной I прикладывается сжимающая сила Р в осевом направлении, а также малое начальное возмущение поля скоростей. При небольших значениях Р стержень сжимается, оставаясь прямолинейным; если же Р превышает критическую силу Эйлера Рр = = п2 Е * у/12, то равновесие становится неустойчивым. Здесь J— момент инерции поперечного сечения стержня; Е * = е/ (1 - V 2 ) — модуль плоской деформации; Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Если Р1 <
< Р < Р2 (Рк = к2Рср — к-ая критическая сила), то имеет место первая форма потери устойчивости; на длине стержня укладывается одна полуволна. При Рк < Р <
< Рк+1 (к = 2, 3, ...) реализуется к-ая форма потери устойчивости в виде двух, трех и более полуволн в пределах длины стержня. Заметим, что в зависимости от вида возмущения поля скоростей может возникнуть также одна из предшествующих форм.
Результаты расчетов косого соударения однородных пластин при различных углах соударения у представ-
Рис. 1. Формы потери устойчивости стержня
Рис. 2. Косое соударение пластин (у = 1°): а — конфигурация пластической зоны; б — линии уровня напряжения а 22
Рис. 3. Косое соударение пластин (у = 11°): а — конфигурация пластической зоны; б — линии уровня напряжения а 22
лены на рис. 2, 3. Анализ результатов показывает, в частности, что конфигурация зоны пластичности, в которой величина мощности пластической диссипации энергии строго положительна, существенно зависит от скорости точки контакта Ус: если эта скорость больше скорости пластических волн Cf, то зона концентрируется за точкой контакта (рис. 2), в противном случае она забегает вперед (рис. 3). Здесь Ус = Ух - У2^у; У и У2 — проекции начальной скорости метаемой пластины на горизонтальную и вертикальную оси; С f = = Л/ (Х + 2ц/ 3)/р — скорость диссипативных ударных волн при условии пластичности Мизеса; X и ц — параметры Ламе; р — плотность материала.
Для более детального исследования пластической зоны при различных скоростях точки контакта решается вспомогательная задача о бегущей нагрузке. Толстая пластина закреплена снизу, на верхнюю границу действует локализованная нагрузка Q, остальные части границы свободны от напряжений. С течением времени область приложения нагрузки перемещается по верхней границе пластины слева направо с постоянной скоростью Ус. Считается, что нагрузка вызвана воздействием плоского абсолютно жесткого штампа, на поверхности которого реализуются силы трения скольжения.
При Ус > Ср, где Ср — скорость продольных упругих волн, для этой задачи в двумерной упругой постановке проведено сравнение результатов численных расчетов с точным решением, построенным с помощью метода характеристик. Получено хорошее соответствие результатов.
Согласно численному решению задачи, со временем наблюдается установление пластической зоны. Конфигурация зоны зависит от трех фак_торов: величины нагрузки Q, скорости Ус и коэффициента трения / На рис. 4 показана пластическая зона при умеренной нагрузке Q = 5т8 (т8 — предел текучести на чистый сдвиг) для двух значений коэффициента трения /= 0 и/= 0.4. Пунктирной линией обозначена середина пластины по толщине. Если Ус < С/, то пластическая зона распола-
гается не только под областью приложения нагрузки, но и впереди нее; причем, чем меньше скорость Ус, тем больше протяженность зоны. Кроме того, длина пластической зоны увеличивается с увеличением трения. Графики для Ус > С/ показывают, что как при наличии трения, так и в его отсутствие пластическая зона концентрируется за передним фронтом нагрузки, забегания пластической зоны не наблюдается. При любых значениях Ус трение способствует появлению пластичности вблизи верхней границы пластины за областью приложения нагрузки. Трение влияет также на форму пластической зоны внутри пластины. С увеличением интенсивности нагрузки увеличивается и размер пластической зоны, но ее форма остается примерно той же.
Проведенные численные расчеты служат подтверждением гипотезы [18, 19] о том, что при скоростях точки контакта, меньших скорости распространения пластических волн, зона пластичности охватывает некоторую область впереди точки контакта.
На рис. 5-7 представлена серия расчетов косого соударения разнородных пластин (верхняя — сталь, нижняя — медь). Варьируются угол соударения и скорость точки контакта. Коэффициент трения скольжения всюду равен/= 0.4. Рис. 5, а и рис. 5, б с изображением конфигурации пластической зоны относятся к случаю, когда скорость точки контакта меньше минимальной скорости пластических волн для меди и стали, рис. 5, в и рис. 5, г — когда скорость больше максимальной. Согласно расчетам, напряжения в обоих случаях настолько велики, что зона пластической деформации достигает неподвижной границы толстой пластины и распространяется на всю толщину метаемой пластины. При Ус < С/ из-за деформаций изгиба метаемой пластины происходит локализация пластичности в окрестности свободных поверхностей на некотором расстоянии перед точкой контакта.
Волнообразный характер границы контакта передает зависимость деформации обжатия слоев пластин е22 от продольной координаты х1, полученная к моменту
Рис. 4. Задача о бегущей нагрузке
времени, когда точка контакта перемещается через середину нижней пластины (рис. 6, 7). Согласно расчетам, волны наблюдаются при различных соотношениях скоростей и углов. Амплитуда волн растет с увеличением угла соударения. При малых углах на тонкой верхней пластине амплитуда несколько больше, чем на нижней, более толстой. Возможно, разница амплитуд является одной из причин появления вихрей на гребнях волн, наблюдаемых в экспериментах по сварке металлов взрывом. Однако эта гипотеза не может быть проверена
Рис. 5. Косое соударение разнородных пластин: у = 4°, Ус = 3 км/с (а); у = 7°, Ус = 3 км/с (б); у = 4°, Ус = 6 км/с (в); у = 7°, Ус = 6 км/с (г)
Є22, % 2
0
/1» Дйм1
/
6 Х-1, см
Є22, % 2
О
-2
-4
-6
б
м/
1
6
4
2
О
-2
-4
О 1
^22’
Х-|, СМ
6 Х-1, см
Рис. 6. Изменение деформации є22 (V: = 3 км/с): а, в — верхняя пластина (у = 4°, 7°); б, г — нижняя пластина (у = 4°, 7°)
в рамках применяемой модели соударения, не учитывающей эффекта адгезии.
При соударении пластин в окрестности точки контакта возникают большие сжимающие напряжения, которые приводят к образованию напряженного поверхностного слоя. В случае забегания пластической зоны (рис. 6) под действием этих напряжений может произойти упругопластическая потеря устойчивости слоя, реа-
лизующаяся в виде бугра положительной (растягивающей) деформации є 22. Бугор присутствует как на метаемой, так и на неподвижной пластинах. Оценка амплитуды волн по отношению к толщине слоя получена в работе [18]. Там же приведено теоретическое и экспериментальное обоснование механической гипотезы.
Если скорость точки контакта больше скоростей пластических волн и, следовательно, область забегания
е22, %
О 1
2 3 4 5 6 х-і, см
х-і, см
О 1 2 3 4 5 6 х-|, см
Рис. 7. Изменение деформации є22 (V- = 6 км/с): а, в — верхняя пластина (у = 4°, 7°); б, г — нижняя пластина (у = 4°, 7°)
отсутствует, то бугра практически нет (см. рис. 7). В этом случае амплитуда волн меньше, чем в предыдущем, несмотря на значительно большую начальную скорость метаемой пластины. Характерно, что при очень большой скорости метания происходит аномальное явление: в области контакта реализуется зона растягивающих деформаций (рис. 7, в, г).
Численные расчеты были повторены на основе геометрически линейного варианта модели, не описывающего механическую потерю устойчивости, а также по упругой модели, без учета необратимой деформации пластин. Оказалось, что в расчетах по динамической теории упругости волны деформации отсутствуют. Это объясняется, по-видимому, тем, что критическая эйлерова сила для упругого слоя, теряющего устойчивость под действием сжимающих напряжений, значительно больше критической силы для упругопластического слоя. Амплитуды волн, полученные в рамках геометрически линейной упругопластической модели, примерно вдвое меньше амплитуд волн, изображенных на рис. 6, 7. Волнообразование практически отсутствует в расчетах со скоростями точки контакта, превосходящими максимальную скорость пластических волн.
В заключение отметим, что значения длин волн, найденные путем численного решения задачи, несколько завышены по сравнению с полученными по известным инженерным формулам. Возможно, это объясняется тем, что модель контактного взаимодействия не учитывает эффекта соединения пластин, возможно, недостаточно мелким шагом разностной сетки. В представленных расчетах сетка состоит из 400 х 16 узлов для верхней пластины и 400 х 80 — для нижней. На более мелкой сетке происходит превышение допустимого объема памяти компьютера.
Авторы выражают благодарность Панину В.Е., Корневу В.М., Яковлеву И.В. за обсуждение постановки задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 99-01-00453) и межвузовской программы “Университеты России — фундаментальные исследования” (проект № 1795).
Литература
1. Дерибас А.А., Кудинов В.М., Матвеенков Ф.И., Симонов В.А. Сварка
взрывом // Физика горения и взрыва. - 1967. - Т. 3. - № 1.- С. 111— 118.
2. Alien W.A., Mapes J.M., Wilson W.G. An effect produced by oblique im-
pact of a cylinder on a thin target // J. Appl. Phys. - 1954. - V. 25. -No. 5.- P. 675-676.
3. Абрахамсон Г.Р. Остаточные периодические деформации поверхности
под действием перемещающейся струи // Тр. Амер. об-ва инж.-мех. Сер. Е. Прикл. механика. - 1961. - Т. 28. - N° 4. - С. 45-55.
4. BahraniA.S., Black T.J., CrosslandB. The mechanics of wave formation in
explosive welding // Proc. Roy. Soc. Ser. А. - 1967. - V. 296. - No. 1445. -P. 123-136.
5. Hunt J.H. Wave formation in explosive welding // The Philosoph. Mag. -
1968. - V. 17. - No. 148. - P. 669-680.
6. Годунов С.К., Дерибас А.А., Козин НС. Волнообразование при сварке
взрывом // ПМТФ. - 1971. - № 3. - С. 63-72.
7. Дерибас А.А., Кудинов В.М., Матвеенков Ф.И. Влияние начальных
параметров на процесс волнообразования при сварке металлов взрывом // Физика горения и взрыва. - 1967. - Т. 3. - № 4. - С. 561-568.
8. Дерибас А.А., Кудинов В.М., Матвеенков Ф.И., Симонов В.А. О моде-
лировании процесса волнообразования при сварке взрывом // Физика горения и взрыва. - 1968. - Т. 4. - № 1. - С. 100-107.
9. Захаренко И.Д. Сварка металлов взрывом. - Минск: Навука i тэхшка,
1990. - 205 с.
10. Симонов В.А. Области сварки взрывом. Основные параметры и критерии. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 1995. - 61 с.
11. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 64. -№6. - С. 779-782.
12. Annin B.D., Sadovskii VM. A numerical analysis of laminated elastic-plastic plates under dynamic loading // Composites Science and Technology. - 1992. - V. 45. - P. 241-246.
13. Фрязинов И.В. Экономичные симметризованные схемы решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1968. - Т. 8. - № 2. - С. 436443.
14. Каменецкий В.Ф., Семенов А.Ю. Самосогласованное выделение разрывов при сквозных расчетах газодинамических течений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1994. - Т. 34. - № 10. - С. 14891502.
15. Аннин Б.Д., Садовский В.М. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1996. - Т. 36. - № 9. - С. 177-191.
16. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. - М.: Наука, 1997. - 208 с.
17. Бычек О.В., Садовский В.М. К исследованию динамического контактного взаимодействия деформируемых тел // Прикл. механика и техн. физика. - 1998. - Т. 39. - № 4. - С. 167-173.
18. Корнев В.М., Яковлев И.В. Модель волнообразования при сварке взрывом // Физика горения и взрыва. - 1984. - Т. 20. - № 2. - С. 8790.
19. Волнообразование при косых соударениях: Сб. статей. - Новосибирск: Изд-во Института дискрет. матем. и информатики, 2000. - 221 с.
