УДК 539.3
Продольный изгиб составного стержня с симметричными затяжками
к.т.н. доц. Воронцов А.П.
Тверской государственный технический университет 8 (4822) 52-63-63, kafsm@yandex.ru Аннотация. Рассматривается задача продольного изгиба составного двухветве-вого стержня с двумя симметричными затяжками, нагруженного продольной сжимающей и поперечной нагрузками, ветви которого подвергаются предварительному пластическому деформированию как растяжением, так и сжатием. Расчёты были проведены на основе квазистатических уравнений процесса продольного изгиба с учётом влияния усилий предварительного обжатия стержня и пластической тренировки элементов ветвей стержня.
Ключевые слова: продольный изгиб, составной стержень, предварительное пластическое деформирование, упругопластическая тренировка, повышение предельных нагрузок.
Применение составных предварительно напряжённых стержней позволяет существенно повысить предельные полезные нагрузки в сравнении с аналогичными сплошными стержнями при одновременном снижении их материалоёмкости. Основы их расчёта разработаны А.Р. Ржаницыным [1, 2]. Однако вопросы исследования процесса потери устойчивости, особенно с учётом предварительного пластического деформирования отдельных элементов и зон распределения упругопластических деформаций, изучены недостаточно.
В развитие [7] рассматривается составной двухветвевой стержень с двумя симметричными затяжками, нагруженный продольной сжимающей и поперечной нагрузками (рисунки 1 и 2), ветви которого подвергаются предварительному пластическому деформированию как растяжением, так и сжатием [4] (Б11 = да ).
Рисунок 1. Схема неизогнутого составного стержня с симметричными затяжками
Рисунок 2. Схема изогнутого составного стержня с симметричными затяжками
Серия «Естественные науки»
Будем считать, что каждая ветвь в отдельности подвергается предварительному деформированию противоположного знака до одного уровня напряжений (остаточных деформаций).
Таких уровней было 3: Ь 1 = о01 /охк = 1,08; Ь2 = 1,19, Ь2 = 1,23 .
Здесь о^ - предел текучести; о0, - уровни (1 =1, 2, 3) напряжений до которого проводилось предварительное пластическое деформирование ветвей (материал считался циклически идеальным).
Расчёты были проведены на основе квазистатических уравнений, в процессе выпучивания сжато-изогнутого стержня [5] с учётом влияния усилий предварительного обжатия стержня (до одного постоянного значения Ь = 0,4) и пластической тренировки элементов ветвей стержня.
Основные уравнения процесса в скоростях имеют вид:
ё0=[А1 (М0+Мс+()0+МЖ)+М (А2 + А^)/(А0А2-А12). (1)
Ж =[А0(М0 +Мд + ()0Х+М&)+М (А,+А0У/)]/(А0А2-А;), (2)
где: е0 (7, г) - деформация оси, - прогиб; М0(7), Q0(t) - реакции связей на конце стерж-
ня при г=0, М - изгибающий момент от поперечной нагрузки, 1 - обобщенное время;
Ап - жесткостные характеристики, вычисляемые для каждого сечения с учетом развития упругопластических зон;
Ап = ]Ек (у)Ъ(у)упйу (3)
У1
Ьк =--касательный модуль диаграммы сжатия или растяжения материала.
йе
В (1) и (2) основными неизвестными являются е0, Ж, N М0, Q0, которые связаны через дополнительные соотношения, получаемые из уравнений статики. За меру выпучивания принималось сближение концов стержня:
г г
А 7 = +0.5 ¡(Ж (4)
0 0
Краевая задача решается методом конечных разностей. Конечноразностное представление производных по ъ уравнения (2) для внутренних точек принимают вид:
С, = (Ж,, Q)=0, Ж, =Ж(7,г,), I = 0, 1, 2,..п, 3 = 1, 2,..., п-1. (5)
Здесь С, - квазилинейные формы, содержащие неявно нелинейности в коэффициентах
через параметры жесткостей А.
Для получения полной системы (4) добавляются четыре соотношения из геометрических граничных условий, а также соотношения, устанавливающие связь параметров процесса с 7.
Граничные условия для произвольного случая закрепления стержня могут быть записаны в виде:
Б к №(1,0)^! да,Ь),Ы 0,О0Л= О к (Т). (6)
Функция Ок (1:) представляет собой линейные или угловые перемещения. Если геометрических граничных условий меньше четырёх, то дополнительно используются уравнения статики. Сводя, пять дополнительных соотношений к дифференциальной форме, получаем полную систему уравнений, которые имеют следующий вид в матричной форме:
БУ=К
Mt),
7 =
Wm-1, m = 1,2, ...n +1
M,
m = n + 2 m = n + 3
0' 00.
F, m = n + 4
K= (Kг ), Kг =
W
'i-n+1
0, i = 1,2,..., n -1 i = n, n +1,..., n + 4
I, m =1,2,..., n+4.
где: В=(В п) - матрицы коэффициентов квазилинейных форм С ,Б i
Задавая начальные условия, определяемые конфигурацией и состоянием стержня в начальный момент времени, приходим к задаче Коши.
Решение этой задачи проводим по шагам. На первой стадии вычислительного процесса, считаем I = N, где: N - параметр нагрузки, на второй - в закритической стадии производим смену ведущего параметра - ^ = /, где: / = 2) - параметр перемещения. Переход ко
второй стадии производится при выполнении условия ёА> т, где: А - сближение концов стержня, т] - заданный параметр алгоритма.
В расчетах использовано безразмерное представление основных величин:
Е*=Е/Б,, А* = А/Г, х* =%Ь,
М * = М /(А П = Ап /(ЕЬ(0)к"+\ Параметр т определялся по результатам численных экспериментов механические свойства материала стержня определялись диаграммой сжатия ас — ес.
На рисунке 3 ,а1 - деформация и напряжение, соответствующее пределу упругости
0 * материала; - сжимающие напряжения упругопластической тренировки; е0 - остаточные
деформации в материале стержня после предварительного пластического деформирования. Предполагалось, что для материала стержня при циклических нагрузках справедлив принцип
Мазинга - пределы упругости при растяжении и сжатии - одинаковы: =
— о
0. оь 01, t rl,.- _вс
Г/ 1 1
ш е;
Рисунок 3. Диаграммы сжатия и растяжения материала стержня до и после упругопластического деформирования
Дифференциальное уравнение продольно поперечного предварительно напряжённого шарнирно-опёртого составного стержня, состоящего из двух одинаковых ветвей, имеет вид:
W'y + -tW- - N1 W = q (l2 -*2)12 - C• (P - -M- . (7)
Z EJ EJо 2E0J0 E0J0 Z EJ
Здесь с (Pj-P2) - величина момента усилий взаимного самонапряжения по торцам стержня с симметричными затяжками. 24 Известия МГТУ «МАМИ» № 4(22), 2014, т. 4
Серия «Естественные науки»
Расчеты были проведены для стержней из стали Ст. 3 (предел текучести о = 240 МПа, гибкости 1 = 36,8, о0 = 280 МПа).
Варьировались уровень предварительного пластического деформирования и величина усилий в затяжках.
Установлена зависимость предельных сжимающих нагрузок на стержень в зависимости от степени предварительного пластического деформирования ветвей стержня и уровня усилий в затяжках при фиксированных сдвиговых деформациях в связях.
Вычисления показывают, что при заданном уровне предварительного натяжения в затяжках при отсутствии поперечной нагрузки, тренировка ветвей (растяжением, сжатием) приводит к повышению (24 - 30%) предельных нагрузок в сравнении с нетренированными ветвями. Предварительное пластическое деформирование ветвей растяжением и сжатием с учётом поперечной нагрузки приводило для указанной гибкости стержней (при одинаковом значении о°) к повышению предельных нагрузок от 20% до 25 % .
Литература
1. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций. М. Стройиздат, 1948.
2. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. Гостехиздат. 1955.
3. Воронцов А.П. Устойчивость предварительно напряжённого составного стержня // Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии: VI Международная научно -техническая конференция (Тула, 30 июня - 2 июля 2005 г.): ТГУ, 2005. С. 7 - 8.
4. Воронцов А.П., Зубчанинов В.Г. Экспериментальные исследования влияния упругопла-стической тренировки сжатия стержней на их несущую способность // Устойчивость в мех. деформ. тв. тела: Материалы Всесоюзн. симп.- Калинин: КГУ, 1982. - С. 19 - 25.
5. Воронцов А.П., Зубчанинов В., Кульков С.А. Устойчивость внецентренно сжатых стержней, подвергнутых предварительному упругопластическому деформированию // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твёрдого тела: Материалы III симп. Тверь: ТвеПИ, 1993. С. 33 - 41.
6. Воронцов А.П. Исследование устойчивости составного стержня // Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твёрдого тела: VI Международный научный симпозиум (Тверь, 1-3 марта 2006 г.): ТГТУ, 2006. С. 17 - 18.
7. Воронцов А.П. Исследование продольного изгиба составного стержня // Вестник Тверского государственного технического университета // Научный журнал. Выпуск 13. Тверь: ТГТУ, 2008. С. 212 - 216.