CC BY
21
УДК 539.4
А.И. Ефимова, асп., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ), С.П. Судаков, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВИНТОВ С ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ОПОРОЙ
Моделируется поведение шарнирно закрепленного стержня с промежуточной линейно-упругой опорой при осевой нагрузке, превышающей критическую. Разрабатывается подход, позволяющий учесть поддерживающее влияние промежуточной опоры, определить истинную форму потери устойчивости и величину критической нагрузки. Показано, что жесткость промежуточной опоры оказывает существенное влияние на параметры устойчивости конструкции и ее рациональный выбор позволяет существенно повысить запас по устойчивости.
Ключевые слова: линейно-упругая опора, устойчивость, критические нагрузки, моделирование.
Стержневые конструкции находят широкое применение в машиностроении и при значительных удлинении и осевой сжимающей нагрузке необходим их расчет на продольную устойчивость. Причем, как правило, такие стержни нельзя рассматривать как двухопорные. Стержни проходят через различные уплотнительные устройства, которые хотя и не могут считаться надёжными опорами из-за значительного зазора в сопряжении и упругих свойств уплотнительных элементов, но всё же оказывают значительное поддерживающее влияние, которое должно быть учтено.
Рассмотрим шпиндель затвора трубопровода [1]. Примем гипотезу, что материал уплотнителя промежуточной опоры сопротивляется изгибу линейно-упруго. Схема расчёта такой стержневой конструкции на продольную устойчивость представлена на рис. 1 .
Уравнение изогнутой линии в этом случае запишется так:
При интегрировании (2) используем метод последовательных приближений [2]. В качестве первого приближения воспользуемся синусоидой Эйлера:
(1)
I - и
или с учетом Яа =---------- ку(1\)
(2)
У1 = с0 ап
(3)
Рис. 1. Затвор трубопровода и расчетная схема к учету влияния упругих свойств промежуточной опоры
Подставляя (3) в правую часть (2), получили обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором правая часть является известной функцией от г:
г2
2
. п І — її ПІ1
— Р Б1П-----------+ zk------------Б1П---------
І І І
$22 EJ
После последовательного интегрирования (4)
^3
I П2 2
Р
(4)
У 2 =
со
ЕЗ
\п)
. ш z . І — Ц . ПІ]
біп---\---к-----біп----+ с1 z + с 2
І 6 І І 12
(5)
Константы интегрирования определяются из граничных условий
у 2(0) = 0 => с 2 = 0;
у2(0) = 0 => с— = -—/к(/ - /2) б1п
6 /
и второе приближение примет вид
2
У 2( z ) =
со
ЕЗ
(-1
Р
Vя)
пz к І — ї1 / 3 ї2 • пї1
БІП---------+
І 6 І
(z — І z )Б1П
ї
(6)
Для нахождения первого приближения критической силы приравняем амплитуды первого и второго приближения в фиксированной точке, например, 2 = 1\.
П 2 ЕІ 1 п -3 ,2
у2(Іі) = уі(Іі) => Ркр1 =----------------2------^ П к(ї —11) —
(7)
12641 І3 Тогда окончательно выражение для второго приближения запишет-
ся в виде
У2(z)=с0
У
1 — ■
к 1 —11 п3 ,2
Л
6ЕІ
. лz к І — її , 3 ,2 ч . П11
Біп — +----------------(z — І z)sm —
І 6ЕІ І І
• (8)
Для нахождения третьего приближения подставим (8) в правую часть (2) и повторим описанную выше процедуру:
й 2 У3 = ^0 dz2 ЕІ
— Р
( к І — -1 п3 ,2,
1—-
6ЕІ І
-(-г — 1%)
. пz к І — її , 3 ,2 ч • П-1
Б1П — +-г(г — ї^^ІП—1
ї 6ЕІ І І
І — її пїі
+ zk------------ БІП —
І І
у3(z) = — 3 ЕІ
Р
ґї\ 2/
ЧП)
к І —11 (13 — 12
6 ЕІ
(їі — ї%)
. пz
БІП--------+
ї
+
(9)
+ -
к І — її
ґ
6 ЕІ І
.5
.3
^ _ ї2 £_
20 6
V )
пїг
Б1П
z , І — І ПІ ++---к-----1Б1П 1
6 І
І
+ с1 z
(10)
;4
к І —11 71 . ПІ1 к І —11 ,2 • ПІ1
где с1 = Р---------------—--------Б1П —--------------— І Б1П
6ЕІ І 60
І 6 І
І
Тогда
Ркр 2 =
П ЕІ п 3 21 \ к І —11
—т-^(/1 —І І1)^ Г~
І2 І21 6 І
к І —11 24 ЕІ І
2,5
пл І 20І
2 +13 +12 Тл^-б0
2 1 1
6
60
у
(11)
Для проверки адекватности полученных формул предположим, что промежуточная опора расположена по середине стержня, т. е. І1 = І. Тогда уравнения (8), (10) и (11) запишутся в виде
І
1 +
кї
3
\
32 ЕІ
. пz к (z 3 —І2 z)
Б1П-------+ —----------------
І 12 ЕІ
п 2 ЕІ п 2 кї
—-— +
(12)
Ркр 2 =
32
кї3 7п2 + 240
(13)
1 +
У3(z) = с0
1 +
кї
32ЕІ
кї3 7л2 + 240
1 +
48ЕІ 640
. лz к(z 3 — 12 z)
Б1П----+ —-------------- +
І 12ЕІ
48ЕІ 640
л
.2 С
+
к (3z5—10 z Ъ1 2 + 7І4 z
1 +
кї
32ЕІ
720ЕІ
1 +
кї3 7л 2 + 240
(14)
48ЕІ 640
Проанализируем формулы (12) - (14). При к = 0 (промежуточная опора отсутствует) выражения (12) - (14) трансформируются в известные формулы Л. Эйлера для шарнирно-опёртой балки.
При к ^ да (абсолютно жёсткая промежуточная опора) имеем
л 2 ЕІ
л 2 кї
11т Ркр 2 = 11т
к ^ да 1 к ^ да
І
2 + 32
48л2 ЕІ640
3,66л 2 ЕІ
1 +
кї3 7л2 + 240 32І2 (7л2 + 240)
І
2
, (15)
48EJ 640
а точное решение (суммарная длина стержня в 2 раза меньше)
Р=
кр
4л 2 ЕІ
(16)
Видно, что между точным решением (16) и приближённым (15) расхождение менее 10 %. Для более точного решения необходимо дальнейшее нахождение приближений. Сходимость решения иллюстрирует рис. 2, полученный при следующих исходных данных: Е = 2-1011 Н/м2; I = 7,85-10-9 м; 1 = 0,8 м; к = 105 Н/м. Анализ рис. 2 позволяет сделать вывод о том, что разница у3 и у2 меньше разницы у2 и у1, т.е. решение сходится.
І
2
2
І
Рис. 2. Форма потери устойчивости в процессе итераций
На рис. 3 представлена зависимость величины критической нагрузки от коэффициента жесткости промежуточной опоры. При к=0 решение совпадает со значением Эйлеровой критической силы. С ростом коэффициента жесткости величина критической нагрузки возрастает и при больших величинах коэффициента жесткости приближается к значению, справедливому для стержня с тремя жесткими опорами.
НО11
1.7 -Ш11 1.41 -10 ”
Р1фОО
1.11 -10 ”
3.15 -10м
РЪ.18 Ю" о
Рис. 3. Зависимость Ркр от жесткости промежуточной опоры
Таким образом, предложена модель и получены расчётные формулы для учёта влияния линейно-упругой промежуточной опоры при моделировании потери продольной устойчивости шарнирно-опертым стержнем. Показано, что жесткость промежуточной опоры оказывает существенное влияние на параметры устойчивости конструкции и ее рациональный выбор позволяет существенно повысить запас по устойчивости.
Список литературы
1. Гуревич Д.Ф. Конструирование и расчет трубопроводной арматуры. М.: Машиностроение, 1968. 888 с.
2. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов: пер. с англ.; под ред. Э.И. Григолюка. М.: Мир, 1976. 480 с.
А. Yefimova, S. Sudakov
Longitudinal stability of screws with intermediate linear elastic support
Behavior of merely supported bar with intermediate linear elastic support under more than critical load is simulating. Approach, which allows to take into account supporting effect of intermediate support, to define true shape of instability and critical load rate, is developing. It is shown, that hardness of intermediate support has substantial effect to the parameters of stability of structure, and rational choice of support rigidity allow substantially increase stability margin.
Получено 07.04.09
