Проблемы современного естествознания: хаотические диффузиозные процессы и формирование нерановесных диссиапативных структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

»дк л"'» В. К. ФЁДОРОВ

Омский государственный технический университет

ПРОБЛЕМЫ

СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ХАОТИЧЕСКИЕ ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ФОРМИРОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР

Относительно простые математические модели содержат сложный спектр неравновесных структур — аттракторов. Показано, что на выделенном классе открытых и нелинейных сред могут возникать и метастабильно поддерживаться сложные спектры нестационарных структур, развивающихся в режиме с обострением. Путь к сложному — это путь к средам с большими нелинейностями и новыми свойствами с более сложным спектром форм и структур. Это дает основание рассматривать Вселенную как иерархию сред с разной нелинейностью, объединенных в единое целое.

Сложность наблюдаемой Вселенной определяется уровне изначально должны были протекать очень

очень узким диапазоном значений фундаментальных избирательно.

мировых констант и сечений первичных элемен- На основе исследования математических моделей

тарных процессов. Если бы сечения элементарных открытых нелинейных сред (систем) обнаружено I

процессов в эпоху большого взрыва были бы немно- явление инерции тепла и локализации тепловых

го выше, чем они есть в действительности, то Вселен- процессов в виде нестационарных структур, разви-

ная исчерпала бы свой энергетический ресурс за вающихся в режиме с обострением. Сложный спектр

короткий промежуток времени. Чтобы на микро-, неравновесных структур-аттракторов, отличающих- |

макро- и мегауровне было возможно существование ся различными размерами и формами, существует

сложных систем, элементарные процессы на микро- лишь для узкого, уникального класса моделей со сте-

пенными нелинейными зависимостями. Все сложное построено чрезвычайно избирательно, и эволюционный коридор в сложное очень узок. Эволюционное восхождение по лестнице все усложняющихся форм и структур означает реализацию все более маловероятных событий.

Уровень сложности диссипативной структуры обусловлен когерентностью ее составных частей. Под когерентностью понимается согласование темпов эволюции диссипативных структур посредством диффузионных диссипативных процессов, являющихся макроскопическими проявлениями хаоса. Для построения сложной диссипативной структуры необходимо когерентно соединить подструктуры внутри нее и синхронизировать темп их эволюции. И в этом случае хаос выступает в качестве «клея», который связывает части сложной структуры в единое целое.

Вселенная, материя, разум для своего развития, а это их общее свойство, обязаны постоянно находиться в устойчивом неравновесии.

Гипотеза автора заключается в том, что для Вселенной галактическое и межгалактическое пространство является сплошной, упругой и активной средой.

В самом деле, структура физического пространства как некой среды, называемой физическим вакуумом, обладает реальными, не равными нулю физическими характеристиками — диэлектрической проницаемостью е„ и магнитной проницаемостью ш0. Других характеристик физический вакуум не имеет.

Факт сущес твования реальных физических параметров у физического вакуума является доказательством существования материальной среды у физического пространства. Физическое пространство — это материальная среда при отсутствии вещества и излучения, которая обладает структурой и энергией. Тот фак т, что е„ Ф 0 и ц0 ф 0, указывает на то, что физический вакуум электрически и магнитно поляризуем. Свойство поляризуемости предполагает наличие у физического вакуума внутренних сил электрической и магнитной упругости. Наличие же сил упругости в материальной среде, в спою очередь, предопределяет собой существование у этой среды внутренней дискретной структуры, причем внутренние упругие силы дискретной структуры физического вакуума являются электрическими и магнитными по своей природе. Итак, логика размышлений приводит к заключению, что физический вакуум представляет собой ак тивную среду, где, как в резонаторе, происходит развитие Вселенной и ее комплементарных составляющих — материи и разума.

С другой стороны, мы говорим о вакууме в каком-либо объеме, если длина свободного пробега частиц больше, чем линейный размер этого объема. Пусть в лаборатории есть сферический объем с радиусом в 100 сантиметров и концентрация частиц в нем Ю10 на 1см \ что соответствует лабораторному вакууму в одну миллиардную часть давления земной атмосферы.

В этом случае длина свободного пробега составляет:

1 = -

где п — концентрация частиц, равная 10'° частиц на 1см;',

а — сечение столкновения частиц, а = 10"15 см2. 1

Такая длина свободного пробега в 1000 раз больше радиуса нашего объема. Это хороший вакуум.

Что же делается в галактической и межгалактической среде?

Средняя концентрация частиц (протонов) в Галактике составляет 1 протон на 1 см3, а сечение столкновения частиц остается равным а = 10"15 см2.

Тогда длина свободного пробега в галактическом пространстве составляет:

= 10'5 см

МО"

1 = -

10'

3-Ю1'

- = 3.3-10 4 парсека.

Отсюда = -

10ш-10"

- = 10" см •

Но толщина газового диска Галактики составляет 200 и более парсек. Следовательно, свободный пробег частицы (протона) много меньше линейного размера галактической области, в которой происходит эволюция Галактики.

Поэтому здесь мы имеем дело со сплошной упругой средой, к которой применимы законы молекулярной физики и газовой динамики. К тому же эта среда обладает запасом энергии. Следовательно, галактическое пространство — это сплошная, упругая и активная среда. То же самое, но еще с большим основанием, относится к межгалактической среде. Какое бы расширение Вселенной ни происходило, галактическая и межгалактическая среда остается сплошной, упругой и активной средой.

Тогда ключевой проблемой в исследовании процессов самоорганизации устойчивых структур, таких, как звезды, галактики и скопления галактик в активной межгалактической среде, является отыскание механизмов локализации тепла.

Как известно, существенную роль в подобных средах играют диссипативные процессы, размывающие любую возникающую неоднородность. Поэтому теоретически полагалось немыслимым образование чего-либо устойчивого, способного существовать в течение достаточно длительного промежутка времени, несмотря на неоспоримый факт существования во Вселенной звезд, галактик и скоплений галактик. Однако последние исследования в этой области показали, что в некоторых случаях малое возмущение, вместо того чтобы загаситься за счет действия диссипативных процессов, неимоверно разрастается, захватывая обширные области пространства. Представьте себе сплошную активную среду, т.е. среду, обладающую источниками и стоками энергии. Такая среда однородна и в некоем смысле совершенна. Но через некоторое время именно из-за своей активности и нелинейного характера источников и стоков энергии (приход и расход энергии или вещества обязательно должны описываться с помощью нелинейных дифференциальных уравнений) в ней начинают возникать динамические структуры определенной конфигурации. Непрерывная однородная среда самоорганизуется, распадается на дискретные структуры, и при этом обнаруживаются механизмы самоорганизации, останавливающие разрушительное действие диффузионных процессов, а кроме того, следует подчеркнуть, что источники и стоки энергии находятся в каждой точке этой среды, т.е. каждая точка среды излучает и поглощает энергию.

Далее возникшие структуры развиваются в режиме с обострением. Это означает, что за конечное время параметр, характеризующий состояние струк-

туры — температура, — должен достигнуть бесконечной величины. Однако в реальном Мире подобное произойти не может, и объясняется это тем, что вблизи точки обострения структура теряет устойчивость, и в действие опять вступают малые флуктуации, теперь способствующие уже распаду структуры.

Таким образом, устойчивое неравновесие как бы пронизывает мироздание сверху донизу, обеспечивая на разных уровнях разный ход событий. В одном случае, когда среда однородна, неустойчивость к малым флуктуациям ведет к образованию сложных структур, в другом — к их разрушению. Причем физическим обеспечением неустойчивости выступает всегда присутствующий на микроуровне хаос. Хаос порождает порядок, причем такой порядок, который выражается еще и в том, что возникать могут не какие угодно структуры, а лишь их определенный набор, задаваемый собственными функциями среды. Последние описывают идеальные формы реально возможных образований и являются странными аттракторами, к которым только и может эволюционировать рассматриваемая устойчивая структура.

Странный аттрактор — это именно область в фазовом пространстве, а не все пространство в целом. И это не точка в пространстве, сймволизирующая стационарное состояние равновесия устойчивой структуры, и не замкнутая кривая, описывающая режим устойчивых колебаний, а область, внутри которой по ограниченному спектру состояний блуждает с определенной вероятностью реальное состояние устойчивой структуры. Поскольку же такая область ограничена (а значит, в какой-то степени предсказуема) и поскольку возможны отнюдь не какие угодно состояния, постольку имеет смысл говорить о наличии здесь элементов детерминизма. Несмотря на то, что мы переходим в сферу вероятностного поведения объекта, вероятность в данном случае не как угодно произвольна, что говорит о необходимости сохранения представлений о детерминизме (пусть и модифицированных). Иными словами, здесь надо четко указать, в каком смысле детерминизм исчез. Детерминизм, утверждающий, что состояния исследуемого объекта будут строго находиться в данной области фазозого пространства, — такой детерминизм остался.

Тем не менее понятие странного аттрактора явилось сокрушающим для многих классических представлений, привнося в мир макромасштабных устойчивых структур дух неопределенности, присутствующий в квантовой механике. Раньше, в классических подходах, малые возмущения просто не рассматривались. Однако оказалось, что малые возмущения и флуктуация на микроуровне влияют на макромасштабное поведение устойчивой структуры. И это действительно крайне важный тезис: на макроуровне имеют место явления," принципиально не укладывающиеся в рамки жесткого детерминизма.

В отличие от классической термодинамики, где имелся лишь один конечный пункт эволюционирования — термодинамическое равновесие, в рассматриваемом теоретическом представлении возможно множество путей развития, но опять же не какое угодно их число, а строго определенное. И в этом плане хотелось бы сделать замечание о неединственности путей развития, их строгой количественной заданности, а следовательно, если вернуться к предыдущим нашим рассуждениям, к некой предопределенности или детерминированности, несущей с собой своеобразные правила запрета и налагающей весьма жесткие ограничения на способы

существовании природных устойчивых структур. Те структуры, которые в силу обстоятельств оказались на запрещенном пути эволюционирования, либо распадутся, погибнут, либо перейдут на допустимый путь и будут двигаться по направлению к соответствующему аттрактору. Саморазвитие и усложнение среды происходит за счет уничтожения запрещенных, нежизнеспособных форм. При этом следует отметить, что в моменты перехода от одного пути к другому — в точках бифуркации — также решающую роль играют малые возмущения, в этих точках также проявляется неустойчивость и нестабильность,

Таким образом, мы видим, '"коль сложным путем включается устойчивое неравновесие в современное понимание природы, не отменяя при этом некоторых элементов детерминизма, — детерминизма, вступающего в нетривиальные отношения со свободой выбора.

В открытых активных сплошных средах присутствуют источники и стоки энергии, определяющие вместе с механизмами диссипации характер эволюции сложных диссипативных структур, которая, вообще говоря, приводит сложную диссипативную структуру в некоторое устойчивое состояние, отличное от равновесного. Последнее характерно для изолированных сложных диссипативных структур, для которых выполняется второе начало термодинамики.

Проблема исследования нелинейных сложных диссипативных структур тесно примыкает к фундаментальной проблеме установления законов эволюции неравновесных открытых активных сплошных сред.

Рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение диффузии со степенными нелинейными зависимостями температуры и(1,х) от параметров среды

и^и-.и^+и-'-и, (1)

\ \

исток сток

где с > 0 — параметр, 1>0 — время,

хеИ. — пространственная координата.

Уравнение (1) отличается от встречавшихся ранее уравнений диффузии дополнительными членами — истоком и стоком энергии (температуры), Это может существенно менять характер протекания процесса эволюции сложной диссипативной структуры.

Будем искать автомодельные решения уравнения (1) в разделяющихся переменных:

и(^х) = ч/(1)-в(х), I: > 0, х е Я.

Подстановка в (1) приводит к задаче

4/(t) + H/(t) _ (9° vT'(t)

- = -X = const.

(2)

1

Положим для удобства = —. Тогда решение для

а

функции 9(х) получается в виде 2(ст +1)

6(х) =

О 7IX

-COS —

ст(ст + 2) Ls

О, |х|>Ь., 2

х <-

(3)

2л(а + 1)'2

где ц = —1-— — постоянная, зависящая от а.

ст

Укажем основные особенности этого решения. Во-первых, оно финитно по х и является обобщенным: в точках вырождения х = тепловой поток непрерывен. Во-вторых, это режим с обострением: и((., х) -»то при I -> Т„ для любых |х| < — . И в-третьих,

его носительвирр и([,х) = '||х|<-^!-|- неизменен в течение всего времени существования решения. Онолока-

1\ I М

лизовано, тепло из ооластилокализации |)х|<у| не

проникает в окружающее холодное пространство.

Амплитуда решения ц;(1.) легко вычисляется из (2), и в результате приходим к семейству автомодельных решений

u(t,x) = e~'f-^e_<" + Сп ] -9(х) , (4)

где — постоянная.

Каждому из них отвечает начальная функция

и(0,х) = | - + С„ I е(х) , xeR.

u(t,x)5(T„-t) =-в(х).

(8)

Vi s

ШАШ'М

• ; !..

(5)

Отсюда вытекает необходимость ограничения 1

11 > ■ При различных С()в (4) существуеттри вида

автомодельных решений, различающихся по характеру пространственно — временной эволюции.Если С„ = 0 , то (4) — стационарное решение (рис. 1):

и(х) = а°-0(х), хеЯ. (6)

Если С() > 0, то решение и(1,х) затухает:

а(1,х) = С„^-е"'-е(х), 1-х». (7)

Эти решения расположены ниже стационарного решения на рис. 1, и их появление связано с наличием в (1) стока тепла, который при малых и(1,х) > 0 является более мощным, чем источник тепла.

Наоборот, если С0 е(—0), т. е. начальная функ-ст

ция (5) расположена выше стационарного решения, то возникает режим с обострением:

и(и)-»ос, [->Т„=--1п(-аС„)>0 ст

всюду в области локализации M < mes supp -у . Возмущения из этой области не выходят, несмотря на бесконечный рост температуры внутри области локализации. Как следует из (4), решение u(t,x) растет по степенному закону:

Рис. 1. Эволюция автомодельных решений уравнения (4)

решению, положительные возмущения дают рост решения в режиме с обострением.

Отметим, что пространственные закономерности протекания тепловых процессов в данной нелинейной среде определяются через одну и ту же функцию 0(х); от типа процесса зависит лишь закон изменения амплитуды температуры. В этой среде существует и единый для этих процессов характерный пространственный масштаб - фундаментальная длина Ц.

В заключительной части, используя изоморфизм дифференциальных уравнений и, следовательно, изоморфизм явлений в микро-, макро- и мегамире, а именно - изоморфизм уравнения Шредингера и уравнения диффузии, рассматриваются квантово-механические явления с точки зрения диффузионных процессов.

Элементарные частицы представляются как частицы, погруженные в физический вакуум, взаимодействие с которым приводит к диффузионному процессу.

Проблема проявления частицами волновых свойств имеет свое естественное решение, если считать частицу погруженной в физический вакуум. Наделение физического вакуума гидродинамическими свойствами позволяет, помимо объяснения корпу-скулярно-волновых свойств, решить и проблему инфракрасной и ультрафиолетовой расходимости. Уравнение Шредингера, учитывающее погружение частицы в физический вакуум и ее взаимодействие с физическим вакуумом, имеет вид:

=[гш+и"(г'х)(Р+и-Ф' (9)

где ф - волновая функция частицы,

ио - потенциал сил, действующих на частицу,

л2 „

U..

m-to;

- Jv(t)dt

х

V о

:йсо„

Тем самым стационарное решение (б) является неустойчивым: малые отрицательные возмущения приводят к другому устойчивому стационарному

\ \

исток сток потенциал взаимодействия частицы с вакуумом, в котором фиксируется интенсивность обмена энергией частицы с вакуумом,

111 — масса частицы, со,, - частота, V — скорость частицы.

Из проведенного анализа уравнения (9) следует, что при движении частицы происходит хаотическое взаимодействие с вакуумом, которое представляет собой непрерывный гауссово-марковский процесс. Тогда логически вытекает, что физический механизм соотношения неопределенностей Гейзенберга может быть объяснен флуктуациями энергии, имеющими место при взаимодействии элементарной частицы с физическим вакуумом, а физический механизм туннельного эффекта (возможное с некоторой вероятностью проникновение элементарной частицы через потенциальный барьер) объясняется возможной с некоторой вероятностью передачей энергии физического вакуума элементарной частице для преодоления потенциального барьера.

Итак, относительно простые математические модели, в основании которых лежит уравнение диффузии, содержат определенный спектр неравновесных диссипативных структур-аттракторов. Показано, что на выделенном классе открытых и нелинейных сред могут возникать и метастабильно поддерживаться сложные определенные виды (типы) нестационарных, развивающихся в режиме с обострением сложных неравновесных диссипативных структур. Путь к сложному — это путь к средам с большими нелинейностями, новыми свойствами и с более сложным спектром форм и структур. Это дает основания рассматривать Вселенную как иерархию сред с разной нелинейностью, объединенных в единое целое физическим вакуумом, а с математической точки зрения фундаментом объединения служит уравнение диффузии.

Весьма важным обстоятельством является то, что

уравнение диффузии содержит оператор —, в то

9t

время как в основном динамическом уравнении классической механики фигурирует оператор -^j.

Это означает, что уравнение диффузии свидетельствует о необратимости во времени эволюции сложных неравновесных диссипативных структур-аттракторов в микро-, макро- и мегамире и, следовательно, о наличии «стрелы времени» в эволюции Вселенной в целом.

Библиографический список

1. Федоров В.К. Принцип устойчивого неравновесия и гипотеза возникновения и развития Вселенной. // Омский научный вгстник 2005 № 2. С. 71-76.

2, Пригожин И.Р. Философия нестабильности. // Вопросы философии. 1991. №6. С. 46-57.

3. Самарский A.A., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1987, 587 с,

4, Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992, 482 с.

.5. Шевелев А.К. Иерархическая структура и свойства пространства — времени // Физическая мысль России. 200. № 1. С. 37-49.

ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения.

Статья поступила в редакцию 25.09.06. © Фёдоров В. К.

удк 519 95 Л. В. ЗЫКИНА

Омский государственный технический университет

ОБОБЩЁННАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В работе вводится расширенное понятие двойственности для задачи математического программирования. Введенное понятие является эффективным инструментом для решения сложных прикладных задач, возникающих в социально-экономических системах. В качестве примера построена модель планирования производства, в которой внешняя рыночная стоимость ресурсов совпадает с внутренними объективно обусловленными оценками ресурсов.

Введение

Рассмотрим задачу выпуклого программирования

(ВП)

тт{4М|/Дх)<Ь,,...,/т(х)<Ьго,хеХ}, (1)

где выпуклое множество ЛсЛ", /Д...../т:Х->Я -

выпуклые функции.

Общепринятая экономическая интерпретация задачи ВП — это модель производства, в которой требуется выбрать интенсивности х = (х1,...,*„) работы предприятия, такие, чтобы обеспечить выпуск продукции в соответствии с технологическим процессом = .....4М) из ограниченных запасов ресурсов Ь = (Ь,,...,Ьт) с минимальными издержками /0(х).