Проблемы обучения построению математических моделей в системе школа - колледж - вуз Текст научной статьи по специальности «Математика»

I ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ }

ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ В СИСТЕМЕ ШКОЛА - КОЛЛЕДЖ - ВУЗ

М.Б. Никишин, аспирант кафедры дифференциальных уравнений

МГУ

МГУ им

Ф

ГА. Шманова, профессор кафедры математики и теоретической

механики МГУ им. Н.П. Огарева,

«

В.Н. ГЦенников, зав. кафедрой дифференциальных уравнений

МГУ им. Н.П. Огарева,

Е.В. Щенникова, доцент кафедры информатики и вычислительной

техники МГУ им. Н.П. Огарева

Одной из основных целей высшей шко-лы является подготовка творчески мыслящих специалистов, способных решать новые задачи в науке, технике и производстве. Достижению этой цели служит овладение студентами методологией исследований в результате изучения диалектики, логики и теории познания в их единстве и особенностях, а также в процессе решения практических задач.

Опыт показывает, что на «стыке» таких звеньев системы образования, как школа, колледж, вуз, образуется «педагогический барьер». Поэтому возникает проблема преемственности обучения в рамках указанной системы. Содержание действующих отечественных государственных стандартов и программ обучения не в достаточной степени направлено на решение проблемы преемственности и обеспечение преемственности как процесса. Покажем это на примере темы «Дифференциальные уравнения» в курсе математики для школы, колледжа и вуза.

Обратимся к учебнику «Алгебра и начала анализа» для 10 - 11-х классов средней школы авторов Ш.А. Алимова и др., в котором только один, заключительный, параграф посвящен дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение в

нем определяется как уравнение, содержащее производную неизвестной функции. Далее говорится о том, что решение многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

зс — кзс

где к - заданное число. (В физических и технических задачах независимой переменной, по которой производится дифференцирование, является время. Время принято обозначать через t, искомые (неизвестные) функции через у, 2 и т.д., а производные функций по / точками

с1х .. с12х

Л ж2

И т.д.)

Решениями этого уравнения являются функции

х = Секг

Э

где С - постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.

Затем в качестве иллюстрации рассматриваются два примера.

Пример 1. Скорость т{размноже-

■ 0

ния бактерий связана с массой га(7)бак-

Функцию

с12х

Ж

2 называют второй про-

терий в момент времени г уравнением изводной функции х(Г)и обозначают

га (7) = кт{г),

Зс(/) или Зс. Решениями уравнения явля-

где к - положительное число, зависящее ются функции

от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения являются ' функции

/и(0 = Се

к

Постоянную С можно найти из уело-

¥ К

вия, что в момент ¿ = 0 масса бактерий известна. Тогда

т( 0)

и поэтому

т0 = Сек'° ~ С,

т(1) = т0е

к

Пример 2. Задача о радиоактивном рас-

паде.

Если га(7) - скорость радиоактивно- ференциал

х(0 = Сх $т{оЛ + С2 ),

где С1?С2 - постоянные, определяемые

условиями конкретной задачи.

Это уравнение называют уравнением гармонических колебаний.

Как видно из приведенного фрагмента, рассмотрение темы «Дифференциальные уравнения» в школе происходит на отдельных примерах с физическим содержанием.

То же самое наблюдается и в классах с углубленным изучением математики, а также в колледже. Обучение там осуществляется по учебникам М.И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» и Н.Я. Ви-ленкина и др. «Алгебра и математичес-

4

кий анализ».

Одна из заключительных бесед в учебнике М.И. Башмакова посвящена состав-

дифференциальных уравнений. Диф-

го распада в момент времени (9 то

га(7)

кт(г

где^ к - постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

га (7) - Се

-к

Если в момент времени ( масса равна га0, то С = т0, и поэтому

га(7) - т0е

-к

как уравнение, связывающее неизвестную функцию и ее производные. Пояснение этого понятия происходит так же на примерах уравнения механического движения и радиоактивного распада.

Далее в обоих учебниках дается определение решения дифференциального уравнения: решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. Затем в учебнике М.И. Башмакова приводятся примеры решения написанных выше уравнений без всякой ссылки на какие-либо изученные ранее методы решения уравнений.

В качестве приложения к теории дифференциальных уравнений приводится дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

1) Функция X

2

2

+ у0г + х0,

• *

л;

2

СО X,

где ¿у _ заданное положительное число.

где У0, - произвольные числа, являет-

. I *

• • :

ся решением уравнения Х = а, Действи-

< ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ!

тельно, вычисляя производные, получаем

х = + у0 , х = а

2) Функция х - А

к

г + а),

т

где

А и

Ниже предлагается фрагмент логической организации учебного материала в системе школа - колледж - вуз:

1) дифференциальное уравнение как модель реального процесса;

2) теорема существования и единственности решений задачи Коши;

3) выбор соответствующего метода

а - произвольные числа, являет- решения (реализации модели);

ся решением уравнения

X

к

X

т

Решение уравнений показательного роста и гармонических колебаний приведено более подробно, но также без указания методов решения, в условиях отсутствия ориентировочной основы для адекватного выбора метода решения, без должного обоснования полученных результатов и без перевода решений на язык реальных процессов.

В дополнение к определению решения дифференциального уравнения в учебнике Н.Я. Виленкина предлагается определение общего и частного решения дифференциального уравнения, вводится понятие особой точки. Что касается методов интегрирования дифференциальных уравнений, то здесь рассматривается интегрирование дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Но и в этом учебнике не затрагивается вопрос о существовании и единственности решений задачи Коши дифференциального уравнения, не осуществляется перевод полученных математических решений на язык реальных процессов.

Из приведенных фрагментов можно сделать вывод, что ни в школе, ни в колледже тема «Дифференциальные уравнения» не рассматривается рядоположенно,

а

отсутствует логическая организация учебного материала по этой теме. В итоге на

каждом

колледж

4) решение дифференциального уравнения как совокупность определенных действий;

5) разъяснение решений на языке моделирования реального процесса.

Здесь и далее предполагается, что

«вуз» - это «технический вуз».

Приведем фрагмент реализации построенного модуля обучения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные этой функции. Если независимая переменная рдна, то уравнение называется обыкновенным. Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным с частными производными. В данной статье рассматриваются .обыкновенные дифференциальные уравнения, причем как независимая переменная, так и искомая функция предполагаются вещественными.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

2 3

\) t X + Мх = X - обыкновенное

дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2) Х-'Ь1х-\-Х — 1- обыкновенное

дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Рассмотрим дифференциальное урав-

нение

с!х <к

т.

(п

вуз данная тема наполняется лишь пред- Решим его. Для этого перепишем данное метным содержанием, что, естественно, не уравнение в виде

лозволяет учащемуся самостоятельно познать дифференциальные уравнения как модель определенного реального процесса и изучить методы их решения.

ск = / (0^(0-

Теперь можно проинтегрировать левую и правую части, т.е.

= ¡/(ож+с.

В результате получим решение дифференциального уравнения (1):

■

х= //(/)<# +С.

Следующим рассмотрим уравнение

dx dt

<р(х).

(2)

Перепишем это уравнение в виде

ч

dx

<р(х)

dt,

щей нас действительности. Параллельно с этим требуется дать определение решения, показать отличительные особенности дифференциальных уравнений, рассмотреть некоторые методы решений, указать, каким образом можно осуществить преемственность в указанной системе. Приведенные ниже примеры взяты из следующих источников: Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986; Гутер P.C., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М., 1976.

Пример 3. Предположим, что масса поддерживается вертикально расположен-

интегрируя левую и правую части, получим

Допустим

dx

пружины

й0{х)

с

*

<р(х)

Как следует из примеров, решение дифференциальных уравнений сводится к интегрированию. Поэтому вместо «решить дифференциальное уравнение» можно говорить «проинтегрировать дифференциальное уравнение».

Дифференциальное уравнение, получен-

I _

ное в результате исследования какого-либо

кроме того, она связана с поршнем, который движется в цилиндре, заполненном жидкостью и помещенном внутри пружины. Такое устройство является идеализированной моделью амортизатора.

Обозначим через X смещение массы т вниз от положения равновесия.

Пусть:

а) на массу действует сила К (закон

Гука), К > 0 , направленная в сторону положения равновесия;

б) сила, с которой поршень действует

реального явления или процесса, называют на массу и которая препятствует ее дви-

динамической моделью этого явления или жению, пропорциональна кинетическому

процесса. Динамические модели - частный момешу р с коэффициентом 2к,к>0. случай множества математических моде-

лей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. В процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей важное значение имеет

С учетом того что р = тх и скорость

изменения кинетического момента данной массы равна приложенной к ней силе (вто-

циги ЬНЬ Л мидслси Вй/кпис ^пачспп^ " хт ч /1Ч

~ >- „ „ , _ рой закон Ньютона), уравнение (I) можно

знание законов той области науки, с кото- у

записать следующим образом:

природа изучаемой

могут

коны Ньютона, в теории электрических це-

w

Р

K(l + x)-2kp + mg, (3)

пей

Киргхофа

химических

закон дей-

ствия масс, и т.д.

Наша цель в конечном счете состоит в

том, чтобы на примерах (содержательных,

различных

где / - длина пружины в положении равновесия. Но в положении равновесия

р = х = 0. Следовательно,

К1 -

стей знания показать возможности исполь- Тогда дифференциальное уравнение (3) гтри-

зования обыкновенных дифференциальных мет вид

уравнений в процессе познания окружаю-

Р

тх

Кх - 2 ктх.

SSffiSK ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Окончательно имеем

2

х + 2 кх + со0 х = О

(4)

где &

2

К

Выделим внутри трубы цилиндрическую поверхность радиуса р^Г < р < Я.

Тогда для элемента этой поверхности

О

m

dq

ÀdF^-dt

dp

(5)

Решение дифференциального уравнения

-ht

Количество тепла не зависит ни от

(4) X = Ае'к эт{со^ + 8) определяет элемента ни от промежутка време-закономерность колебательных движений ни dt Просуммировав выражения типа

амортизатора. Здесь Ае

-ht

(5), получим полное количество тепла для амплитуда всей поверхности цилиндра за единицу вре-

колебаний, СО0 - частота колебаний, § -

начальная фаза.

Как видно из решения, по мере роста

времени I амплитуда уменьшается.

Пример 4. Теплопередача через трубу. Пусть имеется толстая цилиндрическая труба, внутренний радиус которой равен Г, а внешний - Я. Нужно определить

теплопередачу через трубу изнутри наружу. Предполагается при этом, что установился стационарный тепловой режим, т.е. количество тепла, проходящего через какую-либо данную площадь, постоянно.

В теории теплопроводности считается, что количество тепла, проходящего через бесконечно малую площадку, перпендикулярную к некоторой оси, в направлении этой

мени

¥

dQ dp

Если длина трубы равна /, то

= 2кр1,

так что

2яЯр

dQ dp

(6)

Поскольку процесс передачи тепла является установившимся, т.е. тепло не мо-

оси за промежуток времени

dt

,пропорцио-

нально площади

dF

площадки, длитель-

ности промежутка и скорости падения температуры в этом направлении, т.е.

dq

ÀdF —— dt.

dn

жет накапливаться ни в какой части трубы, то величина Q не зависит от

Pif - 0). dp

Продифференцировав равенство (6) по

р, получим дифференциальноеуравнение

второго порядка вида

2

0 есть температура трубы

р

d Q

dp

2

+

dQ dp

0.

«минус»

сторону падения температуры

Интегрируя это уравнение, можно по лучить решение, которое описывает изме

стоянный коэффициент Я зависит от ве- нение температуры точек трубы в зависи-

щества рассматриваемого тела и называется коэффициентом теплопроводности.

мости от их расстояния от оси.

(Окончание следует)