Адиабатические инварианты в теории продольных колебаний стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 4 2007

539.374

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ В ТЕОРИИ ПРОДОЛЬНЫХ

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ

Д-р техн. наук, проф. K.M. РОМАНОВ

Показано, что в теории продольных колебании стержня приближенно может быть получен адиабатическиii инвариант, представляющий собой отношение полнои энергии к массе и частоте.

U is displayed. that in (he theory of longitudinal oscillations of a rod the adiaba tic invariant representing a ratio of a total energy to mass and frequency can he approximately received.

Рассмотрим продольные колебания стержня с неизменными по длине плотностью р, площадью поперечного сечения F и модулем упругости Е. Уравнение движения имеет вид [1 ]

д"и _ Ед2и дГ pez-

где и — осевое перемещение, t -— время, z — осевая координата.

Предположим, что параметры стержня р, F, / и Е— медленно, адиабатически изменяющиеся функции времени. Изменение параметров технических систем может быть обусловлено, например, сбросом балласта, выгоранием топлива, коррозией, структурными изменениями материала.

Будем при этом условии отыскивать решение (1) в виде

11 = A(t) ф,, (2)

где A(t) — функция времени, срА — к-ая форма собственных колебаний невозмущенного стержня.

Подставим теперь (2) в уравнение (1). Тогда получим

Е d\ р elz2

Применяя метод Бубнова—Галеркина—Канторовича, имеем

I /2

к J

.. в

A-A—2—,-= 0.

Р

/

0

Заметим, что отыскание решения в виде (2) представляет собой нулевое приближение асимптотического метода, примененного в [2] к задаче о поперечных колебаниях балки переменной длины.

Например, для закрепленного по концам стержня ф^. = $\п(ккг/1) мы получаем дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению движения системы с одной степенью свободы

№ 4 2007

А + с40)А = 0щ

где со0 (t)~E/ р(/стг//)2 — медленно меняющаяся функция времени на каждой гармонике из-за изменения параметров системы.

Решение уравнения (3) дается приближением Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна и имеет вид [3]

A(t) = , ° cos&,

у] Voit)

где а - const, d§!dt = со0(i).

В этом решении для стержня

аФ к о и = —r== cos Э,

лКО

Например, для закрепленного по концам стержня

а . /стгг и = —7=8111-С03 9\

Vе0о (о ;

Определим теперь полную энергию стержня при его продольных колебаниях [1]

П = К +

где

/С = ~ JpFirdz

о

"-{НИ*

(4)

Например, для закрепленного по концам стержня

К = ~pF/tf2œ0(f)sin2 Э, 1

U = — pF/crсо0 (0 cos" S,

n = -pF/a2co0(O

и, следовательно,

П(0 п

v - • = const. (5)

ш(/)со0(/) т со0

где /77 = р/;7 — масса стержня.

Таким образом, отношение полной энергии к массе и частоте является в нулевом приближении адиабатическим инвариантом.

Аналогичный вывод можно сделать и в случае других граничных условий. Также может быть получен такой же адиабатический инвариант и в теории колебаний других элементов конструкций, например, при поперечных колебаниях стержней и пластинок.

Заметим, что при выводе соотношения (5) знать сами функции <рк не требуется, поскольку структура общих формул (4) такова, что при любых фА. оказывается

№ 4 2007

ГТ(/) = ЛГ(/)/ sin2 Э,

т.е. полная энергия элемента конструкции определяется выражением кинетической энергии, общим для всех тонкостенных элементов конструкций, колебания которых зависят по (2) от одной функции времени.

При указанном условии дифференциальное уравнение движения собственных колебаний представляет собой уравнение Эйлера соответствующей вариационной задачи. Поэтому при т- const и со() = const из равенства (5) следует II = const, т.е. приходим к консервативной системе.

На каждой форме собственных колебаний в адиабатической системе существует инвариант

J _ ПА(/)

* ш(/)(0Д/)'

т.е. обнаруживается квантование, аналогичное тому, как квантуются частоты в теории собственных колебаний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Б и д с р м а Ii В. Л. Прикладная теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1972. - -416 с.

2. JI с ж н е в а Л. Л. Изгибные колебания балки переменной длины. — MTT. — 1970. — № 1. — С. 159—162.

3. Раб и н о в и ч М. И., Т р у б с ц к о в Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 500 с.

531.8

ВЛИЯНИЕ УГЛА ПОВОРОТА КОНСОЛЬНОЙ ПРУЖИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ СИЛ ГРАВИТАЦИИ, ВОКРУГ ОСИ В ЗАДЕЛКЕ НА ПРОГИБЫ СВОБОДНОГО КРАЯ И СОБСТВЕННЫЕ

ЧАСТОТЫ

Ас п. Р. И. ВАДИКОВ, д-р техн. паук, проф. Ф. Д. СОРОКИН

На основе известных уравнений механики стержней В. А. Светлицкого формулируется краевая задача для консольной винтовой цилиндрической пружины с прямой осью, подверженной действию сил тяжести, с помощью которой проводится решение задачи поиска зависимости прогиба свободного края и первых восьми собственных частот от угла поворота пружины вокруг собственной оси в заделке.

The equations of the theory of thin elastic rod was used to solve the boundary value problem which was formed for one edge fixed screw cylindrical spring subjected to gravity loading. Based on this static solution the lower own frequency was found for different values of angle about screw axis on the fixed edge.

Цилиндрическая пружина является объектом, сложным для расчетов, ввиду нетривиальной геометрии. Существуют приближенные методы поиска решений для нагруженных цилиндрических пружин, основанные на эмпирических зависимостях [1,2]. Подобные методики расчета дают результаты с приемлемой для инженерной практики точностью, однако существуют более точные методы решения подобных стержневых задач, основанные на применении дифференциальных уравнений механики стержней [3—5]. Применение менее