Проблемы обучения построению математических моделей в системе школа колледж вуз Текст научной статьи по специальности «Математика»

■: ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ;

ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ В СИСТЕМЕ ШКОЛА - КОЛЛЕДЖ - ВУЗ'11

М.Б. Никишин, аспирант кафедры дифференциальных уравнении

МГУ им. Н.П. Огарева,

Н.К. Сорокина, доцент кафедры общей физики

МГУ им. Н.П. Огарева,

Г.А. Шманова, профессор кафедры математики и теоретической

механики МГУ им. Н.П. Огарева,

В.Н. Щенников, зав. кафедрой дифференциальных уравнений

МГУ им. Н.П. Огарева,

Е.В. Щенникова, доцент кафедры информатики и вычислительной

техники МГУ им. Н.П. Огарева

Рассмотрим дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

dx

dt

(7)

Рис. 1

Всякая функция х = <£>(/), которая при

подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, называется решением этого уравнения.

Построенный на плоскости Юх график

всякого решения х = <р(() данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Если рассматривать дифференциальное уравнение в виде (7) и обозначить через а угол между касательной к интегральной кривой Если это не так, то наряду с уравнением х = <р(() в точке (/,х) и положительным (7) будем рассматривать перевернутое

направлением оси О/ (рис. 1), то, принимая во внимание, что tga = x, а

А'

каждой

уравнение

dt

1

х = /(/,х), мы получим

= / (/, х),

так что направление касательных к интег-

dx f(t,x)

(8)

Во многих вопросах теоретического и

прикладного характера требуется среди всех решений дифференциального уравне-

ральным кривым задается самим диффе- ния (7) найти решение х = (p{t), удовлет-

ренциальным уравнением.

воряющее условию

© М.Б. Никишин, Н.К. Сорокина, Г.А. Шманова,

В.Н. Щенников, Е.В. Щенникова, 2001

X

х0 при t

t

(9)

где t0 и х0 -заданные числа. Другими словами, требуется найти такое решение х = <p(t% в котором функция (p{t) прини-

ществования и единственности, чтобы избежать неправильных выводов.

Теорема существования. Если в урав-

нении

dx

dt

(10)

мает заданное значение х0, если независи- функция определена и непрерывна в неко-

мую переменную / заменить заданным зна- торой области 0 (2, плоскости Юх т0 для

чением /0, так что х(/0) = х чески это значит, что требуется найти ин-

Геометри- любой точки (t0,x0) є D существует ре-

тегральную кривую, проходящую через за- шение x(t) задачи Коши

данную точку плоскости М0 if0,x^).

Условие (9) называется начальным ус-

dx

dt

f(t,x), x(t0) = x

0 5

(11)

о

ловием решения х = <p{t), а числа t0 их

начальными данными этого решения.

Задача нахождения решения, удовлетворяющего заданному начальному условию (9), называется задачей Коши.

Решение задачи Коши может оказать-

определенное на некотором интервале, содержащем точку /0.

Теорема существования и единственности. Если в уравнении (10) функция /(/, х) и производная этой функции по

ся не единственным, т.е. иногда существу- х определены и непрерывны в некоторой замет несколько решений, удовлетворяющих кнутой ограниченной области D на плоскозаданным начальным условиям х = х0 при сти tOx, содержащей некоторую точку

t=t0. Нельзя также утверждать, что за- (^ ,х0), то существует единственное реше-

дача Коши всегда имеет решение. Поэтому ние этого уравнения х = ©(/), удовлетворя-

становится важным и необходимым изучение теорем существования и единственности решений дифференциального уравнения.

ющее условию X = х0 при t

t

Теоремы существования и единственности задачи Коши имеют принципиальное значение, гарантируя законность применения методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Они служат обоснованием для создания новых методов и теорий. Часто доказательства самих теорем существования и единственности являются конструктивными, т.е. методы доказательства дают и методы приближенного отыскания решений с любой степенью точности. Теоремы существования и единственности лежат в основе не только теории дифференциальных уравнений, но и численных методов интегрирования.

Численному интегрированию дифференциального уравнения обязательно должно предшествовать обращение к теоремам су-

Геометрически смысл теоремы заключается в том, что существует, и притом

единственная, функция х = (pit), график которой проходит через точку (/0 ,х0 ).

Если функция f{t,x) имеет неограниченную производную по х в области D, то могут существовать несколько решений, удовлетворяющих задаче Коши (11).

Пример 5. Рассмотрим уравнение

х

3 tlfx

(12)

с начальными условиями

х = 0 при t = 0

(13)

Здесь производная функции 3t\[x по

хравна tx

-2/3

00

при

X

о

ш ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

В этом случае существуют два решения уравнения (12), удовлетворяющие на-

чальным условиям (13): х = 0, х = /

dx

dt

f, (О/, w.

(13а)

где правая часть есть произведение функ-

В том, что эти функции есть решения ции^ зависЯщеД только от Г, и функции, за-

*Ч/ЧУ««*/ЧГ1 »-г/ч тт/>/Г»А I 1/ЛШ/*/Ч¥1 тхл/ п 1/ПОП1ЮШ1Р

висящей только от х. Преобразуем его сле-дующим образом (предполагая, что

/2 (*) ^ о):

ственнои подстановкой их в уравнение. Через начало координат проходят две интегральные кривые (рис. 2).

1

А О)

dx-f, (t)dt.

(14)

t

з

►

t

Считая х известной функцией от /, равенство (14) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по х, а правую по /, найдем

1

Рис. 2

/г О)

dx - |/, {t)dt + С.

Мы получили соотношение, связываю-

Под общим решением дифференциаль- Щее решение х, независимое переменное /

ного уравнения (7) будем понимать функ- и произвольную постоянную С, т.е. полу-

цию х = (pit, С), которая при любом зна- чили общий интеграл уравнения (1 За). Под

чении произвольной постоянной С являет-

общим интегралом здесь понимается

ся решением данного уравнения, график ко- соотношение, связывающее /, х и произ-

торой целиком принадлежит G[3).

вольную постоянную С, данное в виде не-

Решения, которые получаются из обще- разрешенного

относительно

го решения X = <р(/, С) при определенном Т.е.^(/,Х,С) - 0 или ^(/,х)-С. Есть и

другие типы интегрируемых дифференци-

ь л ✓ "т V V в ж Ж. М

значении произвольной постоянной С, на-

альных уравнений (см.: Матвеев Н.М. Ме-зываются частными. Однако встречают- ходы интегрирования обыкновенных

лп питтогчотшо пт ттт т 1/поттттигт тшаташмл ^ _

ся дифференциальные уравнения, имеющие

ффере

такие решения, которые не получаются из 1974; Петровский И.Г. Лекции по теории

общего решения ни при каких значениях С. обыкновенных дифференциальных уравне-

Шестаков

Такие решения называются особыми. Гра- нии- М., 1970: фиком особого решения является интег- ва И.А., Полозков Д.П. Курс высшей ма-

ральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением.

Разберем один из методов решения (интегрирования) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

ференциальные ураї лиз. М., 1987).

Диф

В теории дифференциальных уравнении

дифферен

ференциальное

ений. Поэтому, когда диф-уравнение не относится к

уемых, дифференциальное

уравнение интегрируют (решают) с помощью приближенных методов. Здесь не ста-

З, 2001

вится целью изложение приближенных методов (с ними можно познакомиться в кн.: Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М., 1990; Пономарев К.К. Специальный курс высшей мате-

отсюда

х(/) = Се

(а-Ь)1

(18)

Полагая, что в момент времени і = /

о

матики. Дифференциальные уравнения, кра- число особей в популяции есТь х

евые задачи, интегральные уравнения. М.,

1974).

Очень важно правильно на основе фундаментальных законов, в рамках соответ-

х0, из

уравнения(18)находим х(ї)

х0е

Из полученного равенства следует, что

*** •—

ствующей отрасли науки составить мате- если а > Ъ , то при г -» оо число особей

матическую модель динамического процесса и выбрать метод решения.

Приведем примеры моделирования реальных процессов в экологии. Экология изучает взаимоотношение человека и живот-

■

ных организмов с окружающей средой. Основным объектом экологии является эволюция популяций.

Ниже описываются дифференциальные модели популяций, которые связаны с размно-

х

X

оо. С другой стороны, если а <Ь. то

О

при ^

оо и популяция становится

вымирающеи.

Хотя приведенная модель является

упрощенной, она все-таки в ряде случаев соответствует действительности. Практически же все модели, которые описывают реальные явления и процессы, нелинейны, и вместо дифференциаль-

жением или вымиранием последних, а также ного уравнения (17) следует рассматри-

с сосуществованием различных видов живот- вать уравнение вида

ных в ситуации «хищник-жертва».

Пусть х(1) - число особей в популяции

в момент времени I. Тогда если А - число особей в популяции; рождающихся в единицу времени, а В-число особей, умирающих в единицу времени, то с достаточным основанием можно утверждать, что ско-

йх

Ж

где /(/, х) - нелинейная функция.

В качестве примера рассмотрим частный случай этого уравнения, где функция

» » г

рость изменения х(0 со временем задается /(/,х) зависит только отх:

формулой

сіх

<к

А-В.

(15)

с/х

Ж

/ (х) = ах- Ъх

Задача теперь состоит в том, чтобы где а > ^ >

(16)

описать зависимость А и В от х. Простейшим случаем является ситуация, когда

А = ах, В = Ъх,

/ Г * ( • * 1 г I ; • • » •

где а и Ь - коэффициенты рождения и смер ти особей в единицу времени соответствен

учетом равенств (16) дифференциаль

Полагая, что х = х0 при /=/0, из

последнего уравнения находим, что

х(0

х0а/Ь

х„ +[а/Ь -х0]е а{' ‘а)

о

(19)

ное уравнение (15) перепишется в виде

Отсюда видно, что при і —» оо число

с/х

(а - Ь)х.

• /

(17) особей в популяции х(0

а

~Ь

При этом

Из уравнения (17), разделяя переменные и интегрируя, получаем

а а

возможны два случая: Т> х о и т <х

о о

о

сіх

X

Ь)Ж + 1пС(С > 0),

Различие между этими случаями хорошо видно на рис. 3.

; ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ;

А

х

Хп

О

< х

о

йу_

ск

сх - кху,

(21)

а

~Ь

►

> х

о

где а,Ь,с,к - положительные константы.

В уравнении (20) для больших рыб слагаемое Ьху выражает зависимость прироста от численности малых рыб. В уравнении (21) слагаемое -кху выражает уменьшение числа малых особей в зависимости от численности больших.

Изучение сообществ, взаимодействующих более сложным образом, дает инте-

Отметим, что соотношение (19) опись.- Реснь,е практические результаты. Так, например, если две популяции конкурируют в

борьбе за один и тот же источник питания

(третья популяция), то можно показать, что

Рис. 3

вает, в частности, популяции вредителей фруктовых деревьев и некоторых видов бактерий.

Если рассматривают несколько видов, °ДИН из видов начнет вымирать. При этом

окажется

например больших и малых рыб, где малые |шни|ни> ч,и ссли ^1ИМ видим рыбы являются кормом для больших, то, источник питания, то такая же участь по-

составлял дифференциальные уравнения сосуществования для каждого вида, получают систему дифференциальных уравнений

сЬс

I

СІІ

Уі (/, X],..., Хп ), І 1,2, ...,/7.

стигнет и два других вида.

В настоящей работе приводится достаточно полное изложение основ общей теории дифференциальных уравнений (определение дифференциального уравнения, его решения и графики решения). Изложены некоторые методы решения. Показано, что

Рассмотрим более подробно двухвидо- дифференциальные уравнения являются

вую модель «хищник - жертва», которая впервые была построена В. Вольтерра для объяснения колебаний рыбных уловов в Адриатическом море, имеющих один и тот же период, но отличающихся по фазе.

математическими моделями динамических процессов.

В колледже и вузе остается изучить более полно аналитические и численные методы решения дифференциальных урав-

Пусть .г - число больших рыб-хищни- нений. Помимо указанного, в вузе необхо-

ков, питающихся малыми рыбами-жертва- димо обратить внимание на теоремы о не-

ми, число которых обозначим через^. Чис- прерывной зависимости и дифференцируе-

ло рыб-хищников будет расти до тех пор, пока мости решений по параметрам и началь-

у них будет достаточно пищи, т.е. малых рыб- ным данным, вопросы теории устойчивос-

жертв. Но в конце концов наступит ситуация, ти. Таким образом снимается педагогичес-

когда корма не будет хватать и в результате кий барьер и достигается преемственность

число больших рыб начнет уменьшаться, обучения как процесса.

Это приведет к тому, что с некоторого момента число малых рыб начнет увеличивать- ПРИМЕЧАНИЯ

ся. Данное обстоятельство будетспособство- [Ч Окончание. Начало см. в № 2 за 2001 г. вать новому росту числа больших особей, и I2) Под областью понимается непустое

цикл снова повторится. Модель, построен- множество точек с, обладающее свойства-

ная Вольтерра, имеет вид

сЬс

Ж

ах + Ьху,

(20)

ми: а) произвольная точка С имеет окрестность, принадлежащую В; б) множество С связано, т.е. две любые точки можно соединить ломаной, лежащей в О.

№ 3, 2001

введенное определение не является стро- лозков Д.П. Курс высшей математики: Интег-Строгое определение общего решения дано ральное исчисление. Дифференциальные урав-

работе: Шестаков А.А., Малышева И.А

нения. Векторный анализ. М., 1987.

УНИВЕРСИТЕТ В СИСТЕМЕ ДОВУЗОВСКОЙ

ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

И.И. Борисов, ректор Воронежского государственного университета,

профессор,

С.А. Запрягаев, первый проректор Воронежского государственного

университета, профессор,

B.C. Листенгартен, ученый секретарь Воронежского государственного

университета, доцент

Развитие всех уровней системы обра-шия, структурные и экономические преобразования в стране, возросшая роль ав-

Содержание данных договоров включает в себя совместное составление рабочих учебных планов и программ учебных дис-

тономии высших учебных заведений, де- циплин и их методического обеспечения,

централизация управления системой обра-

зования выявили ряд тенденции, приводящих к отрыву возрастающих требований системы высшего профессионального образования к выпускникам средних школ от уровня, достигаемого учащимися в школе.

Такое положение и стремление высших учебных заведений к пополнению студен-

широкое участие университетских преподавателей в учебном процессе школы. За статусом «школа при вузе», как правило, стоит многолетний опыт совместной работы школы с факультетами и кафедрами ВГУ.

2. Создание специализированных классов (с углубленным изучением учебных дисциплин) в школах, имеющих с уни-

ческой среды наиболее подготовленными верситетом договор о сотрудничестве. За-

и профессионально ориентированными уча- дача таких классов - оказать учебно-ме-

щимися стимулирует процесс раннего «проникновения» системы высшего образова-

тодическую поддержку продвинутому школьному образованию для групп учащих-

ния в среду общего среднего образования, ся конкретной школы. Обычно эти классы

создавая комплекс условий для обеспечения плавного, целенаправленного непрерывного образования.

Реализуя программу интеграции систем образования, Воронежский университет проводит такую работу по нескольким основным направлениям.

1. Включение общеобразовательных учебных заведений в состав и структу-

способствуют ранней профессиональной ориентации учащихся и расширению их кругозора в одном определенном направлении. Накопленный опыт, учитывающий интересы и устремления учащихся, чаще всего приводит к формированию классов физико-математического, химико-биологического, экономического и историко-филологического профиля. Набор учащихся в них, форми-

ру университета. На сегодняшний день рование учебно-методической документа-

это гимназия Н.Г. Басова, педагогическая ции и организация учебного процесса осу-

гимназия № 5 и гуманитарная гимназия ществляются при непосредственном уча-

стии университетских преподавателей. Договор со школой заключается на срок от 3 до 5 лет, а его выполнение постоянно ана-

№ 2 (Воронеж), Верхнемамонская школа (Воронежская обл.). В официальном наименовании каждого такого учебного за-

ведения указано «при Воронежском госуни- лизируется и контролируется совместно

верситете». И это не формальное уточнение, школой и университетом,

а выражение сущностной особенности учеб- В настоящее время университет имеет

ного заведения, закрепленной комплексом договоры о сотрудничестве с 40 школами

контактов и договоров с университетом. города и области, обеспечивая одновремен-

© И.И. Борисов, С.А. Запрягаев, B.C. Листенгартен, 2001

зГ-