Проблемные места при решении иррациональных уравнений в школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключение хотелось бы отметить, что педагогическая интеграция, рассматриваемая нами как педагогическая категория, суть которой заключается в протекании объединительных процессов по всем элементам учебно-воспитательного процесса (содержание, формы, методы), для достижения интегративности выражается расширением функции образования (интегративная функция); инновационным обучением (интегрированное обучение); модернизацией образования (интегрированные технологии), результатом образования (целостная личность). Основание данного процесса составляют следующие основания: философские (единство знания); гносеологические (система педагогического знания); общенаучные (теория интеграции); педагогические (целостный педагогический процесс), которые являются предпосылкой для разработки теоретических основ интегрированного подхода как основы подготовки современных специалистов.

Список литературы

1. Буева Л.П. Творчество и педагогика // Л.П. Буева, Е.Д. Клементьев // Материалы Всесоюз. науч.-практ. конф. М., 1988. С. 215.

2. Глушенко А.А. Влияние интеграции учебной и научной деятельности преподавателя высшей школы на качество подготовки специалиста: автореф. дис. ... д-ра пед. наук // Глушенко Алла Алексеевна. М., 1998. С. 48.

3. Голованова Н.Ф. Социализация и воспитание ребенка // Н.Ф. Голованова. М.: Речь, 2004. С. 272.

4. Левченко В.В. Интегрированный подход к психо лого-педагогической подготовке специалистов: монография // В.В. Левченко. М.: Изд-во МПСИ, 2007. С. 287.

ПРОБЛЕМНЫЕ МЕСТА ПРИ РЕШЕНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ Базарбаева М.К.

Базарбаева Мира Кенисовна - учитель математики,

Государственное учреждение Средняя школа № 25, г. Астана, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматриваются основные проблемы при решении иррациональных уравнений и способы их разрешения.

Ключевые слова: уравнение, иррациональное уравнение, корни уравнения, равносильность уравнений, возведение в степень.

Решение иррациональных уравнений является сложной темой в школьном курсе математики, так как необходимо знать теоретический материал, а также уметь анализировать различные ситуации. Из школьного курса нам известен основной метод решения данных уравнений - это возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень [1, с. 107], который часто приводит к появлению «посторонних корней», где у ученика могут быть проблемы с проверкой корней. И, конечно же, этих знаний недостаточно при сдаче экзаменов по математике или при участии в олимпиаде. В основе большинства решений уравнений и в частности иррациональных, следует опираться на равносильность переходов, на теоремы равносильности уравнений [3, с. 40 - 45]. В этой статье рассмотрим основные способы решения иррациональных уравнений и разберем наиболее «проблемные» места при решении данных уравнений.

Самый известный вид иррационального уравнения, предлагаемый на различных экзаменах, уравнение вида:

= 5 (х) (1)

Обычно решая это уравнение в школе учащихся начнут возводить данное уравнение в квадрат, получают при этом «постороние корни», часто забывая сделать проверку. Поэтому решить уравнение (1) лучше с помощью равносильных преобразований.

Уравнение вида — А (х) = В (х) равносильно системе, состоящей из уравнения А(х ) = В2(х ) и неравенства В ( х ) > 0:

-А(Х) = В (*)«{А ВТ' (2)

Ученики иногда добавляют к данной системе еще неравенство , что

является лишним, так как оно автоматически выполняется.

Также следует отметить еще один вид иррационального уравнения — А (х ) = —В (х) , который решается следующим образом:

^ = —ВЙ°{ВЫ>)0=АМ>0) <3>

Стоит отметить, что в системе вторым условием проверяется одно из неравенств В (х) > 0 или А (х) > 0 , обычно более простое. Зачастую ученики записывают оба неравенства.

Пример 1: Решить уравнение V х + 8 = 1

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

гх + 8 = 1 1 1 > 0

Неравенство 1 > 0 выполняется при любых значениях х, а из уравнения следует, что х = — 7.

Ответ: -7.

Пример 2: Решить уравнение V х + 8 = — 3

Решение: Данное уравнение не имеет решения, так как по определению квадратный корень не может быть отрицательным числом.

ПримерЗ: Решить уравнение V 3 х + 1 — V х + 4 = 1 .

Решение: Очень часто ученики не замечают, что в левой части уравнения может быть отрицательное значение и возводят данное уравнение в степень, не преобразовывая его, что ведет к неравносильному преобразованию уравнения. Преобразуем данное уравнение к равносильному уравнению следующим образом:

V 3 х + 1 = 1 + 7х + 4. (4)

В уравнении (4) и в левой и в правой части неотрицательное выражение, уравнение (4) будет равносильно системе:

( Зх + 1 > 0

I х + 4 > 0

(зх + 1 = 1 + 2л/х + 4 + х + 4

где два первых неравенства являются условием существования функций, входящих в уравнение, а третье уравнение - это результат возведения в квадрат обеих частей уравнения.

Преобразуем данную систему:

1

х-"з

х > -4 ^х + 4 = х - 2

Данная система равносильна выражению:

х - 2 > О и: + 4 = х2 - 4х + 4

Далее

Г х > 2 1х2 - 5х = О Решая неполнное квадратное уравнение получим:

'х > 2 ГХ = О

^х = 5

Корнем уравнения является только х = 5. Ответ: х = 5 .

Если в уравнении встречается некое выражение более одного раза, то возможна замена переменной, что ведет к облегчению решения уравнения

Пример 4: Решить уравнение: + 3 ^^ = 4

3-х

Решение: Введем новую переменную у = | , отметим, что у > 0. Тогда данное уравнение примет вид:

1

у + 3 ■- = 4

У

Умножим на у > 0

у2 - 4у + 3 = 0

Решая данное квадратное уравнение, получим , , которые

13—X 1 13—X

удовлетворяют условию у > 0. Тогда ^ | = 1 , отсюда хх = - ^ I = 3 , отсюда

з

х2 = - -

2

Ответ: х-, = - х7 = —.

1 2 ^ 2 _ _

Пример 5: Решить уравнение V х + 8 + V 2 х + 9 = 5. Решение: Введем новые переменные: и = V х + 8 и V = V 2 х + 9 Тогда данное уравнение примет вид:

и + V = 5

Выразим и через , получим

V2 - 2и3 = 2х + 9 - 2(х + 8) = -7 Получам систему уравнений с двумя переменными, состоящая из двух рациональных уравнений:

( и + V = 5 <-г?2 — 2гг3 = —7 Решив данную систему, получим , отсюда . Ответ:

Пример 6: (1 способ) Решить уравнение: — 1 + V х — 1 = 1. Решение: Введем новые переменные: — 1 и V = V х — 1

Тогда данное уравнение примет вид:

и + V = 1

Выразим и через , получим:

и3 — 2г?3 = 2х — 1 — 2(х — 1) = 1 Получам систему уравнений с двумя переменными, состоящая из двух рациональных уравнений:

г и + V = 1 I и3 — 2г?3 = 1 34

Отсюда, а .

Ответ:

Пример 6: (2 способ) Решить уравнение: — 1 + V х — 1 = 1. Решение: Приступая к решению данного уравнения, можно увидеть, что корнем данного уравнения является . Заметим, что левая часть уравнения состоит из

суммы двух возрастающих функций, а значит принамает каждое свое значение один раз. В правой части функция , которая параллельна оси . Таким образом, данные функции имеют единственную точку пересечения при .

Ответ: .

Пример 7: Решить уравнение — х2 + 2 х — 1 = V х 2 — 3 х + 2

Решение: В данном примере возведение обеих частей в квадрат не является рациональным. Заметим, что левая часть уравнения

-х2 + 2х - 1 = -(х - I)2 < О а т.к. как правая часть не может быть меньше нуля, а значит решение возможно, если обе части равны нулю. И левая и правая часть равны нулю при х = 1 . Ответ: .

На примерах рассмотрено в каких местах при решении иррациональных уравнений у учеников могут быть трудности. При решении данных уравнений использовался не только метод возведение обеих частей уравнения в квадрат, но и свойства функции у = -\/х, метод замены переменной.

Список литературы

1. Темиргалиев Н., Аубакир Б., Баилов Б., Потапов М.К., Шерниязов К. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 классы. «Жазушы», 2002.

2. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Справочник для школьников и поступающих в вузы. АСТ-ПРЕСС, 2016. 464 с.

3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. «АБР», 1995. 352 с.

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ НАУКА И ИНФОРМАЦИЯ КАК ФАКТОР ЭВОЛЮЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ Новиков С.И.

Новиков Сергей Иванович - студент, факультет психологии, Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, г. Киев, Украина

Аннотация: в статье рассматривается информация как фактор эволюции образования. Образование выступает важнейшим воспроизводственным механизмом интеллекта в социуме. Существующий изоморфизм исторических эпох и вида организации социального интеллекта, и соответственно, вида образовательных структур имеет отображение в ритмике воспроизводства и обновления социальных интеллектов. Такая ритмика, возникшая при переходе от стадного существования к обществу и сверхобществу, отражена в предлагаемой концепции образовательных революций и циклов эволюции систем образования. Ключевые слова: информация, фактор эволюции, образование, педагогическая наука.

Эволюция образования не шла сама собой, нужно было прилагать огромные усилия, чтобы новое пробивала себе дорогу. Самоорганизоваться новая школа не