Проблема оценки кривизны линии уровня при конформных отображениях круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 6(26)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

И.А. Александров, С.А. Копанев

ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ КРИВИЗНЫ ЛИНИИ УРОВНЯ ПРИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ КРУГА1

Обоснована как актуальная для исследования задача о нахождении точной верхней оценки для кривизны линий уровня на классе S однолистных голоморфных отображений из единичного круга и приведены известные её частичные решения для подклассов отображений из £.

Ключевые слова: конформное отображение, линия уровня, кривизна, метод внутренних вариаций.

Посвящаем памяти профессора, доктора физико-математических наук уважаемого Василия Васильевича Черникова,

проработавшего в Томском университете более сорока лет.

Среди плоских топологических отображений областей богатством приложений в задачах механики сплошных сред, теплопроводности и т.д. выделяются отображения с сохранением в соответствующих друг другу точках величин углов, то есть конформные отображения. Все односвязные области Б с С , имеющие на своей границе более одной точки, конформно эквивалентны, в частности, единичному кругу Е = {і є С: |г| < 1}. Конформные отображения голоморфны и однолистны. Среди таких отображений имеется единственное, удовлетворяющее условиям / (0) = мo, /'(0) = а , где м0 є Б и ає[0,2п) - фиксированные числа.

Линейное преобразование м-плоскости позволяет из подобных друг другу областей выделить области, содержащие точку нуль и имеющие в ней конформный радиус равный единице. Множество отображений из круга Е на такие области образует класс £ голоморфных однолистных отображений /: Е ^ С , м = / (г) =

= г + с2 (/)г2 +... + сп (/)гп +.... Класс £ является компактным относительно

равномерной сходимости внутри Е, но не обладает свойством линейности и, возможно, этим объясняется трудность решения многих геометрических и экстремальных задач, относящихся к £. Потребовалось развитие новых методов (метод структурных формул, метод площадей, метод параметрических представлений, метод внутренних вариаций и другие) для исследования и решения таких задач.

1 В статье излагается доклад авторов «Об одной задаче в теории конформных отображений», сделанный на Всероссийской конференции по математике и механике 2-4 октября 2013 года в Национальном исследовательском Томском государственном университете. Прилагается список литературы, использованной в докладе.

1. Постановка задачи

Отдельное направление исследований сформировалось вокруг задачи об оценке кривизны линии уровня Ь(/ г) - образа окружности =г , 0 < г < 1, относительно голоморфного однолистного отображения / е £ и, следовательно, Ь(/, г)

- аналитическая замкнутая жорданова кривая.

Точная формулировка задачи следующая.

Фиксируется точка г0 є Е,

0 < г < 1, и для каждого отображения

/ є Б подсчитывается кривизна К (/, г0) линии уровня Ь( / г) в точке / (г0). Нужно найти точную верхнюю К (Б, г0), точную нижнюю К (Б, г0) оценки кривизны К (/, г0), / є Б , и указать отображения, на которых они реализуются.

Простая по постановке экстремальная задача о кривизне в классе Б с более чем полувековой историей остается одной из нерешенных задач в геометрической теории однолистных отображений.

Из определения кривизны кривой в точке получается для К (/, г0) формула

К (/, *0 ) = ,

0/'(*0 )|

Яе

1 + -

■0/''(*0 )"

/' (*0 ) .

Из понятия кривизны кривой следует, что на выпуклых дугах линии уровня Ь(/ г) кривизна положительна, на вогнутых - отрицательна. В классе Б при

0 < г < 2 - -\/3 все Ь (/, г) выпуклы, а при 2 - -\/3 < г < 1 имеются Ь(/ г) с вогнутой

дугой (например, для отображения /(г)=г(і-егаг) ). Поэтому К(Б,г)>0 и К (Б ,г)> 0 при 0 < г < 2 -л/3, а при 2 ->/3 < г < 1 будет К (Б, г) < 0 и К (Б, г) > 0 .

Известно, что величины К (Б, г0) и К (Б, г0) не зависят от аргумента точки г0. Таким образом, задача об оценке кривизны линии уровня в классе Б сводится к нахождению множества І1 (Б) = В (Б, г) значений функционала

V Б ^ К , Іі (/) =

\г/'(г )|

Яе

1 + г/' '(г) /' (г )

(1)

сегментом

Множество значений функционала (1) совпадает с

Б (Б, г ) = [ К (Б, г ), К (Б, г )] .

Класс Б обладает свойством линейной инвариантности, то есть отображение / е Б тогда и только тогда, когда отображение g е Б, где

8(* ) = -

(1 - г 2 )/' (г )

ґ ґ /

V V

1 - *0 *

- / (г)

Используя это свойство, задачу о кривизне линии уровня можно сформулировать в следующем виде: найти множество значений функционала

12: Б

1 _ 2

12 (/)= -г~\/' (г)| Яе (1 + г2 - 2гС2 (/)) , ) (/) :

/''( 0)

(2)

14 (/) = | /' (г )| + i Яе

(3)

(4)

Так как К (Б, г ) = пип 11 (/ ) = пип 12 (/), К (Б, г ) = тах 11 (/ ) = тах 12 (/), то

множество 12 (Б) совпадает с Б (Б, г).

Из формул (1) и (2) следует, что для решения поставленной задачи достаточно найти, например, множество значений функционала

1з : Б ^ С, 1з (/) = / (г)| + i Яе С2 (/)

или множество значений функционала

+ /М 1

„ /' (г ))

и завершить нахождение К (Б, г), К (Б, г), используя стандартные методы действительного анализа.

Рассматриваемая задача об оценке кривизны линии уровня естественным образом обобщается до следующей.

Пусть у - достаточно гладкая кривая в Е с уравнением г = ф(5), проходящая

через точку г0 =ф(50), и k(г0) - кривизна кривой у в точке г0. Пусть Г(/) -

образ кривой у относительно отображения / е Б. Тогда для кривизны

К (/, г0; у) кривой Г( /) в точке / (г0) имеет место формула

( \ \1

К (/, ^; у) =1-77

|ф '(50^ (г0) + 1ш - (/ ^ )(г0)

(5)

|- '(50)/' (г0)|

Задача состоит в нахождении К (Б, г0;у) и К (Б, г0;у), в частности для образов радиусов круга Е (задача о кривизне ортогональных траекторий).

2. Решение задачи о кривизне в подклассах класса S и других классах

Область Б с С называют выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки из Б, принадлежит Б. Пусть Б°р с Б, р е N , - множество отображений из Е на выпуклые области, обладающие р-кратной симметрией вращения относительно точки нуль. Кривые Ь (/, г) для / е Б°р , 0 < г < 1, выпуклы.

В.А. Зморович [6] получил следующие значения для К(Б0р,г0) и К (Б0р, г0):

1 - гр

2-1

К

1 + гр

1 - гр

(1 - гр)

(1 + гр)

2 -1 (

р (а -1) 1п а

V /

р(а-1) 1п а

где а =

(1 + гр 12

1 - гр

если 0 < гр <г/,

если г0р < гр <<

и г0р - корень уравнения р (а -1) = а 1п а .

г

Известны отображения, реализующие указанные точные оценки.

Независимо этот результат получен (методом внутренних вариаций) И.А. Александровым и В.В. Черниковым [5]. Ими же на классе Б* с Б отображений круга Е на звездные области с р-кратной симметрией вращения вокруг центра звездности - точки нуль - найдены точные оценки [5]:

К(бр,г)

К

1 -2)р +1) гр + г2р /+гр)

г (О

_2

(1 + 2 (р + 1)гр + г 2 р ) - Бр )

(1 + гр)

2 Р (1 + гР)1 пр)а-1

Ф(х0 ),

0 < гр < г0р,

гр < гр < 1,

где г0р - корень уравнения р (а -1)(3 - а) + | 1 - а - — | а 1п а = 0 .

ф(х) = ґ-2ах2 + а +1 х+ -—1а 2р)а 1)

К ; V 2 2 р |

1

2а

< х0 < —, - корень уравнения

8ар (а -1) х3 - ((а2 -1) р - 2а 1п а) х2 -(а + 2) 1п а х - ^ = 0

Л , р \2 1 + гр

а =

1 - гр

Точная нижняя граница К (Б *, г), 0 < г < 1, была установлена, как отметил

Г.В. Корицкий [11], И.Е. Базилевичем в его устном сообщении.

П.И. Сижук [17] получил точные оценки К (/, г0) на классе Б]° с Б°р отображений с действительными тейлоровскими коэффициентами сп (/), п е N. Заметим, что величины К (Б]° р, г0) и К (Б]° р, г0) зависят от аргумента точки г0.

В 1976 г. В.В. Черников [18], используя метод внутренних вариаций, получил точную верхнюю оценку кривизны линии уровня на классе Бк однолистных голоморфных в Е отображений с действительными коэффициентами сп (/), п е N. Приведем этот результат.

Максимум К(/,г0), /еБк , г0 = г , 2р=г +г-1, находится среди чисел

К = и (х^ (у)е'

и2 (х)+^2 )У )

К = Ж1 (и )¥1 (у )е

Ш2)и 2+V2(

К = -V (®К

где

8 X

и1 (х ) = г“;;т А (х), и 2 (х) = т7 р (a, х)-V Е (a, х)- в (х)

1 - X

X

X

г

х

0

5

27

Л

(1 -к2" )2

К (5 )яп (п§) 1 - 2к2" 008(2п5)

+ к

4"

V,

87 (72 +1 -р2 ) /_ 1

(5) =---- --------, ' Л(2,5)-Е(у,5К + п5с£(-5 I-

1 ' 3р72 + 2-р)( -1) ^ П 12 )

3р72 +(2 -р)(р2 -1)

ОТ

+4п5 (п5) ^

W1 (и ) =

1

+г

2

11 - 2к2" 008 (п5) + к4

2г2 (г+71+г2) 2 2

---- -----------Л (и ) , W2 (и) = — Е (а, и)-Е (а, и)- В (и) .

Здесь х, у - решение системы

3 X2 -1

2х (К(х)-П(п,х))+КЕ(х) =

( П(у) + Е(у)-К(у) л

= 47 (72 +1 -р2)

4(1 + р)72 3р72 +(2-р)(р2 -1)

1 - X 2

х Е (х)- X К (х)+^Т“ П(п',х) =

р-1 7 47 (72 + 1-р2 )

=£— ^ у)-— К (у )+—-^—-г^г Е (У);

р + 1 3р72 +(2-р)(р2 -1)

и, V - решение системы

г е (и)- г к (и )+п(", и )>/1+г2

47 (7 2 +1 -р2)

г п

( П(у,V) + Е(V)-К(V) л

4(1 + р)72 3р72 +(2-р)(р2 -1)

(п', и)+г е (и )-(г+41+г2 ) (и ) =

П(v', г) К--7- к (г)) +

47 (72 +1 -р2 )

р + 1 3р72 +(2-р)(р2 -1)

Е (г)

и ю, р - решение системы

47 (7 2 +1 -р2)

П( ю) Е (ю) - К (ю)

4(1 + р)72 + 3р72 +(2-р)(р2 -1) 47 (72 +1 -р2 )

= 73 - 1п4-Е

3 + 2,

7

р + 1 3р72 +(2-р)(р2 -1)

к

где К, Е, П - полные эллиптические интегралы, Е (-, t), Е (-, t) - неполные эллиптические интегралы с параметром t,

X =

ц1 + р)у2 +1 -р

г =

^ х 2 + I(( - х 2 +

3т =-1-х2 + д/1-х2 + х4 , п=1-х2 -\11-

х2 —у/ 1-х2 + х4 , -2v'=(l+р)(l-у2 ) ,

-2v=(l + р)у2 +1-р , 3п'=-2+х2--у/ 1-х2 + х4 ,

1 - 2д2т соб (2пр) + д4т

Л (5 ) = К (5 )бш (пр)П-

т=1

(1 - д2т )2

д

В(5) = прI -Р 1 + 4лРБШ(тгр)У----------

1 г] и [ т=11 - 2д 008 (пр) + д

а = агсБШ

1

^1 + 52 +ТГ

р Е(а,5) . 21+р)52+1 -р

Р = — , у = агсБт, -

2 4

- 52 + 54

К (5)

252

5 =

Е (у, 5) К (5) !

д = е

; = 71 - 52 , х = у1ь-

х2 , .у = >/ 1 - у2

= у/1 - и2 , V = V1 - V2 , ю = V1 -с

и = -\/1 - и , V = л/1 - V , со = \] 1 -ю .

Ю.А. Мартынов [13] вариационным методом в классе Уа отображений с ограниченным вращением порядка а, 0 <а< 1 (отображений из класса Б, удовлетворяющих условию Яе /'(г) >а У г е Е), доказал, что

К (а, г )= *+

(1 + УК/'(г К (1 + у)2| / '(г )

К (Уа , г ) = ^1

( 1 ^ __________ 1 + - ау + 1

И-/-'(гКК +а (1+ у)/'(гК

где а =-

1 - г2

У =

1 -а

0 < г < 1.

Отсюда он получил точные значения К (Уа, г) и К (Уа, г) на классе Уа.

Другим методом эта задача ранее решена Т.Г. Эзрохи [23].

Точные оценки кривизны линии уровня во множестве отображений, реализуемых интегралом Кристоффеля - Шварца, получены Г.В. Корицким [9].

К15

К15

К (5

К (5

К = е

2

1+г а

Приведем для полноты точные оценки кривизны линии уровня

К

— (0\ р1к 1 К / , р) ,+!, 1 <р<‘

( ) Р(Рр -О К( ) К) Р(Р2р + 2(р- 1)рр + 1)

К /р, р) =-2, К рр, р) = К /р, р)=---------------------------—

(1+рр )1+ р (рр -1)2 (рр + 1)р

)(рр+1)

--------, 1-

(рр - О"

полученные в работах [10, 11, 19].

Задача о нахождении К (Б, *0 ;у) и К (Б, г0 ;у), в частности задача о кривизне ортогональных траекторий, решена на некоторых классах отображений. Г.В. Корицкий [9] получил точные оценки К(Б°,*0;ї0), К(^р,*0;ї0) и

К (Бр, *0;ї0 ), К (^р, *0;ї0 ); Т.Г. Эзрохи [23] - К (^х, *0;Ї0) и К (К, 0), где

у0 = {* є С :а^* = ф0,0 < * < 1}. С.М. Югай в [24] нашла точные оценки кривизны образов окружностей с центрами, не совпадающими с началом, на классе Бср .

И.Е. Базилевич и Г.В. Корицкий провели исследования свойств семейств линий уровня при однолистном конформном отображении.

3. Исследования по кривизне в классе S

Первые оценки кривизны линии уровня в классе Б получены в 1921 году Л. Бибербахом [25]. Однако они не являются лучшими даже в смысле порядка. Точная нижняя оценка

К (Б, г ) =

1 - 4г + г 2 ґ 1 + г V

г V 1 - г |

впервые получена в 1951 году Я.С. Мирошниченко [14] при 2 --у/3 < г < 1 и позже Г.В. Корицким [11] при 0 <г <2--\/3. Ими был использован метод параметрических представлений. Более простыми приемами эта оценка была повторена В.В. Черниковым и М.А. Арендарчук [21], а также в работах [3] и [7]. Отметим,

что К (Б;0,01)« 100, К (Б;0,1)« 9,1, К(Б;0,2)и 2,7, К(Б;2-л/3)=0, К(Б;0,3) и -1,3, К(Б;0,5)и-13,5, К(Б;0,9)и-718, К)Б;0,99)и -79000 .

Если, например, было бы известно множество Д = І4 (Б) = X + іУ , то К (Б, г) (К (Б, г)) есть абсолютный максимум (абсолютный минимум) отображения

у

Е: Д ^ Ж., Е(X,У) = —. Эти наблюдения использованы в работе [3].

Известно [11, 14], что

2

/ ч 1 -2(р + 1)гр + г2р / + гР)р К/р, г )=----^при 0< г <1,

р ’ г (1 -гр)2

причем К VБр,рр+1-л/р2 + 2р |=0 . Равенство реализуется в точке г0 = г отобра-

Бр . Ниже приведены линии уровня этого отображения

жением /р (*) =

при разных значениях р (р = 1,2,3) и г (гк = -2 рр +1 -^ р2 + 2 р, £ = 1,2,3).

Рядом авторов получены неточные оценки сверху кривизны линии уровня на классе Б. В работе В.В. Черникова [20] приведена лучшая в настоящее время неточная оценка сверху. Сформулируем этот результат.

В классе Б имеют место неравенства: при 0 < г < 0,279624

ІЛ \4 4х , г

— / \ 1 / + х) ■ 2

К (Б, г )<^ ’-----------------------------—е1 -2

,1-х2 х

/ + х 2 )(1 - х 22

где х, 0 < х < г , однозначно определяется уравнением

/ +х )2 4 х г 1 Л 2 2^76 г2

----— +------1п — + 41п---= 1 + г +--------. ;

1 + х 1 - хх 1 - х 3 ^1 - г 2

при 0,279624 < г < 1

<

1 + г ґ 1 + х

4 х 1-х2

г V1 - х,

где х, 0 < х < г , однозначно определяется уравнением

2х

(1 + г2)

2\ 1 + х ґ г 11-х 2' = 1 + ■

4е (1 - г)2

В работе [8] проведен наиболее полный качественный анализ функциональнодифференциального уравнения в задаче (2) при рассмотрение ее методом внутренних вариаций. Этим методом устанавливается уравнение вида

А (щ)

( - /(г) )2

-ём>2 =-

В ( г )

1( - г)

которому удовлетворяет экстремальное отображение, реализующее значения

К (Б, г0 ) и К (Б, г0 ) . В уравнении В (г) = г6 + В5 г5 + В4г4 + В3г3 + В4г2 + В5 г +1

А(щ)=А2м>2 + А1^ + А,, где А2 =■

1 — , А =------— , А, =1, ц=2Яе(р-с2 (/)) , и

2/2(г) 4 /(гУ ^2^ ^

поэтому оно указывает на равенство абелевых дифференциалов второго порядка на экстремальных отображениях. Средствами аналитической теории дифференциальных уравнений и теории простейших вариаций получено в общем виде описание геометрических свойств экстремальных отображений. Они голоморфны на Е, за исключением конечного множества точек на границе круга, в которых отображения имеют алгебраические особенности. Образом круга Е относительно экстремальных отображений является плоскость С с конечным числом разрезов по аналитическим дугам, образующим граф Г с корнем на бесконечности. Отме-

тим,

что далее точки из множества / 1 (М) обозначаются буквой -, а точки

из

/ 1 (Ы) - буквой п, где М - множество конечных концевых точек графа Г, а N - множество общих концов аналитических дуг, составляющих Г . Возможны следующие варианты.

Пусть А(щ) = А2(V-щ)(V-щ2). Тогда

1. Г состоит из одной кривой. При этом:

а) В(г) = (--) (-1^)

где щ = /(с к) и с к6 Е, к =1,2;

_1_

'с1

(г С2)

1

= 2 У

Ь)

г --

с

1 У

где V! = / (С!), Щ = /(-) и С: 6 Е .

2. Г состоит из двух кривых, имеющих общим концом точку щ и образую-4п 2п

щих в ней углы, равные — и —. При этом:

а)

С1

где щ = /(Са), V = /(п) и С1 6 Е ;

Ь) В(г) = ( --)4 ( -п)2,

где щ = /(п), щ = /(-).

3. Г состоит из четырёх кривых. Кривые Г1, Г2 и Г3 имеют общим концом точку щ и образуют в ней равные углы, а кривые Г3 и Г4 имеют общим концом

4п 2п

точку щ2 и образуют в ней углы, равные — и —. При этом

В(г) = ( - -1 )2 ( - -2 ) ( - п)2 , где щ = /(п).

4. Г состоит из трёх кривых Г1, Г2 и Г3. Кривые Г1 и Г2 имеют общим

4п 2п

концом точку щ и образуют в ней углы, равные — и —, а кривые Г2 и Г3

4п 2п

имеют общим концом точку щ2 и образуют в ней углы, равные — и —. При

этом В(г) = (--1 )2 (-^)2 (г-п2), где щ = /(пк), к = 1,2.

5. Г состоит из трёх кривых, имеющих общим концом точку щ и образующих в ней равные углы. При этом:

а) В(г) = (--1 )2 ( - — 2 )2 (-С0

где щ = /(Сх) и С1 6 Е ;

Ь) В(г) = (-—1 )2 (-—2), где щ = /(—2).

6. Г состоит из пяти кривых. Кривые Г1 , Г2 и Г3 имеют общим концом точку и образуют в ней равные углы, а кривые Г3, Г4 и Г5 имеют общим концом точку щ2 и образуют в ней равные углы. При этом

В( г) = (-—1 )2 (-—2 )2 (-—3 )2.

Пусть А(щ) = А1(V - щ1). Тогда

7. Г состоит из двух кривых, имеющих общим концом бесконечно удалённую точку, и образуют в ней угол равный п. При этом:

Л

а) В(г)=(-—1 ) (-—2 ) (-С1 )

- _1_

г Т

где щ = /(С1) и ^1 бЕ ;

Ь) В(г)=(-—1 -—2 )2 , где щ = /(—1).

8. Г состоит из трёх кривых Г1, Г2 и Г3. Кривые Г1 и Г2 имеют общим

4п 2п

концом точку щ и образуют в ней углы, равные — и —, а кривые Г2 и Г3

имеют общим концом бесконечно удалённую точку и образуют в ней угол равный п. При этом

В(г) = ( - —1 )2 ( - — 2 )2 ( - п) , где щ = /(п).

9. Г состоит из четырёх кривых. Кривые Г1, Г2 и Г3 имеют общим концом

точку щ и образуют в ней равные углы, а кривые Г3 и Г4 имеют общим концом

бесконечно удалённую точку и образуют в ней угол равный п . При этом

В( г) = ( -—1 )2 (-—2 )2 (-—3 )2.

4. Проблема

Значение К (Б, г) не найдено. Оно принадлежит [12] интервалу (К,, К *), где

К, =

1 - г + г

(1-г)2

К (Б, г) = О

К =-г

9 2г (1 + г)

1 + 4г + г + v ’

2 Л

л[ё (1 - г)2

Отсюда следует, что

( 1 Л

(-г?

В работе [18] В.В. Черников высказал предположение, что оценка в классе справедлива и во всем классе Б, то есть К (Б, г) = К (, г).

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Геометрические свойства однолистных функций // Труды Томского ун-та. Т. 175. Вопросы геометрической теории функций. 1964. Вып. 2. С. 29-38.

2. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Томский государственный университет, 2001. 220 с.

3. Александров И.А. Об оценке кривизны линий уровня при конформных отображениях // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3 (23). С. 5-7.

4. Александров И.А., Прохорова А.Е. Оценки кривизны линий уровня на классе 8 р // ДАН

СССР. 1972. Т. 203. № 2. С. 267-269.

5. Александров И.А. Черников В.В. Экстремальные свойства звездообразных отображений // Сиб. матем. журнал. 1963. Т. 4. № 2. С. 23-30.

6. Зморович В.А. О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций // Укр. матем. журнал. 1952. Т. 4. № 3. С. 276-298.

7. Копанев С.А. Заметка о кривизне линии уровня относительно конформного отображения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3 (23). С. 34-36.

8. Копанев С.А., Сыркашев А.Н. Качественный анализ дифференциально-функционального уравнения для одного функционала // Исследования по математическому анализу и алгебре: сб. Томск, 2001. Вып. 3. С. 125-134.

9. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при конформных отображениях // Матем. сб. 1955. Т. 37(79). № 1. С. 103-116.

10. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Докл. АН. 1957. 115. № 4. С. 653-654.

11. Корицкий Г.В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Успехи матем. наук. 1960. Т. XV. Вып. 5 (95). С. 179-182.

12. Корицкий Г.В. К оценке кривизны линий уровня при однолистных конформных отображениях // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 34-36.

13. Мартынов Ю.А. О геометрических свойствах дуг линий уровня при однолистных конформных отображений // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 53-61.

14. Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций // Учен. зап. Ста-линск. пед. ин-та. 1951. Вып. 1. С. 63-75.

15. Мирошниченко Я.С. Улучшение границы кривизны линий уровня для некоторых классов однолистных функций // Учен. зап. Сталинск. пед. ин-та. 1959. Вып. 5.

16. Мирошниченко Я.С. К вопросу о кривизне линий уровня // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 62-65.

17. Сижук П.И. О некоторых геометрических свойствах звездообразных функций с вещественными коэффициентами // Труды Томского ун-та. Т. 238. Вопросы геометрической теории функций. 1974. Вып. 7. С. 82-98.

18. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в одном классе однолистных функций // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 3. С. 381-388.

19. Черников В.В. Оценка кривизны линий уровня в классах Е , Ер // Экстремальные задачи теории функций. Томск: Изд-во Томского университета, 1980. С. 126-129.

20. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в классе всех регулярных однолистных в круге функций // Сиб. матем. журнал. 1985. Т. 26. № 2. С. 210-213.

21. Черников В.В., Арендарчук М.А. Об оценке кривизны линий уровня // Труды Томского ун-та. Т. 238. Вопросы геометрической теории функций. 1974. Вып. 7. С. 118-123.

22. Черников В.В., Куваев М.Р., Кан В.И. Некоторые итоги исследований по теории функций комплексного переменного в Томском университете // Экстремальные задачи теории функций. Томск: Изд-во Томского университета, 1980. С. 3-41.

23. Эзрохи Т.Г. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий в классе функций с ограниченным вращением // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17. № 4. С. 91-99.

24. Югай С.М. Оценка кривизны образов окружностей при отображении их выпуклыми однолистными в круге функциями // Матем. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 1. С. 133-137

25. Bieberbach L. Neuere Forschungen im Gebiete der konformen Abbildung // Glasnik hrr. Pri-rod. Drustva. 1921. Bd 33.

Статья поступила 09.10.2013 г.

Aleksandrov I.A., Kopanev S.A. THE PROBLEM OF ESTIMATING THE CURVATURE OF THE LEVEL LINE UNDER CONFORMAL MAPPINGS OF A CIRCLE. A task about finding an exact upper estimate for the curvature of level lines on the class S of univalent holomorphic mappings from a unit circle S is justified as a topical one and its well-known partial solutions for subclasses of mappings from S are presented.

Keywords: conformal mapping, level line, curvature, method of internal variations.

ALERSANDROVIgor , Aleksandrovich (Tomsk State University)

E-mail: ma@math.tsu.ru

COPANEVSergeyAnatol’evich (Tomsk State University)

E-mail: copanev_d@mail.ru