CC BY
20
2013
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика
№ 3(23)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
И.А. Александров
ОБ ОЦЕНКЕ КРИВИЗНЫ ЛИНИЙ УРОВНЯ ПРИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
На классе S устанавливается нижняя оценка кривизны линий уровня.
Ключевые слова: конформное отображение, функционал, линия уровня.
Линией уровня голоморфного однолистного отображения f: U ^ C, U = {z £ C: |z| < 1}, нормированного условиями f (0) = 0, f '(0) = 1 (множество всех таких отображений образует известный класс S), называют образ L(f,r) окружности
lr ={z £ U : |z| = r} ,0 < r < 1,
при отображенииf то есть L(f,r)=f (lr).
Пусть z0 £ lr. Кривизна замкнутой жордановой аналитической кривой L(f,r) в точке f(z0), |z0|=r, вычисляется по формуле
Re I 1 + z0f ’<-'0)'
lz0 f' <z0 ^ '
Имеется ряд работ, посвященных нахождению точных оценок кривизны линий уровня на классе S. Известно, что в силу компактности класса S в смысле равномерной сходимости последовательностей на замкнутых ограниченных множествах точные оценки сверху и снизу достигаются на функциях класса S. Вариационным методом доказано, что такие функции отображают круг U на области, полученные из C исключением кривых, составленных из конечного числа аналитических дуг. Так как если f (z) £ S , то ga (z) = eia f <e—az) £ S,0 < а < 2n , и поэтому
K (f, r ) = max K (f, z0 ) = max K (ga, r )
f£S ga£S
K (f, r ) = min K (f, z0 ) = min K ( ga, r )
f£S ga£S
при а = arg z0.
Приведенная далее оценка снизу кривизны линий уровня известна [1, 2]. Новым является способ её получения, не требующий сложных вычислений, и поэтому, может быть, он заслуживает быть отмеченным
6
И.А. Александров
Теорема. Для кривизны линий уровня Ь (/, г), 2 - л/3 < г < 1, на классе £ имеет место точная оценка
(г2 -4г +1)(1 + г)2
к (/. г )=*-------(1 \2 ;
г (1 - г)
она реализуется при г = г на функции
™ = / (г) = 7
(1 + z )2
отображающей круг и на плоскость С с исключенным лучом от точки А до бесконечности, лежащим на положительной части действительной оси.
Доказательство. Множество Б(z) = {^ е С: V = I (/, г)} значений функционала
1 (f,z) = Re ^ + / ff)+'|zf' (z )l >f є ^ >
(Г )=—--b1 (r ) = --— , a2 (r ) = a! (-r ) , b2 (r ) = -b1 (-r ) ,
при фиксированном z eU ограничено и замкнуто. Из точных оценок Бибербаха [3, с. 48], для f e S
a1 (r) < Re I (f, r) < a2 (r), b1 (r) < Im I (f, r) < b2 (r),
где
r2 - 4r +1 , , , r (1 - r)
—2—, bi (r ) = —----3
1 - r 2 (1 + r )3
следует, что D(r) лежит в замкнутом прямоугольнике A(r) с вершинами
w11 = a1 + ib1, w12 = a1 + ib2, w21 = a2 + ib1, w22 = a2 + ib2, то есть D(r) с A(r).
В трехмерном пространстве R3 с декартовой прямоугольной системой координат O£nZ отождествим плоскость Z = 0 с комплексной плоскостью C, полагая
w = | + in . На плоскости Z = 0 прямоугольник A(r) лежит в полуплоскости ц> 0 . Если 0 < r < 2 -V3 , то A(r) лежит в первом квадранте плоскости О£ц. При 2 -V3 < r < 1 часть прямоугольника A(r) лежит в первом квадранте плоскости О£ц, а остальная часть - во втором квадранте: £< 0, ц> 0. Функция Z = - в
п
A(r), 2 —s/3 < r < 1, однозначна и имеет минимальное значение в точке w11. Оно
(r2 -4r +1)(1 + r)2 z
равно A(r) =---------------- и достигается на функции f (z) =----------------------- e S.
r (1 - r)2 (1 + z)2
Значит, точка w11 e D(r) и в нестрогом неравенстве
£ £
A(r) = min— < min— = K (f, r)
A(r) ц D(r) ц
реализуется равенство.
Теорема доказана.
Об оценке кривизны линий уровня при конформных отображениях
7
Заметим, что как показано в [2], от ограничения 2 —s/3 < r < 1 можно освободиться, сохраняя утверждение теоремы. Область D(r) пока не найдена. Остается открытым вопрос о значении K( f, r), f е S .
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций // Учен.записки Донецкого пед. ин-та. 1951. С. 63-75.
2. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и ортогональных траекторий при конформных отображениях // Матем. сб. 1955. № 37. С. 103-116.
3. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001.
Статья поступила 21.02.2013 г.
Aleksandrov I.A. ABOUT ESTIMATION OF THE CURVATURE OF LEVEL LINES UNDER CONFORMAL MAPPINGS. A lower bound is established on the class S for the curvature of level lines under conformai mappings.
Keywords: conformal mapping, functional, level lines.
ALEKSANDROV Igor’ Alexandrovich (Tomsk State University).
E-mail: ma@math.tsu.ru
