CC BY
27
Т.П. Сижук
ОБ УКЛОНЕНИИ ОБРАЗОВ ГЛАДКИХ КРИВЫХ ПРИ ОДНОЛИСТНЫХ ВЫПУКЛЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ ЕДИНИЧНОГО КРУГА
Приводится решение задачи об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях единичного круга.
где 0 < X < 1, 91, 02 - произвольные вещественные числа. Для этих функций по формуле (1) находим А( /, *о) =
ц-Х(1 -X)Im<
(ю1 -ю2 )2
u + ImJI —
(1 -Х)ю1 + Хю2 -
(3)
Обозначим через 5° класс регулярных однолистных в единичном круге Е = { : | г | < 1} функций
/ (г), / (0) = 0, /' (0) = 1, отображающих Е на выпуклые области.
Известно (см. введение и библиографию в [1]), что при однолистном конформном отображении круга Е
и, в частности, при отображении ^ = / (г) е 50 важным элементом, характеризующим степень искажения гладкой кривой в точке г0 е Е, является величина уклонения ее образа в точке ^0 = / (г0).
В работах [1 - 3] получены оценки величины уклонения образов окружностей в Е при отображениях, Для упрощения вычислений перейдем к новым па-
реализуемых функциями класса 5° и некоторых его раметрам у1 и у2, связанным с параметрами 01 и 02
где юк = ro(0k) (k = 1,2), ю(0) =
1 + zoe 1 - zoe~
соотношениями ю (0k) = a + belfk (k = 1,2), где
1+r
2
1-r2' 1-r
z
b =■
подклассов. В данной работе приводится решение задачи об экстремальных значениях уклонения образов достаточно гладких кривых при отображении круга E функциями класса S0
Пусть у - трижды непрерывно дифференцируемая кривая в E без особых точек (гладкая) с уравнением и запишем (3) в виде (5 = arg £0) z = £ (t), а < t < ß. Фиксируем на у точку z0 = z (t0 )^ 0 и обозначим через A (f, z0) уклонение образа у f = f (у) кривой у при отображении
w = f (z) e S0, подсчитанное в точке w0 = f (z0). Для
2r
2
(4)
z
o
A( f, zo) =
|a-4q X(1 -X)sin(yj +y2 +5)sin
•2 Y1 -Y2
2
(5)
A (f, z0) нетрудно вывести формулу
A( f, z0) =
6q
- + (1 -X)sin (y1 + 8) + Xsin (y2 +8) q
'm 13(!) -! + <z0)!
3fГЫY ГЫ
2 l f '(zo )J f '(zo)
Im
+z
- ГЫ f '(zo)
(1)
Пусть | и |< q (u^ o, если ц = ±(2 -u2) ). Выбрав в (5)
Y1 = -8 - а и y 2 = —- 8- а, а = arctg f — -1
имеем
где г'0, г"0, 2"0 - производные функции г (/), вычисленные в точке t0, причем 20 ^ 0 .
Введем обозначения
A (f, zo ) = "~ q2 ( ~g2(X!)
2 (u ^
6q f — + a(X)
= 2| zo 1 и =
q = 1 - r 2
u = Im +
2r2 zo
1 - r 2 zo
7(X) =
2X-1
V2X2 -:
(6)
2
“ = Im 13(Ü)- 2f 1 , r =' ro
(2)
-2X +1
Отсюда следует, что A (f, zo) ^ -0 при
( л
1 —
Теорема 1. В классе S уклонение A (f, zo) кри-
^2q2 -»
Yf = f (y) при I u I < q (u^ o , если если ц < q2 - u2 . В случае ц = q2 - и2 из (6) имеем
ц = ±(д2- и2)) не ограничено снизу, если ц< q2 - и2,
и не ограничено сверху, если ц > и2 - q2.
Доказательство. Рассмотрим в классе 5° функции
6 A (f,
ct(X) -U
_________q
ct(X) + U q
f (z) = J
(1 - e-01 z )2(1-X)(1 - e-02 z )2X
В результате получаем А(/,і0) ^ -оо при X ^ Х1-0, когда X < 0 , и при X ^Х1 + 0, когда X > 0 . Далее,
2
вых
положив в (5) Yj = а-8 и y2 = -^-8-а, приходим к равенству
Ц + д2 -д2°2 (X)
--ст(х:>
б?2л а,
1 + -
А =
Л (и,ц)=
а=
Яд (и,Ц) =
Сд (M =
Сд ^Ц^
Dg (М =
Ад ^Ц^
(д-I и |)2
ц-?2 2 2 о2 +ц-д2
если ц< д (д-| и |)=ц1, если ц <ц< д (д+| и |)=Ц2,
(д+1 u D
если ц>ц 2,
если ц<-ц2,
2
ц+д
—-------^ если Ц2 <Ц<-Ц,
о -ц-д
если ц>-ц1,
а при | о |< д - формулами
еслид2-и2 <ц<ц2,
p(z) = 1 + /И / (z)
(7)
u + Im-^I p(zo)-J^ z0I 1 - r
в которых
m л , , . M
6 <А(/,z0><J’
m = inf ф(p(zo);zop'(z0)),
peP
M = sup ф( p (z0); z0 p'( z0));
peP
и2,
если ц > и2 - q2, а также при X — X2 + 0, когда X < 0 и при X —— X2 - 0, когда X > 0 , если ц = и2 - q2.
Теорема 2. В классе 50 для уклонения А (/, ,г0) кривых Y / = / (у) справедливы точные оценки
А А —
= < А (/, ,г0 )< —, где А и А определяются при 6 6
| и | > q формулами
ф(5; п) =
U + Im -j-0-! 5-
1 + r ‘ 1 - r;
(9)
А = К (и,Ц>
С (и,ц), еслиЦ>Ц2,
А =с (^ц) если ц<-ц 2,
\pq (и,ц), если-ц2 <ц<и2 ^2.
Доказательство. Ограничимся исследованием экстремальных значений А (/, ,г0) при тех значениях параметров ц, и и q, которые не охватываются теоремой 1. Пусть / (г) е 50, тогда функция
Для нахождения величин m и M мы используем метод В. А. Зморовича [4]. Типичными для этого метода рассуждениями мы перейдем от задачи об экстремальных значениях функционала Ф((z0);z0p'(z0)) на семействе функций
i I —¿01 i I —¿02
/ \ л 1 + ze 1 /- a \ 1 + ze
p (z ) = Xi----01 + (1 -X)-------0Г'
1 - ze 1 1 - ze 2
где X, 0<X< 1 и 01, 02, 01 <02 <01 + 2п, - параметры, к следующей задаче: найти
m = minmin Ф(5; r), M = maxmax Ф(5; п), (10)
5eK neL 5eK r\eL
где K = {5 : |5- a < b},
L = {r: I n-2-1) =1 ( -15-a|2)},
а и b определяются формулами (4).
Из (9) и (10) находим
m = minФ(5,п1),
5eK
M = max Ф(5, r2),
5eK
где
2rk = 52 -1 + (-1)k (д2-15-а|2)i 12 j (k = 1,2).
i I -+8
регулярна в круге Е, р (0) = 1 и Яе р(г) > 0, г е Е . Множество таких функций обозначим через Р . Нетрудно убедиться, что с помощью формулы (7) устанавливается взаимно-однозначное соответствие между классами Р и 50. Кроме того, согласно (1) и (7),
ц + 1т(р2 (г0)-2г0р'(г0)-1)^
А (/, ^0 )=-----¡г^0^------------.
Отсюда, положив — (5 - а) = x + ¿у, получаем
z0
m = min min (x, у),
1у1<д |x|<V д2 - у2
M = max max ^2 (x, у).
^|£д |x|<V д2 - у2
ц+(-1)к (д2 -x2 - у2)
Здесь ¥ к (x, у) =----------------i— --------^ (к = 1,2).
(у + U)2
Легко видеть, что
m^ ¥1 (x, у ) = ¥1 (0, у),
wWT-7
max— ¥2 (x, у) = ¥2 (0, у).
Поэтому
m = min ¥1 (у), M = max ¥ 2 (у),
\у\<д \у\<д
ц + (-1)к (д( - у2) где ¥ к (у) = \МЧ2- (к = 1,2).
(у + u)2
(11)
Значит, для А( /, z0) справедливы точные оценки
Исследованием на экстремум функций ¥к (z) устанавливаем:
1) при | и | > д
["¥ к (-д), extr ¥ к(у ) = [¥ к (ук),
|у|<д [¥к (д),
2) при -д < и < 0
,_/¥ к (-д),
extr ¥ к (у )-Ьт( ,
|у|<д 1¥к (ук )
3) при 0 < и < д
extr ¥ к (у) -
_/¥к (ук ), ¥ к (д),
если ук < -д, если - д < ук < д, если ук > д;
если у) <-д,
если - д < ук < -и;
если - и < ук < д,
если у) > д;
Ц
4) при и-0 и д +(-1) Ц< 0 extr ¥ к (у ) = -тг.
|у|<д д
Здесь
кривую У/(с,р)={^:^=/(с+teгф),0<t<р} , фе[0,2п)
и фиксировано, назовем ортогональной траекторией к линии уровня функции / ( г ) относительно точки с .
Следствие 1. Уклонение А (/, г0) ортогональных траекторий У/ (с, р) к линиям уровня функций
/ (г) е 50 относительно любой точки с е Е не ограничено снизу и сверху.
Действительно, если t0 - значение параметра t,
соответствующего точке г0 отрезка г = с + telф, 0 < t <р, то, согласно (2), ц = 0 и
2
и |=-
Im (eip)
I 2| c I 2
< ——t <-------
■ = д.
( 1)к+1 2
ук = —'-----Ц~^ , extr ¥1 (у) = min ¥1 (у) ,
и |у|<д |у|<д
extr ¥2 (у) = max ¥2 (у). Отсюда из (11) и (12) нахо-
\у\<д \у\<д
дим m = А, M = А , что вместе с (8) приводит к указанным в теореме оценкам А (/, z0). Их точность
следует из доказательства.
Приведем два простых следствия теорем 1, 2. Пусть с - произвольно фиксированная точка в круге E и Yp(с)={z:| z-с |=р,0<р<1-| с }- окружность, лежащая
в E. При отображении w = / (z) e S° образом окружности yp (с) будет аналитическая кривая y/ (с, р) = ={w:w=/(yp (с))}. Назовем эту кривую линией уровня функции / (z) относительно точки с. Аналитическую
1 - г21 / 1 1 - г2 1 - г2
Отсюда из определения г/ (с, р) и теоремы 1 получаем следствие.
Следствие 2. В классе 50 для уклонения А (/, г0) линий уровня у/ = / (ур (с)) справедливы точные оценки -А < А (/, г0 )< А, где
А=
4р2
(1 + р2-1 с I2 )2 - 4р2
Справедливость этого утверждения следует из
теоремы 2 при ц = 0 , д =
2Р 1 - r2
1 + р -| с
1 - r2
r = |z^ , z0 = с + pe^°, t0 e [0,2n).
Следствие 1 содержит результат из [2] (с = 0 ), а следствие 2 - результаты из [2] (с = 0) и [3]
( -1 < с < 1, z0 = с + р).
2
ЛИТЕРАТУРА
1. Черников В.В., Копанев С.А. Об уклонении линий уровня и их ортогональных траекторий при однолистных конформных отображениях // Сиб. мат. журн. 1986. Т. XXVII. № 6. С 193 - 201.
2. Сижук П.И., Бутенко А.А. Об уклонении линий уровня и их ортогональных траекторий при однолистных выпуклых отображениях единичного круга // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41. № 9. С. 1263 - 1267.
3. Югай С.М. Об оценках кривизны и уклонения образов окружностей при однолистных конформных отображениях // Экстремальные задачи теории функций. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1992. № 6. С. 3 - 10.
4. Зморович В.А. Об одном классе экстремальных задач, связанных с регулярными функциями с положительной вещественной частью в круге | z | < 1 // Укр. мат. журн. 1965. Т. 17. № 4. С. 12 - 21.
Статья представлена кафедрой математического анализа Ставропольского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 16 мая 2005 г.
