CC BY
0
Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2024.
№ 80. С. 23-33.
Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2024. 80. pp. 23-33.
Научная статья УДК 162
doi: 10.17223/1998863Х/80/2
ПРОБЛЕМА ГИПЕРКОННЕКСИВНОСТИ В ЧИСТЫХ ТЕОРИЯХ КОННЕКСИВНОЙ ИМПЛИКАЦИИ
Александр Александрович Беликов
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия,
Аннотация. Предлагается метод решения проблемы гиперконнексивности для так называемых чистых теорий коннексивной импликации. На примере одной из таких теорий, которая также является фрагментом, пожалуй, наиболее известной в современной литературе коннексивной логики C, разработанной Х. Вансингом, мы покажем, что незначительная модификация условия ложности для импликативных формул, учитывающая не только информацию о ложности консеквента, но и о его неистинности, позволяет избежать гиперконнексивности даже для теорий, сформулированных в таком «бедном» пропозициональном языке, содержащем только импликацию и негацию.
Ключевые слова: условные высказывания, коннексивная логика, конструктивная логика, логическая семантика, импликация
Благодарности: исследование выполнено при поддержке РНФ, проект № 23-78-01034 «Контр-классические логики», реализуемый в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова.
Для цитирования: Беликов А.А. Проблема гиперконнексивности в чистых теориях коннексивной импликации // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2024. № 80. С. 23-33. doi: 10.17223/1998863Х/80/2
Original article
THE PROBLEM OF HYPER-CONNEXIVITY IN PURE THEORIES OF CONNEXIVE IMPLICATION
Alexander A. Belikov
LomonosovMoscow State University, Moscow, Russian Federation, [email protected]
Abstract. It is well known that in many systems of connexive logic not only the so-called Bothius and Aristotle theses are valid but also two "extra" formulas: -(A^B)^(A^-B) and -(A^-B)^(A^B). Henceforth we will denote them as (HBI) and (HBII) respectively. According to some specialists, it is possible to find an interpretation of these formulae which illustrates the fact that the content relation between the antecedent and the consequent in the corresponding conditional statements is broken. This means that these laws are undesirable in theories claiming to formalize connexive implication. Our paper proposes a way to modify Heinrich Wansing's approach to avoid this problem which is known in the literature as the problem of hyper-connexivity. The falsity condition of implicative statements used in the implicative-negative fragment of Wansing's logic C can be informally interpreted as follows: the falsity of a conditional statement arises only when the truth of the antecedent implies the falsity of the consequent. In other words, the negative semantic information contained in the consequent arises precisely as a consequence of the truth of the antecedent, and not simply along with its truth. It can be seen that in Wansing-type systems, the negative semantic
© А.А. Беликов, 2024
information of a statement is not uniquely determined when the interpreter has positive semantic information. If the interpreter has been able to establish that the truth of a statement p is forced by the information state x, then this says absolutely nothing about whether the falsehood of p is forced by x or not. It is similar for the situation when the negative semantic information is available to the interpreter in the first place. This gives him no reason to judge anything unambiguously about the positive semantic information. When considering Wansing's condition, it is easy to see that it differs from the classical falsity condition not only structurally, but also in that it does not take into account the negative semantic information about the truth of the consequent. We propose a generalization of Wansing's condition by requiring that an information state forces the falsehood of a conditional statement only if any information state that forces the truth of the antecedent of that statement, when combined with the initial state, forces the falsehood of the consequent or does not force its truth. This modification allows us to show the refutability of principles (HBI) and (HBII), while preserving the general validity of Aristotle's and Boethius' theses. Keywords: conditionals, connexive logic, constructive logic, logical semantics, implication
Acknowledgments: The study is supported by the Russian Science Foundation, Project No. 23-78-01034.
For citation: Belikov, A.A. (2024) The problem of hyper-connexivity in pure theories of connexive implication. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 80. pp. 23-33. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/80/2
1. Коннексивная логика как разновидность контр-классической логики
Можно по-разному относиться к тому, что темпы производства все новых и новых неклассических логик уже давно достигли, кажется, предельных значений. Среди специалистов в области логики велика доля как сторонников такого логического плюрализма, так и противников. Но вне зависимости от чьих-либо предпочтений факт остается фактом - различных логических теорий разработано и продолжает разрабатываться очень много.
На что мы хотели бы обратить особое внимание, так это на то, чем мотивирована разработка этих теорий. Всех их принято помещать в категорию неклассических логик, т.е. таких, которые по умолчанию предполагают отказ от каких-либо принципов классической логики. Но даже среди неклассических логик можно выделить небольшое число теорий, которые не просто ограничиваются отказом от методологических принципов, лежащих в основе классической логики, но также выдвигают требование о принятии каких-то совершенно новых принципов, отсутствующих в самой классике. Речь идет о так называемых контр-классических логиках.
Автором термина «контр-классическая логика» считается Л. Хамбер-стоун. В своей одноименной работе он пишет:
«[М]ы называем логику контр-классической только в том случае, если не все, что доказуемо в этой логике, доказуемо и в классической логике. Поскольку на данный момент под тем, что может быть доказуемым или недоказуемым в некоторой логике, мы понимаем формулы... это попросту означает, что не всякая доказуемая в контр-классической логике формула является классически общезначимой» [3. С. 438-439]
Явным представителем этой категории логических систем является коннексивная логика (см.: [8]). В этом разделе современной символической логики главный фокус исследований сконцентрирован на тех особенностях отри-
цания условных высказываний (кондиционалов), которые присущи естественным рассуждениям человека, но не могут быть адекватно эксплицированы средствами классической логики.
В основе коннексивной логики лежит идея о том, что логическая связка импликация должна в том или ином виде отражать следующие содержательные требования о свойствах условной связи между высказываниями естественного языка:
• ни одно высказывание не должно быть следствием собственного отрицания;
• ни одно высказывание не должно иметь в качестве следствия собственное отрицание;
• ни одно высказывание не должно иметь в качестве следствия два противоречащих друг другу высказывания сразу.
Существует несколько способов формализации этих предпосылок, но общепринятый способ заключается в том, чтобы закодировать их в виде требования об общезначимости (доказуемости) следующих пропозициональных формул, содержащих, по крайней мере, связки импликации и отрицания: —(—A^-A) (тезис Аристотеля I), —(A^—A) (тезис Аристотеля II), (A^-B)^-(A^B) (тезис Боэция I) и (A^B)^-(A^-B) (тезис Боэция II) \
Примечательно, что ни одна из указанных формул не является законом классической логики высказываний. В этом нетрудно убедиться, используя метод таблиц истинности и интерпретируя ^ как материальную импликацию, а — - как классическое отрицание. Именно это обстоятельство и позволяет судить о том, что любая теория, в которой данные формулы окажутся законами, автоматически попадает в категорию контрклассических логик, ведь в ней будут такие законы, которых нет в классической логике.
Далее в нашей статье представлены так называемые чистые теории коннексивной импликации. В параграфе 2 сформулирована проблема гиперкон-нексивности. Это неоднозначное свойство многих коннексивных логик, на разработку метода устранения которого и направлена наша статья. Параграф 3 содержит экспозицию формальной семантики для одной из самых известных и значимых коннексивных логик - конструктивной коннексивной логики Вансинга C. В параграфе 4 предложена модификация семантики из параграфа 3, в результате которой нами получена новая коннексивная логика, свободная от гиперконнексивности. Наконец, в параграфе 5 мы кратко обсуждаем возможное обобщение полученного результата и намечаем проблему для будущего исследования.
2. Проблема гиперконнексивности
Название «коннексивная логика» возникло в результате калькирования английского термина «connexive logic», который, в свою очередь, был образован от слова «connexion» (по-русски - «связь»). То есть в самом названии этого раздела логики содержится указание на то, что основной объект исследования - это связь по содержанию между антецедентом и консеквентом
1 Имена Аристотеля и Боэция в названиях этих формул упоминаются не случайно, и это общепринятая терминология. Читатель может подробнее ознакомиться с историей этих «тезисов» по ссылке [8].
условного высказывания. В этом ракурсе очевидно, что коннексивная логика тесно связана с таким направлением, как релевантная логика.
Основатель современной коннексивной логики и, собственно, автор этого названия С. МакКолл мотивировал этот выбор ссылкой на фрагмент, приписываемый известному античному логику Хриссиппу:
«[Т]е, кто вводит понятие связи, говорят, что условное высказывание корректно, когда высказывание, противоречащее его консеквенту, несовместимо с его антецедентом» [4. С. 415]
По мнению МакКолла, общезначимость (доказуемость) тезисов Аристотеля и Боэция является необходимым условием для того, чтобы между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания возникала связь по содержанию. Однако вслед за другими исследователями [10] мы отметим, что МакКолл не уточняет, как именно в строгом смысле слова тут понимается связь по содержанию. В связи с этим исследования в области кон-нексивной логики связаны не столько с разработкой подходов к формальной экспликации упомянутой связи по содержанию, сколько с разработкой подходов к построению логических теорий, в которых тезисы Аристотеля и Боэция являлись бы законами.
Среди таких подходов наиболее значимым и поистине революционным стал подход, разработанный немецким логиком Х. Вансингом [9]. Об этом подходе подробнее будет сказано в следующих параграфах. Сейчас же нам хотелось бы обратить внимание на то, что, с точки зрения МакКолла, подход Вансинга хоть и признается как успешный, но при этом не соответствует той самой предпосылке о связи по содержанию между антецедентом и консе-квентом кондиционала.
МакКолл справедливо отмечает [4. С. 446], что в системе Вансинга (и многих других системах, построенных по методу Вансинга) законами являются не только необходимые тезисы Аристотеля и Боэция, но также и две «лишние» формулы: -(А^В)^(А^-В) и -(А^-В)^(А^В). Отныне будем обозначать их как (НВ1) и (НВ11) соответственно.
Согласно МакКоллу, можно подобрать конкретную интерпретацию этих формул, которая иллюстрирует факт нарушения связи по содержанию между антецедентом и консеквентом в соответствующих условных высказываниях. А значит, эти законы нежелательны в теориях, претендующих на формализацию коннексивной импликации.
МакКолл приводит следующий пример. Подставим в формулу (НВ1) вместо А высказывание «трава зеленая», а вместо В - «снег белый». Тогда очевидно, что антецедент (НВ1) «неверно, что если трава зеленая, то снег белый» истинен. Из этого, как предписывает логическая форма (НВ1), должно следовать высказывание «если трава зеленая, то неверно, что снег белый». Но это, как отмечает МакКолл, контринтуитивное следствие.
Без привязки к идее о связи по содержанию избыточность формул (НВ1) и (НВ11) была также отмечена и другим известным логиком Ричардом Силва-ном [6]. Он предложил использовать термин «гипер-коннексивные логики» применительно к тем логическим теориям, в которых помимо тезисов Аристотеля и Боэция законами являются также (НВ1) и (НВП).
Далее в статье предложен способ модификации подхода Вансинга, позволяющий избежать проблемы гиперконнексивности.
3. Чистая теория коннексивной и конструктивной импликации
Когда мы говорили о коннексивной логике Вансинга, мы имели в виду логическую теорию ^ разработанную в статье [9]. Но с момента создания логики C метод семантического моделирования коннексивной импликации, применяемый в ней, был обобщен и успешно адаптирован для большого числа логик и различных видов формальных семантик, как истинностно-функциональных, так и реляционных.
Сама же логика C была получена Вансингом в результате, на первый взгляд, незначительной модификации другой хорошо известной, но не коннексивной логики - паранепротиворечивой конструктивной логики Нельсона N4 [5].
Как известно, и N4, и C - это теории, которые обычно строятся в языке с достаточно богатым набором логических связок: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и негацией. Поскольку нам хотелось бы вести исследование кон-нексивности в максимально общем контексте, мы не будем определять и обсуждать логику C в таком богатом языке и сконцентрируемся на ее фрагменте, содержащем только импликацию и негацию. Тем более что упомянутые во введении характерные признаки коннексивности (наличие тезисов Аристотеля и Боэция) не предполагают ничего, кроме импликации и негации.
Важно отметить, что импликативно-негативный фрагмент логики C был впервые исследован как с семантической, так и с теоретико-доказательной точки зрения не Вансингом, а Й. Вайсом в работе [11] \ Именно поэтому, обсуждая в дальнейшем импликативно-негативную логику ^ мы будем говорить о теории, разработанной Вайсом, но при этом ассоциировать ее и с Вансингом.
Вайс разработал свою семантику для импликативно-негативной логики C путем адаптации хорошо известного метода «операциональной» или «полурешеточной» семантики А. Уркварта для релевантных логик [7].
Воспроизведем семантическое определение импликативно-негативной логики C из статьи [11] с незначительными изменениями в нотации2.
Модельная структура определяется как упорядоченная тройка: ^,0,и>, где S - непустое множество «информационных состояний», которое можно с содержательной точки зрения понимать как множество информационных состояний некоторой научной теории, 0 - элемент множества S, который можно трактовать как начальное информационное состояние научной теории, и и -бинарная операция на множестве S, обладающая следующими свойствами для всяких а, Ь и с из S: аиа = а (идемпотентность), аиЬ = Ьиа (коммутативность), аи(Ьис) = (аиЬ)ис (ассоциативность) и 0их = х (тождество).
1 Там же эта и другие более слабые логические теории были обозначены как «чистые теории коннексивной импликации» по аналогии с тем, как во времена активного развития релевантной логики теории релевантной импликации и следования, содержащие только одну логическую связку назывались «чистыми теориями релевантной импликации и следования».
2 Напомним, что эта и все обсуждаемые в дальнейшем логические теории определяются на базе стандартно определяемого пропозиционального языка, содержащего только импликацию ^ и негацию -. Обратим также внимание, что мы часто будем использовать термин «высказывание», имея при этом в виду пропозициональную формулу, соответствующую этому высказыванию. Такое употребление терминов выбрано нами, исключительно чтобы сделать текст менее нагруженным техническими деталями и доступным более широкому кругу читателей. В ситуациях, когда это упрощение может привести к проблемам, мы, разумеется, будем избегать такого употребления и выражать свою мысль точнее.
С содержательной точки зрения можно трактовать операцию и как операцию сочленения или объединения различных информационных состояний научной теории.
Теперь определим модель, с помощью которой задается формальная семантика для импликативно-негативной логики С
Модель Вайса для импликативно-негативной логики C определяется как упорядоченная пятерка: ^,0,и,У+,У>, где ^,0,и> - определенная выше модельная структура, а V+ и V- - две функции, каждая из которых приписывает атомарным высказываниям языка произвольное (возможно, и пустое) множество информационных состояний из S. Функция V в этом контексте понимается как функция приписывания истины, а функция V - как функция приписывания лжи. Соответственно, выражение w6V+(p) читается как «информационное состояние w вынуждает истинность высказывания р». В свою очередь, выражение w6V-(p) читается как «информационное состояние w вынуждает ложность р».
Отличительная особенность этой модели в том, что приписывание истинности и ложности некоторому высказыванию осуществляется независимым друг от друга образом.
При данном подходе функции приписывания значений могут быть заданы таким образом, что любое высказывание может быть только истинным, только ложным, одновременно истинным и ложным или вовсе оказаться ни истинным, ни ложным. Для иллюстрации возьмем атомарное высказывание р, модель, содержащую только одно информационное состояние w, и перечислим четыре разных варианта того, как можно приписать значения:
• V+(p) = и V-(p) = - информационное состояние вынуждает как истинность, так и ложность высказывания р;
• V+(p) = и "У-р) = 0 - информационное состояние вынуждает только истинность р;
• V+(p) = 0 и "У-р) = - информационное состояние вынуждает только ложность р;
• V+(p) = 0 и ^(р) = 0 - информационное состояние w не вынуждает ни истинность, ни ложность р.
Следующий шаг в определении модели Вайса предполагает использование важного семантического постулата, фиксирующего требование о конструктивности истины и лжи: для любых х и у из S верно, что
если х 6 V+(p), то хиу 6 V+(p) - свойство сохранности истины; 0
если х 6 "У-р), то хиу 6 ^(р) - свойство сохранности лжи. (и)
В соответствии с этими условиями для любого атомарного высказывания верно, что если оно истинно (ложно), то его истинность (ложность) сохраняется в любом расширении исходного информационного состояния. Вкупе с приведенными ниже семантическими определениями для импликации и негации можно доказать, что свойства сохранности истины и лжи имеют место не только для атомарных высказываний, но и для любых.
Определим теперь семантические условия для приписывания значений
сложным высказываниям:
х 1Ь+ -А, если и только если х И-_ А; (1)
х И-_ -А, если и только если х 1Ь+ А; (2)
х 1Ь+ А^В, если и только если для любого y6S верно, что если у 11-+ А, то хиу 1Ь+ В; (3)
х 1Ь_ А^В, если и только если для любого у£$ верно, что если у 1+ А, то хиу 1Ь_ В. (4)
Наконец, завершая построение семантики, нам необходимо определить понятие общезначимого высказывания.
Высказывание А называется истинным в модели, если и только если 0 II-+ А. Если же это свойство выполняется в любой модели, т.е. высказывание А является истинным в любой модели, то его называют общезначимым в логике С.
Используя только что введенные формальные определения, читатель сможет самостоятельно убедиться в том, что в данной логике тезисы Аристотеля и Боэция являются общезначимыми.
Далее, мы рассмотрим возможное обобщение условия (4) и покажем, что это позволяет получить альтернативную трактовку коннексивной импликации, свободной от гиперконнексивности.
4. Ложь или не-истина
Несложно видеть, что условие (4) существенно отличается от классического подхода к определению ложности условных высказываний. Причем главное отличие здесь не в том, что в классическом подходе совсем необязательно вести учет точек оценивания (возможных миров, информационных состояний, ситуаций и пр.) высказываний. Вся суть отличия - в определяющей части условия (4). Она имеет форму условного метаязыкового высказывания, а не конъюнктивного, как в классической логике.
Для большей наглядности можно формализовать классический подход в терминах семантики Вайса:
х I А ^ В, если и только если существует у 6 S такой, что у 1+ А и хиу I В. (5)
Легко видеть, что структура определяющей части изменилась - в условии (5) используется конъюнктивное высказывание, образованное мета-языковым союзом «и», для утверждения об одновременной истинности антецедента и ложности консеквента. В случае же с условием (4) союз «и» в метаязыке заменяется на союз «если... то...». Именно это и позволяет достичь коннексивности.
Условие (4) может быть содержательно истолковано следующим образом: информационное состояние вынуждает ложность условного высказывания только в том случае, когда любое информационное состояние, вынуждающее истинность антецедента этого высказывания, будучи объединенным с изначальным состоянием, вынуждает ложность консеквента. Абстрагируясь от учета информационных состояний, условие (4) можно трактовать и в более общем виде: ложность условного высказывания возникает только в том случае, когда истинность антецедента этого высказывания влечет ложность его консеквента. Другими словами, негативная семантическая информация, содержащаяся в консеквенте, возникает именно вследствие истинности антецедента, а не просто наряду с его истинностью.
Мы не случайно прибегли к употреблению термина «семантическая информация». С логико-семантической точки зрения любое высказывание содержит определенную семантическую информацию касаемо своего значения, которую интерпретатор считывает в процессе познавательной деятельности.
Имеется в виду информация об истинности и информация о ложности высказывания. Обратим внимание, что каждую из этих двух разновидностей можно, в свою очередь, подразделить на две категории или два типа - позитивную и негативную.
Различие между позитивной и негативной семантической информацией можно объяснить следующим образом. Процесс установления значения высказывания интерпретатором заканчивается ответом на вопрос, является ли это высказывание, например, истинным. И ответ этот, очевидно, может быть либо утвердительным, либо отрицательным. Если ответ утвердительный, то интерпретатор получил своего рода позитивную информацию о значении высказывания - он знает, что оно истинно. Если же ответ отрицательный, то понятно, что информация, полученная интерпретатором, имеет негативную окраску, ведь интерпретатор имеет информацию о том, что высказывание не обладает тем значением, на установление которого был сделан запрос.
Разумеется, прагматический аспект познавательной деятельности оставляет интерпретатору возможность для того, чтобы запрос на установление значения высказывания был выражен не вопросом об истинности, а вопросом о ложности высказывания. И в этом случае события развиваются по аналогичному сценарию. На вопрос о ложности в конечном счете приходит либо утвердительный, либо отрицательный ответ. В этом случае мы снова видим, что интерпретатор может иметь дело с двумя типами семантической информации - позитивной и негативной соответственно.
Отметим, однако, что в классической семантике позитивная и негативная информация в некотором смысле зависимы или даже тривиально выразимы друг через друга. Например, информация о том, что высказывание ложно, свидетельствует также и о том, что оно не истинно. Аналогично и в обратную сторону: информация об истинности высказывания дает основание интерпретатору утверждать его не-ложность.
Такое взаимоотношение между двумя типами семантической информации, на наш взгляд, вполне оправданно назвать семантическим детерминизмом, поскольку в описанной ситуации каждый из двух типов семантической информации становится однозначно определенным при установлении семантической информации противоположного типа. Факт ложности (истинности) высказывания и факт не-истинности (не-ложности) высказывания с точки зрения классической семантики сообщают интерпретатору одно и то же. Поэтому любая негативная информация о значении высказывания автоматически конвертируется в позитивную и наоборот.
В случае же с неклассическими логиками, как мы видели ранее, отношения между тем, что мы называем позитивной и негативной семантической информацией высказывания, совершенно другие.
Применительно к семантике импликативно-негативной логики ^ мы видим, что негативная семантическая информация высказывания не является однозначно определенной в том случае, когда интерпретатор располагает позитивной семантической информацией. Если интерпретатор смог установить, что истинность высказывания р вынуждается информационным состоянием х, то это совершенно ничего не говорит о том, вынуждает х ложность р или не вынуждает. Аналогично и в случае, если интерпретатору доступна нега-
тивная семантическая информация. Это не дает ему оснований однозначно судить о позитивной. Данную семантическую особенность, противопоставляя семантическому детерминизму, можно обозначить как семантический индетерминизм.
Это наблюдение позволяет нам провести сравнение классического условия ложности для импликации и коннексивного, выраженного в форме условия (4).
Если в классической логике позитивная и негативная семантическая информация по сути неразличимы, то, как мы отметили выше, возникает своеобразный "парадоксальный" эффект - любая позитивная семантическая информация может быть воспринята как негативная и наоборот: ложность равна не-истинности, а истинность равна не-ложности. В таком случае мы имеем основания для различных содержательных прочтений классического определения ложности импликации. Например, для следующих двух:
А ^ В ложно, только если А истинно и В ложно, (а)
А ^ В ложно, только если А истинно и В не истинно. (Ь)
Поскольку ложность тождественна не-истинности, и не-истинность - это разновидность негативной семантической информации, то и ложность можно рассматривать как разновидность негативной информации (так это обычно и воспринимается большинством исследователей). Таким образом, с точки зрения классической логики вполне допустимым было бы принять следующую неформальную трактовку ложности импликации:
А^В ложно, только если интерпретатору доступна позитивная информация об истинности А и негативная информация об истинности В. (с) При сравнении этой трактовки и определения (4) нетрудно заметить, что (4) отличается от классического условия ложности не только структурно (об этом уже было сказано выше), но и тем, что оно совсем не учитывает негативную семантическую информацию об истинности консеквента.
Это возникает как раз в силу семантического индетерминизма. Если в условии (с) негативная информация об истинности консеквента позволяет вывести позитивную информацию о его ложности, что делает условия (а) и (Ь) взаимозаменяемыми, то в условии (4) позитивная информация о ложности консеквента никак не связана с негативной информацией о его истинности. Он может как быть, так и не быть истинным.
Ввиду сказанного нам кажется вполне естественным произвести обобщение условия (4) потребовав, чтобы информационное состояние вынуждало ложность условного высказывания только в том случае, когда любое информационное состояние, вынуждающее истинность антецедента этого высказывания, будучи объединенным с изначальным состоянием, вынуждало ложность консеквента или не вынуждало его истинность. Так мы сможем, на наш взгляд, немного приблизить коннексивное понимание ложности импликации к классическому.
Для формализации нового подхода нам достаточно заменить условие (4), введенное в предыдущем параграфе, на модифицированное условие (6): х И-_ А ^ В, если и только если для любого у 6 S верно, что если у II-+ А, то хиу И-_ В или хиу II/+ В. (6)
Все остальные формальные определения, включая определение самой модели, остальных семантических условий для связок и определение общезначимости, остаются без изменений.
Проведенная модификация позволяет нам показать опровержимость принципов (НВ1) и (НВП), при этом сохранив общезначимость тезисов Аристотеля и Боэция.
Для обоснования опровержимости -(р^о)^(р^-о) и -(р^-о^ф^о) достаточно рассмотреть контрмодель ^,0,и^+,"У~>, где S = {0, х}, операция и определена следующим образом:
и 0 x
0 0 x
x x x
и оценка атомарных высказываний задана так: V+(p) = {0,x}, V (p) = 0, V+(q)=0 и V(q) = 0.
5. Возможные обобщения: релевантность
Импликативно-негативная логика C отличается не только тем, что в ее формальной семантике использовано особое условие ложности для импликации, которое, как было показано выше и в других работах [1, 2], может быть успешно модифицировано во избежание гиперконнексивности. В этой семантике также зашиты два семантических постулата, гарантирующих конструктивность обеих логик, как импликативно-негативной логики C, так и новой, построенной нами логики. Речь идет об утверждениях (i) и (ii) из параграфа 3. Именно благодаря этим свойствам моделей импликативный фрагмент им-пликативно-негативной логики C и новой предложенной нами логики совпадает с импликативным фрагментом интуиционистской логики, который обычно и трактуется, как формализация конструктивного подхода к пониманию условной связи.
Как было показано Урквартом в случае с релевантными логиками [7], и Вайсом в случае с чистыми теориями коннексивной ипликации [11], отказ от этих постулатов позволяет получить импликацию, удовлетворяющую свойству релевантности. В частности, если мы оставим все определения, использованные для построения импликативно-негативной логики C, но уберем постулаты (i) и (ii), то полученная логическая теория, как показано Вайсом, есть коннексивное расширение импликативного фрагмента релевантной логики R. Разумеется, если аналогичным образом определить семантику, в которой вместо условия ложности (4) используется условие (6), то мы также получим коннексивное расширение импликативного фрагмента релевантной логики R. Однако оно, в отличие от результата Вайса, не будет гиперконнексивным.
Более подробное изучение этой одновременно релевантной и коннексив-ной логики, свободной от гиперконнексивности, мы оставим в качестве открытой проблемы для будущего исследования.
Список источников
1. Belikov A. A simple way to overcome hyperconnexivity // Studia logica. 2023. https://doi.org/10.1007/s11225-023-10056-3
2. Belikov A., Zaitsev D. A variant of material connexive logic // Bulletin of the section of logic. 2022. Vol. 51, № 2. С. 227-242.
3. Humberstone L. Contra-classical logics // Australasian journal of philosophy. 2000. Vol. 78, № 4. С. 438-474.
4. McCall S. A history of connexivity // Handbook of the history of logic / eds.: D.M. Gabbay, F.J. Pelletier, J. Woods. North-Holland, 2012. Vol. 11. С. 415-449.
5. Nelson D. Constructible falsity // Journal of symbolic logic. 1949. Vol. 14, № 1. С. 16-26.
6. Sylvan R. Bystanders' guide to sociative logics // R. Sylvan. Research series in logic and metaphysics, no.4. Australian National University, Canberra, 1989. 149 p.
7. Urquhart A. Semantics for relevant logics // Journal of symbolic logic. 1972. Vol. 37, № 1. С. 159-169.
8. WansingH. Connexive Logic // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition) / E.N. Zalta (ed.), forthcoming. URL: https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/entries/logic-connexive/>
9. WansingH. Connexive modal logic // Advances in modal logic / ed. R. Schmidt. 2005. Vol. 5. С. 367-383.
10. Wansing H., Skurt D. Negation as cancellation, connexive logic and qLPm // The Australasian journal of logic. 2018. Vol. 15, № 2. С. 476-488.
11. Weiss Y. Semantics for pure theories of connexive implication // The review of symbolic logic. 2022. Vol. 15, № 3. С. 591-606.
References
1. Belikov, A. (2024) A simple way to overcome hyperconnexivity. Studia logica. 112. pp. 6994. DOI: 10.1007/s11225-023-10056-3
2. Belikov, A. & Zaitsev, D. (2022) A variant of material connexive logic. Bulletin of the Section of Logic. 51(2). pp. 227-242.
3. Humberstone, L. (2000) Contra-classical logics. Australasian Journal of Philosophy. 78(4). pp. 438-474.
4. McCall, S. (2012) A history of connexivity. In: Gabbay, D.M., Pelletier, F.J. & Woods, J. (eds) Handbook of the History of Logic. Vol. 11. North-Holland. pp. 415-449.
5. Nelson, D. (1949) Constructible falsity. Journal of Symbolic Logic. 14(1). pp. 16-26.
6. Sylvan, R. (1989) Bystanders' guide to sociative logics. Research Series in Logic andMeta-physics. 4.
7. Urquhart, A. (1972) Semantics for relevant logics. Journal of Symbolic Logic. 37(1). pp. 159169.
8. Wansing, H. (2022) Connexive Logic. In: Zalta, E.N. (ed.) The Stanford Encyclopedia of Philosophy. [Online] Available from: https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/entries/logic-connexive/>
9. Wansing, H. (2005) Connexive modal logic. In: Schmidt, R. (ed.) Advances in Modal Logic. Vol. 5. pp. 367-383.
10. Wansing, H. & Skurt, D. (2018) Negation as cancellation, connexive logic and qLPm. The Australasian Journal of Logic. 15(2). pp. 476-488.
11. Weiss, Y. (2022) Semantics for pure theories of connexive implication. The Review of Symbolic Logic. 15(3). pp. 591-606.
Сведения об авторе:
Беликов А.А. - кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры логики философского факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (Москва, Россия). E-mail: [email protected]
Information about the author:
Belikov A.A. - Cand. Sci. (Philosophy), senior lecturer, Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University (Moscow, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 11.03.2024; одобрена после рецензирования 15.07.2024; принята к публикации 12.08.2024
The article was submitted 11.03.2024; approved after reviewing 15.07.2024; accepted for publication 12.08.2024
