Темпоральная импликация и временные модальности Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

УДК 164.3 О. Ю. Гончарко

Вестник СПбГУ. Сер. 6. 2012. Вып. 1

ТЕМПОРАЛЬНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ И ВРЕМЕННЫЕ МОДАЛЬНОСТИ*

Вопрос соотношения понятий логического следования и модальностей в ХХ веке был связан с попытками разрешить парадокс материальной импликации, предложить такую ее интерпретацию, которая не порождала бы парадоксов. Начиная с работ Льюиса и Лэнгфорда, Гильберта и Аккермана в истории логики были сформулированы различные логические системы, в которых отдельное внимание уделялось вопросам импликации и логического следования. Целый набор неклассических логик (модальных, релевантных) был создан с целью отобразить на формальном уровне содержательные интуиции логического следования как понятия, связанного не только с формальными понятиями истинности и ложности антецедента и консеквента, но с содержательным понятием причинности или следования во времени.

В данной статье мы попытаемся рассмотреть соотношение понятий логического следования и темпоральной импликации, проанализировать исторические корни данной проблематики, восходящие к идеям Диодора Кроноса, и дать обзор современных формулировок понятия темпоральной импликации техническими средствами неклассических временных систем.

Диодорова временная импликация

Диодор Кронос (согласно версии Секста Эмпирика) занимался проблемой соотношения времени и импликации и «отдавал предпочтение тому, что бы мы сейчас назвали временной строгой импликацией, тогда как Филон Мегарский приводил доводы в пользу материальной импликации» [1, с. 19]. Диодорова импликация истинна только в том случае, если она никогда не содержит истинный антецедент и ложный консек-вент. Импликация Диодора — это строгая импликация, поскольку если возможно, что данная импликация будет ложной, то она уже сейчас не может быть истинной. Известный пример, иллюстрирующий положение Диодора, — это пример с импликацией «Если сейчас день, то я разговариваю». Согласно Филону, импликация сейчас истинна, если сейчас день и сейчас Диодор разговаривает, тогда как Диодор полагает, что если сейчас уже возможна ложность консеквента (а она возможна, ибо по окончании разговора консеквент станет ложным), то и импликация сама ложна уже сейчас, хотя и кон-секвент, и антецедент ее истинны в данный момент. Введение модального понимания истинности импликации позволяет перейти от материальной импликации к строгой импликации, что было осуществлено в ХХ в. Еще один интересный временной пример, фальсифицирующий подход Филона к импликации и саму материальную импликацию как таковую, — это пример с импликацией «Если сейчас ночь, то сейчас день». Данная импликация истинна, если сейчас день, и ложна, если сейчас ночь. Но Диодор также ее отвергает как не истинную, поскольку даже днем возможна ее будущая ночная ложность: «...импликация истинна в диодоровом смысле только тогда, когда она истинна

* Статья выполнена в рамках тематического плана фундаментальных НИР СПбГУ «Логико-прагматический и семантический анализ обыденных рассуждений средствами неклассической логики».

© О. Ю. Гончарко, 2012

во все моменты времени в филоновом смысле. Это может быть выражено следующим образом, где ^ обозначает диодорову импликацию:

(F^G) = (t) (F(t) з G(t))

Применительно к конкретному высказыванию это будет означать, что суждение «"если (диодорова импликация) сейчас день, то сейчас светло" истинно тогда и только тогда, когда суждение "если (филонова импликация) сейчас день в момент t, то сейчас светло в момент t" истинно для всех t» [2, р. 45]. Интересно, что Диодор утверждает, что импликация истинна при двух условиях: (1) невозможно (сейчас), чтобы антецедент был истинным, а консеквент ложным; (2) было невозможно, чтобы антецедент был истинным, а консеквент ложным.

Б. Мэйтс комментирует это таким образом: условие (1) ответственно за нынешнюю и будущую невозможность (хотя невозможность утверждается только относительно настоящего момента как сейчас-невозможность, равная невозможности-впредь), тогда как условие (2) оговаривает прошедшую невозможность истинности антецедента при ложности консеквента: «Диодорова импликация может быть рассмотрена как специальный вид того, что Б. Рассел называет "формальной" импликацией» [2, р. 46]. Г. Фреге предлагает по этому поводу интересное замечание: импликация «Если солнце в Тропике Рака (the sun is in the tropic of Cancer), то у нас самый длинный день в году (we have the longest day)» вообще не предполагает какую-нибудь ссылку на время (даже на все время), что глаголы is и have относятся, конечно, к настоящему времени, но включенные в импликацию, они такое отношение теряют. Б. Мэйтс полагает, что подход Диодора к импликации так и остался неразработанным, и, возможно, никогда не будет разработан, хотя было бы достаточно интересно сравнить его импликацию со строгой «импликацией Льюиса и Лэнгфорда». Совсем отождествлять их было бы неправомерно, но если принять Диодорово определение необходимой истинности как истинности во все моменты времени, то тогда «любая импликация, которая удовлетворяет условиям истинности, будет удовлетворять также и условиям необходимой истинности» [2, р. 47]. Тогда как у Льюиса «р строго имплицирует q» означает, что «неверно, что возможно, чтобы р было истинным, а q ложным». Тем не менее уже в античности понимали, что Диодорова импликация также содержит парадокс: высказывание, которое всегда ложно, имплицирует любое высказывание, даже свое отрицание. У Диогена Лаэртского можно найти следующее отличное от первого определение импликации Диодором: «...истинная импликация та, в которой противоречивый консеквент несовместим с антецедентом. ложная — в которой противоречивый консеквент совместим с антецедентом» [2, р. 48]. Под словом «совместимы», возможно, понимается нечто большее, чем просто «оба истинны». Возможно, Диодор подразумевает, что оба высказывания, антецедент и консеквент, могут быть истинными в некотором смысле слова «могут». Критерий Диодора к понятию «следует» таков, что следование не может меняться, т. е. следовать или не следовать, быть в некоторых случаях истинным, в некоторых ложным. Другими словами, слово «следует» никогда не может быть к чему-то приложимо с уверенностью. А также «необходимость» и «невозможность» как самостоятельные категории могут быть сведены к понятиям темпоральных истинности и ложности соответственно.

Тем не менее прежде чем строить логическую реконструкцию данного рассуждения, надо, по совету П. Орстрома и П. Хэсла, ответить на два фундаментальных в этом

отношении вопроса: каким образом могут быть поняты три положения Диодора и каким образом надо понимать «следует» (акоХоибего) во второй посылке, ведь его можно понимать и как следование во времени, и как логическое следование. Тогда возможны два перевода второго тезиса с древнегреческого языка: (1) невозможное не следует (логически) из возможного; (2) невозможное не следует (во времени) после возможного. Прояснение, каким образом возможен второй вариант перевода, может подвести нас к выводу относительно природы темпоральной импликации, или временного следования.

Интересный вариант трактовки идей Диодора можно найти в работе В. В. Воробьева «Импликация и модальность у Диодора Кроноса» [3]. Различные авторы критиковали Диодора как за детерминизм, так и за смешение логического и грамматического. Специфическим является и понимание Диодором истинности. Суждение «сейчас день» истинно, когда день, и ложно, когда ночь, тогда как суждение «боги существуют» истинно по определению — такое понимание истинности было общепринятым в античности. Диодор, согласно В. В. Воробьеву, «не отождествлял высказывания истинные в данный момент времени и истинные всегда. Логическое значение тех и других высказываний различно» [3, с. 83]. Импликация, согласно Филону, будет ложной только тогда, когда «начинается с истины и заканчивается ложью» [3, с. 83]. «Диодор же усиливал требования Филона за счет учета временных факторов. Согласно его определению, импликация истинна, если "не было возможным и не является возможным, чтобы начинаясь от истины она заканчивалась ложью".. Признание существенности этого факта позволяет рассматривать концепцию Диодора в целом как предполагающую временную логику» [3, с. 84]. В качестве примера условного высказывания, которое Диодор признавал истинным, можно привести сложное суждение «Если не существуют неделимые начала сущего, то существуют неделимые начала сущего». В данном суждении консеквент всегда истинен, а антецедент всегда ложен. Следовательно данная импликация всегда истинна. Таблица истинности для импликации с тремя значениями истинности (всегда истинно (1); иногда истинно, иногда ложно (2); и всегда ложно (3)) реконструирована В. В. Воробьевым [см.: 3, с. 84-85] и представляет интересную альтернативу таблицам истинности для импликации в многозначных логиках Я. Лукасевича.

Согласно рассуждению Диодора, следующие три предложения оказываются несовместимыми: (1) каждое истинное высказывание о прошлом является необходимым; (2) невозможное не следует из возможного; (3) нечто, чего нет и не будет, все-таки является возможным [4, с. 49-50]. Однако с учетом временного параметра истинности возможно и следующее понимание данного рассуждения: (1) все прошедшее истинное необходимо; (2) невозможное не следует после возможного; (3) возможное есть то, что ни есть истинное, ни будет истинным [см.: 3].

Еще одно определение модальностей Диодора дает Боэций: «Необходимое у Диодора, согласно Боэцию — это то, что "будучи истинным, не станет ложным". Возможное — то, что "либо есть, либо будет истинным", невозможное — "будучи ложным, не станет истинным" и не необходимое — "есть, либо будет ложным"» [3, с. 85].

Для реконструкции модальностей Диодора А. Н. Прайор построил такую систему временной логики, которая оказалась сильнее льюисовской S4, но слабее S5. Однако интерпретация Прайора не является единственно возможной: «Согласно первому положению "главного рассуждения" и с учетом определения, приведенного Боэцием, необходимым будет высказывание, ставшее истинным в некоторый момент прошлого,

являющееся истинным сейчас и остающееся истинным во все моменты будущего. Аналогично: невозможное — стало ложным в некоторый момент прошлого, остается ложным теперь и во все моменты будущего. Таким образом, если вспомнить разделение высказываний на "всегда истинные", "всегда ложные" и "иногда истинные, иногда ложные", которое было предложено при рассмотрении импликации Диодора, то можно найти определенную аналогию между высказываниями "всегда истинными" и необходимыми с одной стороны, "всегда ложными" и невозможными — с другой. Но аналогия эта существенно неполна, так как необходимыми считаются высказывания истинные, начиная с некоторого момента в прошлом, а не всегда истинные. То же самое можно сказать о невозможных высказываниях» [3, с. 86]. В свете такого рассуждения сама «необходимость с некоторого момента в прошлом» не должна влечь за собой детерминизм: «Казалось бы, что высказывание, истинное в момент произнесения ("иногда истинное, иногда ложное"), например, "я разговариваю", является возможным. Но Диодор говорит, что впоследствии такое всказывание может стать ложным и остаться ложным, т. е. будет невозможным, а согласно второму положению "главного рассуждения", "невозможное не следует после возможного". Следовательно, возможным нужно считать высказывание, которое, начиная с некоторого момента времени, но не раньше настоящего, становится и остается истинным. Соответственно, не необходимым считается высказывание, которое с некоторого момента времени (теперешнего или будущего) становится и остается ложным» [3, с. 86-87].

Возможно, Диодор полагал, что «если мы имеем средство определить, что высказывание станет истинным и будет оставаться таковым, то можно говорить о его возможности» [3, с. 87], и соответственно о не необходимости — если мы имеем средство определить, что высказывание станет ложным и будет оставаться таковым. Согласно такой интепретации выполняются Пр^р, р^-Ор, но соотношение Пр=~О~р не имеет места. Преимуществом Диодорового понимания импликации как темпоральной импликации в отличие от филоновой материальной импликации является возможность формально отличить модальность «возможность» от модальности «случайность».

Современные подходы к использованию термина «темпоральная импликация»

Попытаемся сопоставить несколько определений темпоральной импликации в рамках различных современных логических систем.

В системе М. Вулдриджа, моделирующей рассуждения рациональных агентов при помощи понятия темпоральной импликации, может быть отображено свойство рациональных систем: «.интуитивным образом такая формула D(f^Of) утверждает "каждый ф имеет следствие f". Способность системы к реагированию (responsiveness) — классический пример темпоральной импликации. Предположим, что ф представляет требование, а f — ответное действие. Тогда представленная выше темпоральная импликация будет утверждать, что каждое требование имеет следствием ответное действие» [5, р. 61].

Другая логическая система, представленная А. Хаддади, моделирует процесс рассуждения с помощью темпоральной импликации как последовательный прогресс из текущего состояния к будущим, последующим состояниям: «.процесс рассуждения может быть представлен в виде переходов от одних состояний рассуждения к другим, которые задаются некоторым набором правил. В соответствии с условиями

данного состояния, эти правила определяют переход к следующему допустимому состоянию. И поскольку этот процесс является временным переходом от одного состояния к другому, то эти правила сравнимы с условиями для данного свойства систем (liveness property), принятыми во временной логике для параллельных программ Pnu-elli. В частности, темпоральная импликация формы D^^-Of), где ф и f являются past-формулами, означает, что всегда если ф выполняется, то и f в итоге будет выполнена в следующем состоянии, если же ф не выполняется, то и f не будет выполнена никогда» [6, р. 84].

У А. Тарлецки используются не только понятие темпоральной импликации (temporal implication) для определения типов данных, но и семантическое понятие следования между темпоральными моделями (implication of temporal models), а также понятие темпоральной унификации (temporal unification) [7, р. 143].

При помощи технического аппарата современных логик сформулировано следующее понятие темпоральной импликативной формы (temporal implication form): «...у формулы есть темпоральная импликативная форма, если она может быть выражена в форме 0(Ф^¥), где Ф есть формула в прошедшем времени, а W — в будущем» [8, р. 497]. В пропозициональной логике формула выражает неудачный исход выполнения операции, приводящий к невозможности дальнейшего выполнения программы, если она имеет форму Л^Б, и Л не выполняется. Обобщением до временной логики было бы следующее утверждение: формула выражает неудачный исход выполнения операции, приводящий к невозможности дальнейшего выполнения программы, если она имеет форму 0(Ф^¥), где Ф есть формула в прошедшем времени, которая выражает условие выполнения программы, а W — формула в будущем времени, которая выражает результат ее выполнения, причем условие Ф никогда не выполняется. Однако Ф не является в классическом смысле антецедентом, поскольку отражает скорее причину запуска программы, а не наличие ее выполнения в данный момент времени.

Дж. Хольцман комментирует такую ситуацию следующим образом: «В качестве примера рассмотрим неформальное системное требование (informal system requirement), чтобы p имплицировало q. Однако формализация вида p^q не будет корректной его формализацией в связи с тем, что данное требование должно выполняться для каждого запуска системы, а в данной формуле нет темпоральных операторов. Для того чтобы это свойство было применимо ко всем запускам и к каждому шагу произвольного запуска, мы должны заменить ее на формулу D(p^q), но и это будет не тем, что нужно выразить, поскольку данная формула выражает просто строгую импликацию между p и q, но не темпоральную импликацию. Возможно, подразумевая темпоральную импликацию, стоило бы воспользоваться формулой D(p^-Oq), но и этот вариант по-прежнему оставляет некоторые сомнения, поскольку считает возможным случай, когда q становится истинным в том же самом состоянии, в котором истинно p. И было бы сложно утверждать, что эта формула отражает понятие истинности q именно как следствия истинности p. Это нас побуждает принять в итоге формулу следующего вида n(p^-X(0q))A0p, где X — это оператор next» [9, р. 138-139].

Ограничимся здесь этими примерами. Необходимо отметить, что они отличаются друг от друга как с точки зрения синтаксиса, так и с точки зрения семантики. Сопоставить определения темпоральных понятий с понятиями алетической логики и через временные определения алетических модальностей выйти к попыткам задать понятие временной строгой импликации, которое также формулируется при помощи модаль-

ности «необходимость», продуктивно не только по причине использования темпоральной импликации в различных исчислениях, но и с точки зрения приближения к пониманию того, что собой представляет понятие «следования» в логике вообще. Множественность современной неклассической логики, ее существование в виде таких систем, как временные, релевантные, деонтические, эпистемические логики (см. статью Ю. В. Нечитайлова «О единстве основания проблемы логического всеведения»1) и др., побуждает обратиться к вопросу о возможном их соотношении. Анализ понятия «следование» принципиален для любого вида логик и может прояснить в том числе и отношения между ними.

* * *

Хотя понятие темпоральной импликации остается рабочим понятием временных логических систем, однако ни одна из ее современных трактовок не является Диодо-ровой, в связи с чем становится интересным вопрос: какими техническими средствами необходимо оснастить аппарат современной временной логики, чтобы выразить Диодорово понятие темпоральной импликации? Если временная ссылка на прошедшее или будущее время — одно из свойств модальностей «возможность» и «необходимость», то правомерен вопрос, удовлетворительно ли понятие временной импликации, сформулированное при помощи диодоровых временных модальностей, с точки зрения прояснения диодорова затруднения, которое, по мнению С. Трубецкого, «составляло предмет удивления в течение многих столетий. Из возможного не может произойти невозможное. А так как невозможно, чтобы совершившееся стало теперь иначе, чем оно есть, то невозможно, чтобы и прежде оно могло быть иначе. Невозможное никогда не может быть возможным, и наоборот» [10, с. 143]. Такое понятие должно бы было в том числе отражать диодорово различие между «всегда истинной импликацией», «всегда ложной импликацией», а также такими временными импликациями, которые истинны или ложны с некоторого момента времени.

Литература

1. Hasle P. F. V., Ohrstrom P. Temporal logic — from Ancient ideas to artificial intelligence. Dordrecht, 1995.

2. Mates B. Stoic Logic. Los-Angeles: University of California Press, 1961.

3. Воробьев В. В. Импликация и модальность у Диодора Кроноса // Из истории античной культуры. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. С. 82-93.

4. Караваев Э. Ф. Основания временной логики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 177 с.

5. Wooldridge M. Reasoning about rational agents. Massachusetts Institute of Technology, 2000.

6. Haddadi A. Communication and cooperation in agent systems: a pragmatic theory. Springer, 1996.

7. Astesiano E., Reggio G., Tarlecki A. Recent trends in data type specification. Springer, 1995. (Lecture Notes in Computer Science.)

8. Vasco L. C., Vasconcelos T. CONCUR 2007 — concurrency theory: 18th international conference. Lisbon, 2007.

9. Holzmann G. J. ^e spin model checker: primer and reference manual. Addison-Wesley, 2003.

10. Карпенко А. С. Фатализм и случайность будущего: логический анализ. М.: Наука, 1990. 213 с.

Статья поступила в редакцию 15 сентября 2011 г.

i См. с. 27-35 настоящего издания.