ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УСЛОВНЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ И ТРЕХЗНАЧНАЯ ЛОГИКА Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023.

№ 71. С. 5-12.

Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2023. 71. pp. 5-12.

ОНТОЛОГИЯ, ЭПИСТЕМОЛОГИЯ, ЛОГИКА

Научная статья УДК 162

doi: 10.17223/1998863Х/71/1

ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ УСЛОВНЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ И ТРЕХЗНАЧНАЯ ЛОГИКА

Александр Александрович Беликов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия,

belikov@philos.msu. т

Аннотация. Предлагается подход, позволяющий моделировать спектр отношений между условными высказываниями, которые содержат противоречащие друг другу консеквенты. В фокусе статьи находятся отношения противоположности, противоречия и подпротивоположности, т.е. все логические отношения, фиксирующие ту или иную степень семантической оппозиции между высказываниями. Предлагаемые трехзначные логики дают простой и эффективный инструмент для установления логических отношений между способами обоснования противоречивых позиций субъектов аргументации.

Ключевые слова: противоречие, противоположность, подпротивоположность, условные высказывания, трехзначная логика

Благодарности: исследование подготовлено при поддержке РНФ, проект № 20-1800158 «Формальная философия аргументации и комплексная методология поиска и отбора решений спора», реализуемый в Санкт-Петербургском государственном университете.

Для цитирования: Беликов А.А. Логические отношения между условными высказываниями и трехзначная логика // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023. № 71. С. 5-12. doi: 10.17223/1998863Х/71/1

ONTOLOGY, EPISTEMOLOGY, LOGIC

Original article

LOGICAL RELATIONS BETWEEN CONDITIONALS AND THREE-VALUED LOGIC

Alexander A. Belikov

LomonosovMoscow State University, Moscow, Russian Federation, belikov@philos.msu.ru

Abstract. The article proposes an approach that allows one to model the range of logical relations between conditional statements with contradictory consequents. The focus of this article is the relations of contrariety, contradiction and subcontrariety, i.e. all logical relations that fix this or that degree of semantic opposition between statements. The problem of

© А.А. Беликов, 2023

establishing this kind of logical relations is very important if we want to use logical theories for the analysis of argumentation, because there the semantic opposition between arguments or theses can play a significant role in the process of evaluating the effectiveness of argumentation. The three-valued logics proposed in the article provide a simple and effective tool for establishing logical relations between the modes of substantiating the contradictory positions of the subjects of argumentation. All the proposed theories are formulated within a single framework and differ from each other in minor details, namely, the only row in the definition of implication. In the remaining parts, all three logics are identical: they are three-valued, they have the same definition of consequence and validity, they have the same definitions of other propositional connectives, etc. An important unifying property of all the proposed theories is that they all in one or another degree can be included into the class of so-called connexive logics. The proposed analysis of conditional statements is based on their specific interpretation. Conditional statements are understood as a linguistic form by which a person fixes the result of some inference. Having, say, premise A, we infer a conclusion B. If our inference seems convincing to us, then we fix this information in the language with the help of "if A, then B". Thus, conditionals are a kind of marker that the speaker who expresses them use when some justification of the consequent with the help of an antecedent is made. The main idea of the article is as follows: in order to be able to model various logical relations between conditional statements containing contradictory consequents, it is enough to use the framework of three-valued logic. The article proposes three logical theories, each of which is able to model one of three variants of logical relations between statements with the logical form "if A, then B" and "if A, then it is not the case that B": contradiction, contrariety and subcontrariety.

Keywords: contradiction, contrariety, subcontrariety, conditionals, three-valued logic

Acknowledgments. The study is supported by the Russian Science Foundation, Project No. 20-18-00158.

For citation: Belikov A.A. (2023) Logical relations between conditionals and three-valued logic. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofya. Sotsiologiya. Politologi-ya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 71. pp. 5-12. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/71/1

I

Условное высказывание (кондиционал) можно понимать как языковую форму, используя которую, человек фиксирует результат некоторого вывода. Имея, скажем, посылку А, мы строим вывод и получаем заключение В. Если наш вывод кажется нам убедительным, то мы фиксируем в языке эту информацию с помощью «если А, то В». Таким образом, кондиционалы являются своего рода маркерами того, что высказывающий их спикер имеет некоторое обоснование консеквента при помощи антецедента.

Надо сказать, что эта трактовка условных высказывания не является новинкой. Наиболее близкой является трактовка, уходящая корнями в область исчислений натурального вывода. Согласно ей, каждой логической связке соответствует набор правил вывода, которые обосновывают ее введение и исключение из контекста рассуждения. В большинстве логических теорий введение в контекст импликации регулируется известным правилом

[A] B

A^B '

которое неформально может быть прочитано так: если [A] ... B - корректный вывод, то на этом основании A^B может утверждаться, а допущение A ис-

ключается из вывода. По сути, данное правило выражает смысл известной «теоремы о дедукции»: если из некоторого множества формул Г и А выводима формула B, то из множества формул Г выводима формула A ^ B.

Несмотря на то, что эта трактовка возникла в контексте формализованных языков, она успешно адаптируется и к естественным. Самый яркий пример - верификационистская теория значения М. Даммита [1. С. 20-24]. Главный тезис этой теории - значение (meaning) выражений естественного языка регулируются не условиями их истинности, а условиями корректной утвер-ждаемости (correct assertability). Последние, в свою очередь, должны регулироваться правилами вывода в некоторой формальной системе. Наиболее удобной для этих целей, по мнению Даммита, как раз является техника натуральных исчислений. Таким образом, корректное утверждение условного высказывания возможно в случае, когда спикер имеет корректный вывод консе-квента из антецедента.

Именно из такой трактовки условных высказываний мы будем исходить в данной статье.

II

Центральная проблема нашего исследования может быть описана следующим сценарием. Предположим, что у нас есть два противоречащих друг другу высказывания: (1) «Некоторые пропагандисты не являются диктаторами», (2) «Все пропагандисты являются диктаторами». Можно представить, что (1) и (2) - это позиции двух полемизирующих друг с другом субъектов аргументации; например, двух историков, ведущих дискуссию на какую-то историко-политическую тему. Предположим, что к принятию этих высказываний оба участника дискуссии пришли в результате какого-то вывода, т.е., по мнению участников дискуссии, (1) и (2) являются следствиями каких-то других высказываний. Тогда могла бы иметь место, например, следующая пара условных высказываний: (3) «Если ни один проповедник не является диктатором, то некоторые пропагандисты не являются диктаторами», (4) «Если ни один проповедник не является диктатором, то все пропагандисты являются диктаторами». Нетрудно видеть, что оба они получены путём присоединения к (1) и (2) одного и того же высказывания «Ни один проповедник не является диктатором».

Сами по себе консеквенты, входящие в (3) и (4), противоречат друг другу. Но возникает вопрос: должно ли это отношение распространяться на высказывания, фиксирующие то, каким образом эти консеквенты обоснованы, т.е. на высказывания (3) и (4) целиком? Если да, то кажется, что классическая логика не справляется с задачей, ведь построив таблицу истинности для (3) и (4), мы увидим, что они совместимы по истинности, но несовместимы по ложности, а значит подпротивоположны.

Получается, что такого рода экстраполяция логических отношений с консеквентов условных высказываний на сами условные высказывания оказывается вырожденной в случае классической логики. В каком бы логическом отношении не находились консеквенты условных высказываний, эти условные высказывания всегда будут подпротивоположны друг другу в классической логике. Это нетрудно проверить. Если бы вместо (1) и (2) мы рассмотрели бы какую-нибудь пару, например, противоположных друг другу

высказываний, то подставив их в (3) и (4), последние снова оказались бы подпротивоположными высказываниями.

Применительно к рассматриваемому примеру мы хотели бы иметь такую логическую теорию, в которой высказывания вида (3) и (4) оказались бы в отношении противоречия. Но если ставить более глобальную цель, то полезным было бы иметь возможность анализировать целый спектр отношений между (3) и (4) в рамках единого подхода: и противоречивость, и противоположность, и подпротивоположность. В этой статье мы сделаем первый шаг на пути к решению данной проблемы. Наша главная идея состоит в следующем: для того чтобы иметь возможность моделировать различные логические отношения между условными высказываниями с противоречащими друг другу консеквентами, достаточно воспользоваться аппаратом трехзначной логики. В последующей части статьи мы рассмотрим три логические теории, каждая из которых способна моделировать один из трех упомянутых выше вариантов логических отношений между высказываниями с логической формой «если А, то B» и «если A, то неверно, что B».

III

Прежде чем приступить к непосредственному решению проблемы, необходимо обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с определением логических отношений в контексте трехзначной логики. Семантическая оппозиция между высказываниями обычно выражается логической связкой отрицания —. В классической логике отрицание - это связка, образующая противоречие, но в неклассических логиках она не всегда выполняет такую функцию. Если логические формы высказываний А и —А интерпретируются в паранепротиворечивой логике Приста LP [2], то они образуют противоположность вместо противоречия; а если они интерпретируются в параполной логике Клини K3 [3], то они находятся в отношении подпротивоположности. Однако это верно с учетом одной важной оговорки.

Вспомним, как строится семантика для LP и K3. Используется стандартный пропозициональный язык Lang, содержащий конъюнкцию &, дизъюнкцию V и отрицание —. Всем формулам языка Lang сопоставляется одно из трех истинносных значений: T - «истина», F - «ложь» и X - «ни истина, ни ложь». Пропозициональным переменным языка Lang эти значения сопоставляются специальной функцией оценки v3, а значения сложных формул, образованных логическими связками, вычисляются при помощи следующих матриц.

& T X F V T X F —

T T X F T T T T F T

X X X F X T X X X X

F F F F F T X F T F

Разница между КЗ и LP состоит лишь в том, что в них постулируются разные множества выделенных значений, с помощью которых определяется отношение логического следования: в КЗ этим множеством является {Т}, а в LP - {Т,Х}.

Теперь мы действительно можем увидеть (см. таблицу ниже), что А и —А имеют разный статус в этих логических теориях, ведь в КЗ обе формулы мо-

гут одновременно не принимать выделенное значение, но не могут одновременно принимать выделенное, а в LP наоборот - они могут одновременно принимать выделенное значение, но не могут одновременно не принимать выделенного значения.

K3 LP

A -A A -A

T F T F

X X X X

F T F T

Становится понятно, что при такой интерпретации логических отношений свойства «быть истинным» и «быть ложным» отождествляются со свойствами «принимать выделенное значение» и «не принимать выделенное значение» соответственно.

Но мы, разумеется, не обязаны занимать эту позицию. Мы могли бы использовать другую интерпретацию, согласно которой свойство «быть истинным» приравнивается к «иметь значение T», а свойство «быть ложным» -к «иметь значение F». Тогда формулы A и —A в обоих логиках все-таки можно считать противоречащими друг другу. В дальнейшем, когда мы будем говорить о противоречии между консеквентами в составе импликативных формул, мы будем понимать противоречие именно в этом смысле.

IV

Все логические теории, которые будут предложены в этом разделе, можно рассматривать как импликативные расширения LP. Имеет смысл сделать акцент на том факте, что все они будут основаны на более богатом пропозициональном языке LangImp, полученном за счет добавления к языку Lang связки импликации Выше мы уже сформулировали семантику самой LP, поэтому нам остается просто сформулировать матрицы, при помощи которых будут интерпретироваться импликативные формулы.

Рассмотрим три импликации.

*BL T X F T X F —> T X F

T T F F T T X F T T T F

X T X F X T X F X T X F

F X X X F X X X F X X X

Если каждую из этих истинностно-значных функций добавить к тому матричному определению LP, которое было дано нами выше, то мы получим три различные логические теории. Две из них уже известны в литературе, в частности логика с импликацией ^^ есть не что иное, как логика dRM3, предложенная Беликовым и Логиновым в [4], а логика с импликацией -это так называемая логика условного отрицания Кэнтвэлла CN [5]. В свою очередь, логика с импликацией ^ ранее в литературе не встречалась и является одним из новых результатов этой работы. Обозначим эту логику через Ь.

Итак, каким образом полученные формальные теории решают сформулированную нами проблему? Рассмотрим две формулы р ^ q и р ^ и

определим, какие значения они могут принимать в dRM3, CN и Ь, при любой интерпретации р и q (см. таблицу ниже).

dRM3 • CN Ь

р q р ^ Ч р ^ р ^ Ч р ^ р ^ Ч р ^

т т т F т F т F

т X F F X X т т

т F F т F т F т

X т т F т F т F

X X X X X X X X

X F F т F т F т

F т X X X X X X

F X X X X X X X

F F X X X X X X

Из этой таблицы видно, что в dRM3 формулы р ^ q и р ^ могут одновременно принимать значение F, но не могут одновременно принимать значение Т (противоположны); в CN формулы р ^ q и р ^ —q не могут одновременно принимать значение F, а также не могут одновременно принимать значение Т (противоречивы); в Ь формулы р ^ q и р ^ могут одновременно принимать значение Т, но не могут одновременно принимать значение F (подпротивоположны).

V

В этой работе мы предложили семейство трехзначных логических теорий, которые позволяют моделировать целый спектр отношений между условными высказываниями с противоречащими друг другу консеквентами. К числу интересующих нас отношений относятся противоположность, противоречие и подпротивоположность, т.е. все логические отношения, фиксирующие ту или иную степень семантической оппозиции между высказываниями.

Проблема установления такого рода логических отношений имеет очень важное значение, если мы хотим использовать логические теории для анализа аргументации, ведь там семантическая оппозиция между аргументами или тезисами может играть существенную роль при оценке эффективности аргументации. Предложенные трехзначные логики дают простой и эффективный инструмент для установления логических отношений между способами обоснования противоречащих позиций субъектов аргументации. Здесь мы предполагаем, что рассмотренные нами трехзначные импликации, по сути, могут трактоваться как формальные аналоги условных высказываний.

Одно из возможных возражений может касаться логики Ь, поскольку она позволяет моделировать отношение подпротивоположности между условными высказываниями с противоречащими консеквентами, однако, как мы заметили в начале работы, та же самая задача по силам и классической логике. Здесь может возникнуть вопрос о целесообразности использования логики Ь.

У нас есть два ответа на данное возражение.

Во-первых, нам хотелось предложить единый фреймворк для анализа интересующих нас отношений, т.е. предложить такое семейство логических

теорий, которые бы были сформулированы в рамках одного и того же подхода и отличались бы друг от друга какими-то незначительными деталями. В этом смысле логика L, на наш взгляд, идеально вписывается в общую картину, поскольку все рассмотренные теории отличаются друг от друга лишь единственным пунктом в определении импликации. В остальном все три логики идентичны: они трехзначные, они имеют одно и то же определение следования и общезначимости, одни и те же определения других пропозициональных связок и пр.

Во-вторых, важным объединяющим свойством всех предложенных теорий является то, что все они в той или иной степени могут быть отнесены к классу так называемых коннексивных логик. Последние характеризуются наличием следующих логических законов, отражающих специфические свойства отрицания условной связи между высказываниями:

• тезис Аристотеля I: —(A^—A)

• тезис Аристотеля II: —(—A^A)

• тезис Боэция I: (A^—B)^-—(A^B)

• тезис Боэция II: (A^B)^—(A^—B)

Отличительная особенность этих формул в том, что они не являются законами классической логики, но при этом отражают более адекватное естественным рассуждениям понимание условной связи (см., например, [6. С. 13— 16]). Несмотря на то, что в логике L не сохраняется общезначимость тезисов Боэция, в ней общезначимы тезисы Аристотеля, а значит, ее можно охарактеризовать как «деми-коннексивную логику» [7].

Одним из возможных направлений для будущего исследования является конкретная адаптация предложенных логических теорий к формальному моделированию аргументации средствами «абстрактного аргументативного подхода» Дунга [8]. Таким образом, рассмотренные логики открывают возможность для проведения более тонких различий между такими аргумента-тивными понятиями, как опровержение, критика формы аргументации и отношение «атаки» между аргументами.

Еще одним направлением будущих исследований может рассматриваться задача по более детальному изучению свойств логики L как с семантической, так и с теоретико-доказательной точек зрения.

Список источников

1. Kapsner A. Logics and falsifications // Trends in logic. 2014. Vol. 40. Р. 20-24.

2. Priest G. The logic of paradox // Journal of Philosophical logic. 1979. Р. 219-241.

3. Клини С.К. Введение в метаматематику. М. : Изд-во иностр. лит., 1957.

4. Belikov A., Loginov E. Dummett's theory of truth and connexive logic (unpublished manuscript).

5. Cantwell J. The logic of conditional negation // Notre Dame Journal of Formal Logic. 2008. Vol. 49, № 3. Р. 245-260.

6. Egre P., Politzer G. On the negation of indicative conditionals // Proceedings of the Amsterdam Colloquium / eds. M. Franke M. Aloni and F. Roelofsen. 2013. Р. 10-18.

7. WansingH. Connexive Logic // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition) / Edward N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/entries/logic-connexive/>

8. Dung P.M. On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning, logic programming and n-person games // Artificial intelligence. 1995. Vol. 77, № 2. Р. 321357.

References

1. Kapsner, A. (2014) Logics and falsifications. Trends in Logic. 40. pp. 217.

2. Priest, G. (1979) The logic of paradox. Journal of Philosophical Logic. 8. pp. 219-241.

3. Kleene, S.K. (1957) Vvedenie v metamatematiku [Introduction to Metamathematics]. Translated from English. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoy literatury.

4. Belikov, A. & Loginov, E. (n.d.) Dummett's theory of truth and connexive logic. [Unpublished manuscript].

5. Cantwell, J. (2008) The logic of conditional negation. Notre Dame Journal of Formal Logic. 49(3). pp. 245-260.

6. Egre, P. & Politzer, G. (2013) On the negation of indicative conditionals. In: Franke M., Aloni, M. & Roelofsen, F. (eds) Proceedings of the Amsterdam Colloquium. Amsterdam: [s.n.]. pp. 10-18.

7. Wansing, H. (2022) Connexive Logic. In: Zalta, E.N. (ed.) The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Summer 2022 ed. [Online] Available from: https://plato.stanford.edu/archi-ves/sum2022/entries/logic-connexive/>

8. Dung, P.M. (1995) On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning, logic programming and n-person games. Artificial Intelligence. 77(2). pp. 321-357.

Сведения об авторе:

Беликов А.А. - кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Москва, Россия). E-mail: be-likov@philos.msu.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов. Information about the author:

Belikov A.A. - Cand. Sci. (Philosophy), senior lecturer, Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University (Moscow, Russian Federation). E-mail: be-likov@philos.msu.ru

The author declares no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 16.06.2022; одобрена после рецензирования 26.01.2023; принята к публикации 21.02.2023

The article was submitted 16.06.2022; approved after reviewing 26.01.2023; accepted for publication 21.02.2023