Problem of optimisation of power inputs of the machine-tractor unit on a ploughed land Текст научной статьи по специальности «Математика»

В матрицу не включены технологии с использованием пастбищной системы содержания, так как на Северо-Западе эта система не применима в силу климатических условий. В регионах, где эта система возможна, ее следует включать в матрицу. Стойлово-выгульная система содержания коров приведена в матрице только в одном из трех возможных вариантов реализации — с кормо-вы-гульными дворами.В матрицу также не включены технологии с привязным и комбинированным способами содержания коров без подстилки и технологии содержания в секциях без боксов с наклонным и щелевым полом, поскольку применение этих технологий для лактирующих коров нецелесообразно.

Данная матрица включает 24 технологии с привязным способом содержания — технологии А, и 48 технологий с комбинированным способом содержания — технологии Б. Наибольшее число технологий основано на беспривязном способе содержания скота — технологии В. При этом на беспривязно-боксовом и комбибоксовом способах содержания основано по 96 технологий и по 32 — на двух вариантах реализации беспривязного без-

боксового способа содержания. Всего матрица содержит 328 технологий.

Таким образом, предложенный метод систематизации состоит в том, что каждый из элементов технологий содержания и обслуживания животных и возможные варианты их реализации обозначаются соответствующими цифровыми и буквенными индексами. Затем с использованием введенных обозначений формируется матрица возможных технологий.

Матрица дает наглядное представление о возможных сочетаниях элементов, составе и количестве формируемых из них технологий. В кодированном виде матрица удобна для анализа и синтеза технологий с помощью компьютера. Для выполнения этой работы в диалоговом режиме с участием заказчика или эксперта-технолога удобнее пользоваться матрицей в декодированном виде.

Список литературы

1. Хазанов, Е.Е. Рекомендации по модернизации и техническому перевооружению молочных ферм / Е.Е. Хазанов [и др.]. — М.: ФГНУ Росинформагротех, 2007. — 128 с.

2. Хазанов, Е.Е. Модернизация молочных ферм / Е.Е. Хазанов, В.В. Гордеев, В.Е. Хазанов. — СПб.: ГНУ СЗНИИМЭСХ Россельхозакадемии. 2008. — 380 с.

УДК 631.372.621.43.001.5

В.П. Антипин, канд. техн. наук, доцент Е.Н. Власов, канд. техн. наук, доцент

A.Я. Перельман, доктор физ.-матем. наук, профессор

B.Н. Куликов, канд. физ.-матем. наук, доцент Г.В. Каршев, канд. техн. наук, доцент

Л.А. Маслова, студентка

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С.М. Кирова»

ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ ЭНЕРГОЗАТРАТ МАШИННО-ТРАКТОРНОГО АГРЕГАТА НА ПАХОТЕ

В исследованиях, посвященных эффективному использованию машинно-тракторных агрегатов (МТА) на пахоте, академик В.Н. Болтинский писал: «Как при проектировании тракторов и тракторных двигателей, так и при эксплуатации их мы обязаны использовать все возможности для повышения экономичности работы» [1]. В этом плане рассмотрим влияние ширины захвата плугом и скорости движения МТА на производительность и расход топлива для тракторов различного класса тяги.

С учетом формулы В.П. Горячкина [2] выражение для расхода топлива на пахоте может быть представлено в форме

где

В = стпу + B1bv + B2 bv3;

c = В т + В т ,

т,п 1т т 1п и’

(1)

(2)

В1т -

Віп -

В -

3,6

Пе Ни

3.6 ^

ПеН,

3.6

В2 -

Пе Ни

3,6

ПеНи

-^іп а + /ткcos а), -фп а + /Тс), аКп,

■аЬ.

(3)

Здесь V — скорость движения МТА, м/с; Ь — ширина захвата плуга, м; тт и тп — массы трактора и плуга соответственно, кг; g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; пе — эффективный кпд двигателя; Ни — низшая теплотворная способность

топлива, Дж/кг; а — угол подъема пути, град.; /тк — коэффициент трения качения трактора; /тс — коэффициент трения скольжения корпуса плуга о грунт; а — глубина вспашки, м; Кп — удельное сопротивление почвы, Н/м2; ^ — коэффициент динамичности, Н-с2/м4.

В свою очередь, производительность на вспашке, га/ч, равна

П = 0,36кт Ьу, (4)

где кт — коэффициент использования времени.

Определим время Т пахоты по схеме движения МТА (рис. 1). Пусть Н и I — длина и ширина обрабатываемого участка соответственно, м; количество ходов равно 1/Ь; полный путь, пройденный МТА, с учетом коэффициента холостых ходов кф равен Н1кф / Ь, время

Т = -

И!к1

Ьукт

", с.

(5)

Оценим оптимальность пахотных работ с помощью следующего критерия:

Ж = Ж(Ь), Ж = ВТ + у*Т ^ аЫ шт, (6)

* V.

где у — параметр, который играет роль размерного множителя Лагранжа, реальные значения которого лежат в диапазоне (у* у*) (по смыслу критерия у^ > 0), зависящем от модели трактора.

Приведем критерий (6) к удобному для использования виду:

Ж = НВ1 + ШВ2г, Z = Z(b),

(7)

А 2 у

Z = —+ у +-----> аЫ шт, (8)

Ь Ьу

где

А = ^, м3/с2; В

(9)

< >

А

т ь <—>

у к А

> 1 > г

V

Ч ' V 7 а а

Рис. 1. Схема движения МТА

у =— > 0. В

(10)

Выражение (8) имеет смысл обобщенного критерия оптимальности пахотных работ (ОКОПР). Проблема оптимальности решается с помощью ОКОПР в предположении, что профиль скорости (ПС) описывается соотношением гиперболического типа

У =Х—.

Мши 7 к

к=1 Ь

(11)

ОКОПР может быть эффективно использован, если проблема оптимизации решается в терминах предложенного условного метода наименьших квадратов (УМНК). Отметим, что классический метод наименьших квадратов (МНК) обычно оказывается недостаточным.

В данной работе ОКОПР (8) используется для различных моделей МТА с ПС, описываемыми обобщенными гиперболами

у = Х ^,

к

к=1 Ь

где к — любое натуральное число.

(12)

Результаты теории подробно иллюстрируются на примерах тракторов Т-25А (тт = 1,8 т), Т-150К (тт = 7,5 т) и К-744Р (тт = 13,4 т). Экспериментальные зависимости у = у(Ь) для рассматриваемых тракторов представлены на рис. 2 (кривые 1). Будем использовать ПС гиперболического типа (12) при условии а3 = а5 = а6 = ... = 0. В этом случае

а1 а 2 а 4

у(Ь) = — + —2 + —4

ь ь2 ь4

(13)

и соответствующая нормальная система МНК имеет вид

в2а1 + в3а2 + в5а 4 = ^1,

<р3а1 + в4а 2 +Р6а4 = У2, (14)

в5а1 + Рба 2 + в8а4 = ^4,

где (суммирование идет по для всех экспериментальных точек)

Рк=Х ЬГ, ук=Х уЬ

(15)

Имеем

2 = -371 < 0 (Т-25А), = -6 < 0 (Т-150К),

(16)

= 6,8 > 0 (К-744Р).

Из (16) и (10) вытекает, что МНК эффективен только для трактора К-744Р, в то время как для тракторов Т-25А и Т-150К следует использовать более мощный УМНК.

2

Модель 1. Трактор Т-25А.

Первый шаг УМНК — обеспечение условия

а2 > 0.

Положим

V *(Ь) = а-. Ь2

(17)

В случае аппроксимации МНК вида (17) заведомо получается а2 > 0. Имеем

*2

в4

а2 -^-0,018>0,

то есть

0,018

V *(Ь) - —тт. Ь

(18)

(19)

Значения у*= у*(Ь|), рассчитанные по (19), приведены в таблице.

Второй шаг УМНК — наилучшее МНК уточнение в пространстве ПС (13) при условии (18). Положим

у(Ь) - v(b) - V *(Ь). По значениям

V(bJ)- v(bj)- V*(^)

(20)

(21)

(см. таблицу) находим МНК приближение вида

(22)

~/-т\ 'Л1 ^4

v(b) —± + ^.

^1 СХ/]

~ъ ьц

Нормальная система МНК для аппроксимации (22) может быть записана в виде

Ъ2 А1 + 8 5 Л-X К^) - V *(^)]]-1,

(23)

85 А + 88 А-X [v(bJ) - V *(^)]] -4, где (с = 1/10) Ь = с] (] = 2, ..., 6); Рк = с-к 5к , 5к = ЪГ ; (24) (25)

а1 с А1; а4 А4 .

Имеем

10,49 А1 + 0,03 А4 = 1,48, [0,03 А1 = 0,11.

По (25) и (26)

а1 = 0,37; а4 = —1,110-3,

то есть

V(b) -

0,37 1,110

-3

(26)

(27)

(28)

Значения у(Ь|) , рассчитанные по формуле (28), даны в таблице.

Третий шаг УМНК — построение аппроксимации ПС, пригодной для ОКОПР.

V, м/с

3.0

2.5

2.0

1.5 1,0 0,5

0

и \\ \\

1 \Л \

V \ \\ а2

\ чч Ч

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Ь, м

б

Ь, м

Рис. 2. Зависимости скорости v МТА от ширины захвата плугом Ь на базе тракторов Т-25А (я), Т-150К (б), К-744Р (в):

1 — экспериментальная кривая;

2 — теоретическая кривая

В силу (17), (20) и (22), корректная УМНК аппроксимация имеет вид

V (Ь) = у *(Ь) + у(Ь). (29)

С учетом (18) и (27) получаем

_(1Л 0,37 , 0,018 0,0011 (30)

У(Ь) = —— + —2-------------------------^. (30)

а

1

2

3

в

Результаты расчета параметров для МТА

МТА

Ь, м

V (Ь), м/с

В . (у), кг/ч

тіп'*

П (у), га/ч

тах'*

На базе Т-25А

(тт = 1800 кг; тп = 125 кг;

А = 8,986)

300 0,50

350 0,49

400 0,48

500 0,47

600 0,46

700 0,45

800 0,45

900 0,44

0,79

0,81

0,83

0,85

0,86

0,88

0,88

0,90

1,725

1,742

1,759

1,776

1,795

1,601

1,601

1,833

0,132

0,132

0,132

0,132

0,132

0,132

0,132

0,132

На базе Т-150К (тт = 7500 кг; тп = 675 кг;

А = 39,152)

350

400

450

500

550

600

700

0,85

0,83

0,80

0,78

0,76

0,75

0,72

1,57

1,52

1,48

1,45

1,43

1,42

1,39

2,97

2,88

2.69 2,52 2,30 2,18

1.70

2,08

2,16

2,23

2.39 2,32 2,34

2.40

20,09

19,16

17,41

15,97

14,28

13,34

10,06

17,60

18,13

18,56

18,89

19,12

19,23

19,58

0,84

0,79

0,71

0,65

0,58

0,54

0,41

1,08

1.09

1.09

1.10 1,10 1,10 1,11

На базе К-744Р

(тт = 13400 кг; тп = 2250 кг;

А = 81,532)

260 3,73

270 3,60

280 3,48

300 3,30

310 3,22

320 3,15

350 2,98

370 2,89

400 2,78

1,46 26,626

1,55 27,824

1,64 29,073

1,80 31,263

1,88 32,39

1,95 33,46

2,16 36,49

2,28 38,39

2,46 41,08

1,807

1,848

1,891

1,964

2,00

2,03

2,13

2,19

2,26

Значения V, - V(Ь,), рассчитанные по (30), приведены в таблице. Им соответствует кривая 2 на рис. 2а.

Модель 2. Трактор Т-150К.

Структуры табличных данных тракторов Т-25А и Т-150К совпадают (см. таблицу). Нормальная система МНК в данном случае имеет вид

2,04а1 + 1,57а2 + 1,17а4 - 6,18, 1,57а1 + 1,30а2 + 1,02а4 - 4,74, 1,17а1 + 1,02а2 + а4 - 3,65.

(31)

Отсюда следует, а2 ~ -6 < 0 и необходимо ОКОПР изучать в терминах УМНК.

Первый шаг УМНК: в4 = 1,30; У2 = 4,74 ,

V *(Ь) - Ь6

Второй шаг УМНК:

1,45 1,97 НЬ)- —

Третий шаг УМНК:

1,45 3,64 1,97

V (Ь) --;- + —2----------г.

(32)

(33)

(34)

Значения Уj = у(Ьj), найденные по (34), даны в таблице. Им соответствует кривая 2 на рис. 2б.

Модель 3. Трактор К-744Р.

Для ПС гиперболического типа (13) в данном случае эффективен классический МНК. В самом деле, нормальная система уравнений для экспериментальной зависимости V = v(b), описываемой набором чисел Ь, V, = ^Ь) (кривая 1 на рис. 2в), может быть записана в виде

75а1 + 28а2 + 4а4 - 479,

< 28а1 + 10а2 + 2а4 -183, (35)

8а1 + 4а2 + а4 - 66.

Отсюда

а1 = 3,1; а2 = 6,8; а4 = 27,6, (36)

то есть теоретический ПС (13) представляется в форме

3,1 6,8 27,6

V (Ь) - —+ ^-----------------.

ь Ь2 Ь4

(37)

Значения Vj = V (Ь|), найденные по (37), даны в таблице. Им соответствует кривая 2 на рис. 2в.

Воспользуемся ОКОПР (8) для оценки ширины захвата плуга

Ь = Ь* > 0,

(38)

при которой расход топлива минимален, а производительность пахотных работ максимальна. Величина (38) находится путем решения алгебраического уравнения 13-й степени (15) с коэффициентами, за-

У

данными выражениями (17). Значение характеристики А для фиксированной модели МТА находится по формулам, коэффициенты а1, а2 и а4 соответствуют расчетному ПС (13). Имеем

A = 8,99; a1 = 0,37; a2 = 0,018; a4 = -0,0011 "A = 39,15; a1 = 1,45; a2 = 3,64; a4 = -1,97 A = 81,53; a1 = 3,10; a2 = 6,80; a4 = 27,60 Параметр у варьируется в области

_ Aa2 Y > Y = — a2

(T-25A), (T-150K), (K-744P).

(39)

(40)

при условии, что значения ширины захвата (38) не выходят за пределы ее реальных величин (Ъ1 < Ъ < Ъ2). Имеем:

Y = 8,5; Ъ1 = 0,2; Ъ2 = 0,6 (T-25A),

Y = 1,0; Ъ1 = 1,0; Ъ2 = 3,5 (T-150K), (41)

Y = 14,0; Ъ1 = 2,0; Ъ2 = 5,0 (K-744P).

Перейдем к вычислению оптимальных Ъ*, у(Ъ*) = v*, Bmin, Яшах. Для этого на основе решения уравнения (15) находится диапазон возможных значений размерного множителя Лагранжа y (Y1 < y < y2), который соответствует реальному диапазону изменения ширины Ъ для каждого фиксированного МТА. При этом возможно, что для одного и того же значения y существует несколько допустимых значений Ъ, так как (15) является алгебраическим уравнением 13-й степени. В этом случае нужно использовать ОКОПР для всех допустимых Ъ.

Составляем множество

^mrnW, nmax(Y),}, Y1 < Y < Y2 (42)

и обозначаем

Bmin = min Bmin(YX Пшах = шах Пшах(YX (43)

Yi<Y<Y2 Yi<Y<Y2

Значения Bmin и Пшах достигаются при разных Y, а именно

B = B ■ (y ), П = П (y ), Y < Y, Y < Y?, (44)

min mm^E^’ max ma^'^ П 'в’ 'и • 2’ v ^

где Yв ^ Yh

Поэтому численную характеристику ОКОПР естественно определить величиной

Ж = min Ж(Y). (45)

Y1 <Y<Y2

Здесь

Ш = Г1Вшт(Т) ^^тах^Х (P.), (46)

где г1 — стоимость килограмма топлива; г2 — оплата труда тракториста за обработку одного гектара вспа-

ханного поля. Величина r2 может варьироваться в зависимости от допустимого срока выполнения пахотных работ.

Из аналогичных соображений, функцию потерь естественно определить формулой

L(y) = r1[B . (y) - B . ] + rJn-1 (y) -

Ki J 1L mmv 1 J min J 2 l max4 *J

- П

r-1

J, Yi < Y < Y2.

(47)

Результаты расчетов оптимальных Ь*, у(Ь*) = у*, Вш1п, Пшах сведены в таблицу. Оптимальными величинами являются:

• для МТА на базе трактора Т-25А ВшП = 1,601 кг/ч;

Пшах(Т) Я Пшах = 0,132 га/ч; У = 0,88 м/^

Ь = 0,45 м;

• для МТА на базе трактора Т-150К Вшп = 19,58 кг/ч; Пшах = 1,11 га/ч; у = 2,4 м/с; Ь = 1,39 м. В данном случае каждому значению у, удовлетворяющему условию 350 < у < 700, соответствуют два значения допустимой ширины Ь и других характеристик ОКОПР;

• для МТА на базе трактора К-744Р существует ряд значений ширины захвата плугом и скоростей движения МТА, при которых возможны максимальная производительность и минимальный расход топлива.

Выводы

1. Предложен критерий оптимальности, позволяющий одновременно минимизировать расходы топлива и максимизировать производительность МТА на пахоте.

2. В связи с ограничением класса тяги МТА невозможно определение экстремальных значений ширины захвата плугом классическим методом наименьших квадратов. Эта задача всегда имеет решение при использовании условного метода наименьших квадратов.

4. Введенная функция потерь позволяет количественно оценить экономический убыток в зависимости от степени отклонения реальной ширины захвата от оптимальной.

Таким образом, условный метод наименьших квадратов позволяет теоретически, без дорогостоящих полевых испытаний, определять оптимальную ширину захвата плугом с наибольшей производительностью и минимально возможным расходом топлива для конкретного скоростного режима МТА.

Список литературы

1. Болтинский, В.Н. Работа тракторного двигателя при неустановившейся нагрузке / В.Н. Болтинский. — М.: ОГИЗ-СельхозГИЗ, 1949. — 214 с.

2. Горячкин, В.П. Собрание сочинений. — Т. 1. — М.: Колос, 1968. — 720 с.