Про планування та визначення екстремальних результатів багатофакторного експерименту на базі раціональної кількості дослідів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.24

В.1. ПОПАДИНЕЦЬ*

ПРО ПЛАНУВАННЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ ЕКСТРЕМАЛЬНИХ РЕЗУЛЬТАТ1В БАГАТОФАКТОРНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ НА БАЗ1 РАЦ1ОНАЛЬНО1 К1ЛЬКОСТ1 ДОСЛ1Д1В

1нститут проблем математичних машин i систем НАН Украши, Кшв, Украша

Анотаця. Даеться опис загального алгоритму побудови матрицi планування багатофакторного експерименту та опис загального алгоритму побудови функцИ вiдгуку, яка враховуе yci можливi ефекти взаемодИ' факторiв. Алгоритм побудови матриць планування, що пропонуеться, забезпе-чуе експериментатору можливiсть вибирати ращональну ктьюсть дослiдiв, а алгоритм побудови функцп вiдгуку забезпечуе пошук мтмального та максимального значень функцп вiдгуку в областi ii визначення. Алгоритми зорiентованi на створення автономного програмного модуля для ршення рiзноманiтних практичних оптимiзацiйних задач, насамперед, для складних технологiчних проце-ав, i е доцтьними для використання, коли реалiзацiя реальних дослiдiв, що проводяться, е затратною.

Ключов1 слова: фактори, матриця планування експерименту, функщя вiдгуку, повний факторний експеримент, ефекти взаемодИ факторiв, кодування факторiв.

Аннотация. Приводится описание общего алгоритма создания матрицы планирования многофакторного эксперимента и общего алгоритма создания функции отклика, учитывающей все возможные эффекты взаимодействия факторов. Предлагаемый алгоритм создания матрицы планирования обеспечивает экспериментатору возможность выбора рационального количества опытов, а алгоритм создания функции отклика обеспечивает поиск минимального и максимального значений функции отклика в области ее определения. Алгоритмы ориентированы на создание автономного программного модуля для решения разнообразных практических задач, прежде всего, для сложных технологических процессов, и являются целесообразными для использования, когда реализация реальных экспериментов, которые осуществляются, весьма затратная. Ключевые слова: факторы, матрица планирования эксперимента, функция отклика, полный факторный эксперимент, эффекты взаимодействия факторов, кодирование факторов.

Abstract. A description of general algorithm of construction ofplanning multifactor experiment matrix is given in the paper. Besides, a description of general algorithm of response function construction that takes into consideration all possible effects of the factors interaction is given as well. The proposed algorithm of matrix construction provides the experimentor to choose a rational number of experiments and algorithm of response function construction allows searching the minimum and maximum values of the response function in definition of its area. Algorithms are focused on the creation of autonomous software module for solving various practical problems, primarily for complicated technological processes and are expedient for using when the realization of the carried out experiments is very costly. Keywords: factors, planning experiment matrix, response function, full factor experiment, effects of factors interaction, factors coding.

1. Вступ

Планування виконання багатофакторних експеримент1в та оцшки ix результат1в на основ1 реал1зацп ydx можливих комбшацш р1вшв фактор1в називасться повним факторним екс-периментом (ПФЕ) [1]. Коли число р1вшв кожного фактора р1вне двом, то число необхщ-них дослвдв для реал1заци ПФЕ е N = 2", де п - число фактор1в, 2 - число р1вшв. ПФЕ е доцшьним тшьки тод1, коли реал1защя кожного i3 дослвдв для процесу, що розглядаеться, не е затратною.

ПФЕ дозволяе кшьюсно оцшити ефекти взаемоди факторiв, загальне число яких е

© Попадинец В.1., 2015

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2015, № 4

п = ^с;1=г-п-\, (i)

Z=1

Вважаеться, що експериментатор мае можливють anpiopi вибирати дощльну кшь-кють дослiдiв

М = 2"-р (2)

шляхом вибору певного числа p ефектiв взаемодп n- p факторiв, причому

0 < p < max{k :2n-k >n + 1}. (3)

k>0

При цьому i -й (0 < i < p) ефект розглядаеться як результуючий ефект взаемодп факторiв,

номери яких належать заданш м ножи Hi 6i (в{) = 0, 6i ^ Q ^ 0з /з / — \ р)7 а ощнка ре-зультатiв експерименту здшснюеться на основi функцп вiдгуку виду

L+q

y = b0+T,b'z" (4)

i=i

де b0, !т - const, (5)

L = n-p, (6)

0 <q<p, (7)

q - кiлькiсть результуючих ефектiв взаемодп, якi необхiдно враховувати,

zi e[-1, 1 ]. (8)

Якщо розглядаеться ПФЕ, то

О < р < п, (9)

а оцiнка результатiв експерименту здшснюеться на основi функцп вщгуку виду

n+q

y = b0 + £ biZi, (10)

i=1

де 0 < q < n, (11)

q - кшьюсть результуючих ефектiв взаемодп, яю необхiдно враховувати.

Розглядаються загальнi алгоритми побудови матриц планування багатофакторного експерименту та визначення його оптимальних (мш1мального та максимального) значень для оконченного числа фактор1в п (п < сю) на основ1 anpiopi визначено'1 матрищ планування та функцш вiдгуку виду (4) або (10). Алгоритми, що плануються, зорiентованi на ство-рення автономного програмного модуля для ршення рiзноманiтних задач планування та оцшки результатiв оптимiзацiйних практичних задач, насамперед, для складних технологь чних процесiв i е доцшьними для використання, коли реалiзацiя реальних дослiдiв, що здiйснюються, е затратною.

2. Планування експерименту

Початковим етапом планування експерименту е побудова матрищ планування виду

z =

Z11 ••• ZL1

Z1M ••• ZLM

(12)

де i - номер фактора, j - номер дослщу.

Елементи матрицi Z визначаються за формулами:

zj =

2поЧ, ПРи j = 1,2

k-1

k = 1,L,

при j = 2k1 +1,2

де

z =z i = \k-\ j = 1,2 , k = 2,L,

J

z „ = -1 vi.

(13)

(14)

(15)

Зазначимо, що г;/ - кодове значения i -го фактора в / -му ексиериментг При цьому натуральне значення i -го фактора в j -му експерименп визначаться за формулою

де

xij=x. +zij ■ Si, i = 1, L, j = 1, M, x°=(x . +x )/2;

1 v i min i max7 5

(16) (17)

S.-(x -x . )/2 -¡нтервал варшвання /-гофактора;

1 4 / max / miny 11 1 1 3

x . , x - натуральш граничнi значення змши i -го фактора.

i min3 i max J A A A A

Вважаеться, що фактори xj , i = \L незалежш змшш, а кожен i3 результате дослщу - випадкова величина з нормальним законом розподшу.

3. Побудова функцш вщгуку

Вщиовщно до Teopii планування експерименту [1] коеф1щенти bi (г -0,L + q) функцп вщ-гуку виду (4) визначаються за формулами:

L+q

1 L+q

j=1

1 ^q

ъг = —У] У

' M ^

jzij ■

(18) (19)

j=1

Де >', = >'(л'|;,...,л'/;) - значення параметра оптим1заци у в / -му дослщг

"г+i j 1 J.

Ыв,

а коефщ1енти bt (i = О,n + q) функщ!' вщгуку виду (10) визначаються за формулами:

1 ^

¿о = —Z y

(2о)

(21)

1 N

ъг = — ^у

' N у

У2^

(22)

де П = 1 Ч'3 = 1 (23)

к е в1

Отже, елементи матриц планування експерименту (12) визначаються за формулами (13) - (17), а побудова функцш вщгуку (4) та (10) здшснюеться вiдповiдно на основi формул (18) - (20) та (21) - (23).

4. Оцшка результатiв експерименту

Так як функци (4) та (10) е лшшними функцiями сво'1'х аргументiв, то

у = Ыг',...,г1+д)} = шах {Ь0 + £Ъ1г1]), (24)

3 1=1

Ь+д

У (25)

та, вщповщно,

1 <]<М ' " ' у

п+д

у = = тах {Ь0 + (26)

0 £ < ^

п+д

** Г У — ** — ** ч л • Г 1 X. л

з/ ={у(гг ,...,гп+-)} = тт {60 + ¿^Д (27)

3 ¿=1

Результуючий ефект взаемодп факторiв для функцп вiдгуку виду (4) обчислюеться за формулою

Ь+д

дх= ЛЪ,2,, (28)

а для функцп вiдгуку виду (10) за формулою

п+д

А2 = £ Ъ^. (29)

г=п+1

Зазначимо, що при програмнiй реашзаци алгоршмв, що пропонуються, е необхiдним виключення з числа експериментальних даних грубих помилок, перевiрка адекватностi моделей (4) i (10) та перевiрка значущостi коефiцiентiв Ъ . Для цього можуть бути використанi вiдомi критерп Стьюдента, Кохнера та Фшера [2].

5. Висновки

Точки в матрищ планування вибираються так, щоб похибка прогнозного значення будь-якого значення у, яке визначаеться функщею вщгуку (4) та (10), була однакова на рiвних

о •

вщстанях вiд центра эксперименту х i не залежала вiд напрямку.

Алгоритм, що пропонуеться, забезпечуе експериментатору можливють апрiорi ви-бирати дощльну кiлькiсть експериментiв для побудови нелшшно'1 моделi функцп вiдгуку з урахуванням уах бажаних ефектiв взаемодп факторiв. При цьому здiйснюеться визначен-ня максимального i мiнiмального значень функцп вiдгуку на заданiй множинi вар^вання факторiв.

Алгоритм зорiентований на створення автономного програмного модуля для ршен-ня рiзноманiтних задач планування та оцiнки результат оптимiзацiйних практичних задач, насамперед, для складних технологiчних процесiв, i е доцiльним для використання, коли реалiзацiя реальних дослiдiв, що здшснюються, е затратною.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных русловий / Ю.П. Адлер, Е В. Маркова. - М.: Наука, 1976. - 279 с.

2. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества / Налимов В.В. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1960. - 430 с.

Стаття надтшла до редакцп 18.09.2015