CC BY
7УДК 621.391.26
Приём сигналов при воздействии маскирующих помех. Часть 2
А.И. Фалько
Рассматривается структура алгоритмов оптимального приёма дискретных сообщений в приёмнике злоумышленника в условиях действия маскирующих помех. Выведены уравнения функционирования специализированного вычислителя для моделирования работы алгоритмов приёма.
Ключевые слова: алгоритм приёма, маскирующая помеха, вероятность ошибки, корреляционная функция, импульсная характеристика.
1. Введение
Данная статья является логическим продолжением работы [1]. В работе [1] рассмотрена возможность защиты от утечки (перехвата) конфиденциальной информации при помощи маскирующей помехи (МП). В ней синтезированы алгоритмы оптимального приёма сигналов и проведён анализ помехоустойчивости приёма в условиях действия маскирующих помех. При этом структура оптимальных алгоритмов приёма в работе [1] не раскрывалась. В данной статье делается попытка раскрытия алгоритмов оптимального приёма дискретных сообщений с целью выявления возможностей их реализации программными средствами.
Цель работы - вывод уравнений функционирования специализированного вычислителя для моделирования работы оптимальных алгоритмов приёма дискретных сообщений в условиях действия маскирующих помех.
В данной статье сохранены обозначения, принятые в Части 1 [1].
2. Алгоритмы приёма
Алгоритмы оптимального приёма сигналов с одинаковыми энергиями, согласно [1], имеют вид:
Re (иК*)> Re (иК* ), г ф е
для когерентного приёма;
[V)>Re(^ve), г фе (1)
ГГ\ > \у\, г Ф е (2)
для некогерентного приёма.
В (1), (2) КГ определяется формулой
—Г
Т
Здесь
Кг = /[£хо -1п(о] 1Гэ)*т . (3)
1П (г) = } ^ Ш П (г, т^т = ¡1П1П (г) (4)
г0
- оценка маскирующей помехи по критерию минимума среднего квадрата ошибки;
1^(1) = 1Г (г) - 1_П (г) (5)
- эквивалентная сигнальная функция с учётом влияния фильтра оценивания маскирующей помехи, где
г
£П (г) = { (т)У п (г ,т^т (6)
г0
- сигнальная функция 2'г (Ь) на выходе фильтра оценки маскирующей помехи.
В выражениях (4) и (6) Уп (г, т) - комплексная импульсная характеристика фильтра оценки маскирующей помехи.
Из (1), (2) видно, что для решения поставленной задачи приёма сигналов в условиях действия маскирующих помех необходимо вычисление Vг (3). Представим (3) в эквивалентной форме:
^ = -1 dг| н (г, т)Г(т^т | н * (г, х)1 * (х)йХ, (7)
V 2 т т т
где Н(г,т) = --= [5 (г-т)-У П (г-т)]. (8)
У1У
Здесь 5(г - т) - дельта-функция Дирака; Уп (г -т) - импульсная характеристика фильтра оценки маскирующей помехи.
В (8) [5(г-т)-Уп(г-т)] - импульсная характеристика «обеливающего» фильтра. Интервал оценивания Т в (7) принят совпадающим с интервалом решения (в общем случае они могут отличаться).
Введём в рассмотрение обратное ядро
в~\т, х) = | н(г,т)н*(г, х^г, (9)
т
связанное с корреляционной функцией смеси маскирующей и флуктуационной помех соотношением
| В_1(т, х) В( х, и^х = 5(т- и), (10)
т
2
где В(х, и) = у 5(х - и) + Вп (х, и). (11)
Здесь
Вп (х, и ) = Е
(х)1П (х)1П(и) г+п(и) = ^п (х)В1П (x, и )£п (и) (12)
- корреляционная функция маскирующей помехи. В (12) Е - знак математического ожидания. Из (7) с учётом (9) получим
^ - 1 Ц21(т)В~\т, х)1*г(х^тс!х, (13)
V2 2 тт
или, вводя обозначения
5-1
Уг (т) = | В_1(т, х)1г (х)сЫ, (14)
т
V 1 Г *
имеем = - Г Г(т)Х* (т)Ат. (15)
V2 2 Т
Здесь функция Хг (т) в соответствии с (10), (11), (14) определяется неоднородным уравнением Фредгольма:
Тг (г) = Г ВП (t, и)Хг (и)Аи + v2 Хг (t), (16)
Т
или с учётом (12)
Т
Решение таких уравнений методами переменных состояния приведено в [2, т. 2]. Оно связано с переходом от интегральных уравнений к дифференциальным, что значительно упрощает как решение, так и моделирование их компьютерными методами. Для этого комплексная огибающая маскирующей помехи Лп (г) представляется как вектор состояния, который генерируется динамической системой, описываемой комплексным векторным дифференциальным уравнением [2, т. 1]
d Лп (г)
ик' - Лп (г), Gп (Фп (г), (18)
Тг (г) = Тп (г) Г в¡п (г, и) Т П (и )Х, (и)Аи+у2 Х, (г). (17)
= Fi
А п
где Кп Лп (г), г - в общем случае нелинейная матричная функция. В частном случае гаус-совской МП она может быт линейной, тогда уравнение (18) можно представить в виде
А Лп (г)
= Fп (г )Лп (г) + Gп (г )и (г). (19)
Аг — — — —
Здесь Fп (г) и Gп (г) - матрицы, описывающие динамику системы. Их элементы в общем случае являются непрерывными функциями времени. В частном случае Fп (г) и Gп (г) могут быть инвариантными во времени. ип (г) - комплексный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией Е ип (г)иЛ (т) = 0п$(г -т), где Е -
знак математического ожидания; "+" - знак комплексно-сопряжённой операции транспонирования.
Для перехода от (17) к дифференциальным уравнениям вводится функция
2Г (г) = Г Влп (г, и)Т п (и) Хг (и)Аи, (20)
Т
которая определяется уравнениями
= Кп (г )2Г (г) + Gп (г )^пТп (г )Ш), (21)
Аг\(г) 1 , , 1 ,
= -т Т п (г)Тп (г)2Г (г) - К +п (г)Ш) —к Т +п (гТ (г). (22)
Аг V2 ~ V2
С учётом (20) уравнение (17) можно записать в виде
Тг (г) = Тп №г (г)+v2 Х, (г), (23)
откуда следует выражение для Хг (г)
Хг (г) = А" [Т, (г) - Тп (02, (г)]. (24)
V2
Используя (24), из (15) получим
V, = 2 Г ТХО [Тг (г) - Тп (г)2г (г)] Аг, (25)
где (г) определяется моделированием уравнений (21), (22).
В частном случае разложимого ядра корреляционной функции маскирующей помехи
k
Вп (г, и) = ^ Щ (г)ф* (и),
г=1
где Л и ф. (г) - собственные числа и собственные функции ядра. Обратное ядро В ^(г, и)
можно представить в виде
В_1(г, и) = -1
V2
Л
5(г - и) -2
ф (г )Ф* (и)
Подстановка (27) в (14) даёт
Уг (г) = -7
V
k ЛФ-(г) г * (г) - 2 2 | (и)ф* (u)du г=1Л +V т
Введем обозначения:
к2 = Л. ПП1 = -
V2
ОИ = | ^ (г )ф*(г )dг.
(27)
(28)
(29)
т
Здесь кщ - отношение энергии г -ой составляющей МП к спектральной плотности мощности флуктуационной помехи, ОГ/ - комплексный коэффициент взаимной корреляции, определяющий различие структур Г -го сигнала и г -ой составляющей МП. Его свойства подробно рассмотрены в [3, п.2.3].
После подстановки (28) в (13) с учётом обозначений (29), получим
Кг = 21 ^(г)
т
k и2
2 _кш
/=11 + к'Пп
* * (г)-2:% £«£«)
dг,
(30)
2
или при кп/ >> 1 (условие маскирования)
КГ = 2
21Ж)
dг.
(31)
* * (г)-2 О* ф* (г)
Выражения (30), (31) характерны для квазидетерминированных МП. Действительная часть первого слагаемого в правой части (30), (31) представляет собой напряжение на выходе фильтра, согласованного с сигналом 2Г (г), то есть имеющего импульсную характеристику
уг (г) =
(т - г), г е т,
г й т.
(32)
Каждое слагаемое по г второго члена в (31) есть взвешенная с весом О* комплексная оценка МП, полученная по неклассифицированной смеси сигнала, маскирующей и флуктуа-
г *
ционной помехи, то есть I (г)ф (г)dг. Действительная часть этого выражения является на-
т
пряжением на выходе фильтра, согласованного с ф (г). Импульсная характеристика этого фильтра
У Пг (г) =
ф (т - г), г е т,
0,
г й т.
(33)
Согласно (31) тракт обработки сигнала можно рассматривать как единый согласованный фильтр с импульсной характеристикой
0
Xr (t) =
Z*(T-1)Griv. (T-1), i=1
t e T,
(34)
.0, * й Т.
Таким образом, в общем случае приёмник должен содержать специализированный вычислитель для моделирования уравнений (21), (22) с целью формирования импульсной характеристики фильтра оценки эквивалентной сигнальной функции Уг (^) (24), а следовательно, и величин Vг (25), которые определяют алгоритмы приёма сигналов (1), (2) в условиях действия маскирующих помех.
Для маскирующих помех с разложимым ядром корреляционной функции (26), алгоритмы приёма имеют наглядную физическую интерпретацию (30).. .(34).
3. Помехоустойчивость приёма
В работе [1] проведён анализ помехоустойчивости приёма двоичных сигналов с одинаковыми энергиями по правилам (1), (2) при неразложимом ядре корреляционной функции маскирующей помехи. Вероятность ошибки представлена формулами (22)...(25) из [1] и со-ответсвующими графиками.
Здесь приведён результат анализа помехоустойчивости приёма при разложимом ядре корреляционной функции маскирующей помехи при тех же условиях, что и в [1].
Вероятность ошибки как вероятность невыполнения неравенства (1) при передаче первого сигнала (когерентный приём) определяется выражением
рош = 0.5[1 - Ф) )], (35)
¡2)Э Х2
в котором Ф()э) = ,/— [ ехр(-—-^ - интеграл вероятности (функция Крампа).
0 2
Здесь согласно (1) с учётом (30)
( 1 k ,„2 2 Л
иЭ=hC
1 ^ h^gt
1 - Р-2 2+И2
(36)
П/ у
При h2m ^ 1 (условие маскирования)
( л k Л
Иэ = hC
2
1 - р-12 g;
V i =1 У
(37)
2Т7
,2 Л EC
Здесь he = —^— отношение энергии элемента принятого сигнала к спектральной плотно-v2
сти мощности флуктуационной помехи;
1 г 1 г ~ ~
р = —I Zj(t)Z2(t)dt = —I (t)Z~2 (t)dt - коэффициент, характеризующий вид используе-
17 J 17 J
c t c t
мых сигналов ( р = -1 для противоположных сигналов, р = 0 для ортогональных сигналов).
В (36), (37) введено обозначение g2 = g0ii + go2i - 2g^ - коэффициент, характеризующий различимость сигналов и ф/ -ой составляющей МП. Он определяется через коэффициен-
22
ты взаимной корреляции g0ri = \0_ГА (29) r -го сигнала (r = 1, 2) с I -ой составляющей МП и коэффициент g^ , равный
=
№
(4
(ПХ)( П 2^„( П1)„( П 2)
+уГ1УГ^ О,
где
,( Пг) _
У
(Пг) _
| Re [ ^г Ц)] Re [ф7«)
т
| Re [ ^г Ц)] 1т [ф. ()
dt,
dt,
г = 1,2.
Из выражений (35) - (37) видно, что вероятность ошибки определяется отношением энергии принятого сигнала к спектральной плотности мощности флуктуационной помехи, зависит от вида используемых сигналов, от коэффициентов, характеризующих различимость
сигналов и МП. При разложимом ядре корреляционной функции МП при Ъ^ц »1 вероятность ошибки не зависит от мощности составляющих маскирующих помех, так как они компенсируются (режектируются) вместе с составляющими сигнала, совпадающими с помехами. Поэтому для достоверного приёма необходима избыточность по сигналу. Если база сигнала
будет равна или меньше базы маскирующей помехи (1 — р— 0.5 I gj = 0 ), то вероятность
7=1
ошибки будет предельная (рош=0.5) независимо от ЪС, то есть будет полное маскирование полезного сигнала. Заметим, что база сигнала (помехи) определяется произведением полосы частот сигнала (помехи) на длительность элемента сигнала (помехи).
При некогерентном приёме ортогональных двоичных сигналов вероятность ошибки определяется формулой
Рош = 05ехР(—Ъэ/2)
2 2
в которой Ъэ = Ъс
или при Ъп >> 1
с к 7,2 „2 ^ 1 — 2 ИП1 • 801
=1 1 + Ъ
7=1
П7 У
Ъ (1 — I 8(27),
7=1
(38)
(39)
(40)
2 2 2 2 где 807 = 8017 = 8027 = \Оп\ , (г = 1,2); &г7 определяется (29).
Из (38) - (40) видно, что и при некогерентном приёме вероятность ошибки зависит от
отношения энергии принятого сигнала к спектральной плотности мощности флуктуационной
2
помехи, от коэффициентов различимости сигналов и составляющих МП и при Ъп7 >>1 не
к
зависит от интенсивности МП вследствие их режекции. Поэтому при 1 — 1= 0 вероят-
7=1
ность ошибки рош=0.5.
Таким образом, маскирующая помеха с базой, соизмеримой с базой сигнала, может полностью замаскировать полезный сигнал, предотвращая утечку (перехват) конфиденциального сообщения злоумышленником.
1
Литература
1. Фалько А.И. Приём сигналов при воздействии маскирующих помех// Вестник СибГУТИ-2013, №3.- С.11-19.
2. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. Радио, Т.1. 1972-744с; Т.2. 1975-662с. Т.3. 1977-664с.
3. Сикарев А.А., Фалько А.И. Оптимальный приём дискретных сообщений. - М.: Связь, 1978-328с.
Статья поступила в редакцию 09.12.2013
Фалько Анатолий Иванович
доктор технических наук, профессор кафедры РТУ СибГУТИ, тел. служебный: (383)269-82-64; служебный e-mail: falco@sibsutis . ru
Reception of signals at influence of masking hindrances. Part 2 A.I. Falko
The structure of algorithms of optimum reception of discrete message in the receiver of malicious user in the conditions of masking interference is considered. The equations of functioning of specialized calculator for simulation of algorithms reception operation are calculated.
Keywords: agorithm of reception, masking interference, error probability, correlation function, pulse characteristic.
