Научная статья на тему 'Приведение автоматного представления устройства дискретной автоматики к линейному векторно-матричному виду на основе агрегирования булевых термов'

Приведение автоматного представления устройства дискретной автоматики к линейному векторно-матричному виду на основе агрегирования булевых термов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
50
15
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мельников Андрей Александрович, Ушаков Анатолий Владимирович

Рассматривается задача конструирования линейного векторно-матричного (ВМ) описания автоматной версии УДА. Своим решением эта задача позволяет расширить класс представлений УДА, что тем самым, обеспечивает возможность доставлять УДА различные структурные и функциональные свойства. Показывается, что в концептуальной постановке поставленная задача может быть частично решена использованием принципа агрегирования булевых термов. Приводится пример.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Мельников Андрей Александрович, Ушаков Анатолий Владимирович,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Приведение автоматного представления устройства дискретной автоматики к линейному векторно-матричному виду на основе агрегирования булевых термов»

ПРИВЕДЕНИЕ АВТОМАТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УСТРОЙСТВА ДИСКРЕТНОЙ АВТОМАТИКИ К ЛИНЕЙНОМУ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОМУ ВИДУ НА ОСНОВЕ АГРЕГИРОВАНИЯ БУЛЕВЫХ ТЕРМОВ

А.А. Мельников, А.В. Ушаков

Рассматривается задача конструирования линейного векторно-матричного (ВМ) описания автоматной версии УДА. Своим решением эта задача позволяет расширить класс представлений УДА, что тем самым, обеспечивает возможность доставлять УДА различные структурные и функциональные свойства. Показывается, что в концептуальной постановке поставленная задача может быть частично решена использованием принципа агрегирования булевых термов. Приводится пример.

Введение. Постановка задачи

На настоящий момент известен ряд решений [1-3] приведения линейного векторно-матричного описания [4,5] устройства дискретной автоматики (УДА) к автоматному [6] виду. Такое модельное преобразование УДА своей целью обычно ориентировано на сокращение размерности вектора состояния устройства, что в технической реализации приводит к уменьшению числа элементов памяти (ЭП) его реализующих. С точки зрения аналитических представлений это характеризуется сокращением размерности плин кодов состояния линейной реализации до размерности павт автоматной реализации, что может быть представлено в виде неравенства

Павт < Плин . (1)

Наряду с очевидными достоинствами, предоставляемыми отмеченным модельным преобразованием, следует отметить, что в рамках общей концепции конструирования УДА, когда изначально синтезируется та или иная версия устройства, необходимо уделять внимание анализу различных модельных представлений. Несмотря на некоторую избыточность ЭП линейной версии УДА по сравнению с автоматной, такая версия может обеспечить заметный выигрыш в простоте комбинационной схемы и в упрощении топологии технической реализации устройства. На настоящий момент существует ряд работ, посвященных конструированию линейной модели УДА по имеющейся автоматной версии устройства, среди которых можно выделить работу, представленную, например, в [7]. Однако канонизированная методология конструирования таких моделей пока не сформирована. Возможное частичное решение проблемы в концептуальной постановке может обеспечить использование принципа агрегирования булевых термов автоматного описания УДА.

1. Каноническое представление автоматной версии УДА

Каноническое автоматное описание УДА в форме абстрактного автомата (АА) записывается в виде пятиэлементного [3] макровектора:

АА: {Z,5,ЖД,5 }, (2)

где Z - алфавит входов мощности [ Z ]= rZ, 5 — алфавит состояния мощности [5] = , Ж - алфавит выходов мощности [Ж] = тЖ, X - правило (функция) перехода +1)=X [(к), г(к)], *(0); (3)

5 — правило (функция) выхода

Ж(к) = 5 [(к)] (4)

в логике абстрактного автомата Мура и

Ж(к) = 5 [(к), 7(к)] (5)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в логике абстрактного автомата Мили. В приведенных выражениях (3)-(5) s(o), s(k), s(k +1) - начальное состояние, исходное состояние и состояние перехода АА соответственно, k - дискретное время, выраженное числом тактов. При составлении абстрактного описания основным математическим средством задания правил (функций) X , 5 являются графы переходов и таблицы переходов и выходов.

Кодированием алфавитов АА (1) элементами простого поля Галуа GF (p), p = 2 осуществляется переход от абстрактного описания (2)-(5) УДА к его описанию в форме конечного автомата (КА):

КА : {U,X,Y,X,5 }, (6)

для которого правило X принимает вид

x(k + 1)= X[x(k), u(k)], x(0), (7)

и функция выхода 5 -

y(k) = 5 [x(k), u(k)], (8)

где в выражении (6) U = e{Z}, U = ё{Z}, U = ё{Z}, £{(•)} - код (вектор-строка) элемента алфавита (•) размерности dimё{(^)}, при этом размерности кодов КА (6) и мощности алфавитов АА (2) связаны неравенствами

dimU = r: pr > rZ, dim X = n: pn > nS , dim W = m: pm > mW . (9)

Выбор для технической реализации элементов кода алфавита S состояния того или иного типа триггера приводит к функции ц возбуждения информационных и входов триггеров:

и (k) = ц [x(k),x(k +1)] , (10)

которая с учетом правила X в форме (7) принимает следующий вид:

и(k) = ц {x(k),X [x(k), u(k) ~ {x(k), u(k)}. (11)

В итоге техническая реализация автоматного УДА будет в своем аналитическом описании иметь булевы функции:

• возбуждения информационных и входов триггеров

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

U = ~{x, y}, (12)

• формирования выходов y

У = 5 {x,y}. (13)

2. Приведение автоматного представления УДА к линейному векторно-матричному виду

Задача приведения автоматного представления УДА (6)-(8) к линейному векторно-матричному виду состоит в получении описания функционирования УДА в следующей векторно-матричной форме:

x(k +1) = A x(k)+ Bu (k); (14)

y (k ) = C x(k)+ Hu (k), (15)

где x(k) - вектор состояния, dim x = n'; u(k) - вектор входной последовательности, dimu = r; y (k) - вектор выходной последовательности, dim y = m ; A - матрица состояния, dim A = n'xn'; B - матрица входов, dim B = n'xr; C - матрица выходов, dim C = m x n'; H - матрица вход-выход УДА, при этом действия в описаниях (14), (15) осуществляются линейными операциями умножения матрицы на вектор и сложения по модулю p = 2 .

Для очевидности положений предлагаемой методологии приведения автоматного представления УДА (6)-(8) к линейному векторно-матричному виду сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 1 (У.1). Пара матриц А, В линейного ВМ описания (14), (15) УДА задает БФ ц возбуждения информационных и входов триггеров в форме (11).

Доказательство. Для доказательства утверждения выделим переменные состояния

XI из выражения (14) ВМ описания УДА и сопоставим их с аналитическим

представлением функции возбуждения информационного и 1 входа триггера, которое в

рамках общей теории устройств дискретной автоматики для Б-триггера имеет общий вид

и ^ = (к +1), (16)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где ЦI — переменная состояния Б-триггера.

Выделим в общем виде переменную X| состояния УДА:

п

(к +1) = Еад (к)ф ь , (17)

п

1=1

где ап 1, Ъ1 - элементы матриц А и в, соответствующие переменной X| ВМ описания

(14), (15). Здесь и далее по тексту - суммирование по модулю два элементов

1

(•) •

Подставим с учетом тождества х1 = в выражение для функции (16) возбуждения информационного и 1 входа триггера значение переменной х1 (к +1) состояния из соотношения (17):

п

= ц(к + 1) = Еап,х(к)еЬ. (18)

1=1

Сопоставление выражения (18) с выражениями (10) и (11) показывает справедливость положений, постулируемых утверждением. ■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Зафиксируем значения входных переменных, соответствующие условию переходов в УДА. Таким образом, для решения задачи необходимо свести аналитическое описание БФ возбуждения информационного и 1 входа триггера,

имеющего в общем случае следующий вид:

1<2п " / ч

ц(,Ч2...Чп) = У & ( ), (19)

где ^/(•1) — дизъюнкция элементов (•1), /) — конъюнкция элементов (• / ), а

переменная ч/1 (здесь и далее по тексту) определяется как

/ =Ь ^ = 0- (20)

j [ч/ • Р/ = 0

к линейному виду:

Ц(Ч1,Ч2 .Чп) = а0 ©^аЧ, (21)

1

где а 1 - логическая константа, принимающая значение 0 или 1.

х

Свести представление БФ возбуждения в форме (19) к виду (21) позволяют положения следующего утверждения.

Утверждение 2 (У.2). Произвольная БФ /(х1,х2,...,хп) может быть представлена в виде ряда [8] (полинома Жегалкина)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f (, x2,k, xn ) = f (o, 0,k,0) 0 2

д f

=1 д x,

& x, 0

l = 0, l = 1,n

^ в 2

д 2 f

1 , j = '* J

1 д x, д xj

& xlxJ 0

0

••• 0

2

l = 0, l =1, n д kf

l1,l2,K,lk

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

=1 дx, дx, кдx,

(22)

& Xl■XJ к xk 0

д nf

д x1 д x2 к д xn

l = 0, l = 1,n

& xlxj к xn

Лl = 0, l=1,n

в точке(x1,x2,k,xn) 0, где индексы lj, 12,k,ik,...,in e {1,2,к,n} попарно не равны друг

другу, а

д fj (x)

д xl

частная производная, вычисляемая в силу следующего соотношения

[9, 10]:

дf3 (x)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д x

= f J (x1, x2,к, xl-1,1, xl+1,к xn ) 0 0 f j (x1, x2, к, xl-1,0, xl +1, к xn ).

(23)

Доказательство. При вычислении производной к-го порядка производные младшего порядка обращаются в 0, а старшие, в силу (х1, х2,..., хп ) = 0, также равны 0.

Из выражения (22) видно, что в результате преобразования выражения (19) в качестве БФ возбуждения будем иметь линейную переключательную функцию (ПФ), аргументы которой представляют собой сочетания переменных состояния в форме их произведения. Последнее обстоятельство не позволяет напрямую получить линейное ВМ описание из системы полученных ПФ. Решить эту проблему позволяет использование принципа агрегирования булевых термов автоматного описания УДА, который сформулируем в форме следующего утверждения.

Утверждение 3 (У.3). Произвольное автоматное УДА представимо линейной своей версией с ВМ описанием в форме (14), (15) агрегированием конъюнкций булевых переменных полинома Жегалкина в переменные x состояния, расширяющие исходный вектор x, dimx = n , состояния УДА:

x = [x! ~]T, (24)

при этом матрица A dim A = n'x n' состояния будет иметь следующий вид:

2х-1 X

a, . : a, .

х=1 Xn=1 n

A :

■ J

■ J

1, j = 1 n', Рх={0, 1} pn e P, X = P

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(25)

где С рп - «композиционное» произведение параметров рп множества

п=1

Р {Р1 ,Р2,к,Рх): Р1 е{0,1), 1 = 1,х, образующее по классическому сочетательному

закону Ст множество Р композиционных параметров в форме произведения

параметров из множества Р мощностих = [ Р ]; Рх - коэффициент, значение которого принадлежит множеству {0,1}, а агрегирование переменных х осуществляется с использованием следующей рекуррентной процедуры (26)—(31):

Х|(к +1)= Г1 (Х1(к +1))= а0 © аг/X/(к)© . © а^-/Хп- - (к)© .

v<2п-п-1 п

... © а1пхп(к)© к © I а С Хж(к)

1=1 1 ж=1

в

/,/ =1,п; а0 5 а1/ ,ае: / (Р1, Р2,..., Рп^У^С Рп; а,/ = {0,1}п= 1в

, 1 = Гу; к = {х * 0 },

?(к ) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

аг§

а 1 Схж(к0

Ж=1

,(к + 1) = П хж (к + 1) = П /ж ( (к +1)),

(26)

(27)

(28)

ж=1

ж=1

х (к +1) = / ((1 (к +1)) = а0 © а1 .х/(к)©... © ащ_,хп_. (к)©...

... © а1пхп'

(к)© ... ©1а е хе (к), 1, / = 1, п,

1=1

(к +1) = / ((к +1)) = а0 ©а1 -х -(к)©...©аы.-х^.(к)©...

у<2п—п—1 п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

... ©а1пхп(к)© ...© I а1 Схж(к), 1,/ = \п,

1=1

ж=1

'(к )= аг§

а1 Схж(к)* 0

ж=1

, 1' = 1, у-к; к' = { * 0 }

(29)

(30)

(31)

Доказательство. Из выражения (27) видно, что на каждом шаге рекурсии образуется некоторый алфавит, буквы которого представлены сочетаниями х булевых переменных х1 состояния УДА. Начальный шаг рекурсии характеризуется мощностью алфавита

(32)

V

= [х ] = 2п -п-1

всех возможных сочетаний булевых переменных х1 без повторений, кроме случая,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

когда элемент сочетания представлен одной переменной. Выражение (31) показывает, что на очередном шаге рекурсии алфавит пополнится новыми сочетаниями из числа

V = 2п - п - 1 -к дает:

оставшихся. В этой связи предельный переход при

к —> 2п - п - 1

I

I

v = lim v — к = 0. (33)

—n—1

Таким образом, процедура рекурсии (26)—(31) завершится за конечное число шагов, число которых не превысит значения, определяемого выражением (32), а полученные агрегированные переменные образуют вектор состояния (24), что в итоге позволяет по результатам рекурсии получить матрицу состояния линейной версии УДА в форме (25). ■

Следует заметить, что в силу нелинейности природы исходного УД, линейная его версия не всегда может обладать функциональной полнотой, характеризующейся, в частности, свойствами полной управляемости и наблюдаемости. Проиллюстрируем положения статьи примером.

3. Пример

В качестве примера рассмотрим возбуждения входов триггеров которого

автоматное УДА второго порядка, БФ

^ 1 — UXi X2 V U Xi X2 , ^ 2

= u (x1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

XXi X2 »U X] X'

)

ПЛ2

Воспользуемся положениями утверждения У.1 и получим представления БФ возбуждения в виде соответствующих полиномов Жегалкина:

^ 1 = х2 ф их2 ф х1 х2 , ^ 2 = х2 Ф х1 х2 Ф их1 х2 .

Выполнение рекуррентной процедуры (26)-(31) дает агрегированную переменную

X3 — Xi X2 •

в соответствии с аналитическим представлением которой выражения для вектора состояния линейной версии УДА имеют вид х1 (к +1) = х2 (к)ф их2 (к )ф ~3 (к),

х2 (к +1) = х2 (к)ф ~3 (к)ф их3 ( к),

~3 (к +1) = х2 (к)ф ~3 (к)ф их2 ( к).

Полученные выражения позволяют в общем виде получить две версии представления матриц-компонентов ВМ описания (14), (15) линейной версии УДА — однородную

1

В = 0, С = I, Н = 0,

A(u ) —

10 u 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 0 U

10u 1

и неодно

родную

"0 1 1" X2

A — 0 1 1 , B(x) — X3

0 1 1 _ X2 _

C — I, H = 0

Заключение

Представленная методология приведения автоматного представления УДА к линейному векторно-матричному виду на основе агрегирования булевых термов обнаруживает свою состоятельность. Простота полученной рекуррентной процедуры позволяет погрузить ее в программную среду, что позволяет использовать ее для преобразования автоматных УДА большой размерности. Несмотря на конструктивность и простоту предлагаемой методологии следует отметить, что в

3

рамках «тонких» свойств той или иной природы УДА не всегда возможно получить его

версию, обладающую соответствующей функциональной полнотой,

характеризующейся, в частности, свойствами полной управляемости и наблюдаемости.

Литература

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Ушаков А.В. Синтез циклических кодирующих и декодирующих устройств в логике произвольных триггеров. //Автоматика и телемеханика. 1997. №11

2. Баев А.П., Мельников А. А., Салмыгин И.П., Ушаков А.В. Построение устройств помехоустойчивого кодопреобразования в логике произвольных триггеров. //Алгебраические методы в теории устройств дискретной автоматики и телемеханики. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2001.

3. Баев А.П., Салмыгин И.П., Ушаков А.В. Автоматный синтез циклических кодирующих и декодирующих устройств. //Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41. № 7.

4. Гилл А. Линейные последовательностью машины. М.: Наука, 1974.

5. Фараджев Р.Г. Линейные последовательностью машины. М.: Сов. радио, 1975.

6. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов. Л.: Энергия, 1979.

7. Dubarenko V.V. About reduction of systems of the logic equations to linear sequential circuits. //Labour the first national conference with international participation on physical metrology problems "FIZMET-94, "Science ", St.-Petersburg, 1995.

8. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1999.

9. Селлерс Ф. Методы обнаружения ошибок в работе ЭЦВМ. М.: Мир, 1972.

10. Sellers F., Hsio M.Y., Bearson L.W., Analizing errors with Boolean difference//IEEE Trans. Comp. C-17. 1968. РР. 676-683.