Самоорганизующееся устройство дискретной автоматики в задачах динамической идентификации процессов без памяти над полем GF(2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

САМООРГАНИЗУЮЩЕЕСЯ УСТРОЙСТВО ДИСКРЕТНОИ АВТОМАТИКИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРОЦЕССОВ БЕЗ ПАМЯТИ НАД ПОЛЕМ

GF (2)

А.А. Мельников

Рассматривается задача идентификации процессов без памяти над конечным полем Галуа GF (2). Предложена аналитическая база для конструирования самоорганизующегося устройства дискретной автоматики, позволяющего осуществлять идентификацию процессов без памяти над GF (2).

Введение

Ставится и решается задача идентификации [4-6] процессов, параметризованных дискретным временем к, без памяти над конечным полем Галуа GF( 2), протекающих в некоторой технической среде. При этом целевой частью задачи является формирование аналитической базы для конструирования устройства дискретной автоматики (УДА), позволяющего решать указанную задачу в режиме реального времени. Решение поставленной задачи идентификации осуществляется параллельно в двух ее версиях -структурной и параметрической. Первая своей целью ставит формирование в среде двоичных динамических систем (ДДС) необходимой модели для осуществления процедуры идентификации, вторая - идентификацию параметров модели технической среды. Совокупно задача решается в среде УДА средствами самоорганизующегося двоичного динамического наблюдающего устройства, коими обеспечивается характеристика самоорганизации устройства.

Основной результат

Предварим полученные результаты решения задачи определением.

Определение. Под дискретным процессом без памяти над полем GF (2) будем понимать процесс ф, происходящий в некоторой технической среде и характеризующийся тем, что для каждого j -го воздействия u , dim u = r на техническую среду, представленного набором переменных u : { ui, i = 1,r}j=j 2r , ut e {0, l}, он всегда формирует однозначный выход (отклик) v j e {0, l} так, что

ф: v(k) = f(u(к)). □ (1)

По существу, описание (1) задает отношение «вход - выход» некоторой технической среды, которая формирует сигнал выхода как булеву функцию (БФ), зависящую исключительно от входного воздействия u . Введенное определение позволяет уточнить формулировку поставленной задачи идентификации следующим образом. Требуется сформировать аналитическую базу конструирования УДА, которое по представлению на его вход всех 2r пар { u(k), v(к)} «самосконфигурируется» и обеспечит решение поставленной задачи с формированием описания модели технической среды в форме (1). Структурно формулировку задачи можно представить так, как показано на рис. 1.

Задача решается средствами УДА, построенного в форме двоичного динамического наблюдающего устройства (ДНУ) при использовании возможностей нейросетевых технологий [1,3,7,8]. В такой постановке аналитическое описание процедуры самоорганизации ДНУ по аналогии с оной в среде нейронных сетей, где обеспечивается на-

стройка весов синаптических связей [1,7] нейронов и формирование целевого выхода, над полем вГ (2) примет вид

z(k +1)= А z (к)+Ви(к)+Ье(к); (2)

w(k ) = И z (к ), (3)

у(к ) = С w(k ), (4)

где z - вектор состояния, е = у + V - вектор невязки наблюдения (ВНН), w - вектор синаптических весов, у - вектор выхода, А - единичная матрица состояния, В - мат-

т

рица входа, Ь - матрица входа по ВНН, К = В - матрица выхода-выборки весов,

т

С = В - матрица выхода, при этом матричные компоненты по размерности согласованы с соответствующими векторами z, и, е, w, а операция «+» с учетом модулярной арифметики в вг (2) осуществляется по модулю два (шоё2).

УДА

{и(к) у(к)\, ] = \аг

Рис. 1. Пояснение формулировки задачи

Заметим, что реализация БФ в рамках алгебры Буля не использует линейную операцию умножения и сложения по шоё2 , представляющие операции линейной алгебры. Указанное обстоятельство приводит к проблеме конструирования линейного ДНУ (2)-(4), настраиваемого на произвольную БФ (1): система (2)-(4) не может обеспечить функциональную полноту для реализации произвольной БФ. Проблема решается представлением произвольной БФ в базисе Жегалкина [2] с линейными операциями умножения и сложения по шоё2 алгебры логики, в которую входит и алгебра Буля. Погружение БФ в базис Жегалкина приводит к полиномам Жегалкина, которые в развернутой форме имеют вид

п п п

г (X )=/ (о )е£

Л-1X-2 к хы -Ф к

-=1 - Л=1 =1

- * ]

... Фа1,¡х1 х2 к хп, п = 2п - п -1, (5)

где /(0) - значение БФ на наборе переменных х 1 х 2 к х п , имеющем нулевое значение, ¡1,-2,к¡п е (1,п) и попарно не равны друг другу, а ^,- е {0,1} - коэффициенты полинома.

Расширим линейное пространство, образованное булевыми переменными х-, - = 1, п , элементами ~р, представляющими собой конъюнкции переменных в полиноме (5) так, что

= {xixj}; и j =1 n, i * j, 1 =1, ;

xr2+f = {xixjxk}; i,j,k =1,n, i * j * k, 1 =1,cl;

xn = X1X2 ••• xn ,

где C — число сочетаний из (•) элементов по (o) выбранным элементам, представ--т П!

ляющих собой переменные xi, i = 1, n, и вычисляемое в силу правила Cm = ——:—т-.

m!(n - т)!

При этом расширим соответствующим образом и вектор W весов синаптических связей так, что dim W = n. Тогда модель (2)-(4) процессов в ДНУ примет вид

~ (к +1) = A~ (к) + B u(k) + L [ C R~ ( к ) + v( к)]; (7)

y(k ) = C R~ (k ), (8)

где, с учетом отождествления переменных в форме zt = xt, xj = агрегированный век-

x x t I x t T

тор z состояния ДНУ имеет вид z = z \ z I .

Методологически процесс самоконфигурации ДНУ осуществляется в силу следующих соображений. Строится линейная двоичная динамическая система, которая для каждой пары {к = 0, к} дискретных моментов времени фиксирует булеву разность

дu(к) значений вектора u, dimu = r в форме

дu(k) = u (0)е u ( к ). (9)

Далее аналогичным образом строится еще одна линейная ДДС, которая для каждой пары {к = 0, к} дискретных моментов времени фиксирует булеву разность дe(k) значений вектора v так, что

de(k) = v(0)0v(k). (10)

С использованием значений булевых разностей (9), (10) осуществляется процедура «самоконфигурации» ДНУ. Суть процедуры самоконфигурации ДНУ сформулируем в форме следующего утверждения.

Утверждение. Для формирования аналитического представления скалярной БФ f (u(k)), dimu = r в форме полинома Жегалкина достаточно вычислить в силу соотношений (9), (10) булевы разности д u( к) и д e( к) на множестве полной мощности 2r пар { u(к), v(k)} (см. рис. 1) при зафиксированной паре { u(0), v(0)}, при этом для каждой пары {к, к +1} дискретного времени заполнить карту модулярных сумм (КМС) таблицы 1 булевых разностей (ТБР) в силу следующего правила. Графа v(0) КМС для всех итераций заполняется значением v( 0)| u (0). Далее заполнение КМС производится

так, что напротив булевого терма, соответствующего значению дu(k)= 1 на текущей паре {u(k), v(k)}, ставится единица, если сумма по mod2 уже имеющихся единиц в КМС на соответствующих конъюнкциях булевых переменных не дает верное значение д e(k) для этой пары. Итерации заканчиваются, когда вариации д e(k ) на очередных

всех 2r парах {u(k), v(k)} не приводят к изменению КМС. При этом число 1 итераций по формированию КМС не превысит r так, что

1 <r . (11)

Заполнение графы «Совокупная сумма по каждому терму» КМС осуществляется по завершению итераций постолбцовым суммированием по Шоё2 единиц, содержа-

щихся в строках при соответствующих булевых термах.

_Таблица 1

Булевы термы полинома Жегалкина Итерации Совокупная сумма по каждому терму

1 2 ... г

у(о) * 0) у(о)

и1 (•>12 к (•)1г г Ъ (•)„■ г=1

и2 (•>2, (•)22 к (•)2 г Ъ (•)г г=1

иг (•)г 1 (•)г 2 . . . ( •)гг

и1и 2 (•>г+11 (•)г+12 . . . Мг+1 г

и^

*

и^Ыг

и 2и3

и^и 4

•

и2иг

г & и] ) =1 Н1 (•)х 2 к Н г г =1

Карта модулярных сумм булевых разностей

Восстановление искомой БФ / (и (к)) вида (1) в форме полинома (5) по построенной КМС производится суммированием по шоё2 тех термов, напротив которых графа «Совокупная сумма по каждому терму» КМС содержит единицу, при этом переменные булевых термов, которые соответствуют прямому (не инверсному) значению их в векторе и(о), следует проинвертировать. □

Доказательство утверждения строится на процедуре (Теорема Т1 В. А. Горбатова) [2] разложения произвольной БФ в полином Жегалкина. ■

Проиллюстрируем использование положений утверждения на примере.

Пример

Требуется сформировать БФ у = /(и3, и2, и1), принимающую значение логической единицы на наборах {{3, и 2, {из, и2, , {и3, и2, и1} при условии и (0)={0 1 1}. □

В соответствии с положениями утверждения будем иметь максимальное число итераций, равное трем (1 = 3), и ТБР в форме табл. 2. В таблице обозначение 1(.) имеет

смысл того, что соответствующая ячейка была заполнена единицей по счету (•) формирования единиц. Совокупная сумма единиц КМС по каждому терму дает единицу, за

исключением терма и1из для которого она дает 16 Ф ¡9 = 0. Конструирование по столбцу «Совокупная сумма по каждому терму» ТБР искомой БФ в форме полинома Жегал-кина дает:

/(из, и2, и1 ) = 1 ФЩ ФМ2 Физ ФМ1М2 Фи^из ФЙ^из .

Из таблицы видно, что число итераций, потребовавшихся для заполнения КМС, оказалось равным двум, что не противоречит постановочной части утверждения. ■

Таблица 2

Булевы термы полинома Жегалкина Итерации Совокупная сумма по каждому терму

1 2 з

у(о) 11 1

и1 14 — — 1

«2 1з — — 1

из 17 — — 1

щи2 12 — — 1

щщз 16 19 — 0

и^из - 18 — 1

и^и^Цз 15 - — 1

Карта модулярных сумм

По завершению процедуры самоорганизации ДНУ (2)-(4) последнее коммутируется с режима обучения на режим формирования сигналов целевого выхода так, что с

учетом структуры агрегированного вектора ~ состояния ДНУ описание этого режима имеет вид

~(к +1)= А~ (к); (12)

у(к ) = С (к ). (13)

Рис. 2. Результирующая структура в форме нейронной сети

Результаты исследований, выполненных в параграфе, позволяют сформировать структуру (рис. 2) ДНУ в форме нейронной сети, схожей с сетью Кохонена [3, 7, 8]. Сформированная сеть включает: карту расширения линейного пространства - КРЛП, карту модулярных термов - КМТ и карту модулярных сумм - КМС. Карта КРЛП вычислений не выполняет, ее назначение - разветвление входных сигналов ui, i = 1, r с

весом Wji, i = 1, r ; j = 1,2r на все с учетом процедуры (6) расширения линейного пространства j = 2r нейронов карты КМТ. Последняя карта - КМС - осуществляет суммирование по mod 2 сигналов выхода всех нейронов КМТ, чем обеспечивает формирование выходного целевого сигнала y сети.

Результат работы сети в форме настроенных весов синаптических связей позволяет напрямую получить из них коэффициенты a j i полинома (5), представляющего собой

искомую БФ вида (1) описания процесса без памяти, протекающего в среде исследуемой технической среды.

Заключение

Содержательная часть данной работы представляет достаточную аналитическую базу, позволяющую строить самоорганизующееся УДА, по структуре подобное нейронной сети, решающее поставленную задачу в режиме реального времени. Следует ожидать, что распространение полученных результатов на решение задач идентификации процессов с памятью над GF ( 2), модельно представимые в форме конечного автомата Мура или автомата Мили, даст позитивный результат, а структура УДА при этом будет иметь иерархический вид.

Литература

1. Головко В.А. Нейронные сети: обучение, организация и применение. Кн. 4: Учеб. пособие для вузов / Общая ред. А. И. Галушкина. М.: ИПРЖР, 2001.

2. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной автоматики. Информационная математика. М.: Наука. Физматлит, 1999.

3. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия - Телеком, 2001.

4. Кузовков Н.Т., Карабанов В.А., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978.

5. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации систем автоматического управления. М. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.

6. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйхскоффа. М.: Мир, 1983.

7. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. М.: Мир, 1992.

8. Kohonen T. Self-organization and associative memory. Series in Information Sciences, vol. 8. Berlin: Springer Verlag, 1984.