Коммутация структуры пространства линейных устройств рекуррентного преобразования кодов Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Введение в контурный анализ и его приложение к обработке изображений и сигналов / Под ред. Я. А. Фурмана. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 592 с.

2. Хафизов Р. Г. Анализ непрерывных комплекснозначных сигналов, задающих контуры изображений плоских объектов // Вестн. КГТУ им. А. Н. Туполева. 2006. № 4. С. 24—27.

3. Егошина И. Л., Хафизов Р. Г. Распознавание плоских зашумленных изображений по их форме // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 4. С. 46—51.

4. Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов / Под ред. Я. А. Фурмана. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 456 с.

5. Хафизов Р. Г., Охотников С. А. Линейная фильтрация непрерывных контуров изображений, заданных в комплекснозначном виде // Компьютерная оптика. 2010. Т. 34, № 3. С. 408—416.

Сведения об авторах

Ринат Гафиятуллович Хафизов — д-р техн. наук, профессор; Марийский государственный технический

университет, кафедра радиотехнических и медико-биологических систем, Йошкар-Ола; E-mail: [email protected] Сергей Аркадьевич Охотников — аспирант; Марийский государственный технический университет, ка-

А. В. Ушаков, Е. С. Яицкая

КОММУТАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ РЕКУРРЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОДОВ

Рассматривается задача коммутации структуры пространства линейных устройств рекуррентного преобразования двоичных кодов с помощью нелинейно формируемого сигнала. Предлагаются алгоритмы синтеза таких устройств.

Ключевые слова: рекуррентное преобразование, структура пространства, матрица коммутирующего входа, сигнал коммутации, основная конъюнкция вектора состояния.

Введение. Постановка задачи. Устройства рекуррентного преобразования двоичных кодов являются двоичными динамическими системами. В теории двоичных динамических систем (ДДС) сформировались два направления [1—3] их синтеза, которые развиваются по законам системной диалектики практически независимо друг от друга.

Первое направление, основанное на теории конечных автоматов, связано с решением задач вычислительной техники при синтезе микропрограммных автоматов, а также частично задач общетехнической дискретной автоматики. С точки зрения общесистемного подхода „автоматная" ветвь ДДС представляет собой класс нелинейных двоичных динамических систем (НДДС), аналитически описываемых выражениями

федра радиотехнических и медико-биологических систем, Йошкар-Ола; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой радиотехнических и медико-биологических систем

Поступила в редакцию 13.12.11 г.

УДК [517.938 + 519.713 / .718]: 621.398

(1) (2)

где формула (1) предназначена для автоматной логики Мили, а формула (2) — для автоматной логики Мура; здесь x, u, y — соответственно вектор состояния ДДС, входная и выходная последовательности: dim x = nA, dimu = r, dim y = m ; k — дискретное время, выраженное числом интервалов дискретности длительностью At; функции 5() носят названия

функции перехода и функции выхода соответственно.

Отличительной особенностью автоматного представления ДДС в форме (1) или (2) является возможность использования любых типов триггеров. Реализация автоматной логики в виде (1) или (2) в силу последнего обстоятельства требует дополнения их функциями возбуждения информационных входов v(k) используемых триггеров, которые определяются исходным состоянием x (k), состоянием перехода x (k +1) и входной последовательностью u (k):

v (k) = v {x(k +1), x(k), u (k)}. (3)

Если в выражении (3) подставить представления для x (k +1) из формулы (1), то функции возбуждения будут иметь вид

v(k) = V{^{x( k), u( k)}, x(k),u(k)} = V{x(k),u(k)}. (4)

В результате автоматная реализация двоичной динамической системы, исходное описание функционирования которой задается или графом переходов из состояния в состояние, или граф-схемой алгоритма смены состояний, сводится к реализации двух систем булевых функций:

v(k ) = V { x (k ), u (k )};

15 {x ( k), u ( k) } для автоматной логики Мили,

y (k ) = ■■ , .

5{x ( k) } для автоматной логики Мура.

(5)

Следует отметить, что если триггер выбранного типа используется в синхронном режиме, то в булевых функциях (5) должен учитываться синхросигнал.

Второе направление синтеза двоичных динамических систем, основанное на линейном векторно-матричном представлении, формировалась в рамках теории помехозащитного преобразования кодов (ППК) [4] и линейных последовательностных машин [5], получивших впоследствии название линейных двоичных динамических систем (ЛДДС). В этом случае для аналитического описания динамических процессов в ДДС используются рекуррентные век-торно-матричные представления вида

x (k +1)= Ax ( k) + Bu (k), x ( 0) Д

y (k ) = Cx (k) + Hu (k). J (6)

Основная особенность ЛДДС заключается в том, что в них используются D-триггеры, аналитически представляющие собой элементы задержки на интервал длительностью At, т.е. на один такт. В выражении (6) переменные x, u, y, k имеют тот же смысл, что и в формулах (1), (2); размерности этих переменных следующие: dim x = n, dim u = r, dimy = m, при этом в общем случае n ^ nA, n > nA ; A, B, C, H — соответственно матрица состояния, матрица входа, матрица выхода и матрица вход—выход, размерности которых согласованы с размерностями переменных. Пошаговое использование модельного представления (6), называемого „рекуррентным", приводит к „суммарному" аналитическому представлению ЛДДС, которое также является решением системы (6):

к-1

х (к ) = А кх (0 ) + ^ А Ви (к -1 -1),

г=0

(7)

у (к ) = Сх (к) + Ни (к).

Следует заметить, что в теории и практике ДДС существуют „пограничные" задачи, решение которых обусловливает необходимость изменения структуры пространства ДДС рекуррентного преобразования кодов вида (1), (2) или вида (6). Эти задачи сводятся в основном к организации перехода ДДС из конкретного исходного состояния х (к) в требуемое состояние перехода х(к +1) под действием служебного сигнала коммутации ик .

Задача коммутации структуры пространства линейных устройств рекуррентного преобразования двоичных кодов, или иначе ЛДДС, решается путем введения в нее с помощью дополнительной матрицы Вк коммутирующего входа и нелинейно формируемого дополни-

тельного сигнала ик .

Цель настоящей статьи — построение алгоритмов формирования матрицы Вк коммутирующего входа и скалярного сигнала коммутации ик , не привязанного жестко к дискретному времени к, для двух случаев реализации ЛДДС рекуррентного преобразования кодов (6), первый из которых характеризуется условием отсутствия входной последовательности и (к) = 0 (автономная версия ЛДДС), а второй — условием ее наличия (версия ЛДДС, возбуждаемой произвольной входной последовательностью и (к) ).

В соответствии с изложенным описание ЛДДС с линейно коммутируемой структурой принимает следующий вид:

— для автономной версии системы

х ( к +1)= Ах ( к) + Вкик, (8)

— для версии системы, возбуждаемой ненулевой входной последовательностью и (к),

х(к +1)= Ах( к) + Ви(к) + Вкик . (9)

Рассматриваемыми в статье задачами являются:

1) формирование аналитических представлений

Вк = Вк (А, х (к +1), х (к)) (10)

для автономной версии системы и

Вк = Вк (А, х(к +1), х(к), В, и (к)) (11)

для версии системы, возбуждаемой ненулевой входной последовательностью и (к), в предположении, что в выражениях (8) и (9) выполняется условие

иК = 1; (12)

2) поиск способов обеспечения выполнения условия (12).

Структура пространства матрицы состояния ЛДДС. В общей постановке структура пространства матрицы состояния ДДС рекуррентного преобразования кодов характеризуется следующими факторами:

— неподвижными состояниями системы при нулевом и единичном значениях входной последовательности;

— наличием собственных векторов матрицы состояния;

— наличием замкнутых циклов;

— состояниями, из которых ЛДДС переходит в нулевое состояние.

Если ЛДДС имеет неприводимый полином степени т в качестве характеристического, то этот полином, а следовательно, и его матрица состояния А принадлежат показателю д,

так что выполняется соотношение Ад = I, где д = 2т -1. В такой системе структура пространства матрицы состояния может быть представлена:

— неподвижным состоянием х (к) = 0 при и (к) = 0 ;

— неподвижным состоянием х (к) = (I + А) 1 В при и (к) = 1;

— двумя замкнутыми циклами максимальной длиной д = 2т -1, каждый со своей структурой (последовательностью перехода из состояния в состояние) при и (к ) = 0 и при и (к) = 1, так что х (к) = х (к + д) .

Таким образом, ЛДДС с матрицей состояния А размерности (т х т) может генерировать периодические последовательности максимальной длиной Ь = д = 2т -1. Следует заметить, что возможна реализация ЛДДС, при которой будут генерироваться периодические последовательности максимальной длиной Ь, если характеристический полином матрицы состояния ЛДДС будет иметь вид ёй (I + А) = ХЬ +1, причем значение Ь может быть произвольным, а не из ряда Ь = 2т -1, где т — целое положительное число. Основным недостатком такого класса ЛДДС является увеличенная размерность матрицы А, которая принимает значение А = (Ь х Ь ).

В настоящей статье рассматриваются в основном проблемы коммутации структуры пространства состояний, принадлежащих указанным выше замкнутым циклам.

Формирование аналитических представлений для матрицы Вк коммутирующего

входа ЛДДС. Для решения задачи линейной коммутации структуры пространства состояний ЛДДС сформулируем следующие утверждения.

Утверждение 1. Если ЛДДС автономна, т.е. описывается соотношением (8), при этом заданы вектор состояния перехода х(к +1) и вектор исходного состояния х(к), а также выполняется условие (12), то матрица Вк коммутирующего входа, с помощью которой осуществляется переход из х (к) в х (к +1), определяется выражением

Вк = х(к +1) + Ах(к) . □ (13)

Доказательство утверждения строится на использовании соотношения (8) в предположении заданных значений х (к +1), х (к) и ик = 1 с последующим решением уравнения (8) относительно матрицы Вк . ■

Примечание 1. Из выражения (13) следует, что переход из состояния х(к) в состояние х(к +1) невозможен, если выполняется условие х(к +1) + Ах(к) = О, т.е. в случае, если х (к) — собственный вектор матрицы А.

Утверждение 2. Если ЛДДС возбуждается ненулевой входной последовательностью и (к), описываемой соотношением (9), при этом заданы вектор состояния перехода х (к +1) и

вектор исходного состояния х (к), а также выполняется условие (12), то матрица Вк коммутирующего входа, с помощью которой осуществляется переход из х (к) в х (к +1), определяется выражением

Вк = х (к +1) + Ах(к) + Ви (к) . □(И)

Доказательство утверждения строится на использовании соотношения (9) в предположении заданных значений х (к +1), х (к) и ик = 1 с последующим решением уравнения (9) относительно матрицы Вк . ■

Примечание 2. Из выражения (14) следует, что структура матрицы Вк коммутирующего входа зависит от значения входной последовательности и (к) на момент коммутации, так что при и (к) = 0

а при и (к) = 1 —

Вк|u(k)=0 = вк0 = *(к +1) + Ах(к) , 05)

Вк |u(k)=1 = Вк1 = х (к +1) + Ах (к) + В . (16)

Примечание 3. Очевидно, что введение двух матриц коммутации (15) и (16) приводит к тому, что сигнал коммутации ик становится векторным: ик = [ико ик1 ] , при этом сигнал ико поступает на вход системы (9) через матрицу Вко, а сигнал ик1 — через матрицу Вк1.

Примечание 4. Из выражения (14) следует, что переход из состояния х(к) в состояние х (к +1) невозможен, если выполняется условие х (к +1) + Ах (к) + Ви (к) = O, т.е. если х(к) — собственный вектор матрицы А при и(к) = 0, и если {х(к +1),х(к)} = = arg {х (к +1) + Ах (к) = В} при и (к) = 1.

Формирование сигналов коммутации структуры пространства состояний ЛДДС.

Определение 1. Основной конъюнкцией &{(•)} набора (•) = (, х2 ... х1... хп) двоичных переменных называется конъюнкция, которая для данного набора принимает единичное значение &{(•)} = 1. □

Используем это определение для набора булевых переменных применительно к вектору, составленному из тех же переменных.

Определение 2. Основной конъюнкцией &{(*)} вектора (*) = (х(к)), составленного из элементов х1 е GF (2) = {0; 1} , называется конъюнкция, которая для данного набора двоичных переменных, образующих вектор х (к), принимает единичное значение &{(*)} = 1. □

Сформулируем утверждения для сигнала коммутации ик различных ДДС рекуррентного преобразования кодов: автономной системы и системы, возбуждаемой входной последовательностью.

Утверждение 3. Сигнал коммутации ик для автономной ДДС может быть сформирован в виде основной конъюнкции исходного вектора состояния х (к) . □

Доказательство. Рассмотрим автономную систему (8) с формируемым в ней сигналом коммутации ик. На момент коммутации, т.е. на момент начала перехода из исходного состояния х (к), только оно представлено сигналом. Формируя основную конъюнкцию для вектора х(к), гарантированно можно получить скалярный сигнал единичного значения: и

= &{х(к)}. ■

т

Утверждение 4. Компоненты сигнала коммутации ик = [ико ик1 ] для версии ЛДДС (9) при наличии входной последовательности и (к) могут быть сформированы в виде

& {и (к ),& {х (к)}}, ик1 = & {и (к ),& { х (к)}}. □(П)

ик0 ='

Доказательство утверждения строится по аналогии с доказательством утверждения 3. ■ Схема формирования сигнала коммутации для версии ЛДДС (9) представлена на рис. 1 (здесь Б — многомерный Б-триггер).

и(к)

&

н

В

х(к +1)

■+Ф

ИЗ

и(к)

& ик0 Вк0

1 ик1

& Вк1

> к

-К)

Б

х(к)

А

С

>Ф

У(к)

и

к

Рис. 1

Представим алгоритмы формирования матрицы Вк коммутирующего входа и скалярного сигнала коммутации ик для двух случаев реализации ЛДДС.

Алгоритм (А1) формирования матрицы Вк и сигнала ик для автономной версии ЛДДС.

1. Составить структуру циклов и неподвижных состояний системы по исходному век-торно-матричному описанию (ВМО) автономной версии ЛДДС х ( к +1) = Ах ( к) с помощью графа переходов или таблицы состояний.

2. Задать два набора векторов состояний: один — набор векторов {х( к)} исходных состояний х (к), из которых требуется осуществить переход, а другой — набор векторов {х ( к +1)} требуемых состояний перехода х ( к +1), и сформировать для этих наборов пары, задействованные в переходах.

3. Сформировать согласно утверждению 3 набор {ик} сигналов коммутации

ик = &{х(к)}.

4. Вычислить набор {Вк} матриц Вк коммутирующих входов в форме (13).

5. Составить векторно-матричное описание полученного устройства коммутации в форме (8).

6. Осуществить проверку правильности функционирования устройства.

7. Осуществить техническую реализацию.

Алгоритм (А2) формирования матрицы Вк и сигнала ик для версии ЛДДС, возбуждаемой произвольной входной последовательностью и (к).

1. Составить структуры циклов и неподвижных состояний системы по исходному ВМО версии ЛДДС х(к +1) = Ах( к) + Ви(к) с помощью графов переходов или таблиц состояний

для случаев и (к) = 0 и и (к) Ф 0 (и (к) = 1) .

2. Задать два набора векторов состояний: один — набор векторов {х( к)} исходных состояний х (к), из которых требуется осуществить переход, а другой — набор векторов {х ( к +1)} требуемых состояний перехода х ( к +1), и сформировать для этих наборов пары, задействованные в переходах.

3. Сформировать согласно утверждению 4 набор {ико} сигналов коммутации в форме

(17) для случая и (к) = 0 .

4. Вычислить набор {Вко} матриц Вко коммутирующего входа в форме (15).

5. Сформировать согласно утверждению 4 набор {ик1} сигналов коммутации в форме (17) для случая и (к) Ф 0 (и (к) = 1) .

6. Вычислить набор {Вк1} матриц Вк1 коммутирующего входа в форме (16).

7. Составить векторно-матричное описание полученного устройства коммутации в форме (9).

8. Осуществить проверку правильности функционирования устройства.

9. Осуществить техническую реализацию.

Пример. Рассмотрим устройство управления приемом помехозащищенного кода (ПЗК), помехозащита которого реализуется в режиме „обнаружение", причем формат кода составлен из помехозащищенных кодовых компонентов, сформированных в соответствии с рис. 2, где СИ — синхроимпульс; к{Ыкп } = (п1, к) — код номера (Ы) контролируемого пункта (КП);

к{ФА} = (п2,к2) — код функционального адреса (ФА); к{ОТМ} = (п3,к3) — код номера объекта телемеханизации (ОТМ); к{ХК}=( п4, к4) — код характера команды (ХК); КВ — квитанция; М — маркер; п — полное число разрядов кода, к1 — число информационных разрядов кода.

КВ1 КВ2 КВз КВ4 М

СИ К(^КП> X к{ФА} X к{ОТМ} X к{ХК} X /

Рис. 2

Приведенный формат ПЗК рассчитан на следующие исходные данные: число КП на один пункт управления (ПУ) #кп/ПУ — 15; число ОТМ — 35; число уставок, передаваемых

_п

ОТМ (характер команды), — 3; категория системы телемеханики — III (/доп < 10 ); модель

двоичного канала связи — рю = 5 -10"5, poi = 10-5; структура кода — произвольная. В результате: (nb k1 ) = (7,4), (n2, k2 ) = ( 6,3), (n3, к3 ) = (10,6), (n4, к4 ) = (5,2), число служебных

разрядов кода (четыре квитанции и маркер) составляет величину псл = 5, полное число раз-

4

рядов кода ns = ^ ni + псл = 33 .

i=l

Нетрудно видеть, что разрабатываемое устройство управления приемом помехозащищенного кода по существу является распределителем импульсов (РИ), представляющим собой двоичную динамическую систему, генерирующую на n£ выходах n£ -разрядные распределительные коды. РИ дополнен линейными цепями коммутации структуры пространства посредством нелинейно формируемого сигнала в связи с характером приема ПЗК в режиме обнаружения.

Базовая структура устройства генерирует последовательность длиной и строится в виде автономной ЛДДС рекуррентного вида х ( к +1) = Ах ( к) , где матрица состояния

032х1 132x32 _ 1 01x32 .

В результате решения, основанного на использовании алгоритма А1, сформированы: 1) таблица состояний, в которой отражена структура циклов и неподвижных состояний системы;

А=

к хт (к) к хт (к) к хт (к)

0 [°1Х33 ]т •.. • 27 [01х6 1 01х26 ]Т

1 [01х32 1]Т 14 [01х19 1 01х13 ]Т • •

2 [01х31 1 0]Т 15 [01х18 1 01х14 ]Т 31 [0 0 1 01Х30 ]т

• • 16 [01х17 1 01х15 ]Т 32 [0 1 01х31 ]Т

7 [01х26 1 01х6 ]Т • • 33 [1 01х32 ]Т

8 [01х25 1 01х7 ]Т 25 [01х8 1 01х24 ]Т — -

9 [01х24 1 01х8 ]Т 26 [01х7 1 01х25 ]Т — -

Примечание . Фоном выделены служебные разряды кода, рамкой — неподвижное состояние.

2) набор векторов исходных состояний {х( 8),х( 15),х(26),х(32),х(33)}, из которых требуется осуществить переход; набор векторов требуемых состояний {х(1),х( 9), х(16), х(27),х(0)} ;

3) набор сигналов коммутации:

ик1 = &{х(8)} = х1 х2 ••• х26х27 ••• х33;

ик2 = &{х(15)} = х1х2 ••• х19х20 ••• х33; ик3 = &{х(26)} = х1х2 ••• х8х9 • х33; ик4 = &{х(32)} = х1х2х3 • х33;

ик5 = & {х(33)} = х1х2х3 • х33;

4) набор матриц коммутирующих входов:

т

В к1 = [01х24 1 01х7 1] ;

т

Вк2 = [01х17 1 01х6 1 01х8 ] ;

т

Вк3 = [01х6 1 01х10 1 01х15] ;

т

Вк4 = [1 01х5 1 01х26 ] ;

Вк5 = [01х632 1]Т ;

5) векторно-матричное описание полученного устройства коммутации:

х ( к +1) = Ах ( к) + Вк1ик1 + Вк2ик2 + Вк3ик3 + Вк4ик4 + Вк5ик5 • Проверка правильности функционирования полученного устройства осуществляется на базе гипотезы о том, что при передаче кода функционального адреса и кода характера коман-

ды произошла ошибка. Очевидно в этом случае прием кода ФА должен сопровождаться запросом на повторение передачи этого кода, что обеспечивается переходом из состояния х (15) в х (9), т.е.

;(k +1) = Ax (k ) + B

к2

k=15

O

32x1 I32x32

1

O

1x32

°17x1

°18x1 1 °24x1

1 + °6x1 = 1

_°14x1 _ 1 _ °8x1 _

_ °8x1 _

= x(9).

Аналогично запрос на повторение кода ХК сопровождается переходом из состояния х (32) в х (27), т.е.

1

0

032х1 132x32 1 01x32 _

■(k +1) = Ax (k) + B

K4 k=

Ik=32

0 1

°31x1.

O5x1 1

°26x1

°6

'6x1 1

°26x1.

= x (27).

Заключение. Предложенная в статье алгоритмическая среда позволяет конструктивно расширить функциональные возможности линейных двоичных динамических систем путем введения дополнительных линейных цепей коммутации структуры пространства состояний ЛДДС рекуррентного преобразования кодов с помощью нелинейно формируемых сигналов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ушаков А. В., Яицкая Е. С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 3. С. 17—25.

2. Баранов С. И. Синтез микропрограммных автоматов. Л.: Энергия, 1979.

3. Бохман Д., ПостхоффX Двоичные динамические системы. М.: Энергоатомиздат, 1986.

4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976. 600 с.

5. ГиллА. Линейные последовательностью машины. М.: Наука, 1974. 288 с.

Анатолий Владимирович Ушаков

Елена Сергеевна Яицкая

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 25.04.11 г.