ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ (ПРИМЕРОВ И КОНТРПРИМЕРОВ) КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ РАБОТЕ НАД ОШИБКАМИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Н.Е. Валиева

ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ (ПРИМЕРОВ И КОНТРПРИМЕРОВ) КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ РАБОТЕ НАД ОШИБКАМИ

В статье рассмотрена технология развития индивидуальных навыков обучающихся посредством использования ключевых задач. Задачи представлены в виде контрпримеров, которые рассматриваются как средство обучения работе над математическими ошибками.

Ключевые слова: технология обучения, системы задач, примеры и контрпримеры.

Проектируемая система задач не являются повторением основного учебного курса и предназначена

для:

- стимулирования учебно-познавательной деятельности учащихся;

- развития их умственных возможностей и исследовательских компетенций;

- обучения алгоритмам универсальных учебных действий.

При проектировании системы задач в виде примеров и контрпримеров представляется целесообразным исходить из технологии обучения, которую предполагается использовать для этого.

В качестве такого средства при обучении старшеклассников работе над собственными ошибками воспользуемся технологией обучения математике под авторством Р.Г. Хазанкина [9].

Цель технологии: развитие индивидуальных навыков обучающихся и их увлечение математикой в целом посредством использования системы ключевых задач, которые формируются применительно к каждой из изучаемых тем.

Прогнозируемый результат: успешное усваивание материала всеми группами учащихся.

«Для достижения целей данной технологии основным моментом являются ключевые задачи по каждой из изучаемых тем. Эти задачи обеспечивают успешное обучение на уровне стандарта всеми группами учащихся. Основана технология на разработанной системе из нескольких типов занятий» [9].

«В рамках данной технологии важную роль играет отбор самих ключевых задач. При отборе задач-ного материала предполагается руководствоваться следующими положениями:

- с помощью данных задач можно изучить все основные положения рассматриваемой темы;

- задач не должно быть очень много, что предполагается самой технологией;

- по уровню сложности задачи должны быть рассчитаны на средний уровень подготовки, так чтобы у учащихся с низкой мотивацией появился интерес к теме и занятиям, а у «продвинутых» учащихся - интерес к дальнейшему углубленному изучению темы;

- задачи должны содержать различные подходы, предполагающие исследование, в том числе, и теоретические положения рассматриваемой темы;

- процесс решения задач не должен быть слишком длинным, чтобы постоянно поддерживать интерес учащихся» [9].

Оптимальный набор ключевых задач является наиболее важным для достижения положительных результатов в повышении предметных компетенций обучающихся.

Рассмотрим далее несколько ключевых задач, которые являются полезными при изучении работы над собственными математическими задачами.

Задача 1

Решить уравнение:

4х - 6 = 7бх-2х2

Решение:

Возводим уравнение в квадрат и находим решения:

© Н.Е. Валиева, 2022.

Научный руководитель: Утеева Роза Азербаевна - доктор педагогических наук, профессор, завкафедрой «Высшая математика и математическое образование», Тольяттинский государственный университет, Россия.

16х2 - 48х + 36 = 6х - 2х2 х2 - 3х + 2 = 0 х1 = 1, х2 = 2

Ошибка

Получен один лишний корень. Контрпример

Очевидно, что х = 1 не является решением уравнения. В данном случае, внимание учащихся следует акцентировать на двух аспектах:

-при возведении уравнения в квадрат следует соблюдать предусмотренный алгоритм, -по окончании решения следует сделать проверку, когда это предоставляется возможным. Задача 2

Решить уравнение

1 + б^Т—1 = 1

Решение

Выделяем в подкоренных выражениях полные квадраты:

х + 3 - 4"^х — 1 = (х - 1) - 4"^х — 1 + 4 = ^х-1 - 2)2

х + 8 - 6^7-1 = (х - 1) - 1 + 9 = (^-1 - 3)2

Исходное уравнение принимает вид:

- 2) + - 3) = 1

Далее:

^7-1 = 3, х = 10 Проверкой убеждаемся, что х = 10 является корнем уравнения. Ошибка

При раскрытии иррациональностей потеряны корни уравнения.

Контрпример

Обращаем внимание учащихся на необходимость обязательного соблюдения равенства:

Т^2 = М

Учащиеся самостоятельно исследуют другие корни уравнения:

^х - 1 - 2| + = 1

Далее:

-при > 3 или х > 10 получаем:

2Vx—1 = 6, х = 10

и решений нет,

-при 2 < Vx - 1 < 3 или 5 < х < 10 получаем:

^-1-2 + 3-^-1 = 1 и решением является весь отрезок х 6 [5; 10], -при < 2 или 1 < х < 5 получаем:

2-^х - 1 = 4, х = 5

и решений нет.

Таким образом, решением исходного уравнения является отрезок:

х 6 [5; 10]

Задача 3

Решите уравнение:

^ж-1(2*2 - 5х + 3) = 2

Решение

Преобразуем уравнение к виду:

2х2 - 5х + 3 = (х - 1)2

Далее:

2х2 - 5х + 3 = х2 - 2х + 1 х2 - 3х + 2 = 0

Находим решения:

х1 = 1, х2 = 2

Ошибка

Не выполнена проверка ОДЗ для уравнения.

Контрпример

Для основания логарифма должны быть выполнены условия:

х — 1 > 0; Х-1Ф1

Очевидно, что полученные значения х1 и х2 не удовлетворяют этим условиям. Следовательно, заданное уравнение не имеет решений.

Таким образом, в процессе реализации технологии работы над ошибками посредством примеров и контрпримеров важную роль играет отбор самих ключевых задач. Оптимальный набор ключевых задач является наиболее важным для достижения положительных результатов в повышении предметных компетенций обучающихся. В работе приведены примеры ключевых задач, которые являются полезными при изучении работы над собственными математическими задачами.

Библиографический список

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. - М.: Мнемозина, 2014. - 312 с.

2. Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике в средней школе./Г.Н. Васильева. - Пермь, 2009. - 136с.

3. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В.А. Далингер. - М.: Просвещение, 2006. - 256 с.:

4. Далингер В.А. Критическое мышление учащихся и его развитие средствами примеров и контрпримеров по математике: учебно-методическое пособие - Омск: Изд-во ГОУ ОмГПУ, 2009. - 33 с.

5. Геометрия. Учебник для 11 класса с углубленным изучением математики./Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. - М.: Просвещение, 2004 - 240с.

6. Дорофеев С.Н. Геометрические преобразования в примерах и задачах: Учебное пособие. - Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 189с.

7. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: Изд-во МЦНМО, 2001 - 584с.

8. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / под ред. М.И. Сканави. - 6-е изд. - М.: Изд-во «ОНИКС - ЛИТ». - 2013 - 608 с.

9. Халамайзер, А.Я. Из опыта работы Хазанкина Р.Г. // Математика в школе. - 1987. - № 4 - С. 16-21.

ВАЛИЕВА НАТАЛЬЯ ЕВГЕНЬЕВНА - магистрант, Тольяттинский государственный университет, Россия.