CC BY
91PEDAGOGICAL SCIENCES | ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРИЧИНЫ ТИПИЧНЫХ ОШИБОК ОБУЧАЮЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Далингер В.А.
Омский государственный педагогический университет, доктор педагогических наук, профессор
Омск
THE REASONS OF TYPICAL ERRORS OF THE ELEMENTS OF THE MATHEMATICAL ANALYSIS WHICH ARE TRAINED IN THE COURSE OF STUDYING
Dalinger V.A., Omsk State Pedagogical University doctor of pedagogical sciences, professor Omsk
АННОТАЦИЯ
В статье рассматриваются четыре группы причин типичных ошибок обучающихся по математике: причины, связанные с психологическими факторами (ослабление психических функций: внимания, памяти, мышления); причины, вытекающие из недостатков учебных программ и учебников; причины, обусловленные несовершенством организации учебного процесса; причины, обусловленные не владением обучающимися на требуемом уровне синтаксисом и семантикой математического языка; отмечаются пути и средства их предупреждения; анализируются типичные ошибки по теме «Дифференцирование обратных тригонометрических функций»
ABSTRACT
In article four groups of the reasons of the typical mi^akes which are trained on mathematics are considered: the reasons connected with psychological factors (weakening of mental functions: attention, memory, thinking); the reasons following from shortcomings of training programs and textbooks; the reasons caused by imperfection of the organization of educational process; the reasons caused not by possession of the syntax and semantics of mathematical language which are trained at the required level; ways and means of their prevention are noted; typical mi^akes on the subject «Differentiation of the Inverse Trigonometrical Functions» are analyzed.
Ключевые слова:типичные ошибки по математике, причины типичных ошибок, средства предупреждения типичных ошибок.
Keywords: typical mi^akes on mathematics, the reasons of typical mi^akes, warning facilities of typical mi^akes.
Одним из эффективных средств управления учебно-воспитательным процессом является диагностика - способ, обеспечивающий широкое и всестороннее изучение предпосылок, условий и результатов учебно-познавательной деятельности обучающихся и обучающей деятельности педагогов. Диагностический процесс есть вид познания неизвестного на основе известного, где выдвижение гипотез характеризует динамику этого процесса. Диагностика позволяет оценивать и прогнозировать состояние педагогического процесса, отслеживать его ход, результаты, перспективы развития.
Всегда, а особенно сегодня, когда в вузах реализуется технологический подход к регулированию совместной и сонаправленной деятельности педагога и обучающегося, важно конструирование диагностических средств для систематического и регулярного получения информации об учебных и личностных достижениях обучающихся, на основе которой осуществляется управление учебной - познавательной деятельностью.
В связи с тем, что во всей системе образования, в том числе и в высшем профессиональном, происходит смена предметно-ориентированной парадигмы на личностно ориентированную, система диагностики должна быть на-
правлена не только на проверку усвоения обучающимися системы знаний, но и на проверку овладения ими способами деятельности, опытом творческой деятельности, опытом эмоционально-ценностного отношения к действительности, к учению. В такой системе следует предусмотреть анализ причин возникающих отклонений в развитии и обучении, а также отслеживание прогрессивных изменений качеств личности обучающихся.
Мы, следуя Е.Н. Перевощиковой [18], под диагностикой будем понимать деятельность, направленную на изучение состояния учебной деятельности обучающегося, с целью познания тех изменений личности, которые происходят в процессе овладения им учебной деятельностью.
Структурными компонентами диагностической деятельности являются: потребность, мотивы деятельности, цель деятельности, объекты диагностики, операции-действия, средства деятельности, продукт деятельности.
Поясним каждый из указанных компонентов, опираясь на результаты исследования Е.Н. Перевощиковой [18].
Потребность - получение информации о том, как протекают процессы обучения, воспитания и развития; соответствует ли качество знаний и умений обучающегося по
учебному предмету целям образования и программным требованиям и т.п.
Мотивы деятельности - четкое представление о том, что удалось достичь, что упущено, почему; какие коррективы следует внести в технологию обучения и т.п.
Цель деятельности - постановка диагноза на основе оперативной, по возможности, достаточно полной информации о продвижении обучающегося в учебном процессе; оценка полученных результатов в соответствии с путями их достижения для эффективного управления образовательным процессом.
Объекты диагностики - процессы или результаты учебно-познавательной деятельности обучающихся, типичные ошибки и причины их возникновения, опыт творческой деятельности, опыт эмоционально-ценностного отношения к действительности, к себе, к объектам деятельности.
Операции-действия - интегративная совокупность специфических, диагностических действий педагога; выделение объектов диагностики; постановка диагностируемых целей через наблюдаемые и опознаваемые действия обучающихся в виде образца конечного продукта обучения; описание уровней усвоения учебного материала и критериев их достижения; выбор форм, методов и средств диагностики; разработка методики использования диагностических средств; отбор и конструирование диагностических заданий; проверка и оценка результатов; отработка результатов; сопоставление полученных результатов с запланированными; интерпретация результатов и постановка диагноза; анализ причин возможных отклонений от ожидаемых результатов; самооценка педагогом своих действий; принятие решений о внесении корректив в технологию обучения.
Средства деятельности - диагностический инструментарий, представляющий набор вопросов, заданий, методик для проведения испытаний.
Продукты деятельности - диагноз, как качественное или количественное описание состояния объекта диагностики на момент обследования. Принятие решения о внесении корректив в технологию обучения или о проведении повторных испытаний.
Далее, мы в статье поведем разговор о качественном описании психолого-педагогических и дидактико-мето-дических причин ошибок, допускаемых обучающимися в процессе обучения (на примере математики). Заметим, что многое из сказанного ниже, имеет место и при изучении обучающимся других учебных дисциплин.
Каждая ошибка характеризуется содержанием и причиной возникновения (содержание лежит на поверхности явления, а причина ее скрыта в его глубине).
Ошибки делятся на случайные и систематические, то есть устойчивые. Случайными ошибками следует считать те, которые появляются однократно, не систематически у одного-двух обучающихся. К устойчивым (типичным) ошибкам относятся те, которые появляются у одного и того же обучающегося (или нескольких) неоднократно или те, которые появляются хотя и однократно, но у многих обучающихся.
Заметим, что во второй половине XIX в. господствовала ошибочная теория «недопущения ошибок» (Н. Кульман, Ф. Флеров), согласно которой акцентирование внимания на ошибке повлечет за собой упрочение ошибки в сознании обучающихся. Лозунгами этой теории были следующие: «Ни одной ошибки для глаз!», «Ни одной ошибки для рук!».
Современная дидактика и частные методики доказывают, что работа над ошибками не просто полезна, но и необходима, причем над типичными ошибками должна проводиться фронтальная работа, а над случайными - индивидуальная. Скорее всего, вначале «На ошибках учат», а затем уже «На ошибках учатся».
Сознательному усвоению знаний способствует глубокий анализ самим обучающимся содержания каждой ошибки, которая была им допущена, выяснение причин ее возникновения, теоретическое осмысление ее сути. «Как это ни странно звучит, - отмечает Н.М. Бескин, - ошибки в процессе изучения не вредны, а полезны. Они аналогичны симптомам болезни. По этим симптомам врач ставит диагноз. Точно так же ошибки учащихся сигнализируют учителю, чего именно школьник не понимает. Учитель мог этого и не знать, а ошибка дает ему нужную информацию. От учителя требуется умение понять неправильный ход мыслей ученика, который не может объяснить, почему он пришел к такому результату» [2, с.3]. Любая ошибка должна быть использована для более детального и глубокого проникновения в суть каждого правила, понятия, теоремы и т.д.
Выше мы уже говорили, что в каждой ошибке следует различать содержание и причину ее возникновения. В содержание ошибки входит то, что объективно неверно, неадекватно выполнено в действиях обучающихся. Причина же появления ошибки - это некоторое обстоятельство (или их совокупность), которое повлекло за собой выполнение неадекватного действия обучающихся. Содержание ошибки легко установить по внешнему выражению действия обучающегося (сужает или расширяет объем понятия, неправильно произносит или пишет, неверно выполняет какое-то действие и т.д.). Причина же ошибки, как правило, внешне себя не проявляет. Задача педагога, определить исходные корни допущенной ошибки, что даст ему возможность верно строить работу по ликвидации и предупреждению различного рода ошибок. «Учитель должен не просто поправить ошибку, а выкорчевать ее. Для этого он должен понять неправильный ход мыслей и заблуждений ученика, которые сам ученик не может сформулировать» [2, с.3].
Ниже мы остановимся на причинах ошибок, которые допускают обучающиеся при изучении различных математических дисциплин, в том числе и при изучении элементов математического анализа.
I. Причины связанные с психологическими факторами (ослабление психических функций: внимания, памяти, мышления):
доминирование ассоциативных связей над смысловыми; интерференция навыков, когда формирование одного навыка тормозится другим;
перенос некоторых навыков в область таких задач, где их действие ограничено либо вовсе исключено.
II. Причины, вытекающие из недостатков учебных программ и учебников:
в текстах учебников авторы предпринимают поспешный переход к абстрагированию и обобщению при формировании умения пользоваться правилами, алгоритмами и умения делать выводы;
алгоритмы, правила вводятся в тексте учебников без рассмотрения необходимого числа примеров;
увлечение авторами учебников логической строгостью изложения учебного материала в ущерб его доступности;
система упражнений в учебнике не обеспечивает должной пропедевтической и закрепительной работы;
увлечение авторами учебников лишь одним способом представления знаний - силлогистическим, и недооценка ими таких способов как система фреймов, позиционная система и т.д.
- в учебниках недостает задач, решение которых эффективно формирует у обучающихся важнейшие мыслительные операции;
- учебные курсы страдают однообразием типологии задач;
- в системе задач не выдержано оптимальное сочетание задач, решение которых требует репродуктивной и продуктивной деятельности;
- отсутствуют задачи, помогающие обучающимся осознать способ решения (рефлексивные задачи);
- в системе задач не обеспечено постепенное возрастание сложности задач;
- в учебниках преобладает единообразие форм предъявления задач;
- в учебниках не достает варьирования содержания задач, при сохранении метода их решения;
- имеет место большое число повторов задач одной и той же структуры, особенно на структуры малой сложности, что приводит к снижению интереса обучающихся к решению задач;
- предлагаемые в системе задач подсистемы не обладают свойством структурной полноты и т.д.
III. Причины, обусловленные несовершенством организации учебного процесса:
нет работы педагога по предупреждению у обучающихся стремления к автоматическому применению изучаемых фактов;
у обучающихся не формируются такие умения, как подведение объекта под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта объему понятия, выделение существенных признаков понятий;
у обучающихся не формируются навыки самоконтроля; недостаточно ведется подготовительная работа для сознательного усвоения учебного материала, педагогом не продумано его целесообразное закрепление в последующем;
слабо ведется работа по повышению у обучающихся вычислительной культуры;
неумение педагогом использовать наглядность не только с целью реализации ее иллюстративной функции, но и учебно-познавательной;
задача в учебном процессе педагогом понимается в узком смысле;
количество решенных задач идет в ущерб обучающему качеству;
усиленное внимание к оформлению решения, а не к процессу решения задачи;
в учебном процессе преобладает решение задач по образцу;
канонизируются приемы коллективного решения задач; задачи преимущественно используются для закрепления готовых знаний или для их повторения;
в учебном процессе используются лишь готовые задачи; обучающихся не учат составлять задачи;
задачи используются для контроля предметных знаний, умений и навыков, а не для диагностики уровня математического развития у обучающихся;
в процессе решения задачи в абсолютном большинстве случаев организуется синтетическая деятельность обучающихся, а не аналитико-синтетическая.
IV. Причины, обусловленные не владением обучающимися на требуемом уровне синтаксисом и семантикой математического языка.
1) Причины связанные с неумением обучающихся работать с определением понятий, что приводит к ошибкам следующего рода:
а) ошибки, связанные с указанием не ближайшего родового понятия;
б) ошибки, связанные с указанием понятия, которое для определяемого вообще не является родовым;
в) пропуск в определении родового понятия;
г) ошибки, связанные с указанием избыточного числа видовых признаков;
д) ошибки, связанные с указанием недостаточного числа видовых признаков;
е) указание в качестве видового признака несущественных свойств понятий;
ж) ошибки, связанные с пропуском слов в определениях понятий;
з) ошибки, связанные с тавтологией в определении понятий;
и) ошибки, допускаемые за счет логического круга в определении понятия (когда понятие А определяется через понятие В и наоборот).
2) Ошибки, связанные с недостаточной логической подготовкой обучающихся:
а) не понимают сути дизъюнкции и конъюнкции высказываний;
б) недостаточно осознают понятие логического следования;
в) не умеют строить отрицание высказываний;
г) не умеют проводить сравнение и классификацию понятий;
д) не знают сути логических союзов и различных кванторов, таких как «и», «или», «для всех», «существует», «если, ..., то» и т.д.;
е) не понимают терминов «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»;
ж) не понимают структуру теоремы и зависимость между прямой и обратной теоремой;
3) не умеют пользоваться примерами и контрпримерами;
и) не умеют правильно пользоваться аналогиями;
к) не умеют подводить объект под понятие в случае дизъюнктивной и конъюнктивной структур определений.
з) Ошибки, обусловленные неверными теоретико-множественными представлениями обучающихся:
а) не достаточно четко владеют понятиями множество, элемент множества, подмножество, отношение принадлежности, равенство множеств и т.д.;
б) не владеют на достаточном уровне операциями объединения, пересечения и разности множеств;
в) не понимают классификацию понятий и не могут ее проводить.
4) Ошибки, допускаемые обучающимися при обобщении и конкретизации:
а) ошибки, связанные с непониманием объема и содержания понятия и связей между ними;
б) ошибки обобщения и конкретизации при изучении свойств понятий;
в) ошибки, связанные с обобщением закономерностей.
Заметим, что как правило, большинство ошибок связано
с формализмом в знаниях обучающихся, который внешне проявляется следующим образом:
а) отрыв формы от содержания;
б) неумение применять теорию на практике;
в) преобладание памяти над пониманием;
г) господство трафарета, шаблона.
В научно-методической литературе в качестве основания для классификации ошибок рассматриваются: сущность ошибки; причина ее возникновения; учебная тема, либо вид учебно-познавательной деятельности, при выполнении которой допущена ошибка: число учащихся, допустивших ошибку. Интерес представляет классификация затруднений и ошибок по месту их появления в процессе решения задачи: ошибки принятия задачи; ошибки анализа условий и требований задачи; ошибки и затруднения в поиске плана решения; ошибки при реализации найденного плана; ошибки анализа решения. Кратко прокомментируем все означенные типы ошибок.
Внешней (внутренней) относительно решателя S задачей называется та, предмет и требование которой находится вне (внутри) S. Переход от внешней к внутренней задаче имеет место в процессах принятия решателем предложенной ему извне задачи. В результате решаема S задача, как правило, не тождественна внешней задаче: имеет место, так называемое доопределение задачи. Нередко при переходе к внутренней задаче происходит «подмена» (переопределение) задачи: изменяются ее предмет и/или требование. Переопределение задачи обучающимися - распространенное явление в практике обучения. Неадекватное отражение во внутренней задаче объективных характеристик ситуации может быть обусловлено не только недостатком знаний у S, но и особенностями его «когнитивного стиля», например, устойчивой склонностью либо к игнорированию части существенных признаков ситуации, либо к приписыванию ей дополнительных, фактически отсутствующих признаков [1].
Отнесем к ошибкам принятия задачи, в частности, ошибки, связанные с неправильным пониманием терминов предметной области или смысла процессов, о которых идет речь в условии задачи, а также неадекватным пониманием задач-ных ситуаций (например, плохое понимание экономических терминов «прибыль», «курс рубля», «начисление по схеме сложных процентов» и др., стандартных соглашений типа «производительность коллектива равна сумме производи-тельностей его членов». Этот род ошибок можно предупредить, если включить соответствующие сведения в содержание обучения.
Ошибки и затруднения, обусловленные плохим анализом структуры и содержания задачи (ошибки анализа задачи) могут быть связны со степенью представленности компонентов задачи в ее формулировке. Известные предметы и связи между ними могут быть не представлены в явном виде в формулировке задачи, где они могут лишь подразумеваться, т.е. содержание предмета задачи не исчерпывается сведениями, явно представленными в ее формулировке (например, когда речь идет о вписанной в круг трапеции, обычно не упоминается, что она равнобедренная).
С другой стороны, столь же справедливо, что отнюдь не все компоненты формулировки могут быть существенны для решения задачи. Иллюстрацией тому служит такая задача: «Хозяйство располагает тракторами четырех марок: А, Б, В и Г. Бригада из трех тракторов марки Б, двух тракторов марки Г и одного - марки А производит вспашку поля за 8 дней. Бригада из четырех тракторов (по одному каждой марки) тратит на эту работу 13 дней, а бригада, составленная из трактора марки Г, двух тракторов А и двух - В, - 10 дней. Хватит ли полутора дней на вспашку поля, если будут задействованы 12 тракторов марки А, 10 - марки В, 9 - марки Г и 6 - марки Б?»
И еще подобный пример. Для решения системы
3x + 5 > 0,
x3 + 2x2 + 9 > 0,
2
х" + 9х + 0 < 0
вовсе не обязательно решать (неразрешимое) первое неравенство, поскольку множество решений подсистемы, состоящей из двух последних неравенств, пусто.
Иногда избыточная информация дается сознательно, например, ради симметрии (как в следующем примере): «Даны углы остроугольного треугольника а, в, у. Найти углы треугольника, вершины которого совпадают с основаниями высот исходного».
Встречаются и задачи, условия которых вообще не формулируются, а лишь задаются общими требованиями наличной ситуации, например, «ax2+ax+1>», а также задачи с нечеткими формулировками, например, «При каких а данное уравнение имеет единственное решение в данном множестве М?». Эту формулировку можно понимать двояко: а) уравнение должно иметь единственное решение, при этом это решение принадлежит множеству М; б) уравнение имеет единственное решение, содержащееся в М (но может иметь и некоторые другие решения, лежащие вне М).
Можно интерпретировать двояко и условия многих геометрических задач на вычисление: а) по заданным в буквенном виде элементам некоторой существующей фигуры вычислить указанные неизвестные элементы; в такой постановке доказательство существования фигуры отпадает; б) требуется получить формулы для искомых элементов, но и провести исследования, установить необходимые и достаточные условия существования фигуры, а уже затем произвести вычисления. При формулировке задач далеко не всегда четко оговаривается, в какой постановке вопроса дается геометрическая задача. Вместе с тем, произвольное расширение толкования условия задачи может привести обучающихся к непосильным трудностям.
К ошибкам анализа отнесем и ошибки распознавания (при установлении вида данной задачи). Часто такие ошибки и затруднения вызваны стереотипами восприятия. Так, например, нестереотипные обозначения переменных и параметров в задаче «На координатной плоскости изобразить множество всех точек (х, у), координаты которых таковы,
sin2 (п + a - х) + cos(n - a + y) > cos(2x - y - a - п) - — что 4
при любом действительном а» вызвали затруднения у абсолютного большинства обучающихся, решавших эту задачу (по сути здесь а - переменная, х и у - параметры).
Затруднения и ошибки в поиске плана решения задачи (в том числе выбор неоптимального пути решения), как правило, связаны с незнанием функционально-содержательного отношения, как компонента информационной структуры задачи (будем понимать под функционально-содержательным отношением математические идеи достаточно высокого уровня общности, обладающие свойством целостности, компактно выраженные на естественном или математическом языке и способствующие пониманию сути математических задач) и приемов, а также со стандартизацией процесса мышления: установкой действовать по шаблону, по какой-нибудь из имеющихся в памяти программ).
В числе причин затруднений в выборе плана решения назовем: невнимание к эвристическим средствам (например, отсутствие полезных эвристических сведений о сравнении скоростей роста различных функций, эвристических рекомендаций об удобстве сведения задач на движение протяженных тел к рассмотрению движения «хвостов» и/или «голов» этих тел); отсутствие должных обобщений (например, при решении задач на движение по реке не рассматривается движение в других движущихся средах - лестница эскалатора и т.п.); решение большого количества однообразных задач; нарушение равновесия слова и образа (вызванное неправильным сочетанием объяснений преподавателя с чертежами, отсутствием избыточных определений).
Ошибки в реализации найденного плана решения вызваны, главным образом, неумением структурировать процесс мышления при решении задачи в смысле работы на разных уровнях (логическое и техническое; формальное и содержательное), отсутствием рефлексивной деятельности при решении задачи. Очень часто ошибки возникают как результат нарушенного равновесия между формальным и содержательным компонентами решения задачи (чаще всего это уменьшение или исчезновение последних). Так, формальное применение аналитического метода при решении задач с параметрами обычно приводит к ошибкам. С другой стороны, формальные операции необходимы, они реализуют выбранное в содержательном плане направление поиска.
Относительно ошибок анализа полученного решения сделаем лишь одно замечание. Известно, что пополнение информации об искомом предмете может осуществляться различными путями: использование решателем связи между компонентами предмета задачи и преобразование косвенной информации в прямую; извлечение решателем недостающей прямой информации из объекта, моделируемого предметом задачи и др. [1]. Для решения математических задач достаточно первого пути, однако иногда можно использовать и второй, например, при смысловой проверке полученного решения некоторых сюжетных задач (конечно, не являющейся проверкой логической). Поскольку авторы задач все-таки предпочитают реалистические числовые параметры, решатель может извлечь информацию из моделируемого объекта (неправдоподобные значения скоростей, банковских процентов и т.п. могут сигнализировать о неверном решении задачи).
Отметим также, что необходима работа, связанная с ошибками планирования ресурсов (главным образом временных) при решении совокупностей задач.
Перейдем к рассмотрению типичных ошибок обучающихся при изучении темы «Дифференцирование обратных тригонометрических функций».
Сделаем вначале некоторые пояснения общего характера, прежде чем переходить к разбору типичных ошибок.
Пусть на некотором множестве задана функция и требуется найти для нее производную. Мы должны найти одно или несколько выражений, которые в совокупности давали бы результат, справедливый на той области определения данной функции, где она имеет производную (в большинстве случаев, встречающихся на практике, это будет вся область определения, за исключением, быть может, отдельных точек).
В качестве подтверждения сказанному приведем несколько примеров.
1)/. Л' [1,х>0,
1,х <0.
Данная функция определена в интервале (-да;+да), в то время как производная существует лишь для значений х Ф 0.
2) , I
(1пх) = — ?х >0
X
Здесь необходимо указать ограничение, так как естественная область определения правой части шире области определения данной функции.
3) ' ' 1 + х^ 1
arctg
V
1-х
■ ?Х
1 + х'
В этой задаче особенно важно указать ограничение. Если его не учитывать, то, зная, что / 1 + Х^
аг^-
V
1-х)
1 + х
мы бы сделали вывод: ^ 1 + X ^ ^ , кото-
рый оказался бы неверным.
Дело в том, что данная функция и ее производная существуют и непрерывны в двух промежутках: (-да; 1) и (1; +да). Для каждого из этих промежутков мы получили свое равенство:
arctg
1 + х farctg х + C1, х < 1, 1 - х I arctg х + C2, х > 1.
При X = 0 имеем = агс1§0 + С|. откуда
Я" • При _ ^ получим для левой части
с, =-
arctg
^ , ^ <- 5 -
-j= = arctg 1 + arctg -J3 - n =--n
1 — -л/3 12
arctg S + C2 = — + С 2
для правой части
Co =—я
откуда
Данный пример показывает, что указание ограничения х Ф 1 дало возможность избежать ошибки.
а
В русле рассмотренных трех примеров небезынтересно рассмотреть вывод с помощью дифференцирования ряда тождеств связывающих между собой аркфункции.
4) Из равенства
arcsm x + arccos x
r = 0, x < 1
следует,
V1 - х2 V1 - х2 что агсвтх-ь эгссойх = С.
Подставив х = 0, получим С=п/2 . Этот же результат получим и на концах сегмента [-1; 1]. Действительно,
Следовательно, выведено следующее тождество:
П
arcsin х + arccos x = —
2
5) Функция /(х) = 2 arctg
х < 1.
V1 + X
множестве -1<х<1, а ее производная
2 arctg
я
1-х 1 + х
= arccosx + С я
2arctg
1 - х
= arccos х, -1 < х < 1.
Воспользовавшись тождеством
Тогда
arcsecx = arccos- >1
Здесь, как и во многих других случаях, неверно использовано тождество . Следовало бы отдельно рассмотреть два случая х > 1 и х < -1, тогда:
а) при -да < х < -1 |б| дсм иметь
(arcsecx) =
- X
2 Г~ 2
х ух -1
хл/х2 -1
б) при 1 < х < +оо будем иметь
arcsecx
Итак,
определена на
на множестве |x|<1. Следовательно, на множестве |x|<1 справедливо тождество
Покажем несколько иной способ нахождения производной указанной функции у = arcsecx , при|х|>1 .
Обратная функция x=secy возрастает на каждом из промежутков (0; п/2] и (п/2; 0] и имеем конечную производную (sec y)'=sec y * tg y в каждом из указанных промежутков.
Но так как при у = 0 и у = п (sec y)'=0 , то в этих точках не будет конечной производной для y = arcsec x.
Таким образом, производную y = arcsec x следует искать в отдельности при -да < x < -1 и при 1 < x < +да. а) 1 < x < +да, 0<y<n/2 .
так как при х = 0 2 arctg 1 = — и arc cos 0 = — , то С = 0. При х = 1 мы 2акжс имеем равенство
2 arctgO = arccosl = 0 .
б) -да < x < -1, n/2<y<n .
г \ ' 1 1
(arcsecxj^ = ■
1
Окончательно, V1 + х
Особенностью приведенных примеров является то, что производные существуют не на всей области определения данных функций. Поэтому для установления тождества необходима особая проверка его справедливости для тех точек, где производная не существует.
Перейдем к разбору типичных ошибок по теме «Дифференциальное исчисление».
о 1 и - У = агсйесх
Задача 1. Наити производную функции -при |х|>1 .
Решение
Ошибочное решение выглядит следующим образом.
Jsec у-1
J xVx' -1
В случае а) перед квадратным корнем взят знак плюс, так как tgy>0 при 0<у<п/2, а в случае б) взят знак минус, так как tgy < 0 при к/2<у<к. ¡~~2
Использование тождества = |х| требует и дифференцирование функций у=агс5т Г(\) и у=агссо5 Г(\). Покажем это.
Пусть нужно найти, например, производную функции
у = arcsin а/х .
Решение
Задача 2. Найти производную функции
X +
у = arccosx + arccos-
л/l-x2
■Л
Решение
Ошибочное решение состоит в том, что находятся производные каждого слагаемого, и затем не проводится тождественное преобразование полученного выражения, а именно оно позволяет сделать верный вывод.
1
1
Итак,
Произведем тождественное преобразование полученного выражения, для чего введем обозначение
. Это выражение преобразуем по
формуле «сложного» квадратного корня:
-¡А±4В
\А + 4Л2-В
+
\А--]А2-В
2 Ч 2
При этом мы должны рассматривать четыре случая:
Для производной заданной функции получаем:
<х<&
У =
О,
-■¡2
<х <1.
Заметим, что при имеем угловую точку, в которой
производная не существует.
Более обстоятельный разговор о типичных ошибках обучающихся по математике читатель найдет в наших работах [3, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16].
Литература
1. Балл Г.А. Теория учебных задач. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.
2. Бескин Н.М. Роль задач в преподавании математике // Математика в школе. - №4-5. - 1992. - с.3-4.
3. Далингер В.А. Анализ типичных ошибок, допускаемых в курсе алгебры и начал анализа // Математика в школе.
- №6. - 1998
4. Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 1997. - 150 с.
5. Далингер В.А. Некоторые рекомендации к изучению применения производной // Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. - М.: Просвещение, 1981. - с. 179-191.
6. Далингер В.А. Почему учащиеся делают ошибки? (Изучение элементов математического анализа) // Открытая школа. - №6. - 1998.
7. Далингер В.А. Решение текстовых задач на экстремум // Среднее специальное образование. - №7. - 1980. - с.28-30.
8. Далингер В.А. Типичные ошибки по математике на вступительных экзаменах и как их не допускать. - Омск: Изд-во Омского ИУУ, 1991. - 129 с.
9. Далингер В.А. Рефлексивные задачи как средство, обеспечивающее понимание учащимися учебного материала по математике // Проблемы теории и практики обучения математике: сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «65 Герценовские чтения» / под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2012. - С. 181-185.
10. Далингер В.А. Наглядные образы математических объектов как предмет и средство для изучения: учебное пособие. - Омск: Изд-во ООО «Амфора», 2013. - 75 с.
11. Далингер В.А. Об одном замечании по поводу появления посторонних корней уравнения // Математика в школе.
- № 9. - 2013. - С 32-35.
12. Далингер В.А. Причины математической малограмотности российских школьников // Педагогика: семья -школа - общество: монография / под общей ред. проф. О.И. Кирикова. - Книга 31. - Москва: Наука: информ; Воронеж: ВГПУ, 2014. - С 72-82
13. Далингер В.А. Причины типичных ошибок учащихся по математике // Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения. Сборник научных статей. Труды Международной дистанционной конференции «Современная наука: актуальные проблемы и пути их решения» (Российская Федерация, г. Липецк, 10 ноября 2014 г.) / под. ред. М.Ю. Левина. - Липецк: ООО «Максимал инновационные технологии», 2014 г. - С. 123-126.
14. Далингер В.А. Математическая малограмотность российских школьников и ее причины // Современные технологии в физико-математическом образовании: сборник трудов научно-практической конференции, 26-28 июня 2014 г. Челябинск / Под. ред. С.А. Загребиной. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ 2014. - С. 25-30.
15. Далингер В.А. Типичные ошибки учащихся по математике и их причины // Материалы Международной научной конференции «Современное образование. Проблемы и решения», Таиланд (Бангкок, Паттайа), 20-30 декабря 2014 года // Современные наукоемкие технологии. - № 12. -Часть 1. - 2014. - М: Изд-во «Академия Естествознания».
- С. 94-97.
16. Далингер В.А., Кузьмин С. Г. Результаты и анализ причин ошибок в решении геометрических задач единого государственного экзамена по математике // Материалы Между-
народной научной конференции «Современные наукоемкие технологии», Доминиканская республика, 13-22 апреля, 2015 год // Международный журнал экспериментального образования. - № 3 (часть 3). - 2015. - М.: Издательский дом «Академия естествознания», 2015. - С. 401-403
17. Далингер В.А. Кейс-метод в обучении будущих учителей математики курсу «Типичные ошибки, их причины и пути предупреждения» // Материалы Международной научной конференции «Новые технологии в образовании», Ямайка, 16-26 апреля, 2015 год // Международный журнал
экспериментального образования. - № 3 (часть 4). - 2015.
- М.: Издательский дом «Академия естествознания», 2015.
- С. 571-573.
18. Перевощикова Е.Н. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. доктора пед. наук. - М., 2000. - 46 с.
М1ЖНАРОДН1 ПРОГРАМИ ПОДГОТОВКИ КЕР1ВНИК1В НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАД1В НА ДРУГОМУ Р1ВН1 ВИЩО1 ОСВ1ТИ
Задорожна-Княгницька Л.В.
Марiупольський державний yuieepcumem, доцент THE INTERNATIONAL PROGRAM OF TRAINING OF HEADS OF EDUCATIONAL INSTITUTIONS AT THE SECOND LEVEL OF HIGHER EDUCATION
Zadorozhna-Knyagnitska L.V., Mariupol state University, Associate Professor
АНОТАЦ1Я
Розкрито сутшсть та змют мiжнародних програм професшно! подготовки керiвникiв навчальних заклащв, розроблених у межах мiжнародних освггшх проеклв («Erasmus», «Rainwater Leadership Alliance»); програм, розроблеш за шщитиви мiжнародних фондiв та оргашзацш сприяння розвитку освгга (Свропейсько! оргашзацп «Управлiння для сталого розвит-ку», Мiжнародноl асощацп «Mnemosine», Фонду CRUI); програм, розроблених на основi м1ждержавного спiвробiтництва вищих навчальних заклащв).
ABSTRACT
International programs of professional training of heads of educational invitations are described. The content of the educational programs developed within the framework of international educational projects «Erasmus» and «Rainwater Leadership Alliance» revealed. The content of the programs initiated by the international funds and organizations to promote the development of education «Governance for SuVainable Development», International Association «Mnemosine», «CRUI Foundation» made the analysis. The content of the programs, which are developed on the basis of international cooperation of higher education invitations is revealed.
Ключовi слова: диверсифша^ вищо! освгга, освггая програма, змют навчання, форми навчання, нормативш та елективш навчальш курси.
Keywords: diversification of higher education, educational program, educational content, learning, regulatory and elective courses.
Постановка проблеми. На початку ХХ1 ст. у свггово-му просторi вищо! освгга виокремилася тенденцiя до ди-версифшацп програм шдготовки керiвникiв навчальних заклащв, що розробляються як на основi нацюнальних квалiфiкацiйних стандартiв, так i на основi концептуальних положень рiзноманiтних теорiй лiдерства. Роль активаторiв таких пошушв взяли на себе мiжнароднi й державнi фонди сприяння розвитку вищо! освгга, приватнi особи та ушвер-ситети, зацiкавленi в ефективнш та високоякюнш тдготов-щ керГвнишв навчальних закладiв, здатних вiдповiдати на виклики сощуму, що швидко ускладнюеться й розвиваеться.
Вивчення та використання досвгду реалГзаци мГжнарод-них програм шдготовки керГвнишв навчальних закладГв на другому рГвш вищо! освгга е вагомим чинником удоскона-лення професшно! шдготовки сучасного менеджера освгга в Укра!'ш.
АналГз останшх дослщжень та публГкацш показав, що проблемГ професшно! шдготовки менеджерГв освгга при-дГляеться значна увага сучасними впчизняними та зарубГж-ними науковцями. Вона дослгджуеться у таких аспектах: теоретико-методичш основи шдготовки керГвника навчаль-ного закладу в умовах ступенево! освгга (С.Вгтвицька), у си-стемГ неперервно! педагопчно! освгга (В.Берека, Л.Кравченко, Т.Рогова), сощально-психолопчний аспект менеджменту (Н. Коломшський), розвиток професюналГзму управлшсько!
дГяльностГ керГвнишв загальноосвГтшх навчальних закладГв у системГ шслядипломно! педагопчно! освгга (Т.Сорочан), професшна тдготовка керГвних кадрГв в умовах магютрату-ри до управлшня якютю освгга (В.Лунячек).
Проблеми подготовки менеджерГв освгга у зарубГж-них кранах висвилено у працях В.Бабенко, С.Бурдшо!, О.Ельбрехт, В.Жигир, С.Князева, С.КуркчГ, Л.Пуховсько!, В.Хоменко та ш. Змют професшних програм з управлшня освггою у вищих навчальних закладах е предметом аналГзу ДжБенюна, Л.Ньювелла, Р. Кемпбелла, Дж. МерфГ та ш.
Разом Гз тим, проблема реалГзаци м1жнародних програм шдготовки керГвнишв навчальних заклащв на другому рГвш вищо! освгга залишаеться поза увагою сучасних дослгд-ник1в.
Метою статп е висвплення м1жнародного досвгду реаль зацп мапстерських програм шдготовки керГвнишв навчальних заклащв на другому рГвш вищо! освгга.
Виклад основного матерГалу дослщження. М1жнародш програми професшно! шдготовки керГвнишв навчальних за-кладГв характеризуються суттевою рГзномаштнютю, вгдрГз-няються процедурою вщбору абпурГенпв, вибором форм та методГв навчання, загальною концепщею професшно! шдготовки. З огляду на зазначене, нами запропоновано кла-сифГкацш мГжнародних мапстерських програм з управлш-
