Принципы описания производственно-экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.101(030)

ПРИНЦИПЫ ОПИСАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ PRINCIPLES OF PRODUCTIVE-ECONOMIC SYSTEM DESCRIPTION

Аннотация. В рамках вероятностно-динамического метода [1], [2] рассмотрены вопросы теории производственно-экономических систем (ПЭС). Введены представления основных факторов ПЭС и предложены идеи бинарного приближения при описании взаимодействия этих факторов в ходе производственного процесса. Определена технологическая функция системы и найден вид производственной собственности. Сформулирована система основных уравнений динамики ПЭС в условиях рыночного и планового механизмов хозяйствования.

Abstract. In the context of the probabilistic and dynamic method the issues of theory of productive-economic systems (PES) are considered. The article introduces the presentation of PES basic factors and presents the ideas of binary approximation when describing the interaction of these factors in the productive process. The technological function of the system is determined and the productive property form in binary approximation is found. The system of basic dynamic equations of PES in the context of market and non-market mechanisms of management is formed.

Ключевые слова: вероятностно-динамический метод, функция производственного состояния, технологическая функция, бинарное приближение, технологическая матрица, уравнения динамики производственно-экономических систем.

Keywords: probabilistic and dynamic method, function of productive condition, technological function, binary approximation, technological matrix, basic dynamic equations of productive-economic systems.

Актуальность исследуемой проблемы. В статье впервые поставлена задача нахождения законов распределений вероятностей обобщенных фазовых переменных производственно-экономической системы, позволяющих описывать законы экономической деятельности, исследуя числовые характеристики этих распределений.

Материал и методика исследований. Исходным материалом послужили ранее опубликованные работы автора [1], [2], в которых изложены основные положения вероятностно-динамического метода и некоторые положения его в микроэкономике.

Результаты исследований и их обсуждение. В работах [1], [2] предложен вероятностно-динамический метод (далее - ВДМ) описания поведения хозяйствующего субъекта в процессе экономической деятельности. В его основе лежит понятие экономического состояния как формы существования субъекта, характеризуемой

В. А. Кукушкин V. A. Kukushkin

Филиал ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет» в г. Чебоксары

основными факторами - случайными векторами материальных

денежных

х ' ~ак

\рак} средств. Векторы Ь и X определяют точку в фазовом пространстве,

называемую полным решением ? = {¿, X} субъекта. Нахождение законов распределения компонент полного решения и их числовых характеристик представляет собой основную задачу вероятностно-динамического метода.

Для формулировки принципов метода в [1] введены понятия функции

экономического состояния ¥, А и полных наборов самосопряженных операторов

основных факторов - Ь = () и X = (ха^ ). Операторы каждого из полных наборов

генерируют гильбертовы пространства представлений функции состояния, базис которых образован собственными функциями операторов соответствующего набора. Различают

материальное (Ъ\¥ , А и денежное (Х| ¥, А представления функции состояния |¥, А .

Согласно вероятностному принципу ВДМ случайные векторы Ь = \Ьа } и X = {б }

а^ і Iа^ .

распределены в своих линейных пространствах по законам, определяемым квадратами

|2

модулей соответствующих представлений функции состояния:

Ь

2

Важнейшим следствием вероятностного принципа является соотношение неопределенностей

А

<уьак &хак - 2 ’ (1)

указывающее на то, что координаты Ъак и хак не могут быть измерены одновременно в

области, определяемой произведениями их средних квадратичных отклонений С?ъ ,

ак

&Хак ; здесь X - рыночный параметр, характеризующий процесс принятия решения в

условиях неопределенностей его компонент [2].

Динамика микроэкономической системы в условиях неопределенностей компонент принимаемых решений получила название рыночной динамики.

Второй принцип - принцип измерения - рассматривает процесс принятия решения как отклик субъекта на заданные условия хозяйственной деятельности и формулирует критерий оптимальности состояния. Результатом такого отклика является формирование нового, так называемого исследуемого состояния

/I *,г) = I/|/Х/| *, г), (2)

/

«уже подготовленного» для решения основной задачи теории - нахождения закона

I 12

распределения ^/| ¥, о , спектра собственных функций |/) и собственных значений

/ оператора измеряемой величины / (здесь под / понимается одна из координат вектора полного решения). При этом оптимальными являются такие состояния, функции /1 ¥, ^ которых равны собственным функциям оператора измеряемой величины / .

Принцип измерения может быть применен и к описанию вероятностно-динамической эволюции (ВД-эволюции) экономических состояний. В этом случае функцию исследуемого

состояния следует представить в виде P(t)|Y,t^, устанавливающем соответствие между функцией | Y, Aj и изменением ее в один и тот же момент времени [2]:

О )

a^-\Y,t) = P(t)|Y,t), (3)

о t

где P(t) - самосопряженный оператор эволюции. Уравнение (3) формулирует критерий оптимальности ВД-эволюции, аналогичный критерию оптимальности Беллмана динамической эволюции [3].

При независящем от времени операторе эволюции (P(t)° P) уравнение (3) описывает стационарные состояния системы | Yc, tj, в которых распределения основных факторов от времени не зависят. Задача измерения стационарных состояний заключается

„ i iP t Л

в исследовании функции P| Yc, t ) = £ exp\-1- I Pn | Pn)(Pn I Yc, 0 (см. (2))

P V 1 )

1 n

описывающей отклик субъекта на независящие от времени условия V (х) экономической деятельности. В этом случае оператор P, получивший название оператора

) b r2 (r\

собственности: P = — b + V\xJ, характеризует способность хозяйствующего субъекта к

выбору решения, нацеленного на сохранение начального состояния в течение длительного времени. Первое и второе слагаемые в P называются материальным и денежным потенциалами системы соответственно. В нестационарных условиях функция

V (х, t) определяет вид оператора временной эволюции:

P (t) =br+V (х, t). (4)

Согласно (1) при стремлении рыночного параметра 1 к нулю распределения координат полного решения «стягиваются» в точку {b (t), x(t)} на фазовой траектории, определяющей так называемое плановое состояние субъекта. Эффективность принимаемых решений в этом случае описывается функцией плановой собственности Ppi (b, х; t)

2

Ppl (Г, x; t)= ^2- + V(x, t), (5)

являющейся интегралом системы динамических уравнений

dx = 0Ppi ; db = 0Ppi (6)

dt Ob dt Ox получаемых из рыночного уравнения (3) в пределе при 1 ® 0 [2], [3].

Уравнения (3) и (6) называются основными уравнениями вероятностно-динамического метода. При заданных условиях хозяйственной деятельности, описываемых функцией

V (х, I), решения этих уравнений позволяют найти распределения вероятностей основных факторов состояния и их главные моменты - математические ожидания, дисперсии, ковариации и др., несущие информацию об экономических свойствах исследуемых систем.

Настоящая работа посвящена изложению принципов описания производственноэкономических систем (ПЭС) с использованием идей вероятностно-динамического метода. Сформулирован принцип бинарного приближения при описании взаимодействия предметов труда в ходе производственного процесса. Определена технологическая функция системы и найден вид производственной собственности. Получена система основных уравнений динамики ПЭС.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ПЭС.

ПРИНЦИП БИНАРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ Предметы труда, используемые при изготовлении товара а, образуют материальный фактор ПЭС, описываемый вектором:

Ъа = (Ьа , Ь«2 ,..., Ъа„ ) , (7)

где Ъак = Ъ'ак — Ъ0ак ; Ъ'ак - действительные неотрицательные числа, равные количеству

материальных средств а к, измеренному в стандартной системе единиц и используемому при изготовлении единицы товарной продукции а; Ъ0ак - некоторое характерное

значение величины Ъ'а, .

к

Процесс производства должен удовлетворять определенным условиям, которые принято называть технологическими, или просто технологиями. Для формулировки технологических условий введем понятие денежного фактора ПЭС как набора денежных средств ха , выступающих в качестве условия приобретения и преобразования соответствующих предметов труда Ъа в товар а и описываемых вектором

ха = (ха , ха2 хап ^ хак = х'ак — х0ак , (8)

где неотрицательная величина х'ак равна количеству денежных средств,

предназначенных для воплощения материального средства Ъ'ак в товарный продукт, и

имеет размерность, выражаемую в денежных единицах (€, $, ЯИБ, БЫ и т. п.); х0ак -

некоторое характерное значение величины х'ак .

Определим теперь технологическую функцию V = V (х, ^) как денежную составляющую функции плановой собственности (5) производственной системы. Экономический смысл имеет приращение технологической функции А V (о, () =

[Р (х, ? ^х , равное работе производительных сил Р (х, ^ ) = dV|dх в ходе

Ь(х)

преобразования в готовый продукт материального фактора Ъ , соответствующего денежному фактору х на некотором участке фазовой траектории Ь(х).

Явный вид технологической функции может быть установлен только на основании анализа взаимодействия предметов труда между собой в ходе трансформации их в

готовый продукт. Будем предполагать, что скорость протекания технологических процессов по производству товара а достаточно мала, так что в данный момент времени каждый фактор аг взаимодействует лишь с одним, а к -м фактором системы. Такие взаимодействия будем называть бинарными, а группу участвующих в них факторов -бинарной группой, обозначая ее как (аг, ак) = ща. В этом смысле технологический

процесс можно рассматривать как набор определенного числа бинарных операций.

Ниже будем считать, что производственная система занимается изготовлением одного вида продукции, в связи с чем откажемся от использования индекса а .

Обозначим через Ущ и действительные величины, описывающие

взаимодействие факторов г и к между собой в ходе бинарной операции ¡1 = (г, к), и введем линейные преобразования

Вщ = Ущ,Ъ, +УщкЪк, (9)

Хщ=Ущх, + Ущкхк . (10)

Величины Вщ и Xщ получили название обобщенных фазовых переменных

(материального и денежного факторов) бинарной группы щ . Пространство векторов

«щ=(Хщ,Вщ) называется фазовой плоскостью бинарной группы, а прямое

произведение фазовых плоскостей - пространством полных решений ПЭС в

представлении бинарных групп.

Введем аналогичные преобразования для операторов исходных факторов х и Ъ :

Хщ=Ущхг +Ущхк ; (11)

В щ = УщгЪг + ущкЪк (12)

и потребуем, чтобы определяемые ими операторы Вщ и Xщ удовлетворяли тем же коммутационным соотношениям, что и операторы хг, Ъ1, т. е.

Вщ, X щ

Ъ,, х

г* г

= —г1. (13)

Нетрудно убедиться в том, что условие (13) будет выполнено, если амплитуды взаимодействия ущг и ущк связаны между собой соотношением

Ущ +У2щ =1. (14)

Преобразования (11), (12) оставляют инвариантными выражения для операторов Вщ и Xщ в любом представлении, например, денежном:

^ Э Э ^ /2 2 \ э э ~

У и — + Уик---- = —Пул + У )---------= —г1-; Хщ = Хщ . (15)

Эхг Эх

Отметим, что преобразования (9) и (10), рассматриваемые как системы линейных уравнений, совместны лишь в том случае, если число исходных факторов системы п = 2 и п = 3. При п > 3 эти системы в общем случае неразрешимы, поскольку число независимых уравнений в них может превышать число переменных. Тем не менее решение практических задач микроэкономики требует рассмотрения уравнений (9) и (10), однозначно разрешимых относительно исходных факторов г и к . В этой связи большое значение приобретает детальный анализ взаимодействия исходных факторов между собой, позволяющий свести рассматриваемые системы к определенным, пренебрегая взаимодействием в ряде бинарных групп.

Приводя таким образом системы (9), (10) к однозначно разрешимым, запишем их в векторном виде

В = У Ъ>, О = У о, (16)

где У - невырожденная матрица амплитуд Ущ1, получившая название структурной матрицы ПЭС.

Векторам (16) поставим в соответствие самосопряженные операторы

В = у Ь , О = у о,

определяющие материальное

В

У, і

и денежное

X

(17)

У, і) представления функции

производственного состояния V, п. Экономический смысл имеют квадраты модулей

X V, ^ представлений, описывающие распределения векторов В = (Вщ) и X = ^ щ) в состоянии |*, ^. Согласно (13) средние квадратичные отклонения этих

В У, і

распределений (ГВ и удовлетворяют соотношению неопределенностей

(18)

1

2 2 ,

аналогичному соотношению (1) для исходных факторов системы, где черта над коммутатором означает усреднение по состоянию 1*,/): / = («Р, /|/| V, г).

Заметим, что каждую бинарную группу щ можно рассматривать как квазинезависимую в том смысле, что распределения вероятностей случайных величин Xщ и Вщ определяются только взаимодействием исходных факторов в ходе бинарной операции щ и не зависят от процессов, происходящих в других бинарных группах. (Следует, однако, иметь в виду, что средние значения этих распределений для различных бинарных групп связаны друг с другом определенными соотношениями, о чем будет сказано ниже). Математически квазинезависимость бинарных групп означает, что

функция состояния всей производственной системы (X

У, і

равна произведению

функций состояния составляющих ее бинарных групп (Xщ\x¥щ,п :

X Y,() = n(X„|Y,,,i), (19)

m=i

а оператор вероятностно-динамической эволюции производственной системы (4) выражается через сумму его бинарных составляющих Pu(t):Pit) = ^P^fy) (см. (23)).

Это обстоятельство позволяет записать технологическую функцию всей системы V (х, I) в виде суммы так называемых бинарных функций V

(m):

V(x, t )= •£ v<»)(Xm,() .

(20)

Вид функций v(щ)(Xщ, ^) должен удовлетворять ряду условий. Во-первых, области

определения бинарных функций ограничены конечным объемом денежных средств, выделяемых для обеспечения бинарных процессов. Во-вторых, профиль бинарных функций должен быть симметричным относительно переменной Xщ, что вытекает из требования периодичности бинарных процессов. В-третьих, учет закона убывающей отдачи [4] приводит к тому, что с ростом переменной Xщ должна уменьшаться

абсолютная величина производительных сил бинарной группы Эv (щyЭX щ|,

свидетельствуя о выходе функции Vщ,?) на горизонтальную асимптоту. Указанным требованиям удовлетворяют бинарные функции, характерный вид которых изображен на рис. 1; здесь величина v0щ) характеризует предельное значение производственной собственности (приходящейся на бинарную группу щ ), которой может обладать система при наличии у нее достаточно большого количества денежных средств.

Рис. 1. Характерный вид бинарной технологической функции

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПЭС

Умножая структурную матрицу у на уравнения плановой динамики (6) и

преобразуя полученную систему с учетом (20), получим

йХи п йВи « ЭуП)

и -.рБи\ —и = -У Гиу^—. (21)

г 1. ¿—і ип -Л V

и

Здесь - симметричная матрица:

Гиу = Е УиУп = УиУЛг + ГиУу8ш + ГиУп8ш + ГиГуды, Гии=Уи +у2и = 1, (22)

г

будем называть ее технологической матрицей системы.

Если бинарные функции Vи(Хи) от времени явно не зависят, то система уравнений (21) имеет первый интеграл

ьви „ (йХ. эП(Ху)

Р„, (в,Х )= X

_ии+у \^ииг°-^ХП. а,

2 П* й, иу ЭХу

представляющий собой полную производственную собственность системы. В нестационарном случае производственная собственность не сохраняется; ее изменение во времени описывается

ёРг дРр1 (в,X;г) /г г ч

уравнением —— =----------------, где выражение для функционала Рр1 (В, X; г) отличается

от (23) лишь зависимостью от времени бинарных функций V1 (х^, г).

Аддитивность выражений (23) по индексу ¡1 свидетельствует об упомянутом выше квазинезависимом характере распределения основных факторов бинарных групп.

Слагаемое в квадратных скобках (23), пропорциональное диагональному

элементу Гц = 1 и равное у^(х1), характеризует работу производительных сил, происходящую в бинарной группе ¡1. Остальные слагаемые описывают работу

^ ^ -у(п(ху) ^ Г

У I------Г п----------а, которую совершают производительные силы Г ---------------

п(?т) ёг —Ху —Хп

соседних бинарных групп у(ф т) над изменением денежного фактора группы ¡1. Благодаря этой работе осуществляется межгрупповое взаимодействие в системе, интенсивность которого описывается недиагональными элементами технологической матрицы (22).

Для получения уравнений рыночной динамики перейдем на основании принципа соответствия [2] от функции собственности Рр1 (В, X; г) к оператору Р^В, X; г

описывающему оптимальную вероятностно-динамическую эволюцию производственных состояний IX ¥, Л (см. (3)):

и

и

г11(Х\*,г) = Т

1р э:

2 ЭО

Ы

(х и і)

Х

(24)

Здесь V

(и)

Эv (п)(Ху)

йг

и

ЭХ у

й, - эффективная бинарная функция,

у ^

самосогласованно учитывающая взаимодействия между бинарными группами. Подставляя (19) в (24), получаем уравнение для функций состояния (^т отдельных бинарных групп 1 :

*м, г

гХ—( Х и

эЛ и

*м, і) =

л2ь э2

2 ЭХ2и

+ V,

в (Хи, г)

Х

и

(25)

В последующих работах решения дифференциальных уравнений (21), (25) и (24) будут использованы при исследовании производственно-экономических систем в режиме стационарного производства и его нестационарного возмущения - режиме предложения товара.

Резюме. Сформулирована система дифференциальных уравнений, позволяющих находить распределения вероятностей обобщенных фазовых переменных, числовые характеристики которых позволяют изучать механизмы хозяйственной деятельности фирмы.

Автор глубоко признателен Ватнику П. А. за проявленный интерес к данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов, А. Г. О вероятностно-динамическом методе в задачах микроэкономики / А. Г. Иванов, В. А. Кукушкин // Вестник ННГУ. - 2010. - № 1. - С. 179-189.

2. Кукушкин, В. А. Введение в математическую микроэкономику / В. А. Кукушкин. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. - 344 с.

3. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. - М. : Айрис-пресс, 2002. - 576 с.

4. Лопатников, Л. И. Экономико-математический словарь. Словарь современной экономической науки / Л. И. Лопатников. - М. : Дело, 2003. - 520 с.