Динамика потребительского поведения субъекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 6, с. 155-163

УДК 330.101 (030)

ДИНАМИКА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СУБЪЕКТА

© 2010 г. А.Г. Иванов 1, В.А. Кукушкин 2

1 Чувашский госуниверситет им. И.Н. Ульянова, Чебоксары 2 Филиал Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического

университета, Чебоксары

animax@chuvsu.ru

Поступила в редакцию 05.04.2009

В рамках вероятностно-динамического метода, предложенного авторами, рассмотрены вопросы потребительского выбора и полезности благ, формирующих оптимальное потребительское поведение субъекта. Решена система дифференциальных уравнений для функции оптимального состояния и найдены спектры благ и предпринимательской способности субъекта, обеспечивающих это состояние. Получено выражение для полного набора благ, максимизирующего общую полезность этого набора. Показано, что каждое благо такого набора должно потребляться в количестве, обеспечивающем одинаковую предельную полезность всех благ набора.

Ключевые слова: вероятностно-динамический метод, потребительское поведение, полный набор потребительских благ, потребительский бюджет, функции полезности благ и полного набора благ, бюджетная функция, кванты предпринимательской способности, законы Госсена, функция полезности фон Неймана - Моргенштерна.

Введение

Под потребительским поведением понимается экономическая деятельность, направленная на удовлетворение потребностей субъекта в определенном наборе экономических благ - материальном факторе потребительского поведения. По типу удовлетворяемых потребностей все блага делятся на большие классы а , каждый из которых, в свою очередь, делится на подклассы а^, в соответствии со спецификой потребностей в товарах этого класса. Классы составляют продукты питания, предметы одежды, обувь, интеллектуальные блага, предметы роскоши и др. Класс продуктов питания содержит в себе подклассы мясных, молочных продуктов, хлебобулочных, кондитерских изделий и т.д.

Набор денежных средств, выступающий в качестве условия приобретения и потребления соответствующих средств материального фактора, составляет понятие денежного фактора, или бюджета потребительского поведения. Потребительский бюджет подразделяется на статьи и пункты, соответствующие классам и подклассам материального фактора.

Способность субъекта к рациональному использованию материальных и денежных средств для формирования данного потребительского поведения в рамках вероятностно-динамического метода описывается величиной частной (индивидуальной) собственности Р, представ-

леннои числом квантов предпринимательском способности субъекта [1, 2].

Для описания потребительского поведения субъекта введем полные наборы самосопряженных операторов основных факторов состояния: материального, денежного и фактора предпринимательской способности с элементами Ь = = {ьщ ), х = (хак) и й = {й;}, соответственно.

Каждые из этих наборов определяют представление функции экономического состояния |Т, ^ как элемент гильбертова пространства,

базис которого сформирован полной системой собственных функций операторов данного набора. Различают материальное (ь ^, денежное (х| Т, ^ и представление предпринимательской способности ^й | Т, ^ . Экономический смысл имеют квадраты модулей представлений основных факторов, определяющих законы распределения случайных векторов Ь = = (Ьак ), х = (ха ) и п = {п;} в соответствующих

векторных пространствах. Допустимые значения случайных координат каждого из этих векторов образуют спектры операторов данного полного набора. Действительные неотрицательные числа Ьа равны количеству (т.е. числу единиц измерения) благ, входящих в подкласс ак класса а; неотрицательные числа ха

определяют величину денежных средств, предназначенных для приобретения и потребления благ ba , и имеют размерность, выражаемую в денежных единицах ($, €, RUB, DM, F и т.п.); щ = 0, 1, 2, .... Величины ba и ха , отвечающие подклассу ak, называются сопряженными факторами состояния.

Так, функция |(л| определяет плот-

ность вероятности того, что при формировании состояния | ^ субъект использовал денежные

средства, описываемые вектором X. В дальнейшем мы будем использовать предположение о независимости потребления благ, принадлежащих различным подклассам ak и ат, в том смысле, что вероятность использования денежных средств ха не зависит от условий, при

которых используются средства x , то есть i/i м2 -N. Па ! \ 2

КГ 'г,<>|2 - пп|(*«, b<>| •

а=1 к=1

Здесь па - число подклассов класса а; а = 1, 2,..., N.

Средние квадратичные отклонения координат ха и ba связаны между собой соотношением неопределенностей [1]:

a(xak )(bak )> -2 , X - рыночный параметр, (1)

которое характеризует свободу проявления предпринимательской способности субъекта при формировании потребительского поведения в условиях данного механизма хозяйствования. В зависимости от величины рыночного параметра различают рыночный, смешанный и плановый механизмы хозяйственной деятельности.

При рыночном механизме хозяйствования способность субъекта к принятию решения описывается оператором индивидуальной (частной) собственности P

p (b, X) = 2 b У 2 + V ()

N Па f 1 / ч / О N Па )

= ZZb К, К К, + Va, (Xa, )|= ZZPa, ■

a=1k=1 I J a=1k=1

Здесь Pak (bak ) pf b ' - операторные функции

ставлением) функции состояния, для которого

5 - [2].

операторы baк = —iX д

xak xak

a к

В качестве условия, ограничивающего выбор такого решения при формировании потребительского поведения, выступает неопределенность потребительского бюджета, описываемая функцией бюджетного ограничения

N na / ч

V(X) = IZVa, (xa, )•

(З)

a=1k=1

где

Vak (Xak )

0, xa Є AXa

ak ak

(4)

ak

ak

- бюджетная «яма» подкласса ак (см. рис. 1);

величины Vопределяют предельное значение

ак

собственности Р, которой может обладать субъект в условиях заданных неопределенностей

потребительского бюджета.

AXa =

a k

х(1); x(2) . ak ’ ak

(2)

Нахождение спектра собственности и потребительских благ, формирующих оптимальное состояние субъекта, сводится к решению уравнения на собственные функции и собственные значения оператора (2):

(Х| Р (IX )| ТР) = Р(Х| ТР), (5)

основного уравнения рыночной динамики потребительского поведения. Критерий оптимальности экономических состояний субъекта описан в работах [1, 2].

Решение основного уравнения динамики

1. В силу упомянутой выше независимости потребления благ, относящихся к различным подклассам ак, решение уравнения (5) следует искать в виде произведения

N па

ак Vак .

полезности блага Ьа и полного набора благ

Ь , соответственно. В дальнейшем будем пользоваться денежным представлением (х -пред-

N ‘а I

й ъ)=ПП(

a=1 k=1 '

N па ,

- пп(

ak

■ P

ак аk і

где функции \ха* | Ypa j удовлетворяют дифференциальным уравнениям

где ba k =~iX^----•

а k

Для решения (6) заметим, что функция Va постоянна на различных участках области определения, кроме граничных точек и x

а k а к

области неопределенностей ЛХа^ бюджета, где эта функция испытывает скачок. Предполагая, что при Va - const операторная функция

(х -представление).

В точках разрыва функции Уа (ха ) должны выполняться условия непрерывности решения (6) и его первой производной (условия «сшивания» решений):

dxak

xak ^x^1’2^ 0

ak ak

dx

(8)

a k

xai, ^ x(1’2 Vo ak ak

Элементарное интегрирование уравнения (7) дает

Ра = Ра (Ьак) может быть разложена в ряд

Тейлора по степеням оператора Ьа , легко убедиться в справедливости правила коммутации [Ра , Ьа ] = 0, в силу чего собственные значения операторов Ра и Ьа будут связаны друг с другом функциональной зависимостью: Ра = Ра (Ьак), а их собственные функции

совпадают (с точностью до константы), то есть имеет место уравнение:

a к

|Pa ,) = Ca к exp

: к Va к К* к -- / ----------

, (9)

где Ca - нормировочная константа. Подставляя (9) в (8), получаем В (b )b2

ak (ak Pak = Pak > 0 , Xak eAXak ; (10)

a k

a k

ваk (bak K*k

'(0)

2

= Pa - Vr < 0, a k a k

xak ak •

(11)

Рис. 2. Характерный вид функции общей полезности ра^ (Ьак) блага а к

Здесь Pak (bak ) - функция общей полезности, описывающая способность блага ba удовлетворять определенным потребностям субъекта. Численно функция Pa (ba ) равна изменению

собственности 2Ра при изменении величины

bа на единицу.

Из соотношений (10), (11) вытекает, что функция общей полезности Pa (ba ) может

принимать только неотрицательные значения. Аналитическое выражение для этой функции, однако, не удается получить из общих соображений. Оно может быть найдено лишь при анализе взаимодействия спроса и предложения на данный вид потребительского товара [2]. Поэтому для дальнейшего изложения ограничимся видом зависимости Pa (ba ), иллюстрирующей

эмпирический закон убывающей предельной полезности [3] (так называемый первый закон Г оссена, см. рис. 2). Мы предполагаем, что приобретение дополнительных благ в области больших значений ba приводит лишь к насыщению полезности ( Pak ^ P0ak - = const), не принося вреда субъекту.

Согласно (11), в области xak £ AXa (так

называемой запрещенной области) величины ba принимают мнимые значения ba =

= - IK

ak

(Pa,), что

гулярной экономической деятельности вне области задания бюджетных средств. Соответствующая функция состояния (9) описывает экспоненциально убывающую плотность вероят-

ности:

\Хаk |Раk) Саk exp

(Ра k К

"ak V ak Ґ ak

х

. (ІЗ)

Тем не менее использование денежных средств в запрещенной области носит индетерминистический характер и обусловлено соотношением неопределенностей (1). Действительно, если процесс измерения зарегистрировал в

состоянии

а к

значения денежного

фактора ха в запрещенной области, то возмущение, испытываемое субъектом в ходе такого процесса, приведет к значительному разбросу значений блага Ьа , являющихся, однако,

действительными. При X ^ 0 мощность спектра таких значений стремится к нулю, что приводит к невозможности регулярных (плановых) состояний в запрещенной области.

Решение уравнения (6) в области хак є ДХа (разрешенной области функции

бюджетного ограничения) следует искать в виде линейной комбинации комплексно-сопряженных функций (9):

исключает возможность ре-

а к

К к)=a sin

bakXak + g

а k

(ІЗ)

Фазу 5а и спектр возможных значений блага Ьа найдем из условий «сшивания» (8)

функций (12) и (13) на границах бюджетной «ямы». Для удобства поместим центр «ямы» в начале координат, совершив преобразование

(

соответственно. Здесь A =

к/Х

1 + ка/2

- нор-

xak xa k

x(2) + x(l)

a k ak

. Приравнивая логариф-d

мические производные

dx,

ak

функций (ІЗ) и (ІЗ) в точках xak =

мировочная константа.

Рассмотрим решение уравнений (1б) в наиболее интересном случае больших значений b , для которых, в согласии со сказанным выше, функция полезности выходит на асимптоту p(b) да р0 = const, называемую полезностью насыщения. В этом случае соотношения (1б) принимают вид

(17)

cos n = Yn; sin n = -УП,

= ±

*a2) - 4°

ak aA

2

, получим (для удобства до конца где Л -'

ba

pa2

2Ро

у.

і

2Po

Vo а2

пункта индекс ак опускаем):

X f + S) = K ; + Ї) = -К . (,4,

Здесь a =

Д2) - x(1)

X

рина бюджетной «ямы»; 5=5 — b

x(1) + x(2) ЇХ

Рассмотрим структуру дозволенных уровней собственности в бюджетной «яме», определяемую уравнениями (17). При заданном значении У0 вблизи вершины «ямы» формируется уро-р(+)

вень рп , отвечающий четному решению уравнения (6) (см. рис. 1):

P

(+) _

Veil-БИ

(+)2

Система тригонометрических уравнений (14) имеет два класса решений, соответствующих полуцелым и целым значениям приведенной фазы 5/л. Первый класс (5 = (I +1/2) п, I е Z)

где гп = 2 nn

1

Voa2

2Po

уровня n (n >> 1) равен

<< І ,

(18)

причем номер

определяет четные

(x| WP)

v(-)

(+)

а второй

(5 = ln ) - нечетные ^x| Yp^ решения урав-

нения (б):

Vo a2

8n 2Po

(19)

где

[x] - целая часть числа х. Нечетный уровень

(x|p (+) = A

ba к( a _ Л a _

cos—exp—I —+ x I,-------> x;

2 P 2 J\ 2 ;

cos bX,

P

(-)

определяется выражением

ba к (a _} a _

cos—exp—I x I, — < x .

2 Xi 2 J 2

x < a/2;(15)

p (-) = 8л 2Po

n a2

1

n-----

4

(З0)

(+)

(x|p( ) = A

. ba к (a _

sin — exp—I —+ x

2 X{ 2

sin bX,

a _ — > x; 2

|x| < a/2;

Последующие уровни собственности p, p-) (l << k < n - l) представляют собой дуб-

. ba к (a Л a _

sinTexplU-x) 2<x

леты линий:

Pi(;' = Pi(,;'(l ± 4*'); Pi(-' = Pi(0(l ± 4"')' (21)

где

со спектром собственности, вытекающим из уравнений

ba b

p(±) _8n Po k2; 8(±) ~J2 1 - ;

k,0 _ _2 k± ; Ek ~v1 ;

a2 V n

k+ _ k ;

cos

2

ba

■sfb

sm-

yfb

2 2 + K 2

(1б)

к- = к -1.

4

В пренебрежении слабым расщеплением уровней собственности в дублетах расстояние между соседними линиями спектра одинаковой четности запишем в виде

1

2

2

n

2

b

2

APk(±) = p£) - р$±) « i^2^k = 4n2fy2 k ;

k+1 k —2

a

2

a

(l << k < n - l ) . (±)

(ЗЗ)

Величина А/к ’ получила название кванта

собственности, или кванта предпринимательской способности. Величина собственности, запасенная в кванте, характеризует способность субъекта к выбору решения о потреблении блага, обеспечивающего переход с уровня Р^ на

р(±) уровень рк+1.

Мы видим, что активизация предпринимательской способности проявляется в типично рыночном случае (X велико) при выборе блага большой полезности р0 субъектом с малой неопределенностью потребительского бюджета а . Такой рост активности с уменьшением величины а характеризует поведение «бедных» субъектов, для которых выбор блага усложняется недостаточностью выделенных денежных средств х е АХ, сопряженных с малой неопределенностью бюджета а .

Спектр собственности определяет до-

пустимые значения блага, формирующего оптимальное потребительское поведение субъ-

екта:

b/(±) =

2P/±) 4п

во

л/2 l

1 ± — \ 1----------

2 V n

здесь І. = І; І_ = І — -

1 << І < n . Так, макси-

мальное значение

йП+) блага, приобретаемого при заданных параметрах К0, а бюджетной «ямы» и полезности р0 этого блага, составляет

2V

bj+)=—n = n а \в о

о

(З4)

Формула (24) демонстрирует известное положение теории потребительского поведения: количество благ, обеспечивающих насыщение большей полезности, оказывается меньше количества благ, обеспечивающих насыщение меньшей полезности.

С уменьшением неопределенности бюджетной «ямы» а (при фиксированных значениях V и р0) уменьшается максимальное число линий спектра благ п и, следовательно, увеличивается расстояние между соседними уровнями. Этот вывод вновь характерен для потребления «бедного» субъекта, который не может позво-

лить себе излишеств при выборе благ. Напротив, при больших значениях а (в случае «богатого» субъекта) становится возможным создание потребительского поведения с богатым спектром закупаемых благ.

2. До сих пор мы рассматривали потребительское поведение субъекта, реализующееся на отдельных уровнях спектра собственности. Такое состояние описывается собственными функциями (13) оператора Р (2), иллюстрирующими ак

равномерный (однородный) закон распределения денежного фактора ха в области неопределенности АХИк бюджетной функции (4). В общем случае приобретение благ Ьа происходит в условиях заданного неоднородного распределения денежного фактора ха є АХа с функцией

состояния < x

этом случае каждый

уровень собственности Pja реализуется с веро-

ятностью

{Pa, И

определяемой коэффициентами разложения функции | ^ по соб-

ственным функциям (13):

(*а, К ') =

; (23)

(x«k I p«k XPi«k I . (25)

В состоянии (25) сохраняющаяся величина собственности субъекта характеризуется средним значением

\2 1 =

Pa* = ZPla* (P/ak ІГ

l

,(2)

= Xa.)(*a, Ipa, 1^. (26)

x(1)

ak

Очевидно, что с такими же вероятностями (P/a, распределены и допустимые значе-

ния спектра благ ba , обеспечивающие формирование потребительского поведения с функцией ^xaj| ^.

Если же потребительское поведение субъекта формируется на полном наборе благ b , то функция состояния описывается формулой N п а

>) = ПП( X'a, |% '} •

a=1k=1

а величина собственности P равна

2

±

a

1

N па _

Р = II Рщ • С27)

а=1к=1

3. В пределе, при 0, область неопределенности сопряженных факторов состояния (1) стягивается в точку и вероятностно-динамическое состояние потребителя переходит в динамическое (плановое) состояние (Ъ, хак ). Поскольку число линий спектра собственности (19) в бюджетной «яме» при этом неограниченно растет, величина индивидуальной собственности, заключенной в кванте (22), стремится к нулю. В этом случае вся собственность субъекта принимает форму обобществленной (государственной) собственности, выражение для которой можно получить, заменив, в согласии с принципом соответствия [1], в (2) операторы

Ьак и Хак на величины Ьак и хак :

тх)=1 $)ъ2 - £ Е{1 Ра» ( К

a=1k=1 xak eAXak

содержит, очевидно, принципиальных трудностей.

Действительно, получая из выражения (28) полезность набора благ в как многомерную

функцию координат Ъа:

N па / N па

в=ее ва, *а,/ ее *а,. (29)

а=1 к=1 / а=1 к=1

запишем необходимое условие максимума этой

эр

функции в виде системы уравнений

дЪ,

= 0.

а к

В результате находим

др

дЪ,

b

a(

a(

b2

др.

a (

db

ba( +:

2( (-P)

= 0. (30)

Формула (30) показывает, что максимальное значение полезности набора благ обеспечивается каждой компонентой этого набора в количе-

стве

b(m),

a(

равном

(28)

Поскольку в динамическом пределе спектр собственности становится непрерывным, то различие между понятиями «бедного» и «богатого» субъекта (в указанном выше смысле) исчезает. В этом случае оба типа экономических субъектов являются лишь исполнителями плановых директив, в силу чего ответственность за создание их благосостояний ложится только на плановые органы государства.

Непрерывный спектр собственности можно получить также устремляя ширину бюджетных «ям» к бесконечности. Получаемое при этом состояние (так называемое свободное состояние) не обеспечивается использованием денежных средств; поэтому оно не может быть реализовано в обществе с развитыми производительными силами и характерно для примитивного, полудикого человеческого сообщества. Поставку материальных благ в этом случае обеспечивает сама природа.

Второй закон Госсена

В заключение докажем утверждение, которое в экономической теории известно под названием второго закона Госсена: функция полезности полного набора благ р(Ъ) максимальна в том случае, если эти блага потребляются в количестве, обеспечивающем их одинаковую предельную полезность [3]. Для простоты ограничимся случаем непрерывного спектра благ; обобщение на случай дискретного спектра не

*)=- Ф« k -р).

'дРс

дЬ,

>о.

(31)

а к

Поскольку выбор величины Ъак (при заданной собственности Рак ) определяется только ее общей полезностью Ра , то предельные полезности, стоящие в знаменателе (31), следует считать постоянными: дРо

ак

db

= const,

(З2)

«і

что и требовалось доказать. Отметим, что мы не рассматриваем решение Ъа = 0 уравнения

(30), поскольку оно не вносит вклад ни в функцию полезности, ни в величину собственности системы.

Из формулы (31) следует, что в режиме на-

(

сыщающеи полезности

эр

«і

c

макси-

мальная полезность полного набора благ равна предельному значению общих полезностей всех благ из этого набора (в ^ Р). Другими словами, в режиме насыщения потребность субъекта в полном наборе благ должна быть равна его потребности в каждом благе этого набора.

В заключение сделаем два замечания. Во-

первых, при потреблении полного набора благ Ь

в количествах Ь(т^ (31), наряду с функцией по-

а к

в(ь) , максимального значения (при за-

лезности

данной величине Ь ) достигает и величина соб-

(

ственности (28). Но последняя характеризует оптимальный выбор субъекта на рынке потребительских благ [1, 2], которые должны браться в

количествах Ь(т^, принадлежащих спектру благ

а к

(23). Таким образом, соотношение (31) описывает структуру набора благ, оптимизирующую не только потребности и предпочтения субъекта, но и расходы его на покупку благ при заданных бюджетных ограничениях. Во-вторых, формула (29) выражает собой функцию полезности фон Неймана - Моргенштерна [4], представленную в виде математического ожидания полезностей РИк , распределенных в пространстве В с веро-

ятностями wl

ак

Ь2

В этом случае формула

(31) решает основную задачу теории фон Неймана - Моргенштерна о нахождении закона распре-

обеспечивающих

деления вероятностей w

ак

максимум полезности р(Ъ) на «лотерее» Ь .

Выводы

1. С позиций вероятностно-динамического метода изучены вопросы потребительского выбора и полезности благ теории потребительского поведения.

2. В предположении насыщающей полезности получены спектры благ (23) и способности (18), (20), (21) субъекта, формирующие оптимальное поведение потребителя. Показано, что значения благ (24), насыщающих функцию полезности, обратно пропорциональны корню квадратному из максимальной полезности этих благ роа . Этот вывод иллюстрирует известное

положение о том, что количество благ, обеспечивающих насыщение большей полезности, меньше количества благ, обеспечивающих насыщение меньшей полезности.

3. С уменьшением ширины бюджетной

«ямы» а,

ак

Д2) „(1)

«к

«к

(при фиксированных

уровнях способности Vи насыщенной по-

ак

лезности Р0ак) увеличивается расстояние между соседними уровнями спектра благ. Этот результат характеризует потребление «бедного» субъекта, который не может позволить себе излишеств при выборе благ. При больших же зна-

чениях аак (случай «богатого» субъекта) возможно создание потребительского поведения с богатым спектром, реализующимся на большом многообразии закупаемых благ.

4. Показано, что активизация предпринимательской способности проявляется в типично рыночном случае (X велико) при выборе блага большой полезности Р0а субъектом с малой

неопределенностью потребительского бюджета аак . Такой рост способности с уменьшением

величины аак также характерен для «бедных» субъектов, поскольку способность к выбору ими элементарного блага ак усложняется недостаточностью денежных средств хак є АХИі, сопряженных с малой неопределенностью бюджета аа . а к

5. В плановом пределе различие между понятиями «бедного» и «богатого» субъекта исчезает, поскольку они являются в этом случае лишь исполнителями плановых директив, а ответственность за создание их благосостояний ложится только на плановые органы государства.

6. Получено выражение для второго закона Госсена (32), которое определяет структуру полного набора благ, оптимизирующую не только потребности и предпочтения субъекта, но и его расходы на приобретение этих благ при заданных бюджетных ограничениях. Показано, что каждое благо такого набора должно потребляться в количестве, обеспечивающем одинаковую предельную полезность всех благ набора.

Выражаем благодарность В.А. Зорину за ряд плодотворных критических замечаний.

Список литературы

1. Кукушкин В.А. Введение в математическую микроэкономику. Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. 344 с.

2. Иванов А.Г., Кукушкин В.А. О вероятностнодинамическом методе в задачах микроэкономики // Вестн. ННГУ. 2010. № 1. С. 179-189.

3. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. М.: Изд-во «НОРМА», 2001. 572 с.

4. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 1998. 447 с.

к

CONSUMER BEHAVIOUR DYNAMICS A.G. Ivanov, V.A. Kukushkin

In the framework of the probabilistic dynamic method [1, 2], consumer choice and goods utility forming optimal consumer behaviour are considered. The system of differential equations for the optimal state function is solved and the spectra of goods and entrepreneurial ability of the person providing this state are found. An expression is obtained for a full set of goods maximizing the total utility of the set. It is shown that each good of such a set has to be consumed in amounts securing an equal limit utility of all goods of the set.

Keywords: probability dynamic method; consumer behavior; complete set of consumer goods; consumer budget; functions of goods utility and complete set of goods; budget function; quantum of entrepreneurial ability; Gossen's laws; von Neumann and Morgenstern utility function.