ПРИНЦИП ε-МАКСИМУМА В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГИБРИДНОЙ СИСТЕМОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

УДК 517.977

принцип е-максимума в линеинои задаче оптимального управления гибридной системой

Канд. физ.-мат. наук, доц. ГАБАСОВА О. Р.

Белорусский национальный технический университет

1. Пусть Т - промежуток управления, \ = Ии /М, /?„ = (/ -/,, )/А'' - периоды квантования времени (М, N - натуральные числа);

ти ={и,и +К,-Ии}, ту ={и,и+\,-К)-//..«- .//, е □ , гапк(Нх,Ну) = т<пх +

ge □ н*,ы е □ .

□

»

Ay(t)GD"'Xn', by(t)GW

-у ~ ^ 5 Л0

tsT,- непрерывные функции; м(-) = (uit)eU = = {ме □ : м, <м < г/}, teT) - дискретное в прямом времени1 с периодом квантования hu управляющее воздействие непрерывной части гибридной системы; и(-) = (v(l ) е V = |ие

е □ :г>* <г> <г>*}, teTv)~ управляющее воздействие дискретной части гибридной системы.

В классе управляющих воздействий (и(-), !>(■)) рассмотрим линейную задачу оптимизации гибридной системы [1]:

J(u,v) = c'xx(t*) + с у (t*) —> max ;

ОМ-)

Гх = Ах {t)x + A {t)y + Ъх (t)u, i g T; x{Q = x0 ;

(1)

(2)

b(f■+ AJ = A (t)y(t) + hvb (t)v(t), tzTv;y(Q = y0;

) + # v(t ) = g.

(3)

Здесь x = xit)eU"*- состояние непрерывной части системы в момент времени t; У — У(0 е □ - то же дискретной части системы; (x(t), y(t)) - то же гибридной системы; uit), vit) - значения управляющих воздействий в момент t.

Под траекторией системы (2), соответствующей управляющим воздействиям (м( ),и( )), будем понимать единственную пару из непрерывной функции х( ) = (х(1), i е 7) и дискретной с периодом квантования hl: в прямом времени функции у(-) = (yit), t е /'), которые удовлетворяют (2).

Управляющие воздействия (м(-), ь(-)) назовем программой гибридной системы, если на соответствующей им траектории (х(-), >'(•)) системы (2) выполняются ограничения (3). Программа (м°( ), и°( )) называется оптимальной, если на ней критерий качества (1) достигает максимального значения: J(u° (■), v° (■)) =

= max J(u(-), v(-)), где максимум вычисляется

ОМ-)

по всем программам. Субоптимальную (е-оптимальную) программу (и£ (■),v£ (■)) определим

неравенством J (и0 (■), г>° (■)) - Лиг (■), Vе (■)) ^ £

Как известно [2], в теории оптимального управления важную роль играют критерии оптимальности и субоптимальности. Целью дан-

п

у

п

п

У

'функция fit), /е Т = [/»,/*], называется дискретной в прямом (обратном) времени с периодом квантования h = {t* -t,)/N0 (N0 - натуральное число), если /(/) = /(т), /е [т,т+й[, те {/,,/, + h, ..., / -h} {fit) = fix), /е]т-й, т], те {/, +h, ...,/*} ).

ной статьи является получение критериев субоптимальности и оптимальности для программ задачи (1)-(3).

2. Согласно [1] состояние гибридной систе-

*

мы (2) в момент ? можно вычислить по формуле Коши

x(t ) = Fx(t ,Qx0 + и+\

Fxy{t\t,+hv)Ay(t,)hv + J

Jo

i

+\Fx(t* ,\i)bx(\i)u(\i)d\i

+

(4)

y(f) = Fy(f,t,+hv)Ay(t,)y0 + +K ^Fy(t*,s + \)by Cs)u(,s),

где функция /'_'1;(/'!,\)е I , \е Т. дифференцируема по 5, функции Ру(/, (/ ,\)е и*хиу, е ТГ;. дискретны в обратном времени с периодом квантования Иь — компоненты фундаментальной матрицы решений гибридной системы (2), удовлетворяющие уравнениям:

ЭFx{t*,s) д s

= -Fx(t\s)Ax(s), sgT;

F^t ,s-hJ = Fxy(t ,s)Ay(s-hJ + (5)

1 s

+— J ^(ЛмКДц)^ szTv,

-к

Fy(t\s-hv) = Fy(t\s)Ay(s-hv), seTv;

Fx(t\ t*) = E, F (t*, t*)=E, F(t\ t*) = 0. (6)

Подставив выражения (4) в (1)-(3), получим задачу линейного программирования, эквивалентную исходной задаче:

x си (тмт)+x max;

теГ„ seTv

Jjdu(x)u^)+Jjdv(s)v(s) = g; (7)

теГ„ seTv

ut<u(t)<u*, t&Tu, vt<X)(s)<v,sGTv. Здесь

J cxFx{t\\x)bx(]X)d\y, тgTu;

cv(s) = c'xF^t\s + hv)by(s)%+c'yFy(t\s + hv)x xb(s)hv, seTv;

t+'i,

(0 = J HxFx(t\ii)bx(ii№,TeTu;

dv(s)=HxFxy(t ,s + ¡гъ)hlby(5) + +HVF (t*,s + hv) b (s)hv,sgTv;

X>> У 'ж'XV-

У Уv

g = g~(HxFx(f,U)x0 +

+НХ [F^t ,t.+hu)Ay(t.)hx> + (8)

и+К

+

J ^Л^О-^Й-Уо +HyFy(t\t,+hJy0).

Принцип s-максимума для задачи (1)-(3) получим с помощью критерия s-оптимальности [3] планов задачи (7), учтя динамическую природу последней. Для этого введем необходимые понятия.

3 Пусть D = (D(TU), 1XTJ), D(Tu) = (du(x), теТи), D(Tv) = (dv(is),seTvy, TuonczTu, Twn<zTv, I ^шш I +1 Tvon |= m, - произвольные множества; Tou = {T^TvJ; Dou =D(Tou) = (du(т),те Tuon, dv(s),seTvm).

Множество Топ называется опорой задачи (1)-(3), если не вырождена матрица Dou, т. е. dct/>„,*().

Следуя [3], подсчитаем вектор потенциалов veiT

' ' 7~\—1

v =couDou,

где соп =(с„(т), те Гмоп; se Гтеп).

Совокупность (Ам(т), те 7,',; AJ.v), .ve 7J с компонентами:

f.

Дя(т) = Ся(т)-уЭД,теГя;

A b(s) = cv(s)-v'dv(s),szTb,

s+K

(9)

назовем копрограммой исходной задачи (1)-(3), сопровождающей опору Топ. Подставив (8) в (9), получим:

ъ+К

-V' | Яя^я(г>)ММ-)Ф =

Д„ (*) = [сХ (Л + ^ + < Р *, 5 + И„ ) -

Ч(^) = + >0 + cvFv(t*,s+hJh„ -

-v'HXF^^ + hJ-v'H^^ + h^x xA(s) + hv(c'x-v'Hx)x

s+h.

x J se 7;. (10)

Введем функции:

¥,(') = (¥,We scTJ; <(т ) = {cx-v'Hx)Fx(t\x),x^T,

y'y(s) = (c^it*, s)hl + c'yFy(t\ s) -

(11)

"V'+ ВДС*' уЯ), *е Ту. Поскольку из (5), (6) следуют соотношения:

= (с'х -у'Яя)(-^я(ЛтИ(т)) = -<(т)4(т);

=+0^,8) --V' =

то функции (11) являются решением сопряженной системы

Уя(т) = -<(т)4(х),хеГ;

<s4-/z„

J (12)

5G Т.

с начальными условиями

№) = с'х-ч'Нх, у'у(г*) = с'уК-ч'Ну. (13)

Котраекторией, сопровождающей опору Год, назовем пару (\|/х(-),\|/Д-) ), состоящую из

непрерывной функции (•) и дискретной в обратном времени с периодом квантования Иь функции \|/ (•), которые удовлетворяют сопряженной системе (12) с начальными условиями

(13).

Компоненты копрограммы [3] с использованием котраектории принимают вид:

= | ^ Ти;

М^У^ + Йо)^)» Ть■

Критерий субоптимальности для задачи линейного программирования (7) [3] на языке введенных понятий для задачи (1)-(3) звучит следующим образом.

Теорема (принцип г-максимума). При любом в > 0 для в-оптимальности программы (м(-), 1)(-)) необходимо и достаточно существование такой опоры Год, при которой на сопровождающей ее котраектории (>)/,.(•), (•)) выполняются условия квазимаксимума: 1+К

= max

ueU

J V*0ДО*■u-eu(T),Tuon;

у'у О + К )К ОМ5) - тах \|/ (5 + \ )Ъ (5)г> -

пеУ

(14)

Доказательство основано на формуле приращения критерия качества и проводится аналогично доказательству соответствующего результата для задачи линейного программирования [3].

Из (14) при е = 0 следует принцип максимума. Для оптимальности программы (»(•), 'и(-)) необходимо и достаточно существование такой опоры Год, при которой на сопровождающей ее котраектории (•), \|лД-)) выполняются условия максимума: ■"Л

= тах

и^и

= тах \|/у (я + \ )Ъу

4. Укажем на изменения, которые нужно внести в приведенные результаты для задачи (1)—(3) с многомерными управляющими воздействиями:

м(-) = (м(0еи = {иеЯг" :ы» <и<и }, г<гТ), = = :и,.<г)<г/}, яеТ;):

1) в уравнениях (2) вместо векторных функций Ьх(1), / е '/'; Ьу(я), У'ь, участвуют матричные функции Вх (0 е Яп'хг-, /е 7'; Иу (я) е , .V е 2) скалярные функции сн(т),те Ти, сь(\ ). яеТ^, заменяются векторными функциями теГм; 3) вектор-

ные функции с!п(т), те У; с/ь(х), 5 £ становятся матричными /)((т) = (7)(/ (т), / е = = {1,2,...,ги}), Д;(т) - /-и столбец матрицы

ВД, те?;; (Д,, ^ = {1, 2, ..., г,}),

/)г)/ (5) - /-и столбец матрицы /),. (5), ле : 4) вместо множеств Тиоп, Ту0П вводятся множества ^иоп С ^ = •]и ХТи, ^оп С ^ = Л,

опорой является совокупность Л'1И| = {Л',„И1, Л'ъш|}, I ^оп I = I I + I ^оп 1= >", на которой не вырождена (опорная) матрица /)„,, =(/)„,„, 1\ю11), где Аоп=топО', Яоп =

= 1)(^оп) 5) скалярная

копрограмма заменяется векторной; 6) критерий £-максимума примет вид:

х+Ъи

= тах <

и,,<и,<и .

= тах + -

x е«/(т)+ x

В Ы В О Д

Получены критерии оптимальности и субоптимальности программ для линейной задачи оптимального управления гибридной системой.

Область практического применения: автоматика автомобилей, управление химико-технологическими процессами и энергетическими системами.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Габасова, О. Р. Оптимизация линейных гибридных систем управления / О. Р. Габасова // Вестник БНТУ. -2007. - № 2. - С. 71-75.

2. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин [и др.]. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

3. Альсевич, В. В. Оптимизация линейных экономических моделей. Статические задачи / В. В. Альсевич, Р. Габасов, В. С. Глушенков. - Минск: БГУ, 2000. - 210 с.

Поступила 10.10.2008